深圳中学2011届高三考前演练测试
理科数学参考答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的． 题号 答案 二、填空题：本大题共7小题, 考生作答6小题，每小题5分,共30分. 9．
1 D 2 B 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A a23?a3 10. 503 11． ?15 12. c?a?b 13. 2 14.(2,) 15.
42b
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
解：由题意知：AB?5(3?3)， ?DBA?90?60?30，
000?DAB?900?450?450，
∴ ?ADB?180?45?30?105， ????????2分 在?ADB中，由正弦定理得：
0000DBAB? ???????????5分 00sin45sin105AB?sin4505(3?3)sin450??103 ????????7分 ∴ DB?00000sin105sin60cos45?cos60sin45在?CDB中，BC?203，DB?103，?DBC?180?60?60?60，
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0000∴ ?CDB为直角三角形，且?CDB?90， ???????????9分 ∴ CD?BC?sin60?30 ???????????10分
0030?1（小时） ???????????11分 30 答：该救援船到达D点需要1小时. ???????????12分
所需时间为：t?17.（本小题满分12分）
（1）解法一：
设事件A=“第二次测出的电池没电”，B=“第三次测出的电池也没电”
241A2A41则P(A)?，P(A?B)? ??????????2分 ?63A615所以P(B|A)?P(A?B)1? ??????????4分
P(A)5解法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，
24A2A1则P(A)?14 ??????????4分 ?5C2A55（2）?的可能取值为2，3，4，5
2A21P(??2)?2?
A615112C2C4A22 P(??3)??315A61234C2C4A3A4114P(??4)?4???? 415515A6A6134134C2C4A4C2C4A48??????????8分 P(??5)???5515 A6A6∴ 分布列为 ? P 2 3 4 5 1 152 154 158 15 深圳中学2011届高三考前演练测试理科数学（第 2 页 共 8 页）
??????????10分
E??2?
124864?3??4??5?? ??????????12分 151515151518.（本小题满分14分）
解法一：（1）如图,设PC=m,连AC，
设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD1B1相交于点G，,连结OG，因为PC∥平面BDD1B1， 平面BDD1B1∩平面APC＝OG,故OG∥PC， 所以，OG＝
11PC＝．又AO⊥BD,AO⊥BB1， 26
所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角． ??????????4分
2OA?2?32， 在Rt△AOG中，tan?AGO＝
1GO6
直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32． ??????????7分
（2）可以推测，点Q应当是A1C1的中点O1， ??????????8分
因为D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，????????9分 又AP?平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP． ??????????10分 设O1在平面射影点为E, D1E为D1O1在平面APD1的射影
即O1E⊥平面APD1,那么O1E⊥AP ??????????11分 又D1O1?O1E= O1，那么AP⊥平面O1D1E，
即AP⊥D1E ??????????????????13分 故在线段A1C1上存在点Q为A1C1中点时，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP． ??????????14分 解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（1，0，0），B（1，1，0）， P（0，1，
1），C（0，1，0）， 3D（0，0，0），B1（1，1，1）， D1（0，0，1）
所以BD?(?1,?1,0)，BB1?(0,0,1)AP?(?1,1,)，
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13AC?(?1,1,0)
????????????????????又由AC?BD?0,AC?BB1?0知，AC为平面BB1D1D的一个法向量．?????4分
设AP与平面BB1D1D所成的角为?，
则sin??cos(?2??)?AP?ACAP?AC?212?2?()23?638．
tan2?由sin??解得tan??32
1?tan2?2故：直线AP与平面BB1D1D所成的角的正切值为32． ??????????7分 （2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
?????则Q（ x，1－x，1），DQ?x(,1x0),?1． ???????9分
依题意，要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，
?????????1等价于D1Q⊥AP?AP?D1Q?0??x?(1?x)?0?x?. ???????13分
2即Q为A1C1的中点时，满足题设要求． ??????????14分
19.（本小题满分14分）
解：（1）∵点A在圆x2?y2?c2上,??AF1F2为一直角三角形，
?|F1A|?c,|F1F2|?2c?|F2A|?|F1F2|2?|AF1|2?3c ????3分
由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，
?c?3c?2a?e?c2??3?1 ????????????5分 a1?3 （2）∵函数y?2?logmx的图象恒过点(1,2)
∴a?2,b?1,c?1, ??6分
点F1（－1，0），F2（1，0）， ?????????????????7分 ①若AB?x轴,则A(?1,22),B(?1,?)， 22深圳中学2011届高三考前演练测试理科数学（第 4 页 共 8 页）
????????????2????2????17∴F2A?(?2,),F2B?(?2,?),F2A?F2B?4????????8分
2222②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
?y?k(x?1)2222消去y得(1?2k)x?4kx?2(k?1)?0????（*） 由?22?x?2y?2?0
???8k2?8?0,?方程（*）有两个不同的实根.
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根
4k22(k2?1)x1?x2??,x1x2? ????????????????10分
1?2k21?2k2
F2A?(x1?1,y1),F2B?(x2?1,y2),
F2A?F2B?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(1?k2)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?1?k2 2(k2?1)4k27k2?17922 ?(1?k)?(k?1)(?)?1?k???222222(1?2k)1?2k1?2k1?2k2?????????????????????????????12分
?1?2k2?1,?0?
199?1,0??1?2k22(1?2k2)2
797?1?F2A?F2B???,22(1?2k2)27 ??????????????????14分 2
由①②知?1?F2A?F2B?
20.（本小题满分14分）
解: (1) 因为a1?a,an?1?2?所以a2?2?1, an15a?212a?1?,a3?2??. ???????????????2分
a22a?1a1a22要a3?0,即要a??. 所以, a??时, a3?0. ???????????????4分
55
11,2??bn.不妨设a取bn, 2bn?1111?bn?1,a3?2??2??bn?2, ??????????????6分 所以a2?2?bna2bn?1 (2)由题知b1??深圳中学2011届高三考前演练测试理科数学（第 5 页 共 8 页）
??,
11?b1??,所以an?1?0, ???????????????8分
an?1b22所以a =b5 ,a=b2010时,可以得到一个有穷数列{an}，且分别有6项与2011项. ?????9分
771(3) ?an?3??2??3?1?an?1?3. ???????????????11分
33an?1777因为(, 3)(1, 3), 所以只要有?a2?3就有?an?3 (n?3). ???????12分
333?2a?17???0?a?3?a3由?, 解得: ?, 即1?a?3.
a?0或a?12a?1???3??a所以, a的取值范围是(1, 3). ?????????????????????14分 an?2??2?
21.（本小题满分14分）
已知函数f(x)?cosx?ax，当x?0时,使存在n个f(x)1?恒成立的a的最小值为t，正数pi(i?1,2,?,n)，且p1?p2???pn?1，任取n个自变量的值
21x1,x2,?,xn,记J??p1f(x1).
i?1n （1）求t的值；
x???pnxn? （2）如果a?t，且存在n个自变量的值x1,x2,?,xn，使p1x1?p22?3，求证：
1?2J??.
218解：（1）令h(x)?cosx?ax?1，则h?(x)??sinx?2ax，
2[h?(x)]???cosx?2a， ????????????2分
当2a?0时，此时在x?[0, 则h?(x)在[0,
?2)条件下，[h?(x)]??0，
?2
)上为减函数，所以h?(x)?h?(0)?0， )上为减函数，
所以h(x)在[0,所以当x?(0,?2
?2)时，h(x)?0，即f(x)?1； ??????????4分
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当0?2a?1，即0?a?1?时，存在x0?(0,)，使得cosx0?2a， 22当0?x?x0时，[h?(x)]??0，h?(x)为减函数，则h?(x)?h?(0)?0， 即h(x)在(0,x0)上递减，则x?(0,x0)时，h(x)?h(0)?0，
所以h(x)?0，即f(x)?1； ??????????6分 当2a?1，即a?
1
时，x?0,h?(x)??sinx?x?0， 2
则h(x)在(0,??)上为增函数，即当x?0时，h(x)?h(0)?0，即f(x)?1；??7分 当2a?1，即a?
1
时，当x?0时，[h?(x)]???cosx?2a?0， 2
则h(x)在(0,??)上为增函数，当x?0时，h(x)?h(0)?0，即f(x)?1． 综上，a?
11，则a的最小值t?． ??????????8分 22（2）先用数学归纳法证明J?f(p1x1?p2x2???pnxn)
（ⅰ）当n?1时，J?f(x1)，结论成立； ??????9分
（ⅱ）假设当n?k结论成立，即存在k个正数pi(i?1,2,3,?,k)，
p1?p2???pk?1时，对于k个自变量的值x1,x2,x3,?,xk,
有J?f(p1x1?p2x2???pkxk)．
当n?k?1时，存在k?1个正数pi(i?1,2,3,?n?1)，使p1?p2???pk?1?1， 令p1?p2???pk?m，则
1(p1?p2???pk)?1， m对于k?1个自变量的值x1,x2,x3,?,xk?1,
此时J?p1f(x1)?p2f(x2)???pkf(xk)?pk?1f(xk?1)
?m[pp1pf(x1)?2f(x2)???kf(xk)]?pk?1f(xk?1) mmmpp1px1?2x2???kxk)?pk?1f(xk?1)． ??????????11分 mmm深圳中学2011届高三考前演练测试理科数学（第 7 页 共 8 页）
?mf(因为m?pk?1?1, 所以
pp1px1?2x2???kxk)?pk?1f(xk?1) mmm?f(p1x1?p2x2???pk?1xk?1).J?mf(所以n?k?1时结论也成立， ??????????12分 综上可得J?f(p1x1?p2x2???pnxn)．
当x?0时，f?(x)??sinx?x?0， 所以f(x)在(0,??)上单调递增，
1?21?2所以J?f()?cos?()??． ??????????14分
3323218??
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