数 学
F单元 平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算 4．A2，F1[2016·北京卷] 设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．D [解析] 若|a|＝|b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为菱形，a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故选D.
13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的
→→→→→→
两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．
图1-3 7→→→→→→13. [解析] 设BD＝a，DF＝b，则由题意得BA＝a＋3b，CA＝－a＋3b，BF＝a＋b，CF8
→→
＝－a＋b，BE＝a＋2b，CE＝－a＋2b，
→→→→
所以BA·CA＝9b2－a2＝4，BF·CF＝b2－a2＝－1，
513
解得b2＝，a2＝，
88
7→→
于是BE·CE＝4b2－a2＝.
8
14．F1，K2[2016·上海卷] 如图1-2所示，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形→→→
A1A2?A8的中心，A1(1，0)．任取不同的两点Ai，Aj，点P满足OP＋OAi＋OAj＝0，则点P落在第一象限的概率是________．
图1-2
5
14. [解析] 共有C2其中使点P落在第一象限的基本事件共有C28＝28(个)基本事件，3
285
＋2＝5(个)，故所求概率为. 28
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 F3 平面向量的数量积及应用 13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的
→→→→→→
两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．
图1-3 7→→→→→→13. [解析] 设BD＝a，DF＝b，则由题意得BA＝a＋3b，CA＝－a＋3b，BF＝a＋b，CF8
→→
＝－a＋b，BE＝a＋2b，CE＝－a＋2b，
→→→→
所以BA·CA＝9b2－a2＝4，BF·CF＝b2－a2＝－1，
513
解得b2＝，a2＝，
88
7→→
于是BE·CE＝4b2－a2＝.
8
13．F3[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
13．－2 [解析] 由已知条件，得a·b＝0，即m＋2＝0，即m＝－2.
1331→→
3．F3[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量BA＝（，），BC＝（，），则∠ABC＝( )
2222
A．30° B．45° C．60° D．120°
→→
BA·BC11333
3．A [解析] cos∠ABC＝＝×＋×＝，又∠ABC∈[0°，180°]，
22→→222
|BA||BC|
∴∠ABC＝30°.
3．F3[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( ) A．－8 B．－6 C．6 D．8
3．D [解析] a＋b＝(4，m－2)，∵(a＋b)⊥b，∴(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8.
1
8．F3[2016·山东卷] 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm
3＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
99C. D．－ 44
18．B [解析] 由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3，|n|＝4.又∵n⊥(tm＋n)，cos〈m，n〉＝，
31
∴n·(tm＋n)＝0，即t×4×3×＋16＝0，解得t＝－4.
3
15．F3[2016·浙江卷] 已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．
1
15. [解析] 由|(a＋b)·e|≤|a·e|＋|b·e|≤6，得|a＋b|≤6，即|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，所以211a·b≤，故a·b的最大值为. 2212．C4，F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线→→
y＝1－x2上一个动点，则BP·BA的取值范围是________．
12．[0，1＋2] [解析] 由题意得y＝1－x2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，→→→→
设P(cos α，sin α)，α∈[0，π]，则BA＝(1，1)，BP＝(cos α，sin α＋1)，所以BP·BAπ→→
＝cos α＋sin α＋1＝2sin(α＋)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤BP·BA≤1＋2.
4
y2
21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线x－2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直
b
2
线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
π
(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
2→→→
(2)设b＝3，若l的斜率存在，且(F1A＋F1B)·AB＝0，求l的斜率． 21．解：(1)设A(xA，yA)，
2F2(c，0)，c＝1＋b2，由题意，yA＝b2(c2－1)＝b4， 因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝3|yA|， 即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.
故双曲线的渐近线方程为y＝±2x. (2)由已知，F1(－2，0)，F2(2，0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.
y22??x－3＝1，
由?得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
??y＝k（x－2），
因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0. 设AB的中点为M(xM，yM)．
→→→→→由(F1A＋F1B)·AB＝0，即F1M·AB＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·k＝－1. x1＋x22k26k3k又xM＝＝2，yM＝k(xM－2)＝2，所以kF1M＝2，
2k－3k－32k－33k315所以2·k＝－1，得k2＝，故l的斜率为±. 552k－3 F4 单元综合
→→→→→
10．F4[2016·四川卷] 在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝→→→→→→→→
DB·DC＝DC·DA＝－2，动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是( )
4349A. B. 44
37＋6337＋233C. D.
44
→→→
10．B [解析] 方法一：由题意，因为|DA|＝|DB|＝|DC|，所以D到A，B，C三点的距离相等，D是△ABC的外心．
→→→→→→
DA·DB＝DB·DC＝DC·DA＝－2?
→→→→→→→→→
DA·DB－DB·DC＝DB·(DA－DC)＝DB·CA＝0，所以DB⊥AC.
同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB， 从而D是△ABC的垂心，
所以△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心， 1→→→→→→→
－?＝－2?|DA|＝2， 所以DA·DB＝|DA||DB|cos∠ADB＝|DA||DB|×??2?所以正三角形ABC的边长为23.
以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，－3)，C(3，3)，D(2，0)． →
由|AP|＝1，设P点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)．
→→
由PM＝MC，可知M是PC的中点， 所以M的坐标为?
3＋sin θ??3＋cos θ
?， ，22??
?θ－π?37＋12sin22
6?37＋1249?→2?cos θ－3??33＋sin θ?则|BM|＝＋?＝≤＝， ?4442???2?249→
当θ＝π时，|BM|2取得最大值.
34
→→→→→→→→→方法二：由|DA|＝|DB|＝|DC|可知D为△ABC的外心，再根据DA·DB＝DB·DC＝DC·DA＝－2，得∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝120°，
于是△ABC为正三角形，且边长为23. →
设AC的中点为T，则|BT|＝3，
→1→→1→→→1→→→1→
由条件知BM＝(BP＋BC)＝(BA＋AP＋BC)＝(2BT＋AP)＝BT＋AP，
2222
1→1→→→1→→→→→→→→→
所以|BM|2＝BT＋AP2＝|BT|2＋|AP|2＋BT·AP＝|BT|2＋|AP|2＋|BT||AP|cos〈BT，AP〉
244
149≤9＋＋3×1×1＝，
44
→→→→
当且仅当〈BT，AP〉＝0°，即BT与AP同向时等号成立．
7．F4[2016·天津卷] 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC→→
的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
51A．－ B. 88111C. D. 48
→→→→→→1→3→1→3→7．B [解析] BC＝AC－AB，AF＝AD＋DF＝AB＋DE＝AB＋AC，
2224
1113311313→→→→1→3→
∴BC·AF＝(AC－AB)·（AB＋AC）＝×1×1×－＋－×1×1×＝＋－－＝
2422244244281
. 8
→→
6．[2016·南阳期末] 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点， AN＝λAB＋→
μAC，则 λ＋μ的值为( )
11A. B. 231
C. D．1 4
→→→→
6．A [解析] AM＝2AN＝2λAB＋2μAC，由于B，C，M三点共线，故2λ＋2μ＝1，所
1
以λ＋μ＝. 24．[2016·济宁期末] 在△ABC中，G是△ABC的重心，边AB，AC的长分别为2，1，
→→
∠BAC＝60°，则AG·BG＝( )
8A．－
910B．－
95－3C.
9
5－3D．－
9
4．A [解析] 由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，得BC＝3，∠ACB＝90°.以C为
→→
坐标原点，CB，CA的方向分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，则A(0，1)，B(3，
3132231?→→→→
0)，所以重心G?，?，所以AG＝?，－?，BG＝?－，，所以AG·BG＝
3??33??3?33?
?3，－2?·?－23，1?＝－8. 93??33??3
7．[2016·福州质检] 在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆
→→
的圆心，则OA·BC的取值范围是( )
A. (－2，22] B. (－22，2]
C．[－22，22] D. (－2，2)
7．A [解析] 由题意得AB＝22sin C，AC＝22sin B，取BC的中点D，连接OD，
1→→→→1→→→→→→→→
AD，则OD⊥BC，所以OA·BC＝(OD－AD)·BC＝－AD·BC＝－(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AB
22
→2
－AC2)＝4sin2C－4sin2B＝2cos 2B－2cos 2C＝2cos 2B－2cos(270°－2B)＝2cos 2B＋2sin 2B＝22sin(2B＋45°)．
2→→
又45°<2B＋45°<225°，所以－ C．[－22，22] D. (－2，2) 7．A [解析] 由题意得AB＝22sin C，AC＝22sin B，取BC的中点D，连接OD， 1→→→→1→→→→→→→→ AD，则OD⊥BC，所以OA·BC＝(OD－AD)·BC＝－AD·BC＝－(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AB 22 →2 －AC2)＝4sin2C－4sin2B＝2cos 2B－2cos 2C＝2cos 2B－2cos(270°－2B)＝2cos 2B＋2sin 2B＝22sin(2B＋45°)． 2→→ 又45°<2B＋45°<225°，所以－