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大庆实验中学2012-2013学年下学期开学考试
高三年级数学试题（文）
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
i1．复数z?在复平面上对应的点位于（ ）
1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1??1x???2?2．已知集合A??yy?(),x?0?，集合B??xy?x?，则A?B?（ ）
2??????A．?1,??? B．(1,??) C．(0,??) D．?0,???
3．某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容
量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（ ） A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25 4．某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的实数a的值为（ ） 开始 A．－1 B． 0 C．1 D． 2 S?0,i?1,a?1 x2y25．双曲线2?2?1的离心率为3,则它的渐近线方程是（ ）
abA．y??2x B．y??C．y??2x D．y??S?S?a i?i?1 结束 输出a 是 a?a2?S 2x 21x 2否 i?2013 6．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
7．等比数列?an?满足an?0,n?1,2,?，且a5?a2n?5?22n(n?3)，则当n?1时，（ ） log2a1?log2a3???log2an2?1?22A. n(2n?1) B. (n?1) C. n D. (n?1)
28．已知m,n是不同的直线，?,?是不同的平面，下列命题中真命题的个数为（ ） ①?//?,m??,n??,则m//n； ②???,m??,n//?,则m?n；
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③m?n,m//?，n//?，则???；
④若m与n是异面直线，m??,m//?,n//?，则?//?。 A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知函数f(x)?sin(?x?同，若x?0,?3)(??0)和g(x)?cos(2x??)的图象的对称中心完全相
???，则f(x)的最小值是（ ）
???2?A．?13 B．? C．?1 D．1 22x2y210. 点P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)左支上的一点，其右焦点为F(c,0)，若M为
ab线段FP的中点, 且M到坐标原点的距离为( )
A．?1,8? B．?1,c，则双曲线的离心率e的取值范围是 845?4? C．(,) D．?2,3? ?33?3?11．现有四个函数①y?x?sinx ②y?x?cosx ③y?x?cosx ④y?x?2x的部分图象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是 （ ）
yyyyOxOxOxOx
A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①
12．在直角梯形ABCD中，AB?AD,AD?DC?1,AB?3,动点P在ABCD内运动(含
????????????边界)，设AP??AD??AB，则???的最大值是（ ）
A．
141 B． C．1 D． 433二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
?????A?C3????13．在?ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，sin，BA?BC?6.则22?ABC的面积为
14．已知“命题p:(x?m)?3(x?m)”是“命题q:x?3x?4?0”成立的必要不充分
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条件，则实数m的取值范围为 15．设Sn为等差数列?an?的前n项和，且a1??2010,S2010S2008??2，则a2? 20102008x?1??5?1,x?016．设定义域为R的函数f(x)??,
2??x?4x?4,x?0若关于x的方程f2(x)?(2m?1)f(x)?m2?0有7个不同的实数根，则实数
m?__________
三. 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本题满分12分）
已知函数f(x)?(sinx?cosx)2?2cos2x?2 . （1）求函数f(x)的最小正周期;
（2）当x???3??,?时,求函数f(x)的最大值. ??44?
18．(本题满分12分）
某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
频率茎叶56789586823356891223456789组距0.040.0280.0160.0085060708090100分数
（1）求全班人数,并计算频率分布直方图中?80,90?间的矩形的高；
（2）若要从分数在?80,100?之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在?90,100?之间的概率．
19．(本题满分12分）
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如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB//DC，
P等边三角形，
其中BD?2AD?4,AB?2DC?25． （1）求证：BD?PA；
（2）求三棱锥A?PCD的体积．
20. (本题满分12分）
DA?PAD是
CB已知定点C(?1,0)及椭圆x2?3y2?5，过点C的动直线与该椭圆相交于A,B两点
1，求直线AB的方程； 2????????A?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，（2）在x轴上是否存在点M，使M（1）若线段AB中点的横坐标是?请说明理由.
21．(本题满分12分）
设函数f(x)?ax2?xlnx?(2a?1)x?a?1 （a?R）. (1) 当a=0时，求函数f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程； (2) 对任意的x??1,???，f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围.
（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）
P CD
22．选修4—1：几何证明选讲
H如图，圆O的直径AB?10，弦DE?AB于点H，HB?2． AO七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 BE七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供Word版教学资源
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若
PC?25，求PD的长．
23．选修4—4：极坐标系与参数方程
已知曲线C1的极坐标方程为??6cos?，曲线C2的极坐标方程为???4(??R)，曲线C1、
C2相交于点A,B．
（1）将曲线C1、C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求弦AB的长．
24．选修4—5：不等式选讲 已知不等式x2?px?1?2x?p．
（1）如果不等式当p?2时恒成立，求实数x的范围； （2）如果不等式当2?x?4时恒成立，求实数p的范围．
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答案
1-5 ABAAA 6-10 DCABB 11-12 AB
13. 33 14. ???,?7???1,??? 15. -2008 16. 2 17.解：(1)f?x??sin2x?cos2x????2sin?2x?? ?f?x?的最小正周期为?
4??(2) ?x???7???3??3???2?,?,??2x??, ??1?sin?2x???
4444?2?44????3????2?f?x??1 ?当x??,?时,函数f?x?的最大值为1
?44?18．解（1）由茎叶图知，分数在?50,60?之间的频数为2，频率为0.008?10?0.08， 全班人数为
2?25． 所以分数在?80,90?之间的频数为25?2?7?10?2?4 0.084?10?0.016． 25频率分布直方图中?80,90?间的矩形的高为
（2）将?80,90?之间的4个分数编号为1,2,3,4，?90,100?之间的2个分数编号为5,6，在?80,100?之间的试卷中任取两份的基本事件为：
?1,2?，?1,3?，?1,4?，?1,5?，?1,6?，?2,3?，?2,4?，?2,5?，?2,6?，?3,4?，?3,5?，?3,6?
?4,5?，?4,6?，?5,6?共15个，
其中，至少有一个在?90,100?之间的基本事件有9个， 故至少有一份分数在?90,100?之间的频率是
9?0.6． 1519 (1)证明：因为BD?4?2AD,AB?25,BD2?AD2?AB2，所以BD?AD 又因为平面PAD?平面ABCD，交线为AD，又有BD?平面ABCD,所以BD?平面
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PAD
又因为PA?平面PAD，所以BD?PA (2) VA?PCD?123. S?ACD?h?3320 （1）直线斜率不存在时显然不成立 设直线AB:y?k(x?1)，
将AB:y?k(x?1)代入椭圆的方程x2?3y2?5， 消去y整理得(3k2?1)x2?6k2x?3k2?5?0， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)
???36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?0 则??6k2?x1?x2??23k?1?因为线段AB的中点的横坐标为?1，解得k??3
23所以直线AB的方程为x?3y?1?0
（2）假设在x轴上存在点M(m,0)，使得MA?MB为常数， (1)当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1?x2k??36，x1?x2?k2?12????????3k2?53k2?1
????????2222所以MA?MB?(x1?m)(x2?m)?y1y2=(k?1)x1x2?(k?m)(x1?x2)?k?m
16m?14
，?m2?2m??233(3k?1)因为MA?MB是与k无关的常数，从而有6m?14?0,m??7，
????????????????此时MA?MB?4,，
9(2)当直线AB与x轴垂直时,此时结论成立，
3????????综上可知，在x轴上存在定点M(?7,0)，使MA?MB?4,为实数。
3921
(1)当a?0时，f(x)??xlnx?x?1，f'(x)??lnx，则k?f'(e)??1,f(e)??1 所以函数f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为y?1??(x?e)，即x?y?1?e?0。
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(2) f'(x)?2ax?1?lnx?(2a?1)?2a(x?1)?lnx,易知，lnx?x?1， 则f'(x)?2a(x?1)?(x?1)?(2a?1)(x?1). 当2a?1?0时，即a?1时，由x??1,???得f'(x)?0恒成立， 21f(x)在?1,???上单调递增，f(x)?f(1)?0符合题意，所以a?；
2当a?0时，由x??1,???得，f'(x)?0恒成立，f(x)在?1,???上单调递减，
f(x)?f(1)?0，显然不合题意，a?0舍去；
1111时，由lnx?x?1得ln??1，即lnx?1? 2xxx1x?1)(2ax?1)， 则f'(x)?2a(x?1)?(1?)?(xx当0?a?因为0?a?11?1??1，所以x??1,?时，f'(x)?0恒成立， ，所以
22a?2a?1?1?f(x)在?1,?上单调递减，f(x)?f(1)?0，显然不合题意，0?a?舍去。
2?2a?综上可得，a的取值范围是
?1?,??? ??2?22.（Ⅰ）DE?8 ??5分 （Ⅱ）PD?2 ??10分
23.（Ⅰ）x2?y2?6x?0 x?y?0 ?5分 （Ⅱ）AB?32 ?10分 24.（Ⅰ）x|x<-1或x>3? ??5分 （Ⅱ）p|p>-1? ?10分
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