立体几何中的重要结论
一、线在面内的判定
1.一条直线上的两个点在一个平面内,这条直线在这个平面内.(公理1)
2.一条直线和一个平面平行,过平面内一点与该直线平行的直线落在此平面内. 3.一条直线和平面垂直,过垂足与该直线垂直的直线落在此平面内.
4.平面与平面垂直,过其中一个平面内的一点与另一个平面垂直的直线必落在第一个平面内. 5.过一点与已知直线垂直的所有直线必在过此点与已知直线垂直的平面内.
6.过平面外一点与已知平面平行的所有直线必在过此点与已知平面平行的平面内.
7.如果两个平面平行,过其中一个平面内的一点作与另一个平面平行的直线在第一个平面内. 8.直线及直线外一点确定一个平面,则该点与直线上所有各点的连线在此平面内.
9.两条相交直线确定一个平面,过其中一条直线上的一点(非交点)平行于另一直线的直线必在此平面内.
三、与异面直线有关的一组命题
1.过两条异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条直线平行. 2. 过两异面直线外一点与两异面直线都平行的平面至多有一个. 3. 过两异面直线外一点与两异面直线都相交的直线至多有一条. 4.与两异面直线都平行的平面平行.
5.第一个平面内的一条直线平行于第二个平面, 第二个平面内的一条直线平行于第一个平面,如果这两条直线异面,则这两个平面平行.
6.与两异面直线都平行且距离相等的平面有且仅有一个.(即异面直线公垂线段的中垂面) 7.与两异直线都垂直的直线与公垂线平行.
8.两直线异面垂直,过其中一条与另一条直线垂直的平面有且仅有一个.
9.直线和平面平行,则它们的距离等于该直线与平面内与之异面的直线间的距离.
10.两个平面平行,则它们的距离等于分别位于这两个平行平面内的两异面直线间的距离.
二、忽视“线在面内”导致下列结论不成立
1.过两异面直线外一点与两异面直线都平行的平面有且仅有一个. 错:该平面有可能经过其中的一条直线,而使这样的平面不存在.
2.如果一条直线和一个平面都垂直于同一个平面,则这条直线和已知平面平行. 错:这条直线可能落在已知平面内.
3.两条平行线中的一条平行于一个平面,则另一条也平行于这个平面. 错:这条直线有可能落在这个面内.
4.一条直线和平面的一条斜线垂直,则这条直线和斜线在平面内的射影垂直. 错:如果已知直线不在平面内时不成立.
5. 一条直线和斜线在平面内的射影垂直,则这条直线和斜线垂直. 错:如果已知直线不在平面内时不成立.
6.一条直线和平面内的一条直线平行,这条直线和这个平面平行. 错:这条直线有可能落在这个面内.
7.一条直线和两个平行平面中的一个平行,则必与另一个平行. 错:这条直线有可能在另一个平面内.
8.如果一条直线和另一条直线平行,则它和经过另一条直线的任何平面平行. 错: 这条直线有可能落在这个面内.
9.如果一条直线和一个平面同时垂直另一个平面,那么这条直线与已知平面平行. 错: 这条直线有可能落在已知平面内.
10.如果一条直线和一个平面同时垂直另一条直线,那么这条直线与已知平面平行. 错: 这条直线有可能落在已知平面内.
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四、正方体中的十个基本模型
1.存在两两异面的三条直线.(如图中D'D、B'C'、AB)
2.过空间一点作与两异面直线都平行的平面不一定能作.(如图1过点O作与B'C'、AB都平行的平面不存在)
3. 过空间一点作与两异面直线都相交的直线不一定能作.(如图1过点O作与B'C'、AB都相交的直线不存在).
D'A'B'DOA图1BC'A'D'B'DABC'A'D'MB'DA图3NBC'CCC图24. 存在四个面均为直角三角形的四面体.(如图1中四面体D'ABD)
5.一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直,这两个二面角无任何关系.(如图3中二面角A'?AD?C与二面角D'?C'C?M)
6.与两异面直线都垂直的直线必与公垂线平行.(如图1中DD'与AB、B'C'都垂直,它与公垂线BB'平行)
7.一条直线与两个相交平面都平行,则该直线必与交线平行.(如图1中直线BB'与平面A'D和
平面C'D都平行,则BB'与DD'平行).
8.两个相交平面都与第三个平面垂直,则交线必与第三个平面垂直.( 如图1中平面A'D和平面C'D都垂直于平面AC,则DD'与平面AC垂直).
9. 三个内角为直角的四边形不一定为矩形.(如图2空间四边形ABB'D')
10.过两条互相垂直的异面直线中的一条,有且只有一个平面与另一条直线垂直.(如图2中AB、B'C'异面垂直,则过AB只能作平面ABB'A'与直线B'C'垂直)
八、平面与平面垂直的判定
1. 两个平面所成的二面角为直二面角,则这两个平面互相垂直. 2.一个平面经过了另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 3.a??,b??,且a?b,则???.
4.一个平面与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直.
九、其它结论与方法
1.无论线面关系如何,在一个平面内都有无数条直线与已知直线垂直. 2.共顶点的多个面角的和必小于360度.
正四棱锥的各个侧面必为锐角三角形.正六棱锥的各个侧面不可能为正三角形. 3.无论四棱锥的底面形状如何,分别位于四条侧棱上的四点可以为平行四边形. 4.正n棱锥侧棱与底面所成的角为?,侧面与底面所成的角为?,则
五、直线与平面平行的性质
1.直线和平面平行,则该直线与平面内的所有直线平行或异面.
2.直线和平面平行,过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 3.直线和平面平行,过平面内一点与该直线平行的直线必在此平面内. 4.分别位于两相交平面内的两条直线都与交线平行.
5.一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线与它们的交线平行. 6.直线和平面平行,夹在直线和平面间的平行线段相等.
六、平面与平面平行的判定
1.如果一个平面内的两相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
2.一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,这两个平面平行. 3.平行于同一平面的两个平面平行. 4.垂直于同一直线同两个平面平行.
5.如果两个平面与两条异面直线都平行,那么这两个平面平行.
6. 第一个平面内的一条直线平行于第二个平面, 第二个平面内的一条直线平行于第一个平面,如果这两条直线异面,则这两个平面平行.
7.平面的同侧有不共线的三点到平面的距离相等,则这三点确定的平面与已知平面平行.
tan?R?. tan?r七、平面与平面平行的性质
1.分别位于两个平行平面内的两条直线平行或异面.
2.如果两个平面平行,那么第一个平面内的所有直线平行于第二个平面. 3.如果一个平面与两个平行平面都相交,那么它们的交线平行. 4.夹在两个平行平面间的平行线段相等. 5.一条直线和两个平行平面所成的角相等. 6.一平面与两个平行平面所成的角相等.
7.夹在三个平行平面间的平行线段对应成比例.
8.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交. 9. 平行于同一平面的两个平面平行.
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5.求直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值用展平(两点之间距离最短). 求平面上的动点到两个定点的距离之和的最小值用对称(点关于面的对称). 6.侧面上的点的轨迹与侧面和底面所成的角有关; 底面上的点的轨迹可用空间直角坐标系求轨迹.
十、三棱锥的顶点在底面上的射影
1.三侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心.
2.三侧面与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心.
3.顶点到底面三角形的三边的距离相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心. 4.三侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心. 5.垂心四面体中, 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心. 特例:①直角四面体中,顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心.
②正三棱锥中, 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心.