《传感器与传感器技术》计算题答案
第1章 传感器的一般特性
1—5 某传感器给定精度为2%F2S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差?(以mV计)。当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论?
解：满量程（F?S）为50﹣10=40(mV) 可能出现的最大误差为：
?m＝40?2%=0.8(mV) 当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：
0.8?100%?4@?12 0.8?2??100%?160?8
?1?1—6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个
微分方程描述，试求这两个系统的时间常数?和静态灵敏度K。 （1）
式中, y——输出电压，V；T——输入温度，℃。
（2）
式中，y——输出电压，?V；x——输入压力，Pa。
解：根据题给传感器微分方程，得 （1） τ=30/3=10(s)，
K=1.5?10?5/3=0.5?10?5(V/℃)；
(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，
K=9.6/4.2=2.29(?V/Pa)。
1—7 已知一热电偶的时间常数?=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解：依题意，炉内温度变化规律可表示为
x(t) =520+20sin(?t)℃
由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率 ?=2?f=2?/80=?/40；
温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y(t)为
y(t)=520+Bsin(?t+?)℃
1.4dy?4.2y?9.6xdt 30dy?3y?1.5?10?5Tdt
热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为
A????B?2011?????2?1???1???10??40???2?0.786因此，热电偶输出信号波动幅值为
B=20?A(?)=20?0.786=15.7℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(t)|max=520+B=520+15.7=535.7℃
y(t)|min=520﹣B=520-15.7=504.3℃
输出信号的相位差?为
?(ω)= ?arctan(ω?)= ?arctan(2?/80?10)= ?38.2?
相应的时间滞后为
80?38.2?8.4?s?360?t =
1—8 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方
程来描述，即
d2y3dy1010?3.0?10?2.25?10y?11.0?10x2dtdt
式中，y——输出电荷量，pC；x——输入加速度，m/s2。试求其固有
振荡频率?n和阻尼比?。
解: 由题给微分方程可得
?n??2.25?10?/1?1.5?10?rad/s?
105
1—9 某压力传感器的校准数据如下表所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
校准数据表 输 出 值 (mV) 压 力 第一次循环 第二次循环 第三次循环 (MPa) 正行程 反行程 正行程 反行程 正行程 反行程 0 -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 0.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 0.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 0.08 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 0.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 ??3.0?1032?2.25?10?110?0.01解 校验数据处理（求校验平均值）： 压 力 (MPa) (设为x) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 输 出 值 (mV) 第一次循环 第二次循环 第三次循环 校验平均值 正行反行正行反行正行反行(设为程 程 程 程 程 程 y) -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 -2.70 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0.64 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 4.04 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 7.47 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 10.93 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 14.45 （1）端点连线法 设直线方程为
y=a0+kx，
取端点（x1，y1）=（0，-2.70）和(x6，y6)=（0.10，14.45）。则a0由x=0时的y0值确定，即
a0=y0?kx=y1=-2.70 (mV)
k由直线的斜率确定，即
k?y6?y114.45?(?2.70)??171.5x6?x10.10?0（mV/MPa）
拟合直线方程为
y=?2.70+171.5x
?求非线性误差： 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 直线拟合值 (mV) -2.70 0.73 4.16 7.59 11.02 14.45 非线性误差 (mV) 0 -0.09 -0.12 -0.12 -0.09 0 最大非线性误差 (mV) -0.12 所以，压力传感器的非线性误差为
?L?? ?求重复性误差：
0.12?100%??0.7.45?(?2.70)
输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
正行程 反行程 不重不重1 2 3 复误1 2 3 复误差 差 -2.73 -2.71 -2.68 0.05 -2.71 -2.68 -2.69 0.03 0.56 0.61 0.64 0.08 0.66 0.68 0.69 0.03 3.96 3.99 4.03 0.07 4.06 4.09 4.11 0.05 7.40 7.43 7.45 0.05 7.49 7.53 7.52 0.04 10.88 10.89 10.94 0.06 10.95 10.93 10.99 0.04 14.42 14.47 14.46 0.05 14.42 14.47 14.46 0.05
最大不重复误差为0.08 mV，则重复性误差为
?R??0.08?100%??0.47.45?(?2.70)
?求迟滞误差： 压 力 第一次循环 (MPa正行反行迟) 程 程 滞 -2.7-2.70.00 3 1 2 0.10.02 0.56 0.66 0 0.10.04 3.96 4.06 0 0.00.06 7.40 7.49 9 10.810.90.00.08 8 5 7 14.414.40.10 0 2 2 输 出 值 (mV) 第二次循环 第三次循环 正行反行迟反行迟正行程 程 程 滞 程 滞 -2.7-2.60.0-2.60.0-2.68 1 8 3 9 1 0.00.00.61 0.68 0.64 0.69 7 5 0.10.03.99 4.09 4.03 4.11 0 8 0.10.07.43 7.53 7.45 7.52 0 7 10.810.90.010.90.010.94 9 3 4 9 5 14.414.414.414.40.0 0.0 7 7 6 6
最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为
?H??0.10?100%??0.58.45?(?2.70)
（2）最小二乘法
设直线方程为
y=a0+kx
数据处理如下表所示。 序号 1 0 2 0.02 3 0.04 4.04 4 0.06 7.47 5 0.08 6 0.10 ∑ 0.3 x y x2 xy ?2.70 0.64 0 0 10.93 14.45 34.83 0.0004 0.0016 0.0036 0.0064 0.01 0.022 0.0128 0.1616 0.4482 0.8744 1.445 2.942 根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：
a0??2x???y??x??xyn?x2???x?2?0.022?34.83?0.3?2.9426?0.022?0.320.76626?0.8826??2.77(mV)0.0422k?n?xy??x??yn?x2???x?
?6?2.942?0.3?34.83?171.5(mV/MPa)26?0.022?0.3所以，最小二乘法线性回归方程为
y=?2.77+171.5x
求非线性误差： 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 直线拟合值 (mV) -2.77 0.66 4.09 7.52 10.95 非线性误差 (mV) 0.07 -0.02 -0.05 -0.05 -0.02 最大非线性误差 (mV) -0.07
0.10 14.45 14.38 0.07 所以，压力传感器的非线性误差为
?L??0.07?100%??0.41.38?(?2.77)
可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误
差小，所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差?R和迟滞误差?H是一致的。
1—10 用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？
解: 根据题意
??11?????2?1??5% （取等号计算）
21??????11??1.05261?5%0.95
解出
ωτ =0.3287
所以
??0.3287/??0.3287?0.523?10?3?s?2??100=0.523ms
当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为
??11?????2?1?11?2??50?0.523?10??32??1??1.32%相位差为
?=﹣arctan(??)=﹣arctan(2π35030.523310?3)=﹣9.3° 1—11一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f0=800Hz，阻尼比?=0.14，现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时，其幅值比A(?)和相位角?(?)各为多少；若该传感器的阻尼比?=0.7时，其A(?)和?(?)又将如何变化?
2?ff?400????0.5解: ?n2?f0f0800
所以，当ξ=0.14时
A????1?1?????n?2?4?2???n?2
1?2
?1?0.5?22?1.31?4?0.142?0.52
??????arctan2????n?21????n???arctan 当ξ=0.7时
A????2?0.14?0.5?????0.1845rad??10.61?0.52
1?1?0.5?22?0.975?4?0.72?0.52
??????arctan2?0.7?0.5?????0.75rad??431?0.52
1—12 用一只时间常数?=0.318s的一阶传感器去测量周期
分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少?
解：由一阶传感器的动态误差公式
??11?????2?1??0.318s,?=0.318s
11??2??0.318?2?1?T?1s?f?1Hz???2??rad???1??1??55.2%?2?T?2s??3?T?3s?f?0.5Hz?????rad???2??29.3%f?12Hz?????rad???3??16.83
1—13 已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz，阻尼比?=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。
解：由f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有
??1?1???????4?????n222n?1?3%2
?1???????4?????n222n12?1.032?1.069将?=0.1代入，整理得
???n?4?1.96???n?2?0.0645?0
??????n??1.927????1.388(舍去）???0.0335?0.183????n?
2 ?f?0.183fo?0.183?10?1.83?kHz?
1—14 设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz和1.2kHz，阻尼比均为0.4。今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力，应选用哪一只?并计算将产生多少幅
?2?ff???0.183?n2?fofo度相对误差和相位差。 解：由题意知
??400/800?0.5???n?400/1200?1/3
1?12则其动态误差???0.4?
?1??1??????n22?4????n?2
?1?1?0.5??4?0.422?12?0.52 ?17.6%?2?1
?4?0.42??13??12?1??13??22 =7.76%
相位差
?1??tan?12???/?n??12?0.4?0.5??tan21?0.52 1? ??/?n??????0.49rad??27.9 2?0.4??13??2??tan?12??1?1/3 = ?0.29(rad)= ?16.6°
第2章 电阻应变式传感器
2—5 一应变片的电阻R0=120Ω，K=2.05，用作应变为800μm/m的传感元件。(1)求△R与△R/R；(2)若电源电压Ui=3V，求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压U0。
?R/R 解：由 K=
?，得
?R800?m?K??2.05?6?1.64?10?3R10?m则
ΔR=1.64310?3 3R=1.64310?3 3120Ω=0.197Ω
其输出电压为
U0?Ui?R3???1.64?10?3?1.23?10?3?V?4R4=1.23(mV)
2—6 一试件的轴向应变εx=0.0015，表示多大的微应变
(με)？该试件的轴向相对伸长率为百分之几?
解： εx =0.0015=1500310-6 =1500(?ε) 由于
εx =Δl/l
所以
Δl/l=εx =0.0015=0.15%
2—7 某120Ω电阻应变片的额定功耗为40mW，如接人等臂直流电桥中，试确定所用的激励电压。
解：由电阻应变片R=120?，额定功率P=40mW，则其额定端电压为
U=PR?120?40?10?2.19V
当其接入等臂电桥中时，电桥的激励电压为
Ui =2U=232.19=4.38V≈4V
2—8 如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积S=0.5310-4m2，材料弹性模量E=23101lN/m2。若由53104N的拉力引起应变片电阻变化为1.2Ω，求该应变片的灵敏系数K。 解：应变片电阻的相对变化为 柱形弹性试件的应变为
F5?104?????0.005；ESE0.5?10?4?2?1011
?R1.21???0.01R120100
?3? 应变片的灵敏系数为
K??R/R??2—10 以阻值R=120Ω，灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值
120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。
解：依题意 单臂：
Ui3?3?10?6(V)???2??Uo?k???2.0?????344?3?10(V)???2000??
0.01?20.005
差动：
Ui3?3?10?6(V)???2??Uo?k???2.0?????322?3?10(V)???2000??
灵敏度：
Ku?UoKU/4(单臂）???KUi/2(差动）?i?
可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。 2—11 在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一
片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2，把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2—11)。若钢的泊松比μ=0.285，应变片的灵敏系数K=2，电桥的电源电压Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片R1的电阻变化值△R=0.48Ω，试求电桥的输出电压U0；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量E=231011N/m2，求其所受拉力大小。
习题图2-11 差动电桥电路 解：由?R1/R1=K?1，则
?1? ?2= ???1= ?0.285?0.002= ?0.00057
所以电桥输出电压为
UiK??1??2?42??2?(0.002?0.00057)4?0.00257(V)?2.57mV
?F?1??ES?E，得 时，由 U0??R/R10.48/120??0.002K2
当柱体直径d=10mm
F??1ES?0.002?2?1011??3.14?10(N)4???10?10?3?42
2—12 一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如习题图2—12所示。已知l=10mm，b0=llmm，h=3mm，E=2.13104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压6V，求其电压灵敏度(Ku=Uo/F)。当称重0.5kg时，电桥的输出电压Uo为多大?
(a) (b)
习题图2-12 悬臂粱式力传感器
解：等强度梁受力F时的应变为
??6Flh2b0E
当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压：
Ui6FlUO?K4??KUi24hb0E
UoF?K6l?ih2b?E?2?6?100?632?11?2.1?104则其电压灵敏度为
Ku?
=3.463310 (V/N)=3.463(mV/N) 当称重 F=0.5kg=0.539.8N=4.9N时，输出电压为
U0 =Ku F=3.46334.9=16.97(mV)
2—13 现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为10kHz的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5％，试问应选用哪一种?为什么?
解： ?=v/f=5000/（10?103）=0.5(m) l0=10mm时
-3
?1＝l0=20mm时
?l?500?10?sin0?1?sin??180???1??0.066%?l0???10?500?
?2?500?20?sin??180???1??0.26%??20?500?
由此可见，应选用基长l0=10mm的应变片.
2—14 有四个性能完全相同的应变片(K=2.0)，将其贴在习题图
2—14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。已知膜片的半径R=20mm，厚度h=0.3mm，材料的泊松比μ=0.285，弹性模量E=2.031011N/m2。现将四个应变片组成全桥测量电路，供桥电压Ui=6V。求：
(1)确定应变片在感压膜片上的位置，并画出位置示意图；
(2)画出相应的全桥测量电路图； (3)当被测压力为0.1MPa时，求各应
变片的应变值及测量桥路输出电压U0；
(4)该压力传感器是否具有温度补偿
作用?为什么?
(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系?
习
题图2-14 膜片式压力传感器
解：（1）四个应变片中，R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向；R1、R4粘贴在圆形感压膜片R/3之外沿径向，并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。如下图(a)所示。
（2）测量电桥电路如上图(b)所示。
(a) (b)
题解2-14图
(a)应变片粘贴示意图；(b)测量电桥电路
（3）根据（1）的粘贴方式，知
?2??3??tmax?31??2R2?p(??tmax)28hE
2?3211??31?0.2852?20?10?3?3 ?0.7656?10
?3
ε1 =ε4 = ?εtmax = ?0.7656310
则测量桥路的输出电压为
U0?UiK??1??2??3??4?4Ui?K?4?tmax?UiK?tmax4?6?2?0.7656?10?3?9.19?10?3(V)?9.19mV
???8??0.3?10??2?10??105（4）具有温度补偿作用；
（5）输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知
UO?UiK?tmax31??2R2?UiKp?p28hE
??2—17 线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ，电刷最大行程
4mm，若允许最大消耗功率为40mW，传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。试求当输入位移量为1.2mm时，输出电压是多少?
解：最大激励电压
Ui?PR?40?10?3?10?103?20?V?
当线位移x=1.2mm时，其输出电压
Uo?2—18 一测量线位移的电位器式传感器，测量范围为0~10mm，分辨力为0.05mm，灵敏度为2.7V/mm，电位器绕线骨架外径d=5mm，电阻丝材料为铂铱合金，其电阻率为ρ=3.25310-4Ω2mm。当负载电阻RL=10kΩ时，求传感器的最大负载误差。
解：由题知，电位器的导线匝数为
N=10/0.05=200
则导线长度为
l=N?d=200?d， (d为骨架外径)
电阻丝直径与其分辨力相当，即d丝=0.05mm
ll???2Sd丝4故电阻丝的电阻值 200??5?3.25?10?4??520????2?0.054
R520m???0.0523RL10?10
R??Ui20?x??1.2?6(V)l4
δLm ≈15m%=1530.052%=0.78%
第3章 电感式传感器
3—15 某差动螺管式电感传感器(参见习题图3-15)的结构参数为单个线圈匝数W=800匝，l=10mm，lc=6mm，r=5mm，rc=1mm，设实际应用中铁芯的相对磁导率μr=3000，试求：
(1)在平衡状态下单个线圈的电感量L0=?及其电感灵敏度足KL=?
(2)若将其接人变压器电桥，电源频率为1000Hz，电压E=1.8V，设电感线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度K。 (3)若要控制理论线性度在1％以内，最大量程为多少?
解：（1）根椐螺管式电感传感器电感量计算公式，得
L0??0?W2l2?lr2??rlcrc2? 习题图3-15 差动螺管式电感
传感器
?
4??10?7???8002?10?10??32?10?52?10?9?3000?6?12?10?9?0.46(H)?差动工作灵敏度：
KL?2?
?0?W22?2l 4??10?7???8002rc?r2?10?10??32?1?10?6?3000 ?151.6?/m?151.6m?/mm (2) 当f=1000Hz时，单线圈的感抗为
XL =ωL0 =2πf L0 =2π3100030.46=2890(Ω) 显然XL >线圈电阻R0，则输出电压为
UO?E?L2L0
测量电路的电压灵敏度为
Ku?U0E1.8V???1.96V/??1.96mV/m??L2L02?0.46?
而线圈差动时的电感灵敏度为KL =151.6mH/mm，则该螺管式电感
传感器及其测量电路的总灵敏度为
=297.1mV/mm
3—16 有一只差动电感位移传感器，已知电源电Usr=4V，f=400Hz，传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω，L= 30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如习题图3—16所示，试求： (1)匹配电阻R3和R4的值；
(2)当△Z=10时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值；
??K?KL?Ku?151.6m?/mm?1.96mV/m?
(3)用相量图表明输出电压Usc与输入电压Usr之间的相位差。 习题图3-16 解：（1） 线圈感抗
XL=?L=2?fL=2??400?30?10?3=75.4（?） 线圈的阻抗
2Z?R2?XL?402?75.42?85.4???
故其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)
R3 = R4 =Z=85.4（?）
（2）当ΔZ=10?时，电桥的输出电压分别为
单臂工作：
Usc?Usr?Z410???0.117?V?4Z485.4
双臂差动工作：
Usr?Z410???0.234?V?2Z285.4
R40??tan?1?tan?1?27.9??L75.4 （3）
Usc?3—17 如习题图3—17所示气隙型电感传感器，衔铁截面积
S=434mm2，气隙总长度δ=0.8mm，衔铁最大位移△δ=±0.08mm，激励线圈匝数W=2500匝，导线直径d=0.06mm，电阻率ρ=1.75310-6?.cm，当激励电源频率f=4000Hz时，忽略漏磁及铁损，求：
(1)线圈电感值；
(2)电感的最大变化量； (3)线圈的直流电阻值； (4)线圈的品质因数；
(5)当线圈存在200pF分布电容与之并联后其等效电感值。
习题图3-17 气隙型电感式传感器（变隙式）
解：（1）线圈电感值
?0W2S4??10?7?25002?4?4?10?6L???1.57?10?1??157m??0.8?10?3
（2）衔铁位移Δδ=+0.08mm时，其电感值
2?0W2S4??10?7?2500?4?4?10?6L????????2?0.8?2?0.08??10?3 =1.31310(H)=131mH
衔铁位移Δδ=﹣0.08mm时，其电感值
?0W2S4??10?7?25002?4?4?10?6L????????2?0.8?2?0.08??10?3
-1
=1.96310-1(H)=196(mH) 故位移??=±0.08mm时，电感的最大变化量为
ΔL=L?﹣L?=196﹣131=65(mH)
(3)线圈的直流电阻
0.06??lCp?4??4??mm2??设为每匝线圈的平均长度，则
W?lCplR????2s?d4
0.06???12500?4??4???102???1.75?10?6??249.6???4?0.06?10?1??2 (4)线圈的品质因数
?L
2?fL2??4000?1.57?10?1Q????15.8RR249.6???
(5)当存在分布电容200PF时，其等效电感值
Lp??L1??2LC?L1??2?f?LC21.57?10?11??2??4000??1.57?10?1?200?10?122
3—18 如图3—4（b）所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如下：l=160mm，r=4mm，rc=2.5mm，lc=96mm，导线直径d=0.25mm，电阻率ρ=1.75310-6Ω2cm，线圈匝数W1=W2=3000匝，铁芯相对磁导率μr=30，激励电源频率f=3000Hz。要求：
(1)估算单个线圈的电感值L=?直流电阻R=?品质因数Q=? (2)当铁芯移动±5mm时，线圈的电感的变化量△L=?
(3)当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值E=6V，
要求设计电路具有最大输出电压值，画出相应桥路原理图，并求输出电压值。 解：（1）单位线圈电感值
?0?W2?l2lc2??L?r??rc?r?2?2??l/2??24??10?7???30002?16096???10?3?42?10?6?30??10?3?2.52?10?6??22?2??160?3??10??2???5.70?10?2????57.0?m???1.60?10?1????160m?
W?lCpl??S?d2/4 （lcp=2?r，每匝导线长度）
?6R??电阻值
3000?2??4?10?1?1.75?10?26.9(?)2?2??0.25?10/4
则品质因数
(2)铁芯位移Δlc=±5mm时，单个线圈电感的变化
?L??2?fL2??3000?5.70?10?2Q????39.9RR26.9???
?L???W24??10???30002?l/2??72?rrc2?lc?32 ??5.2?10?????5.2m?
(3)要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值a=1；且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧，则? =±(π/2)，这时电桥的灵敏度|K|=0.5，差动工作时为其2倍，故其输出电压
?3?1602?10??30?2.5?10?3??5?10?3???2?Uo?2?K?L5.2E?2?0.5??6L57
=0.544(V)=544mV
其电桥电路如下图所示，其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。
题3-18题解图 第4章 电容式传感器
4—2 试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。
(a) (b) (c)
习题图4-2
解：由习题图4-2可见
（1）图(a)等效为三个平板电容器串联 总电容量为
C1?
?1Sd1，
C2??2Sd2，
C3??3Sd3
故
C串?ddd1111????1?2?3C串C1C2C3?1S?2S?3Sd???d2?1?3?d3?1?2?123?1?2?3S
?1?2?3SS?d1?2?3?d2?1?3?d3?1?2d1/?1?d2/?2?d3/?3
（2）图(ba)等效为两个平板电容器并联
C1?C2?C??Sd；C并?C1?C2?2C?2?Sd
（3）图(c)等效为两柱形电容器并联，总电容量为
C?2??0(L?H)2??0L2?(???0)2??H???Hln?d2/d1?ln(d2/d1)ln(d2/d1)ln(d2/d1)
4—3 在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥
测量电路，如习题4—3图所示。已知：δ0=0.25mm；D=38.2mm；R=5.1kΩ；Usr=60V(交流)，频率f=400Hz。试求： (1)该电容传感器的电压灵敏度Ku (V/μm)；
(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10μm时，输出电压Usc值。
习题图4—3 解：由传感器结构及其测量电路可知
（1）初始电容
C1?C2?C0??0?4D2?08.85?10?12???38.2?10?3?4?0.25?10?3?40.6?10?12?F??40.6pF?
?2由于 则
Xc?111???C02?fC02??400?40.6?10?12
6?????R(?5.1k?) ?9.8?10
U0?Ui?CUi?d?2C02?0
从而得
Ku?U0Ui60???120V/mm?0.12V/μm?d2?02?0.25
(2) U0 = Ku Δd=0.12V/?m310?m=1.2V
4—4 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。试求： (1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10μm，电容变化量为多少?
(2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF，则在△d=±1μm时的输出电压为多少? 解：由题意可求
（1）初始电容：
8.85?10?12???4?10?3C0???d0d00.3?10?3?1.48?10?12?F??1.48pF?0S?0?r2??2
?C?d?C由 0d0，则当Δd=±10um时
?d?10?10?3?C?C0?1.48???0.049pFd00.3
如果考虑d1=0.3mm+10μm与d2=0.3mm﹣10μm之间的电容变化量
ΔC′，则应为
ΔC′=2|ΔC|=230.049=0.098pF
(2) 当Δd=±1μm时
?C??d?1?mC0??1.48pF??0.0049pF3d00.3?10?m
由 Ku=100mV/pF=U0/ΔC，则
U0=KuΔC=100mV/pF3(±0.0049pF)=±0.49mV
4—5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即ε=ε0=8.85310-12F/m。测量电路参数：usr=u=Usr= 3sinωt (V)。试求当动极板上输入位移(向上位移) △x=0.05mm时，电桥输出端电压Usc?
? 习题图4-5
解：由习题图4-5可求
初始电容
C1=C2=C0=?S/d=?0?r2/d0
8.85?10?12???12?10?3?0.6?10?3
??2?6.67?10?12F?6.67pF
变压器输出电压
其中Z1 ,Z2 分别为差动电容传感器C1 ,C2 的阻抗.在ΔX< ?C??x?0.05Usc?U?Usr??3sin?t?0.25sin?tC0d00.6(V) ?Usc????Z2Z?Z1?C1?C2??2U?U?2U?UZ1?Z2Z1?Z2C1?C24—6 如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用 二极管双厂网络测量电路。差动电容器参数为：a=40mm，b=20mm，dl=d2=d0=1mm；起始时动极板处于中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=8.85310-12F/m。测量电路参数：D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc? 习题图4-6 解：由习题图4-6可求 传感器初始电容 a40?10?3?12???b8.85?10??20?10?30?S22C0?0??d0d01?10?3 =3.54310?12（F）=3.54pF 当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为 ?C??x101C0?C0??3.54?1.77?pF?a/240/22 （或 8.85?10?12?20?10?3?10?10?3?12?c??x??1.77?10(F)?1.77pF?3d1?10 ） ?0b则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0??C，由双T二极管网络知其输出电压 USC = 2 k Ui fΔC 则 R373 =R273 e2900(1/373?1/273) =28.98(k?) 7—20 将一灵敏度为0.08mV/℃的热电偶与电位计相连接测量其热电势，电位计接线端是30℃，若电位计上读数是60mV，热电偶的热端温度是多少? 解： 7—16 参考电极定律有何实际意义?已知在某特定条件下材料A与铂配对的热电势为13.967mV，材料B与铂配对的热电势是8.345mV，求出在此特定条件下，材料A与材料B配对后的热电势。 解：由标准电极定律 E (T,T0 )=EA铂(T,T0 )?EB铂 (T,T0 ) =13.967?8.345=5.622(mV) 7-19 镍铬-镍硅热电偶灵敏度为0.04mV/℃，把它放在温度为1200℃处，若以指示仪表作为冷端，此处温度为50℃，试求热电势大小。 解： E(1200,50)= (1200?50)30.04=46(mV) 7—24 用K型热电偶测某设备的温度，测得的热电势为20mV，冷端（室温）为25C，求设备的温度？如果改用E型热电偶来测温，在相同的条件下，E热电偶测得的热电势为多少？ 解 用K型热电偶测温时，设设备的温度为t，则E(t，25)=20mV，查K型热电偶分度表，E(25，0)=1.000mV。根据中间温度定律， E(t，0)= E(t，25)+ E(25，0)=20+1.0=21.000 mV 反查K型热电偶分度表，得t=508.4℃ 若改用E型热电偶来测次设备温度，同样，根据中间温度定律，测得热电势为 EE(508.4，25)= EK(508.4，0)? EK(25，0)=37678.6?1496.5=36182.1?V?36.18mV。 7—25 现用一支镍铬-铜镍热电偶测某换热器内的温度，其冷端温度为30℃，显示仪表的机械零位在0℃时，这时指示值为400℃，则认为换热器内的温度为430℃对不对？为什么？正确值为多少度？ 解 认为换热器内的温度为430℃不对。 设换热器内的温度为t，实测热电势为E(t，30)，根据显示仪表指示值为400℃，则有E(t，30)= E(400，0)，由中间温度定律并查镍铬-铜镍（E型）热电偶分度表，有 E(t，0)= E(t，30)+ E(30，0)= E(400，0)+ E(30，0)=28943+1801=30744?V 反查镍铬-铜镍热电偶分度表，得换热器内的温度t=422.5℃ t?60mV?30?C?780?C0.08mV/?C 7—20 热电偶温度传感器的输入电路如习题7-26图所示，已知铂铑-铂热电偶在温度0~100℃之间变化时，其平均热电势波动为6μV/℃，桥路中供桥电压为4V，三个锰铜电阻(Rl、R2、R3)的阻值均为1Ω，铜电阻的电阻温度系数为α=0.004/℃，已知当温度为0℃时电桥 平衡，为了使热电偶的冷端温度在0~50℃范围其热电势得到完全补偿，试求可调电阻的阻值只R5。 解：热电偶冷端补偿电势 E(t,0)=kt， 习 题图7-26 式中，k为热电偶灵敏度(k=6?V/℃)， 而补偿电桥输出电压（见习题图7-26） U0?冷端补偿时有 kt?Ui?RUR?tUi????t4R4R4 Ui4k4?6?t?Ui???6000?V4?0.004=6mV 根据电桥电路，其等效电路为R1、Rcu和R2、R3分别串联后再并联， 然后与电源、R5串联，桥臂电阻串并联后为1Ω，由此可得 13Ui =1?E/(R+1) 所以 R=E/ Ui?1=4000/6?1=665.7(Ω) 7—28 有一台数字电压表，其分辨力为100?V/1个字，现与Cul00热电阻配套应用，测量范围为0～100℃，试设计一个标度变换电路，使数字表直接显示温度数值。 解 利用Cul00热电阻测温，测温范围为0～100℃时，其电阻变化100~142.8?，即电阻满度变化值?Rt=42.8?。数字电压表分辨力为100?V/1个字，若要使数字表直接显示温度数值，当被测温度为满度值100℃时，要显示“100”这个数字，电压表需要输入电压为100?100=10000?V=10mV。现在的任务就是要将“42.8?”转换为“10mV”，这种转换电路（即标度变换电路）可选电子电桥电路，如题解图7—28所示。 题解7-28 电阻信号的标度变换（R-V变换） 根据不平衡电桥原理（题解图7—28），可得 Uo?当被测温度处于下限（0℃）时，有Rt=Rt0=R0，则 桥路设计时取R>>R0，那么在被测温度处于非下限时有 I1?EE??I2?IR?RtR?R0EERt?RoR?RtR?Ro EE?R?Rt0R?R0于是 Uo=I(Rt?R0)=I(?Rt) 上式说明了可由不平衡电桥的转换关系，通过改变桥路参数来实现标度变换。 根据前面分析，有 I?显然通过适当选取E或R便可得到I=0.234mA。当取R=20k?时，电源电压E为 E?I?(R?R0)?0.234?(20000?100)?4703.4mV?4.7V Uo10??0.234(mA)?R142.80