点这里，看更多数学资料
考研数学怎么复习？在考研复习中，复习资料的选择至关重要。中公考研辅导老师为考生整理了【概率论与数理统计-概率的计算知识点讲解和习题】，同时可以为大家提供名师考研数学视频、考研数学复习资料、考研数学真题和考研数学辅导等，助您冲击名校！
模块二 概率的计算
Ⅰ 教学规划
【教学目标】
1、掌握各种概型下概率的计算 2、掌握概率计算的基本公式
【主要内容】
1、古典概型概率的计算 2、几何概型概率的计算 3、伯努利概型概率的理解和运用 4、概率的常用公式
【重难点】
1、伯努利概型
2、全概率公式与贝叶斯公式
中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
点这里，看更多数学资料
Ⅱ 知识点回顾
一.简单概型
1.古典概型
如果试验E的样本空间?中只有有限个样本点，并且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同，则称这样的试验为古典概型. 对于该试验中的随机事件A，有
P?A?=A中的基本事件个数.
?中基本事件总数2.几何概型
如果试验E的样本空间?为几何空间中的一个有界区域（这个区域可以是一维、二维甚至是n维的），且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同，则称这样的试验为几何概型. 对于该试验的事件A，
P?A?=A的度量（长度、面积或体积）.
?的度量（长度、面积或体积）3.伯努利概型
如果试验只有两种结果（通常我们把其中一种结果定义为“成功”另一种结果定义为“失败”），则称该试验为伯努利试验，将该试验独立重复地进行n次，则称之为n重伯努利试验。
假设伯努利试验每次“成功”的概率为p，（0?p?1），则在n次试验中成功k次的概率为Pk?Cnp?1?p?kkn?k,k?0,1,...,n。
二．公式小结
1．加法公式
P?A?B??P?A??P?B??P?AB?
P?A?B?C??P?A??P?B?+P?C??P?AB??P?AC??P?BC??P?ABC?
2．减法公式
P?A?B??P?AB?=P?A??P?AB?
中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
点这里，看更多数学资料
3．乘法公式
P?A??0,P?B??0时，P?AB??P?A?P?BA??P?B?P?AB?
4．全概率公式
E为随机试验，?是它的样本空间，A1,A2,...,An是样本空间?的一个划分，且
P(Ai)?0,i?1,2,...,n，B是E的任一个随机事件，则有：P(B)??P(B|Ak)P(Ak)。
k?1n5．贝叶斯公式
E为随机试验，?是它的样本空间，A1,A2,...,An是样本空间?的一个划分，且
P(Ai)?0,i?1,2,...,n，B是E的任一个随机事件，P?B??0，则
P(AiB|?)P(BA|iP)Ai(n。
))?P(Bk?1A|kP)Ak(Ⅲ考点精讲
一．古典概型的概率计算
【例1】：袋中有质地相同的a个黑球，b个白球。现依次从袋中取球，每次取一个，取后不放回，试求第k?1?k?a?b?次取得白球的概率. 【答案】：
b a?b【例2】：从0,1,2,?,9十个数字中任意选出三个不同的数字，则三个数字中不含：“0”或“5”的概率为____________.
1C8【答案】：1?3
C10【例3】：袋中有9个球，其中4个白球，5个黑球，现从中任取两个，求： （1）两个均为白球的概率；
（2）两个球中一个是白球，另一个是黑球的概率；
中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
点这里，看更多数学资料
（3）至少有一个黑球的概率.
112C4C5C42C4【答案】：（1）2，（2），（3）1?2
C9C92C9【例4】：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住?n?N?，求下列事件的概率：
（1）指定的n个房间各有一个人住； （2）恰好有n个房间，其中各住一个人.
nCNn!n!【答案】：（1）n，（2） nNN二．几何概型的概率计算
【例5】：从?0,1?中随机地取出两个数x,y，求满足条件xy?【答案】：
1的事件的概率. 411?ln2 42【例6】：在长度为a的线段内任取两点将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.
1【答案】：
4三．伯努利概型
【例7】：设一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，试求： （1）A至少发生一次的概率 （2）A至多发生一次的概率
【答案】：（1）1?(1?p)；（2）(1?p)?np(1?p)nnn?1
【例8】：进行伯努利试验，假设每次成功的概率为p，求第n次成功前恰好失败m次的概率。
n?1nm【答案】： Cm?n?1p(1?p)
【例9】：某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )
（A）3p(1?p) （B）6p(1?p) （C）3p(1?p) (D) 6p(1?p) 【答案】：（C）
222222中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
点这里，看更多数学资料
四．加法与乘法
【例10】：为了防止意外，在矿内同时设有甲、乙两种报警系统，每种系统单独使用时，其有效的概率系统甲为0.92，乙为0.93，在甲系统失灵的条件下，乙系统仍有效的概率为0.85，则
（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个生效的概率为______ （2）在乙失灵的条件下，甲仍有效的概率为_________ 【答案】：（1）0.988；（2）
29 351，2【例11】：设两两独立的三事件A，B，C满足条件：ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?且已知P(A?B?C)?【答案】：
9，则P(A)?__________ 161 411，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，则A，416B，C都不发生的概率为__________
3【答案】：
811【例13】：设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P?AB??,P?C??，则
23【例12】：设P(A)?P(B)?P(C)?P?AB|C??____________.
【答案】：
3 4五．全概率与贝叶斯
【例14】：从数1,2,3中任取一个数，记为X，再从1,?,X中任取一个数，记为Y，则
P?Y?2??______________.
【答案】：
5 18【例15】：已知男子有5%是色盲，女子有0.25%是色盲。现从男女人数相等的人群中随机抽出一人，已知这个人是色盲，问此人为男性的概率为多少？ 【答案】：
20 21【例16】：三个箱子中，第一个箱子中装有4个黑球1个白球，第二个箱子中装有3个黑球3个白球，第三个箱子中装有3个黑球5个白球.现先任取一个箱子，再从该箱中任取一球，问：
中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
点这里，看更多数学资料
（1）取出的球是白球的概率是多少？
（2）若取出的是白球，则该球属于第二个箱子的概率是多少？ 【答案】：（1）
5320，（2） 12053【例17】：有甲乙两个箱子，甲箱中装有3个白球，2个黑球，乙箱中白球和黑球各占一半，现从甲箱中取出两球，从乙箱中取出一球，将这三球混合在一起之后，再从中取出一球，试计算：
（1）取出的是白球的概率；
（2）已知取出的是白球，求该球来自甲箱的概率. 【答案】：（1）17；（2）
3012. 17Ⅳ 测试成绩
在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
点这里，看更多数学资料
（1）取出的球是白球的概率是多少？
（2）若取出的是白球，则该球属于第二个箱子的概率是多少？ 【答案】：（1）
5320，（2） 12053【例17】：有甲乙两个箱子，甲箱中装有3个白球，2个黑球，乙箱中白球和黑球各占一半，现从甲箱中取出两球，从乙箱中取出一球，将这三球混合在一起之后，再从中取出一球，试计算：
（1）取出的是白球的概率；
（2）已知取出的是白球，求该球来自甲箱的概率. 【答案】：（1）17；（2）
3012. 17Ⅳ 测试成绩
在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料