2.2.3 独立重复试验与二项分布
1.理解n次独立重复试验的模型. 2.理解二项分布.(难点)
3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.(重点)
[基础·初探]
教材整理 独立重复试验与二项分布 阅读教材P54～P56，完成下列问题. 1.n次独立重复试验
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
2.二项分布
若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，
kn－k
那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ck(knpq＝0,1,2，…，n)，
于是得到X的分布列
X P 0 0nC0npq 1 1n－1C1 npq… … k kn－kCk npq… … n n0Cnnpq 由于表中的第二行恰好是二项式展开式 0n11n－1kn－kn0
(q＋p)n＝C0＋…＋Ck＋…＋Cnnpq＋Cnpqnpqnpq各对应项的值，称这
样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记做X～B(n，p).
1.独立重复试验满足的条件是________.(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的.
【解析】 由n次独立重复试验的定义知①②③正确. 【答案】 ①②③
2.一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________.
1
【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为2，由于每次试验的结果不受影?1??1?23
响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝C13?2??2?＝. ????8
3
【答案】 8
1??
3.已知随机变量X服从二项分布，X～B?6，3?，则P(X＝2)等于________.
??
【导学号：62980049】
1??1?802??1－3?4?3?2＝【解析】 P(X＝2)＝C6.
????24380
【答案】 243
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
独立重复试验中的概率问题
(1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他
每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93； ②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1； ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上).
(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率； ②5次预报中至少有2次准确的概率；
③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.
【自主解答】 (1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.
【答案】 ①②④
(2)①记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，
232次准确的概率为P＝C25×0.8×0.2＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为
514P＝C05×(0.2)＋C5×0.8×0.2＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. ③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确.
3
所以概率为P＝C14×0.8×0.2×0.8＝0.02 048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
独立重复试验概率求法的三个步骤
1.判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验. 2.分拆：判断所求事件是否需要分拆.
3.计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.
[再练一题]
2
1.(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为3，没有平局.若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________.
65
(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为81，则事件A在1次试验中出现的概率为________.
【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，21220?2?并胜最后一局.即P＝?3?2＋C1×2
3×3×3＝27. ??
65100
(2)由题意知，C4p(1－p)4＝1－81，p＝3. 201【答案】 (1)27 (2)3
二项分布
一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设
1
他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列.
【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列.(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值.再求η取各值的概率.
1??
【自主解答】 (1)ξ～B?5，3?，ξ的分布列为P(ξ＝k)
???1?k?2?5－k
＝Ck，k＝0,1,2,3,4,5. 5?3??3?????故ξ的分布列为
ξ P 0 1 2 3 4 5 1243 3280804010 243243243243243 ?2?1
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝?3?k·，k
??3＝0,1,2,3,4；
?2?5
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝?3?.
??故η的分布列为
η P 0 13 1 29 2 427
1.本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的两个关注点
kn－k
(1)对于公式P(X＝k)＝Ck(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复np(1－p)
3 881 4 16243 5 32243 试验”时才能运用，否则不能应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
[再练一题]
2.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需
1
在其中选做一题.设4名考生选做每道题的可能性均为2，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列.
【解】 (1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋A∩B”，且事件A，B相互独立.
∴P(A∩B＋A∩B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) 1??1?111?
＝2×2＋?1－2?×?1－2?＝2. ????
1??
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B?4，2?.
??1?4－k?1?k?
∴P(ξ＝k)＝Ck 4?2??1－2?????
k?1?4
＝C4?2?(k＝0,1,2,3,4).
??
∴随机变量ξ的分布列为
ξ P 0 116 1 14 2 38 3 14 4 116 [探究共研型]
独立重复试验与二项分布综合应用
探究1 王明在做一道单选题时，从A、B、C、D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？二点分布与二项分布有何关系？
【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布.二点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布.
探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
【提示】 服从二项分布.因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：
1
在其中选做一题.设4名考生选做每道题的可能性均为2，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列.
【解】 (1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋A∩B”，且事件A，B相互独立.
∴P(A∩B＋A∩B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) 1??1?111?
＝2×2＋?1－2?×?1－2?＝2. ????
1??
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B?4，2?.
??1?4－k?1?k?
∴P(ξ＝k)＝Ck 4?2??1－2?????
k?1?4
＝C4?2?(k＝0,1,2,3,4).
??
∴随机变量ξ的分布列为
ξ P 0 116 1 14 2 38 3 14 4 116 [探究共研型]
独立重复试验与二项分布综合应用
探究1 王明在做一道单选题时，从A、B、C、D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？二点分布与二项分布有何关系？
【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布.二点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布.
探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
【提示】 服从二项分布.因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：