第七章 常微分方程与差分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容：
1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点八十三】形如y??f(x)g(y)的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当g(y)?0时,y??f(x)g(y)?dy?f(x)dx，然后左、右两端积分 g(y)?dy?f(x)dx?C,上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数，g(y)?dy1表示函数的一个原函数，?f(x)dx表示函数f(x)的一个原函数. g(y)g(y)?【例7.1】微分方程y??xy?x?y?1的通解为____________。
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【详解】?y???x?1??y?1??dydy??x?1?dx . ， ?y?1dx两边积分得?dy??x?1?dx， 即 y?1?1?x?1?2?Ce2lny?1?1?x?1?2?c1， 2?y?1??ec11?x?1?2?e2 ，?y1?x?1?2?Ce2?1，C为任意常数。
【例7.2】微分方程xy2?xdx?x2y?ydy?0，当x?0时，y?1的特解为____________。 【详解】分离变量得 xy2?1dx?yx2?1dy?0，?xx2?1yy2?1????????xx2?1dx?yy2?1dy?0.
积分得?dx??dy?C1，?11lnx2?1?lny2?1?C1， 22lnx2?1y2?1?2C1，即?x2?1??y2?1???e2C1?C.
令x?0,y?1，则?2?C， ∴所求特解为x2?1y2?1??2 . 【例7.3】若连续函数f?x?满足关系式f?x???2x?t?f??dt?ln2，则 0?2???????f?x?等于（ ）
（A）exln2.（B）e2xln2.（C）ex?ln2.（D）e2x?ln2.
【详解】对所给关系式两边关于x求导，得f??x??2f?x?，且有初始条件f?0??ln2. 于是，
f??x??2f?x?，
df?x??2dx，积分得 f?x?ln|f?x?|?2x?ln|C|，故 f?x??Ce2x.
令x?0,得C?ln2.故f?x??e2xln2.应选（B）。
【例7.4】已知曲线y?f??x过点?0,??且其上任一点,???1?2?处的切线斜率为x,?yxln1?x2,则f?x??_______.
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【详解】y?f?x?满足dy1?xln1?x2,y|x?0??. dx2111y??xln1?x2dx??ln1?x2dx2?1?x2ln1?x2?x2?C 将
22211x?0,y??代入上式,得C??.
221故f?x??1?x2?ln1?x2?1?.
????2????????????????【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k?0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的
7，问雪堆全部融化需要多少小时？ 82【详解】半径为r的球体体积为?r，表面积为4?r，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t时刻
433的底面半径为r，于是雪堆在t时刻的体积V?与侧面积S均为时间t的函数。
由题意，有即
23?r，侧面积S?2?r2。其中体积V，半径r3dv2dr??kS. ???3r2??k?2?r2 。
3dtdtdr??k,dr??kdt， ?dr??k?dt，?r??kt?c dtt?0又?t?0时，r而V1?Vt?38?r0, ?r0?C，即r??kt?r0 .
212???3k?r0?3???r03 . 383t?0，即
?k?11r0，r??r0t?r0。
66当雪堆全部融化时，r?0,V?0 1。 ?令0??r0t?r0 ，得t?6（小时）
6【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)（将x(t)视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数k?0，求x(t)。
【详解】首先要根据题中所给条件，建立x(t)的微分方程。由于题中条件很明确，即：x(t)的变化率
dx与x(t)??N?x(t)?成正比，容易得出x(t)的微分方程，再求出特解即得x(t)。 dt?dxdx??kx?N?x?由已知得?dt , 分离变量，得?kdt . ??xN?x??xt?0?x0
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积分得?dx?kdt
x?N?x??dx1?11?1?11??????dx?????dx
?N?x?xN?xN?x?N?xx?N?即 kt?c1??
?1x1x ln?lnNx?NNN?x?ln?x?xx?Nkt?Nc1 , ?eNC1?eNtk?CeNkt . N?xN?xNceNkt1?ceNkt , 又?xt?0?x0 ∴代入得 C?Nx0eNktN?x0?x0eNktx0， N?x0故 x(t)? 。
【考点八十四】形如u?ux,dudy????dx?y?y?的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令u?，则x?xdudxdydudu?，代入得 u?x 。两端积分，得?u?x???u? .分离变量，得???u?uxdxdxdxdxy，求出积分后，将u换成，即得齐次方程的通解。 xx???u??u??
??22??y?x?y【例7.7】求初值问题????yx?1?022【详解】???y?x?y??dx?xdy?0 ?x?0??的解。 ??dx?xdy?0???x?0?
2dyy?x2?y2y?y?????1???
xdxx?x?故此方程为齐次方程，其解法是固定的。 令u??du1?u2ydydudu，故u?x,y?xu,?u?x?u?1?u2
xdxdxdx?dx，积分得 xlnu?1?u2?lnx?c1
???u?1?u2?elnx?C1?ec1?x?Cx
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yy2y代入u?，得 ?1?2?Cx
xxx即y?x2?y2?cx2，由已知y0?12?02?C?1 ， ?C?1
x?1?0，代入得
∴所求初值问题的解为 y?x2?y2?x2，化简得y?12x?1 . 2??【例7.8】设函数f(x)在[1,??)上连续。若由曲线y?f(x)，直线x?1,x?t(t?1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)??3[t2f(t)?f(1)].试求
y?f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y【详解】由旋转体体积计算公式得V(t)??x?2?2的解。 9?f1t2(x)dx,于是，依题意得
??f2(x)dx?1t?3[t2f(t)?f(1)] .
两边对t求导得 3f2(t)?2tf(t)?t2f'(t). 将上式改写为 xy'?3y?2xy，即
22dyyy?3()2?2?. dxxx令u?ydu?3u(u?1). ，则有 xdxxu?1du3dx?Cx3. . 两边积分得?uu(u?1)x当u?0,u?1时，由
从而方程
dyyy?3()2?2?的通解为y?x?Cx3y(C为任意常数）。 dxxx由已知条件，求得C??1,从而所求的解为
3 y?x??xy或y?x(x?1). 31?x22【例7.9】求微分方程(3x?2xy?y)dx?(x?2xy)dy?0的通解.
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