小升初系统总复习数学思维训练教程
第1讲 计算（一） 速算与巧算
一、知识地图
基本公式
平方、立方公式
整数计算
数列及特殊公式
特殊方法 速算与巧算 拆分与裂项 几个常用拆分分数 二、基础知识 分数计算
（一）整数计算
循环小数化分数
1、平方、立方公式
(a?b)2?a2?b2?2ab（1） 完全平方公式：(a?b)2?a2?b2?2ab
(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac（2） 平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b) 3（3） 完全立方公式：
(a?b)?a3?3a2b?3ab2?b3(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3
（4） 立方和公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) 仅做了解 （5） 立方差公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)
2、数列及特殊公式
（1） 等差数列：
通项公式：an?a1?(n?1)d
求项数公式：n?(an?a1)d?1 求和公式：S?(a1?an)?n2 和=（首项+末项）3项数÷2
（2） 等比数列：a1n?a1?qn?
an?1S?1(1?q)1?q(q?1)
（3） 1?2?3???n?12?n?(n?1) a) 12?22?32???n2?16?n?(n?1)?(2n?1)
b) 13?23?33???n3?[n?(n?1)22]2?n?(n?1)24 （4） 1?2?3???n???3?2?1?n2 （5） 112?121
青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!
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1112?12321
111?1?12345?n?54321（n≤9） ???n个2（6）
ab?101?ababab?10101?ababab
（7）
abc?1001?abcabcabcd?10001?abcdabcd
这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我
们可以得到上述结果。
3、特殊方法 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c?? 达到化繁为简。 （二）分数计算 1、拆分与裂项
（1）
111 ??n?(n?1)nn?11111?(?) (k?1)
n?(n?k)knn?k1111?[?]?
n?(n?1)?(n?2)n?(n?1)(n?1)?(n?2)2aa11?(?) (a?1且k?1)
n?(n?k)knn?k（2）
（3）
（4）
2、几个常用拆分分数
111511111711?? ?? ?? ?? 623623123412341119111111111?? ?? ?? ?? 20452045305630561111311?? ?? ? ? 426742673、循环小数化分数
??0.aaaab??ab?a ????? 0.0a 0.ab 0.ab9909990???0.abcabcabcd?ab???abc?a 0.abcd??? 0.abc
9909900999?=1，可是这是为什么呢？铺垫： 请聪明的你，来比较1与0.99999999??的大小？ 0.9999999??=1也就是：0.9 1??0.112?111= 9090???12?40.12?=123?12=37 9933 0.12390030012341??0.123???4?=1234?12=611 999333 0.123990049501234???0.123499999?= 0.12青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!
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?34?=1234?1=137 0.1234?=1234?123=1111 0.129990900090001110注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分
子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。 三：经典透析
【例1】11?192?1993?19994?199995?
【例2】38765432?3876542?3876544?
【例3】212?222?232???502?
【例4】19951?73?6225?730?153.3?
【例5】11?11?2?11?2?3???11?2?3???100?
【例6】12?56?1110912???110?____
4【例7】?5?4???94?4???134?4?????494?4??34?4???74?4???114?4?????474?4?＝
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【例8】(621126?739358?458947)?(739358?458947?378207)?(621126?739358?458947?378207)?(739358?458947)
【例9】0.12??0.23??0.34??0.45??0.56????0.89??
四、拓展训练 1.
11?3?5?13?5?7?15?7?9???12001?2003?2005=
2. （12－13＋111111114?－99＋100）3（1－2＋3－4＋5－?＋99） －（1－11111111112＋3－4＋5－?＋99－100）3（2－3＋4?－99）=_______。
3. 4726342?4726352?472633?472635?472634?472636=________。 4. 23?4?5?24?5?6?25?6?7???28?9?10=________。
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5. 11?4?11114?7?7?10?10?13???2005?2008=________。
6. 11?2111126?312?420?530?6142=________。 7. 256?3112?41920?5130?64142?7156?87172?9190?112=________。 8. 1?2?3?4?5?6?7?8?7?6?5?4?3?2?188888888?88888888=________。
9.
567?345?566?567?345?222=________。 (0.3?0.1875?1400)?65?________。
10. (1?1992)?(1?1992?2)?(1?1992?3)???(1?1992?11)=________。
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第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算
一：知识地图： 二：基础知识 （一）：比较大小 1、分数的大小比较
1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小； b） 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。 2）比倒数：倒数大的分数小。
3）与1相减比较法：a） 真分数：与1相减，差大的分数小； b） 假分数：与1相减，差大的分数大。
4）经典结论：a） 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；
b） 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。 对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：
（a?b，且a,b,c为非零自然数时） （1）
bb?cbb?c?,? aa?caa?c33?133?1?,?； 55?155?1即“真分数越加越大，越减越小”（a?c?0）如（2）
aa?caa?c?,?即“假分数越加越小，越减越大”。 bb?cbb?c5）放缩法。
6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！ 7）两个数相除进行比较。如：
35352135?1，所以?。 和，??474720472、小数的大小比较
常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。 （二）估算问题 1、常用方法
1） 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。 2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。 2、经典步骤
估算和式整数部分：a） 令和式结果等于A；
b） 最小的数3个数＜A＜最大的数3个数； c） 求A。
对于较简单的题目，使用“最小的数3个数＜A＜最大的数3个数”就可以确定整数部分。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原式与（最小的数+最大的数）3个数÷2的大小，以及与（中位数3个数）的大小（总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数）。 （三）定义新运算
这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读→理解→应用。 三：经典透析 【例1】如果a?
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20052006，b?，那么a，b中较大的数是_________。 200620076
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【例2】如果A? 【例3】
111111110444444443,B?，A与B中哪个数较大？
22222222188888888724807??在上式的方框内填入一个整数，使不等式成立，那么319= 。
<提示>这类题目解题方法：
aa?cc?? 1）
bb?dd
aAc 2）?? bd
a与c通过适当相加组合为A 3）
【例4】已知除法算式12345678910111213÷31211101987654321，它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是________。
【例5】老师在黑板上写了7个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位），小明算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其他都对了”，那么正确的得数应是 。
探究：事实上一个自然数被7除如果除不尽，那么所得的商的小数部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的顺序不断循环，只是循环初始数字不一定相同。观察一下除式：
1?7?0.142857 2?7?0.285714 3?7?0.428571 4?7?0.571428 5?7?0.714285 6?7?0.857142
【例6】
????????????1357991??????与相比，哪个更大，为什么？ 246810010青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!
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【例7】数
1的整数部分是几?
1111?????10111219
【例8】 如果A#B?B?A，那么1#2?2#3?3#4???2002#2003?2003#2004? 。 A?B
【例9】两个用同样材料做成的球A和B，一个实心，一个空心，A的直径为7，重量为22，B的直径为10.6，重量
为33.3。问哪一个球是实心球？
四、拓展训练 1. 在
199819981999199920002000,,中,最小的分数是___.
199919992000200020012001
2. A?8.8?8.98?8.998?8.9998?8.99998，求A的整数部分 .
3. 已知：S?1111????198019812006,则S的整数部分是___.
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???,,0.51,4. 有8个数，0.51,25392413,是其中六个,如果按从小到大的顺序排列时，第四个数是4725?,那么按从大到小排列时,第四个数是哪一个? 0.51
5. 1）试比较
199519462222144443和的大小。 2）如果A=,B?.那么A与B中较大的数是___. 199819493333266665
6. 有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9。那么精确到小数点后两位数是多少？
??,1.121,1.12,1.12121??7. 1）比较以下小数，找最大的数：1.121,1.12
?? 2）比较以下5个数，排列大小：1,0.42,
8. 如果用max?a,b?表示数a,b中较大的一个,
35,1.667, 73max?
?20042005?,??_____.
?20052006?青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!
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小升初系统总复习数学思维训练教程 9. 假设有一种计算器，它由A，B，C，D四种装置组成。将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数，各装置
的运算程序如下：
装置A：将输入的数加上6之后输出； 装置B：将输入的数除以2后输出； 装置C：将输入的数减去5之后输出； 装置D：将输入的数乘以3后输出；
这些装置可以互相连接，如在装置A后接装置B就记做：A→B。例如输入1后，经过A→B输出3.5 1）若经过A→B→C→D，输出120。则输入的数是多少？ 2）若经过B→D→A→C，输出13，则输入的数是多少？
10. 有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：
11. 用?a?表示a的小数部分,?a?表示不超过a的最大整数。例如?0.3?=0.3； ?0.3??0; ?4.5??0.5,?4.5??4，
记f?x??
??????1.16 求左边方框里的整数从左至右分别是什么？ 357x?2?,请计算?f2x?1??1??????,?f?3????1??的值. f?1?????,?f?1??,????3??青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!
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第3讲 数阵图、幻方
一，知识地图 二，基础知识 三：幻方
我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记：
1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如1，2，3， 6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=732，一般为等差数列（不完全是）。 2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的7必须位于幻方中心。 3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。如上列数中的1，13与4，10的平均数均为7。
4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。如幻和为21，等于中心数7的三倍。
5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。
6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。
7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等（同学们能不能知道为什么？）如第一行和第一列中有一个共同数8，则其他两个数1+12=11+2。
综合利用上面7个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。 趣题导引：
数学兴趣小组每周都要进行小组讨论。有一次小组讨论时，李同学在黑板上画了一个“九宫格”，问其他同学说：“你们能看出这个表格的的数字规律吗？”这时很多同学都说：“这还不简单啊，这是幻方，每行每列和两条对角线的数字和都相等，我自己也会填。”李同学又画了一个幻方，但是里面数字不全，只有三个数字，说：“那你们能把这个表格补充完整，使它成为一个幻方吗？”这时刚才非常活跃的同学都沉默了，同学们，你们可以补充完整吗？
12f12a 66db 11ec11
三、经典透析
【例1】2008年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把1—9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？
【例2】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？
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1920
10101518161911 1114142015
12131213
16171817
【例3】右图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。
2 4 5 1938 76 2 6
5 3718
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【例4】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
【例5】在左图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三数之和都等于21。
【例6】如图所示，在333方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（1）求x；（2）如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图。
x 19 10019
9595
四、拓展训练
1. 将1～6填入右图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围。
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小升初系统总复习数学思维训练教程 2. 1～9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。
想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？
3. 海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，
并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？
4. 如图是一个三阶幻方，那么标有＊的方格中所填的数是多少？
810
1
5. 把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入333方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角
线上的3个数的乘积都是216。求位于正中间的方格中所填的数。
6. 7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有★的圆内填
的数是多少？
10★ 14 611
89
12
7. 把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分别填在右下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的
数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中。请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小。问这个最小的数是多少？
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第4讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题
一、 知识地图： 二、 基础知识： 1.整除的性质 （1）性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱（a±b）。 （2）性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。即如果b∣a，c∣b，那么c∣a。 （3）性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a。 （4）性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。即如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a。
如：如果3∣12，4∣12，且（3，4）=1，那么（334） ∣12。 （5）性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。
如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
（6）性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除。 如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac； 2.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 注意：从这种证明过程中，我们可以进一步得到两个小技巧： （1）“弃九法”。即看各位数字和能否被9整除，只要先把9划去，或者其它的和是9的几个数划去，剩下的数字之和是否是9的倍数，则可以判定这个数能否被9整除。
（2）得余数。通过上面的过程，我们可以看出这个数被9除的余数就是在弃9法以后的余数。 类似地，判断能否被3整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种简便方法。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 例如：判断123456789这九位数能否被11整除？ 例如：判断13574是否是11的倍数？
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？ 例如：判断3546725能否被13整除？
希望大家能熟练掌握以上判别方法，并理解我们是如何证明的，考试不会考这些证明，但是这种证明的方法在做一些其他数论题目的时候是非常有效的。
上面介绍了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13整除数的特征。那么，怎样判断一个数能否被6、12、15??等整数整除呢？
显然6=233，12=334，15=335?? 这里，等号右边的两个因数之间没有相同的约数，于是我们可以把6，12，15?? 这类数的整除问题转化为同时能被2和3整除或3和4整除??等简单的问题来做。 4.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 奇数与偶数有许多的性质 奇数±奇数=偶数
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小升初系统总复习数学思维训练教程 奇数±偶数=奇数 偶数±偶数=偶数
奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数 偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数
加减法中偶数不改变结果的奇偶性（偶数都可以看作0或没有操作） 加减法中奇数改变结果的奇偶性（奇数都可以看作1） 奇数3奇数=奇数 偶数3偶数=偶数 奇数3偶数=偶数
奇数3奇数3奇数3奇数3?3奇数3偶数=偶数 a+b与a-b同奇或同偶 5.最值分析（离散）
重要结论：两数和一定时，这两数差越小（越接近）乘积越大
例如： 把14分拆为两个自然数之和，使它们乘积最大。 例如：把14分拆为3个自然数之和，使它们乘积最大。
【例1】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
【例2】各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？
【例3】一个六位数，它能够被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是多少？
【例4】下面这个199位整数：1001001001?1001?????????被13除，余数是多少？
199位
【例5】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
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小升初系统总复习数学思维训练教程 【例6】如右图，用一块边长18厘米的正方形硬纸片，在四个角上截去4个相同的小正方形（图中阴影部分），然后把四边形折合起来，做成一个没有盖的长方体纸盒。截去的4个相同的小正方形的边长是多少厘米时，长方体纸盒的容积最大？
【例7】在黑板上写1～2007这2007个自然数，每次任意擦去两个数，然后写上它们的和或差，一直这样重复操作，经过若干次后黑板上只剩下一个数，请问结果是奇数还是偶数？为什么？
【例8】用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成一个四位数和一个五位数，使乘积最大：则□□□□□3□□□□应该怎样填？
若将1——9这九个数字，分别填入下面九个□中，使乘积最大：□□□3□□□3□□□
四、拓展训练
1. 要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？ （应分解为互质的几个数的乘积，被4、9整除的特征是必要前提。）
2、20082008?200808?????????能被11整除，那么，n的最小值为多少？
n个2008
3、求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除。
4、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1，2，3，?，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 。
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小升初系统总复习数学思维训练教程 5、已知四十一位数55?55□99?99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
ab3ab?3?ab恰是91的倍数，试求ab=？ 6、把三位数3ab接连重复写下去，共写1993个3ab，所得的数3??????1999个3ab
7、已知等式19933□+43□=6063，其中□都是自然数，试求这两个“□”的和。
8、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
9、桌子上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中6个，能否经过若干次翻动使得所有杯子杯口全部向下，若可以，请指出最少需要多少次？并给出具体的翻法。若不可以，请说明理由；
10、某农场打算用60米长的篱笆靠墙围成5个面积大小相等的羊圈（如图所示）， 问：若要求每个羊圈的面积尽可能大，应为多少平方米？ b b b b b
a a a a a
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第5讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数
一、知识地图
二、基础知识
（一）1．质数与合数 2. 质因数与分解质因数
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，12=23233。
常用的是100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为5的质数，这也是多年考试的一个重点。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。同学们必须熟练掌握100以内以及其他常用合数的分解质因数。部分特殊数的分解：111=3337；1001=7311313；11111=413271；10001=733137；1995=33537319；1998=2333333337；2007=3333223；2008=232323251；2007+2008=4015=5311373；10101=337313337。
注意：从小学奥数要求看，我们对一个数分解质因数，一般根据唯一分解定理，把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。
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例如： 120=23335，而不写成：120=232323335。 判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于P的质数p（均为整数），使得p能够整除P，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P的平方数K，再列出所有小于K的质数，用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P就为质数。例如，149很接近169=13313，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
（二）公约数和最大公约数 2. 最大公约数的性质：
（1） 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 即若a＝a13（a，b），b＝b13（a，b），则（a1，b1）＝1
（2） 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 [a，b]3（a，b）＝ab 还有如下推广：
几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
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小升初系统总复习数学思维训练教程 几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。 3. 求最大公约数的方法： （1） 分解质因数法： （2） 短除法：
（3） 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
注意：什么时候下，适宜用辗转相除法呢？要去求最大公约数的两个数比较大，或者两个数中含有大质数，我们很难通过分解质因数或者短除法解决的时候，辗转相除法就可以大展身手！ 例如：求600和1515的最大公约数。
4. 求一组分数的最大公约数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；例如： (a即为所求。 b35(3,5)1 ,)??412[4,12]125. 求一个数所有的约数的个数和约数和：
p1p2p3p4pn
用分解质因数形式表示：N=a13a23a33a43??3an （a1、a2、?、an为合数N的质因数） 所求的约数的个数A＝（p1＋1）3（p2＋1）3（p3＋1）3?3（pn＋1）；
3222
例如：504=23337 例如：231=337311，252=23337
6. 求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；例如：[,a即为所求。 b35[3,5]15]?? 412(4,12)4三、经典透析
【例1】把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？
【例2】已知自然数A、B满足以下两个性质：⑴ A、B不互素；⑵A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？
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小升初系统总复习数学思维训练教程 【例3】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？
【例4】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【例5】从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是 毫米。
【例6】已知一个苹果重
45千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？ 1524
【例7】一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少？ (祖冲之杯小学数学邀请赛)
【例8】一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。
【例9】3个质数的平方和是39630，那它们的和是多少？
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第8讲 几何（二） 曲线图形
一、知识地图
?“一个思想”?加加减减????加减???????割补?组合图形面积??“五个方法”???旋转平移???重叠? ????????比例???旋转构图?边扫过问题?线段扫过???图形扫过问题?图形整体扫过???活动范围?圆心变化两个特殊问题???硬币滚动?半径变化，圆心轮迹两种???二、基础知识
小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提。
【例1】（☆☆☆）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分面积是多少？（π取3.14。）
【例2】（☆☆☆）如图，ABCG是437的长方形，DEFG是2310的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少？
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小升初系统总复习数学思维训练教程 【例3】（☆☆☆）求右图中阴影部分的面积。（?取3）
【例4】（☆☆☆）如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。求阴影部分的面积。审题要点：题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓形的面积之差。
【例5】（☆☆☆）如图，ABCD是一个长为4，宽为3。对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向 旋转90，分别求出四边扫过图形的面积。（?取3）
审题要点：要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形。 分析：1、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段 长度为半径的圆的
01，如右图： 4AB
DC
2、研究AB边的情况。
在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：
3、研究AD边扫过的图形。
由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示：
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小升初系统总复习数学思维训练教程 【例6】（☆☆☆）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。
【例7】如图，半圆半径=40CM，BM=CN=DP=22，每个阴影部分的弧长为半圆弧长的
1，求阴影部分面积？（?=3） 3
【例8】如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为42.5平方米现在要绿化哨所所在地（哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地）为了防止狼狗践踏，则绿化的实际面积为多大合适？（?=3）
狼狗甲狼狗乙101042.51010哨所42.51010
【例9】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置。问：这枚硬币自身转动了多少圈？
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小升初系统总复习数学思维训练教程 四，拓展训练
1、如图，四边形ABCD是平行四边形，AD?8cm，AB?10cm，?DAB?30?，高CH=4cm, BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分面积是多少平方厘米？
A30.0?8D2NEMFB4HC
2、 如图，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP、BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积。
AP73100BCD
3.，∠1=15°，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分面积？
A∠1OEBDC
4.环图由内径为4cm，外径为5 cm的5个圆环组成，其中阴影部分的面积都相等。已知5个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。求每个阴影部分的面积。
5.4年华罗庚金杯数学邀请赛）如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（?取3）
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小升初系统总复习数学思维训练教程 6.个边长分别为4cm的等边三角形木块。现将三角板沿水平线翻滚，如下图，那么从B点开始到结束所经过的总长度为多少？
AABCBC
7.下图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60?，此时BC长5厘米。以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120?，点A，C分别到达点E，D的位置。求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积。（?取3）
8.如图阴影部分面积是80平方厘米，求环形面积。9、图中阴影部分的面积是40平方厘米。求环形的面积。
10如图，两圆半径均为1厘米，且图中两块阴影部分的面积相等。求 OO 的长度。
11图，由圆和扇形组成。圆内有两条直径垂直相交于圆心O，圆的直径和扇形的半径相等，长度均为2厘米，扇形的圆心角为直角。求图中阴影部分的面积。
12图中正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。
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