第七章 参数估计习题参考答案
??e??x,x?01．设f(x)??，求?的矩估计。
?0, x?0解 EX???xe??xdx,设u??x,x?0??11则EX??ue?u(du)???ue?u0??????0??1?u,dx?1?du
??0??1????e?udu???0?(?e)??0???=1
??故??1??1。 ，所以?xEX2. 设总体X在?a,b?上服从均匀分布，求a和b的矩估计。
解 由均匀分布的数学期望和方差知
1 E(X)?(a?b) （1）
2D(X)?1(b?a)2 （2） 12由（1）解得b?2EX?a，代入（2）得DX?解得
11 整理得DX?(EX?a)2，(2EX?2a)2，
123??a?E(X)?3D(X) ???b?E(X)?3D(X)故得a,b的矩估计为
???x?3??2?a ?2????b?x?3?1n???(xi?x)2。 其中?ni?123．设总体X的密度函数为f(x;?)??xii?1n?xe??x!，求?的最大似然估计。
e?n?解 设L(?)??f(xi,?)?，则
(x1!)(x2!)...(xn!)i?1n? 1
lnL(?)?(?xi)ln??n???ln(xi!)
i?1i?1ndlnL(?)1n1????xi?n?0, ??xi?x d??i?1ni?1nn 4．设总体X的密度函数为
,
大似然估计量.
解. 设(X1, X2,…, Xn)是来自X的一样本. 由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:
其中 (θ＞0), 求θ的极
,
上式两边取对数
似然方程为
解似然方程得θ的极大似然估计量是 .
5.设总体X的密度函数f(x,?)?(?a)xena?1??xa(a已知），求参数?的最大似然估计。
??解 L(?)??f(xi,?)??nan(x1x2...xn)a?1ei?1?xiai?1n
lnL(?)?nln??nlna?(a?1)?lnxi???xia
i?1i?1nndlnL(?)nna???xi?0 d??i?1 2
1na解得 ???xi。
ni?1 6．设总体X的密度函数为
,
和矩估计量.
解. 设(X1, X2,…, Xn)是来自X的样本. (1)由矩估计法
,
求α的极大似然估计量
∴
.
即参数α的矩估计量是
.
(2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为
,
上式两边取对数 ,
似然方程为
解似然方程得到参数α的极大似然估计量是
,
.
3
??2D??，求常数c和7. 设??1和??2为参数?的两个独立的无偏估计量，且假定D?12??c???d??为?的无偏估计，并使方差D??最小。 d，使?12???，故得c+d=1。 ??E(c???d??)?cE???dE???(c?d)?,且知E?解 由于E?1212又由于
??D(c???d??)?c2D???d2D???2c2D???d2D???(2c2?d2)D?? D?1212222并使其最小，即使f?2c2?d2，满足条件c+d=1的最小值。 令d=1-c，代入得f?2c2?(1?c)2，fc'?4c?2(1?c)?0, 6c?2?0
12解得c?,d?1?c?。
338．对方差?2为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于L？
解 由于?的置信区间为(x??nu?,x?2?nu?)，故?的置信区间长度为
22?nu??L。所以，有n?22?02?u?，即n?(0u?)2。 L2L29. 设某电子元件的寿命服从正态分布N(?,?2)，抽样检查10个元件，得样本均值x?1200(h)，样本标准差s?14(h)。求 (1) 总体均值?置信水平为99%的置信区间；
(2) 用x作为?的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率。
解 (1)由于?未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得 (x?sst?(n?1),x?t?(n?1)) n2n2(1200?1414t0.005(9),1200?t0.005(9)) 1010查表得t0.005(9)?3.25，故总体均值?置信水平为99%的置信区间为
4
(1200?14.388, 1200?14.388)?(1185.612, 1214.388)
(2)
x??101010P(x???10)?P(?)?P(t(n?1)?)ss14nn?P(t(9)?2.2588)?P(t(9)?t0.025(9))?1?2??1-0.05=0.95
10. 设X1,X2,...,Xn为正态总体N(?,?2)的一个样本，确定常数c的值，使
Q?c?(xi?1?xi)2为?2的无偏估计。
i?1n?1解
EQ?c?(xi?1?xi)?c?E[(xi?1??)?(xi??)]22i?1i?1n?1n?1 ?c?E[(xi?1??)2?2(xi?1??)(xi??)?(xi??)2]i?1n?1
?c?[E(xi?1??)2?2E(xi?1??)E(xi??)?E(xi??)2]i?1n?1由于E(xi??)?Exi???????0，所以有
EQ?c?[Dxi?1?0?Dxi]?c?(2?2)?c2(n?1)?2
i?1i?1n?1n?1由EQ??2（无偏性），故有2c(n?1)?1，所以c?1。
2(n?1)11. 为了解灯泡使用时数均值?及标准差?，测量了10个灯泡，得x?1650小时，
s?20小时。如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求?和?的95%的置信区间。
解 由t?(n?1)?t0.025(9)?2.262，根据求置信区间的公式得
2ss2.262t?(n?1), x?t?(n?1))?(1650??20) n2n210?(1650?14.31)?(1635.69, 1664.31)(x?2222查表知??根据求置信区间的公式(n?1)??0.025(9)?19.023,??(n?1)??0.975(9)?2.70，
21?2 5
得?2的置信区间为
(n?1)s2(n?1)s29?2029?202, 2)?(, )?(189.24, 1333.33) (2?0.025(9)?0.975(9)19.0232.70 而?的置信区间为
(189.24, 1333.33)?(13.8, 36.5)
12. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得s?0.2，求?2的置信区间(??0.1)。
222解 查表得?0.05(11)?19.675,?0.95(11)?4.575，根据求置信区间的公式得?的置信
区间为
(n?1)s2(n?1)s211?0.2211?0.22 (2, 2)?(, )=(0.02, 0.10)
??(n?1)??(n?1)19.6754.57521?213 . 设两位化验员A、B分别独立地对某种化合物各作10次测定，测定值的样本
2?A方差分别为s?0.5419, s?0.6065。设两个总体均为正态分布，求方差比2的置信度
?B2A2B为95%的置信区间。
解 查表得F?(9.9)?F0.025(9.9)?4.03,F21??(9.9)?211??0.2481，根
F?(9.9)4.0322?A据求置信区间的公式得2的置信区间为
?B2222sAsAsAsA111, 2)?(2, 24.03)?(0.222, 3.601) (2sBF0.025(9.9)sBF0.975(9.9)sB4.03sB14．某种袋装食品的重量服从正态分布.某一天随机地抽取9袋检验,重量(单位:g)为
510 485 505 505 490 495 520 515 490
(1) 若已知总体方差σ2=8.62,求μ的置信度为90%的置信区间; (2) 若已知总体方差未知,求μ的置信度为95%的置信区间.
6
解. 设随机变量X表示此种袋装食品的重量. (1) 由已知得 n=9 ,α=0.1,
,
由于X～N(μ, 8.62), 可推得
～N(0, 1),
因此由
得到 Φ(Uα/2)- Φ(-Uα/2)=0.90 即 Φ(U0.05)=0.95
查表得 U0.05=1.645 所以μ的90%的置信区间为
.
(2) 由已知得 n=9 , α=0.05, 由于总体方差未知,选取统计量
～t(n-1).
查表得到 tα/2(n-1)=t0.025(9-1)=2.306,
并且计算
所以μ的95%的置信区间为
,
7
15. 为了估计在报纸上做一次广告的平均费用,抽出了20家报社作随机样本,样本的均值
和标准差分别为575(元)和120(元),假定广告费用近似服从正态分布,求总体均值的95%的置信区间.
解. 设随机变量X表示做广告的费用. 则 X～N(μ, σ2) 总体方差σ2未知, 选取统计量
～t(n-1)
又已知 n=20 , α=0.05 , , s=120
查表得到 tα/2(n-1)=t0.025(20-1)=2.093, 所以μ的95%的置信区间为
.
16. 某厂分别从两条流水生产线上抽取样本：X1,X2,?,X12及Y1,Y2,?,Y17，测得
2?4.7。设两个正态总体的均值分别为?1和，Y?9.5（克），s12?2.4, s2X?10.6（克）
?2，且有相同方差，试求?1-?2的置信度95%的置信区间。
2(n1?1)s12?(n2?1)s211?2.4?16?4.7??3.763，解 由s?得s?3.763?1.94。查
n1?n2?212?17?22表得t?(n1?n2?2）=t0.025(27)?2.0518，X?Y?10.6?9.5?1.1（克），故
2t0.025(27)s1111??2.0518?1.94??1.50 n1n21217根据求置信区间的公式得?1-?2的置信度95%的置信区间为
(X?Y?t0.025(27)s11?）?(1.1?1.50)?(?0.40,2.60) n1n2 8