第一讲 概率基础知识
第一章 事件与概率
一、随机事件与样本空间
1. 随机试验
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；
(3) 每次试验问题恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯
定这次试验会出现哪一个结果.
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体称常作样本空间，通用字母?表示. ?中的点，即基本事件，有时也称作样本点，通常用?表示.
例1. 一个盒子中有十个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从
中任取一球，观察其颜色.
令?1?{取得白球}，?2?{取得黑球}, 则??{?1,?2}.
例2. 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数，令 i?{收到的呼唤次数i}，则??{0,1,2,?}
例3. 一个盒子中有十个相同的球，分别标以号码1,2,?10，从中任取一球，
令i?{取得球的标号为i}，则??{1,2,?,10}
在随机试验中，通常我们关心的是满足某种条件的那些样本点所组成的集合，如在例3中，我们可以研究
A?{球的标号等于6}，B?{球的标号是偶数}，C?{球的标号不大于5}
这些结果是否发生？其中A是一个基本事件，而B和C则由多个基本事件所组成，相对于基本事件，就称它们为复杂事件. 无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件，简称事件. 习惯上，人们通常用大写字母A,B,C等表示事件. 在试验中，如果出现A中所包含的某一个基本事件?，则称A发生，并记为
??A.
注：随机事件是样本空间的一个子集，例如例3中，??{1,2,?,10}，显然，前述的随机事件A,B,C都是样本空间?的子集，它们可以简单地表示为
A?{6}，B?{2,4,6,8,10}，C?{1,2,3,4,5}.
因为在一次试验中，必然要出现?中的某一个基本事件?，即???. 也就是在试验中，?必然会发生，所以通常用?来代表一个必然事件. 相应地，空集?可以看作是?的子集，在任意一次试验中，不可能有???，也就是说，?永远不可能发生，所以?是不可
1
能事件.
2. 事件间的关系和运算
(1) 子事件 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含了A，或称A是B的
一个子事件，记作A?B. 对于任一事件A，我们约定??A.
(2) 如果有A?B，B?A同时成立，则称事件A与B相等，记作A?B
(3) 和事件 “事件A与B中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A与B的
和事件，记作A?B.
(4) 积事件 “事件A与B同时发生”，这样的一个事件称作事件A与B的积事件，
记作A?B.
(5) 差事件 “事件A发生而B不发生”，这样的一个事件称作事件A与B的差事件，
记作A?B.
(6) 若事件A与B不能同时发生，也就是说AB??，则称事件A与B互不相容. (7) 对立事件 若A是一个事件，令A???A，则称A是A的对立事件或逆事件.
显然AA??, A?A??.
3. 事件的运算满足的运算律
(1) 交换律 A?B?B?A, A?B?B?A (2) 结合律 (3) 分配律
?A?B??C?A??B?C?, ?AB?C?A?BC? ?A?B??C?AC?BC, ?AB??C??A?C??B?C?
(4) 对偶原理 A?B?A?B, A?B?A?B
例1. 设A,B,C是?中的随机事件，则事件“A与B发生，C不发生”可以表示为“A、B、C中至少有二个发生” 可以表示为AB?BC?AC；“A、B、CABC；
中恰好有二个发生” 可以表示为ABC?ABC?ABC；
二、概率的统计定义
随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，具有偶然性，但在大量的重复试验中却呈现出明显的规律性.
1. 频率 若随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，称
fn(A)?为A的频率. 易知频率具有下述性质：
nA n 2
(1) 非负性 fn(A)?0；
(2) 规范性 若?为必然事件，则fn(?)?1；
(3) 有限可加性 若AB??，则fn(A?B)?fn(A)?fn(B).
随机事件在具有波动性的同时又呈现一种稳定性，即频率总是在某一常数附近摆动，而且随着n的增大，摆动越来越小并稳定于这个常数. 随机事件的这种在大量的重复试验中所呈现出来的必然规律性称为频率的稳定性. 频率的这种稳定性是随机事件本身所固有的客观属性，是不随人的意志改变的，只要试验在相同的条件下进行，频率所接近和稳定到的这个常数就不会改变，这个常数标志着随机事件出现的可能性的大小，因此可以用这个常数作为度量随机事件发生的可能性大小的客观尺度，并称之为概率.
2. 概率 在相同的条件下，重复作n次试验，设事件A发生发生了nA次，如果当n增大时，事件A发生的频率
nA稳定地在某一常数p附近摆动，就为此常数p为事件A发生n的概率，记作P(A)?p.
注：对于一个随机事件来说，它发生的可能性上的度量是由它自身决定的，并且是客观存在的.
因为频率的本质就是概率，因而频率的性质也是概率应该具有的性质： (1) 非负性 P(A)?0；
(2) 规范性 若?为必然事件，则P(?)?1；
(3) 有限可加性 若AB??，则P(A?B)?P(A)?P(B).
除此之外，概率还有以下几个常见的性质
(4) (5) (6) (7)
不可能事件的概率为0，即P(?)?0； 对任一事件A，有P(A)?1?P(A)； 若A?B，则P(A?B)?P(A)?P(B)； 加法公式 对任意的两个事件A、B，有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
更一般地，有
nnn?n?n?n?1?P??Ai???P(Ai)??P(AiAj)??P(AiAjAk)???(?1)P??Ai?
1?i?j?n1?i?j?k?n?i?1?i?1?i?1?三、古典概型
3
古典概型是一类最简单的随机试验，它具有下述特征：
(1) 样本空间的元素只有有限个，不妨设为n个，并记它们为?1,?,?n； (2) 每个基本事件发生的可能性大小是相同的，即有
P(?1)???P(?n)
对于上述古典概型，它的样本空间??{?1,?,?n}， 由于
1?P(?)?P(?1)???P(?n)
于是
P(?1)???P(?n)?1 n对任意一个随机事件A，如果A是k个基本事件的和，即
A??i1??i2????ik，
则
P(A)?kA中所含的基本事件数A的有利事件数 ??n基本事件总数基本事件总数1. 在分别写有2,3,4,5,7,8的六张卡片中任取两张，把卡片上的数字组成一个分数，求所得
分数是既约分数的概率.
2. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本放在一起的概率.
3. 1～2000随机取一整数，问取到的整数不能被6或8整除的概率是多少？
4. 已知10个晶体管中有7个正品及3个次品，每次任意抽取一个来测试，测试后不再放
回，直到把3个次品都找到为止，求需要测试7次的概率.
5. 从n双不同的鞋子中任取2r(2r?n)只，求下列事件的概率：
(1) 没有成对的鞋子； (2) 只有一对鞋子； (3) 恰有二对鞋子； (4) 有r对鞋子.
4
解：(1)设A?“没有成对的鞋子”，要使A发生，先从n双中取出2r双，再从每双中取出
一只，因此
2r12r2rCn(C2)22rCn P(A)??2r2rC2Cn2n (2)设B表示“只有一对鞋子”的事件，要使B发生，先从n双鞋子中取出一双，其两
只全取出，再从剩下的n?1双中取出2r?2双，从其每双中取出一只，所以
P(B)?122r?21CnC2Cn?1?C2?2rC2n2r?2
(3) 设C表示“只有二对鞋子”的事件，则
22r?422r?4CnCn?2 P(C)?2rC2n (4) 设D表示“只有r对鞋子”的事件，则
rCnP(D)?2r
C2n课堂练习
从5双不同的手套中任取4只，求 (1) 恰有一双配对的概率； (2) 至少有2只配成一双的概率.
6. 袋中有a个黑球，b个白球，现在把球随机地一个一个摸出来，求第k次摸出的球是黑
球的概率?1?k?a?b?.
解法1. 给a?b个球分别编号，把摸出的球依次排列在a?b个位置上，则所有可能的排列相当于对a?b个相异的元素进行全排列，所以样本点的总数为
?a?b?!，有利场合数可以这样考虑：第k个位置上放一个黑球有a种放法，而另外
a?b?1个位置上相当于对a?b?1个球进行全排列，有?a?b?1?!种放法，故所求概率
为
Pk?a??a?b?1?!?a?b?!?a a?b解法2. 把没有区别的，将摸出的球仍依次放在a?b个位置上，样本点的总数为
abCa?bCb，有利场合数可以这样考虑：第k个位置上必须放一个黑球，剩下的a?1个黑
1a?1bCa?b?1Cb球和b个白球放在a?b?1个位置上，共有Ca种放法，故所求概率为
5
1a?1bCaCa?b?1Cba Pk??abCaCa?b?bb本例表明，摸得黑球的概率与摸球的先后次序无关. 这个结论与我们日常生活的经验是一致的，例如体育比赛中进行抽签，对各队机会均等，与抽签的先后次序无关. 7. (彩票问题) 一种福利彩票为幸福35选7，即从01,02,?,35中不重复地开出7个基本
号码和一个特殊号码. 中奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率.
幸福35选7的中奖规则
中奖级别 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 7个基本号码全中 中6个基本号码及特殊号码 中6个基本号码 中5个基本号码及特殊号码 中5个基本号码 中4个基本号码及特殊号码 中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码
7解：因为不重复地选取号码是一种不放回抽样，所以样本空间?含有C35个样本点. 要中
中奖规则 奖应把抽取看成是在三种类型中抽取： 7个基本号码；
第二类号码：1个特殊号码； 第三类号码：27个无用号码.
记pk为第中第k等奖的概率(k?1,?,7)，可得各等的中奖概率如下：
700C7C1C271?6； p1???0.149?107C356724520610C7C1C277p2???1.04?10?6； 7C356724520601C7C1C27189p3???28.106?10?6； 7C356724520511C7C1C27567p4???84.318?10?6； 7C356724520502C7C1C277371p5???1.096?10?3； 7C356724520 6
412C7C1C2712285?3； p6???1.827?107C356724520403313C7C1C27?C7C1C27204750p7???30.448?10?3. 7C356724520若记事件A为“中奖”，则A为事件“不中奖”，且由P(A)?P(A)?1，可得
P(A)?p1???p7?0.033485，
不中奖的概率为
P(A)?1?P(A)?0.966515.
这就说明，一百个中约有3人中奖；而中头奖的概率只有0.149?10?6，即二千万个中约有3人中头奖. 因此购买彩票要有平常心，期望值不要过高.
注：一定要注意古典概型成立的条件，如下面的题目：
随机掷两颗骰子，求事件A?“两次点数之和至少是5”的概率. 解: 样本空间??{(i,j)|i,j?1,?6}，而A?“两次点数之和至少是5”的 逆事件A?“两次点数之和小于或等于4”包含6个样本点，所以
P(A)?1?P(A)?1?61? 3668. 从一副扑克牌(52张)中任取13张牌，试求下列事件的概率： (1)至少有一张“红桃”的概率； (2)缺“方块”的概率；
(3)“方块”或“红桃”中至少缺一种花色的概率；
解：从一副扑克牌(52张)中任取13张牌，这是不放回抽样. 不考虑取出的牌的先后次
13序，思考起来比较容易，?中点数为C52.
(1) 设A=“至少有一张“红桃””，则
13C39P(A)?1?P(A)?1?13.
C52(2) 记B=“缺方块”，由对称性，
13C39P(B)?P(A)?1?13.
C52(3) 记C=“方块或红桃中至少缺一种花色”，则有C?B?A，
P(C)?P(B?A)?P(B)?P(A)?P(BA)
7
1313131313C39C39C262C39?C26. ?13?13?13?13C52C52C52C52在求解古典概型的问题时，要用事件的记号来表示事件，并能用事件的运算律及概率的性质化简复杂的问题，这是非常重要的.
四、几何概型
若将某随机试验进行一次，相当于向某一可度量的区域D内随机地投一点，并且此点落在D中任意区域G内可能性的大小与G的度量成正比，而与G的位置和形状无关，即所投点在D中“均匀分布”，我们称此试验为几何型随机试验，或几何概型.
在几何概型中，取D中的点为样本点，于是样本空间??D，样本点所具有的“均匀分布性”与古典概型中的“等可能性”相当，实际上几何概型就是古典概型的推广.
令事件A表示“点落入区域G内”，则定义事件A的概率为G的度量?(G)(线段的长度，平面区域的面积等)与样本空间的度量?(D)之比，即
P(A)??(G). ?(D)例1 设有一均匀的陀螺，其圆周上均匀地刻上区间[0,3)上的诸数字，旋转此陀螺，求其停下时圆周上触及桌面的点的刻度位于(0,1)上的概率.
例2 两个人约定在时间间隔T分钟内在某地会面，先到者等候t分钟后离去，试求两人能会面的概率.
]例3 设一质点“均匀”地落入(0,1]中，以A表示质点落在(0,1以Ak表示质点落2内，
在
?12k?1,??内，则A??Ak.
12k?k?1这是一个几何概型，而且有P(A)?11，P(Ak)?k?1，于是 22????1?1P??Ak??P(A)???k?1??P(Ak).
2k?12k?1?k?1?例4. 把长度为a(a?0)的线段l任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.
注：若把本例改为：把长度为a(a?0)的线段l任意折成三段，求它们可以构成一个正三角形的概率，令A=“折断的三线段能构成一个正三角形”，容易P(A)?0，尽管P(A)?0，但事件A不是不可能事件，这是概率为0但不是不可能事件的一个例子. 课堂练习：
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甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘船都不需要等候码头空出的概率是多少？
五、概率的公理化定义
1. 事件域 设?为一样本空间，若满足： F是由?的某些子集所构成的非空集类，(1)??F;
(2)若A?F，则A?F;
(3)若Ai?F(i?1,2,?)，则有?Ai?F.
i?1?则称F为事件域，F中的元素称为事件.
2. 概率 设P(A)(A?F)是定义在事件域F上的一个集合函数，若它满足： (1)P(?)?1；
(2)对每一个A?F，P(A)?0；
(3)若Ai?F(i?1,2,?)，且两两互不相容，有
????P??Ak???P(Ak), ?k?1?k?1就称P(A)为事件域F上的事件A的概率.
注：研究一个随机试验的步骤：首先定义样本?空间，然后指出所讨论事件的范围事件域——F，最后确定概率P. 以后我们称三元组(?,F,P)为概率空间.
六、条件概率 乘法公式 全概率公式及贝叶斯公式
1．条件概率 对于两个事件A,B，若P(B)?0，则称
P(A|B)?P(AB) P(B)为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率.
注：由定义可知，对任意的两个事件A、B，若P(B)?0，则有
P(AB)?P(B)P(A|B)
并称上式为概率的乘法公式.
例1．已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(B|A)?0.8，求P(A?B).
例2．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个. 其中第一个盒子中7个球标有字母
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A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个. 试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得的球标有字母A，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球. 如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.
2．全概率公式
设B1,B2,?,Bn是一列互不相容的事件，且有
?Bi?1ni??, P(Bi)?0, i?1,2,?,n
则对任一事件A，有
P(A)??P(Bi)P(A|Bi)
i?1n例3．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的
15%, 20%, 30%, 35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0. 05, 0.04 , 0.03, 0.02.
现在从出厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？
例4 (赌徒破产模型)赌徒参加赌博，一开始他有x元赌本，而庄家则有a?x元赌本. 假如每局赌徒赢的概率为p，双方开始赌博直到一方输光为止，求赌徒最后输光的概率.
解：记Ai={赌徒开始有i元，最后输光}，B?{第一局赌徒赢}，则由全概率公式
P(Ai)?P(Ai|B)P(B)?P(Ai|B)P(B)?pP(Ai?1)?qP(Ai?1)，
其中，q?1?p，记pi?P(Ai)，则有
pi?ppi?1?qpi?1，
联合p0?1,pa?0可以解得
??q?x?q?a????????p??p?,a????qpx??1?????p??x??1????,???a?1p?;21p?.2
当a?x时，就算赌局是公平的，即p?12，px?1?xa?1，赌徒最后几乎必然要
10
输光.
课堂练习：
m个人相互传球，开始球从甲手中传出，每次传球时传球者等可能地把球传习给其余m?1个人中的任何一个，求第n次传球时仍由甲传出的概率.
3．贝叶斯（Bayes）公式
设B1,B2,?,Bn是一列互不相容的事件，且有
?Bi?1ni??, P(Bi)?0, i?1,2,?,n
则对任一事件A，有
P(Bi|A)?P(Bi)P(A|Bi)?P(B)P(A|B)jjj?1n
注：P(Bi)是在试验以前就知道的概率，所以习惯上称它们为先验概率，而P(Bi|A)反映了在试验之后，对A发生的“来源”的各种可能性大小，通常称为后验概率.
例3．用甲胎蛋白法普查肝癌，令C?{被检验者患肝癌}，A?{甲胎蛋白检验成阳性}，则C?{被检验者未患肝癌}，A?{甲胎蛋白检验成阴性}，由过得去的资料已知
P(A|C)?0.95, P(A|C)?0.90，又已知某地居民的肝癌发病率为P(C)?0.0004. 在普查
中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人，求这批人中真的患有肝癌的概率P(C|A).
七、独立性
1． 定义 对任意的两个事件，若
P(AB)?P(A)P(B)
成立，则称事件A, B是相互独立的，简称为独立的.
注：由定义可知，必然事件?与事不可能事件?与任何件都是相互独立的. 2． 独立性的性质
(1) P(A|B)?P(A)；
(2) 若A, B是相互独立的，则事件A与B，A与B及A与B都是相互独立的； 例1．设P(A)?0，P(B)?0，试证：A, B是相互独立与互不相容不能同时成立. 例2．设0?P(A)?1，且P(B|A)?P(B|A)，试证：A, B相互独立.
11
例3．设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生； (2) n个事件中至少有一个发生； (3) n个事件不全发生.
例4．设随机试验中，某一事件A发生的概率为?(??0)，证明：不论?如何小，只要不断地独立重复做此试验，则A迟早发生的概率为1.
第二章 随机变量及其概率分布
§1 随机变量
许多随机试验，它们的可能结果可以直接用一个数来表示，例如，随意掷一颗骰子观察出现的点数，此试验的可能结果便可以用1,2,3,4,5,6来表示. 又如，测试灯泡的寿命，则试验的可能结果为任意非负实数. 像这类试验，我们自然地可以用一个变量X来表示它们的结果.
而有的随机试验，虽然它们的可能结果并不是数，但只要将每一个可能结果与一个实数相对应，那么，试验的不同可能结果就可以用一个变量来表示了. 例如，在掷硬币的试验中，若令“正面朝下”对应数0，“正面朝上”对应数1，则试验结果可以用变量?来表示，即
????0,当正面朝下时
?1,当正面朝上时.总之，随机试验的可能结果都可以用一个变量来表示，这个变量取什么值取决于试验的可能结果，即样本点.
定义 设(?,F,P)是一个概率空间，若对每一个???，有一个实数?(?)与之相对应，而且对任意的实数x，{?|?(?)?x}?F，则称实值单值函数?(?)为随机变量，简记为?. 通常用希腊字母?,?,?等来表示随机变量，用小写字母x,y,z等表示随机变量的取值.
引进随机变量后，我们就可以用数字的形式来表示事件了. 例如，{??2}，{??5}，
{0???1}等. 这样的表示不仅简单，而且有利于进行各种数学运算.
常见的随机变量有离散型和连续型两类，以下分别讨论.
１）离散型随机变量．如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
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２）连续型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续随机变量．
如随机变量?的密度函数为
?1,a?x?b;?p(x)??b?a
?其它?0,求P(???).
1412§2 离散型随机变量
1. 概率分布（分布列）．设离散型随机变量?可能取的值为x1，x2，?，xi，?．?取每一个值xi（i＝１,２,?）的概率P(??xi)?pi,则表
? P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? 称为随机变量?的概率分布,简称?的分布列. 它完整地表示了?取值的概率分布情况. 2. 离散型随机变量的分布列具有下列性质: ① pi?0,i?1,2,?； ② p1?p2???pi???1
一般地，离散随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
下面介绍几种常见的离散分布及其性质
(1) 两点分布(Bernoulli分布) 如果随机变量?的分布如下：
P{??1}?p, P{??0}?q,
其中，0?p?1, q?1?p, 则称?服从参数为p的两点分布.
(2) 二项分布
设随机变量?的概率分布为
kkn?kP{??k}?Cnpq，k?0,1,?,n，
其中0?p?1, q?1?p,n为正整数，称则称?服从参数为n,p的二项分布， 记为??B(n,p)
13
例１ 某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意的连续取出2件,其
中次品数为?的概率分布是
01 2 pk x xnPPPPNpppnP例2 一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以?表示取出球的最大号码,求?的分布列.
? ?x, ０?x?1?例3 设随机变量?的概率密度函数为f(x)???x?2, 1 ?0, 其他 ?(1) 画出?的概率密度曲线; (2) 求落在区间(0. 3 , 0. 7)内的概率. 例4 在一袋中装有一只红球和9只白球,每次从袋中任取一球,取后放回,直到取到红为止,求取球次数?的分布列. 例5 从一批有10个合格品和3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽到 的可能性相同. 在下列三种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数?的分布列. (1) 每次取出的产品都不放回此批产品中; (2) 每次取出的产品都立即放回此批产品中,然后再取出一件产品; (3) 每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中. 全品题型设计 基 础 题 1. 设离散型随机变量?的概率分布如下: ? 12 3 4 11pnP1pi xxnPPP PNpp 663则p的值为 ( ) p (A) 1/2 (B) 1/6 (C) 1/3 (D) 1/4 2. 已知随机变量?的分布列为:P(??k)?1，k?1,2,?, 则P(2???4)?( ) 2k(A) 3/16 (B) 1/4 (C) 1/16 (D) 5/16 ０?x?1?2x, 113. 已知随机变量?的分布密度为:f(x)??，P(???)?( ) 42?0, 其它 14 (A) 1/4 (B) 1/7 (C) 1/9 (D) 3/16 4. 设随机变量?分布列为P(??i)?a()i,i?1,2,3,则a的值为 ( ) (A) 1 (B) 9/13 (C) 11/13 (D) 27/13 13０, x＜a??5. 已知连续型随机变量?的概率密度函数为p(x)??A,???????a?x?b , 其中A>0,则A ?0, x＞b?的值为 ( ) (A) 1 (B) b (C) 1/(b－a) (D) b－a 6. 已知随机变量?分布列为:P(??k)?, k?1,2,3,则D(3??5)?( ) (A) 6 (B) 9 (C) 3 (D) 4 7. 已知随机变量?服从二项分布,即??B,则P的值为( ) （6，）（??2）(A) 3/16 (B) 4/243 (C) 13/243 (D) 80/243 1313c,k?0,1,2,3,则c? . k?1 9. 某处有供水龙头5个,调查表示每个水龙头被打开的可能为1/10,随机变量?表示同 8. 设随机变量?的概率分布为P(??k)?时被打开的水龙头的个数,则P(??3)? . ?0, x?1?10. 若随机变量?的概率密度函数f(x)??x?a, 1?x?2,当x?(??,??) ?0, x?2 ?时,f(x)?0,那么常数a? . 11. 一批零件中有九个合格品与三个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不在放回,求在取得合格品以前已取出的废品的分布. 12. 某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意连续取出2件. (1) 求次品数?的取值范围; (2) 求?的分布列; (3) 求P(??1). 13. 金工车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦,已知每台机 床工作时,平均每小时实际开动12分钟,且开动与否是相互独立的. (1) 现因当地电力供应紧张,供电部门只提供50千瓦的电力,这10台机床能够正常 工作的概率为多大? (2) 在一个工作班的8小时内,不能正常工作的时间大约是多少? 15 第三章 随机变量的期望与方差 知识要点归纳 1. 期望 1) 若离散型随机变量?的概率分布为 ? x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ? pk 则称?(?)?x1p1?x2p2???xkpk??为?的数学期望．简称期望． 2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量值的平均水平． 3) 数学期望的性质 ?(c)?c, E(a??b)?aE??b, 其中(a，b，c为常数). 2. 方差 1) 若离散型随机变量?所有可能的取值是x1,x2,?,xn,?,且这些值的概率分别是 p1,p2,?,pn,?,则称： D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2?…?(xn?E?)2pn?… 为?的方差． 2) 随机变量?的方差反映了?的取值的稳定性． 3) 方差的性质 ① 设a、b为常数，则D(a??b)?a2D?． ② D??E?2?(E?)2． ３．若??B(1,p)分布，则E??p, D??p(1?p)； 若?～B(n,p)，则E??np, D??np(1?p)． 解题要点整合 1．E?是一个实数，由?的分布唯一确定，即作为随机变量?是可变的，可取不同值，而E?是不变的，它描述?取值的平均状态． 2．?(?)?x1p1?x2p2???xkpk??直接给出了E?的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加． 16 3. 因为E(a??b)?aE??b，所以随机变量?线性函数??a??b的期望等于随机变量?期望的线性函数．此式可有如下几种特殊形式： 当b?0时，E(a?)?aE?．此式表明常量与随机变量乘积的数学期望等于这个常量与随机变量的期望和乘积． 当a?1时,E(??b)?E??b. 此式表明随机变量与常量和的期望等于随机变量的期望与这个常量的和. 当a?0时,E(b)?b. 此式表明常量的期望等于这个常量. 4. D?表示随机变量?对E?的平均偏离程度,D?越大表明平均偏离程度越大,说明 ?的取值越分散,反之,D?越小,?的取值越集中,在E?附近统计中常用D?来描述?的 分散程度. 5. D?与E?一样也是一个实数,由?的分布列唯一确定. 6. 数学期望与方差,标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征,它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度. 离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列有密切关系，方差又与数学期望紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论： 一般地，若离散型随机变量?的分布列为 ? pk x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ? 则期望 ?(?)?x1p1?x2p2???xkpk??, 方差 D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2?…?(xn?E?)2pn?…， 标准差???D?, E(a??b)?aE??b，D(a??b)?a2D?． 若?～B(n,p)，则E??np，D??npq，这里q?1?p． 例１ 一个带子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红 球个数的数学期望是＿＿＿＿(用数字作答). 练习：甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 2，乙在每局中获胜的31概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数?的期望E?为【 】 3A. 17 241670266274 B. C. D. 812438181 例2 利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是＿＿＿＿. 自然 状况 赢 方 利 案 A3 70 26 16 -20 52 78 A4 98 82 -10 A1 50 65 26 A2 S1 S2 S3 概率 0. 25 0. 30 0. 45 例3 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0?p?1),用随机变量?表示A在1次试验中发生的次数． (1)求方差D?的最大值；(2)求 例４ 甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，它们收获情况分布如下： 甲 亩产量 亩数 乙 亩产量 亩数 300 20 310 30 320 25 320 20 330 40 330 40 340 15 340 10 2D??1的最大值． E?试评价哪种水稻品种较好． 全品题型设计 基 础 题 1. 下面说法中正确的是 （ ） A) 离散型随机变量?的期望E?反映了?取值的概率的平均值 B) 离散型随机变量?的方差D?反映了?取值的平均水平 C) 离散型随机变量?的期望E?反映了?取值的平均水平 D) 离散型随机变量?的方差D?反映了?取值的概率的平均值 18 ２. 已知?～B(n,p)，E??8，D??1.6，则n与p的值分别是 （ ） A) 100和0. 08 B) 20和0. 4 C) 10和0. 2 D) 10和0. 8 3. 设离散型随机变量?满足E(?)＝－１，D(?)＝３，则E[3(?2?2)]等于（ ） Ａ)９ Ｂ)6 Ｃ)30 Ｄ)36 能 力 题 4. 设掷1颗骰子出现的点数为?，则（ ） 35 1235C) E??3.5 , D??3.5 D)E??3.5, D?? 16A）E??3.5 , D??3.52 B) E??3.5, D??5. 如果袋中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后放回,连续摸取4次,设?取得红球的次数,则?的期望E??( ) 312 B) 45191C) D) 73A) 6．设随机变量?服从二项分布，即?～B(n,p)且E??3，p?1，则n? ，7D?? ． 7．抛掷３个骰子，当至少有一个５点或一个６点出现时，就说这次试验成功．则在54次试验中成功次数n的期望为＿＿＿． 8．从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为?，则E(5??1)? ． 9. 一次数学单元考试由30个选择题构成,每个选择题有4个,其中有且只有一个选项是正 确答案,每题选择正确得5分,不选或选错得0分,满分150分,学生甲选对任一题的概率为0. 9,学生乙选对任一题的概率为0. 85,求甲,乙在这次考试中的成绩期望. 10. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互 独立的,并且概率都是2/5,设?为途中遇到红灯的次数,求随机变量?的分布列,数学期望和方差. 创 新 题 11. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量?和?,且?,?的分 布列为 19 ? pk 10 0. 5 9 0. 2 8 0. 1 7 6 5 0 0 0. 1 0. 05 0. 05 ? pk 10 0. 1 9 0. 1 8 0. 1 7 0. 1 6 0. 2 5 0. 2 0 0. 2 计算?,?的期望与方差,并以次分析甲、乙的技术优劣. 附录： 离散型随机变量的分布列综合训练 一、选择题 1．设随机变量?的分布列为P(??k)?m()k,k?1,2,3，则m的值为 （ ） （A）17/38 （B）27/38 （C）17/19 （D）27/19 2．随机变量?服从二项分布，即?~B(6,)，则P(??2)的值为 （ ） （A）3/16 （B）4/243 （C）13/243 （D）80/243 3．如果?~B，则使P最大的k为 （ ） （20，）（??k）（A）4 （B）5 （C）6 （D）4或5 4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码. 现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两球号码之和为随机变量?，则?的所以可能值的个数为 （ ） （A）5 （B）9 （C）10 （D）25 5．随机变量 ?的概率分布规律为P（??k）=则P（???)的值为 （ ）. （A）2/3 （B）3/4 （C）4/5 （D）5/6 6．盒内装有外形与功率都相同的15只灯泡，其中10只螺口的，5只卡口的，均灯口向下的放着. 现需要一只螺口灯泡，从盒中任取一只，若取到卡口的就不放回. 把?记为取到螺口前已取到卡口灯泡的个数，则P（??1)= （ ） （A）19/21 （B）2/3 （C）5/21 （D）1/2 7．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0. 25，若使至少命中一次的概率不小于0. 75，则至少应射击 （ ）次 20 231314c. 其中c为常数，（k=1，2，3，4）（kk?1）1252 月薪数据的盒形图 （4）在上图横线叫做须线（whisker），须线从方盒的边线出发，直至在上、下限之内的最大值和最小值。对于月薪数据，其须线止于2210和2630。 （5）最后，任一异常值的位置以符号“＊”标出。在图3-3中可以看到一个异常值——2825。 在上图中，我们用一些竖线显示上、下限的位置。这些竖线用来表明对于月薪数据，上、下限是 如何计算出来的，但是一般情况下它们并不在盒形图上画出。在下图中显示了正常情况下的月薪数据 盒形图的外观。 盒形图表明数据两端的值和中间的值的范围，也表现出了数据的分布情况，特别适用于大样本的数据，以及两组样本数不同的数据进行比较。但它损失了原始的数据。 36