松江区2013学年度第一学期高三期末考试
数学（文科）试卷
（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.1
一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若函数f(x)?2．若4?2xx?111(x?1)的反函数为f?1(x)，则f?1()? ▲ ． x?12?0，则x? ▲ ．
1?)?，??(?,0)，则tan?? ▲ ． 2324．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方
3．已知sin(??差为 ▲ ．
?2sinx3的最小正周期为 ▲ ．
cos2xcosx????????16．如图，正六边形ABCDEF的边长为，则AC?DB?
5．函数f(x)? ▲ ．
7．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若a1?1，
a3?5，Sn?64，则n? ▲ ．
8．将直线l1：x?y?3?0绕着点P(1,2)按逆时针方向旋
转
45?后得到直线l2，则l2的方程为 ▲ ．
9．执行如图所示的程序框图，输出的S= ▲ ． 10．若圆x?y?R(R?0)和曲线共点，则R的值是 ▲ ． 11．记an为(1?x)n?1的展开式中含xn?1222|x||y|??1恰有六34项的系数，则
个公
lim(n??111????)? ▲ ． a1a2an12．对于任意实数x，x表示不小于x的最小整数，如1.2?2,?0.2?0．定义在R上的函数
f(x)?x?2x，若集合A??yy?f(x),?1?x?0?，则集合A中所有元素的和为 ▲ ．
·1·
x2y2P是C上一点，13．设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，若PF1?PF2?6a,abC的渐近线方程为 ▲ ． 且?PF1F2的最小内角为30，则
14．对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：
①若f(x)是奇函数，则函数f(x?1)的图像关于点A(1,0)对称； ②若f(x)是偶函数，则函数f(x?1)的图像关于直线x?1对称； ③若2是f(x)的一个周期，则对任意的x?R，都有f(x?1)??f(x)； ④函数y?f(x?1)与y?f(1?x)的图像关于y轴对称． 其中正确命题的序号是 ▲ ．
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为 A ．25 B．26 C．27 D．以上都不是 16．已知0?a?b，且a?b?1，则下列不等式中，正确的是
?11? A．log2a?0 B．2C．log2a?log2b??2 D．2ba? 2217．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则关于x的方程
a?b?abx2?2ax?b2?0有两个虚根的概率是
12A． B．
55C．
3 5D．
4 518．下列四个命题，其中正确的是
??????????????①已知向量?和?，则“????0” 的充要条件是“??0或??0”；
n??n??②已知数列{an}和{bn}，则“limanbn?0”的充要条件是“liman=0或limbn?0”；
n??③已知z1,z2?C，则“z1?z2?0” 的充要条件是“z1?0或z2?0”； ④已知?,??R，则“sin??cos??0” 的充要条件是“??k?(k?Z)或??A．①② B．②③ C．①④ D．③④
三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
·2·
?2?k?(k?Z)”．
写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
已知集合A?{xx?1?1}，B?{xx2?4ax?3a2?0,a?0} (1)当a?1时，求集合A?B； ⑵若A?B?B，求实数a的取值范围．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
x2?y2?1的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点． 过椭圆2????????⑴求AO?AF1的范围；
????????⑵若OA?OB，求直线l的方程．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东45?方向，距A地1502海里处的M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．
⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程； ⑵问：
①应派哪艘船前往救援？
②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？
（精确到
0.1小时）
·3·
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6
分
已知函数f(x)?x2?(x?1)|x?a|． ⑴若a??1，解方程f(x)?1；
⑵若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
⑶是否存在实数a，使得g(x)?f(x)?xx在R上是奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8
分
对于数列{An}：A1,A2,A3,?,An，若不改变A3,?,An中部分项的符号，得到1，仅改变A2,A的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,?2,?3,4,5．
已知数列{an}为数列{⑴写出S3的所有可能值；
1}(n?N?)的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和． n2?1,n?3k?1??2n,k?N，求Sn； ⑵若生成数列{an}的通项公式为an??1??,n?3k?1??2n⑶用数学归纳法证明：对于给定的n?N，Sn的所有可能值组成的集合为：
?{x|x?
2m?1,m?N?,m?2n?1}． n2·4·
·5·
松江区2013学年度第一学期高三期末考试
数学（文科）试卷参考答案
2014.1
一、填空题
1．3 2． 1
3．?22 4．0.032
35． ? 6．?
27． 8 8．y?2 9．102 10．3 11．2 12．-4 13．y??2x 14． ①②
二、选择题
15．B 16． C 17．A 18．D
三、解答题 19．解：
(1)由x?1?1, 得0?x?2，所以A?[0,2]…… 2分
2当a?1时, B?{xx?4x?3?0}?x1?x?3,……………………… 4分
??∴A?B?[1,2] ……………………… 6分 (2) ?a?0, ∴B??a,3a?， ………………………7分 若A?B?B，则B?A, ……………………… 8分 ∴??a?02 即a?[0,] ………………………12 分
3?3a?220．解：（1）易知a?2,b?1,c?1 ∴F1(?1,0)， ……………1分
2????????22设A(x1,y1)，则AO?AF1?x1?x1?y1 ……………………… 3分
x2∵1?y1?1
2????????1211222∴AO?AF1?x1?x1?y1?x1?x1?1?(x1?1)? ………………5分
222????????1∵x1?[?2,2] ∴AO?AF1?[,2?2]， ……………………… 6分
2(2)设A、B两点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)
????????122①当l平行于y轴时，点A(?1,)、B(?1,?)，此时OA?OB??0……8分
222②当l不平行于y轴时，设直线l的斜率为k，则直线l方程为y?k(x?1)，
·6·
?y?k(x?1)?由?x2 得 (1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0 ………………… 9分
2??y?1?24k22k2?2x1?x2??，x1x2? ………………… 11分 221?2k????????1?2kOA?OB?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?k2(x1?x2)?k2
22k2?24k2222?k??k?0=(1?k)? 得 k?2，k??2………… 13分 221?2k1?2k故所求的直线方程为y??2(x?1) ………… 14分
21．
解：⑴设点P为边界线上的点，由题意知
PAPB??2，即PA?PB?60， 3030即动点P到两定点A、B的距离之差为常数，
∴点P的轨迹是双曲线中的一支。 ……… …………… 3分 由2c?200,2a?60得a?30，b2?1002?302?9100
x2y2??1（x?0） ………………… 6分 ∴方程为
9009100⑵①解法一：M点的坐标为M(50,150)，A点的坐标为A(?100,0)，B点的坐标为B(100,0)，
∴MA?1502?212.1，MB?50?150?158.1，MA?MB??212.1?158.1?54?60，∴点M在A区，又遇险船向正北方向漂移，，即遇险船始终在A区内，∴应派A船前往救援 …………………8分
②设经t小时后，A救援船在点N处与遇险船相遇。在?AMN中，AM?1502，MN?10t,AN?30t,?AMN?135? ………………… 9分 ∴(30t)2?(10t)2?(1502)2?2?10t?1502cos135?
2整理得4t?15t?225?0，
2215?151715?1517（舍） ………………… 13分 ?9.606或t?88∴A救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇． …………………14分
解得t?22．
解：（1）当a??1时，f(x)?x?(x?1)|x?1|, 故有,
2?2x2?1,x??1, …………………2分 f(x)??x??1?1,2当x??1时，由f(x)?1，有2x?1?1，解得x?1或x??1…………………3分 当x??1时，f(x)?1恒成立 …………………4分 ∴ 方程的解集为{x|x??1或x?1} …………………5分
?2x2?(a?1)x?a,x?a（2）f(x)??, …………………7分
x?a?(a?1)x?a,若f(x)在R上单调递增，则有
·7·
?a?1?a1?， 解得，a? …………………9分 ?43?a?1?0?1∴ 当a?时，f(x)在R上单调递增 ……………10分
3（3）g(x)?x2?(x?1)x?a?xx
?g(1)?0,g(?1)?2?2a?1
若存在实数a，使得g(x)在R上是奇函数或是偶函数，
则必有g(?1)?0，?2?2a?1?0,?a?0或a?2 ……………12分
22①若a?0，则g(x)?x?(x?1)x?xx?x?x，
?g(?x)?g(x)对x?R恒成立，
?g(x)为偶函数 ……………14分
2②若a?2，则g(x)?x?(x?1)x?2?xx
?g(2)?4,g(?2)?8，?g(?2)?g(2)且g(?2)??g(2)，
?g(x)为非奇非偶函数
?当a?0时，g(x)为偶函数；当a?0时，g(x)为非奇非偶函数。……………16分
23．
11?，|an|?n(n?N,n?2)， 2211∴a2??,a3?? ……………………………………2分
481117111511131111由于???,???,???,???
24882488248824881357∴S3可能值为,,,． …………………4分
8888（1）由已知，a1?
?1,n?3k?1??2n,k?N （2）∵an??1??,n?3k?1??2n∴n?3k(k?N)时，
?111111111??)?(??)???(??) 21222324252623k?223k?123k111111111?(1?4???3k?2)?(2?5???3k?1)?(3?6???3k) 222222222Sn?(·8·
1111k11k[1?(3)k][1?()][1?()]82333111111222222?[1?()k](??)?[1?()n] ………???11178248721?31?31?3222……………7分
n?3k?1(k?N)时，
11111Sn?Sn?1?an?[1?()n?1]?n?[1?5()n] …………………8分
72272n?3k?2(k?N)时，
11111Sn?Sn?1?an?1?[1?()n?1]?n?1?[1?3()n]
722721?1(1?),n?3kn?72?5?1?Sn??(1?n),n?3k?1(k?N) …………………10分
2?73?1(1?),n?3k?2n?72?1，命题成立。 …………………………11分 2②假设n?k(k?1)时命题成立，即Sk所有可能值集合为：
2m?1?k?1{x|x?,m?N,m?2} k22m?1(m?N?,m?2k?1) ………………………………13分 由假设，Sk=k22k?1Sk?1111111则当n?k?1，Sk?1??2?3???k?k?1?Sk?k?1? k?122222222k?1Sk?12(2m?1)?1Sk?1??(m?N?,m?2k?1)………………………………15分 k?1k?1222?(2m?1)?12?(2m)?1?k?1S?即Sk?1?或(m?N,m?2) k?1k?1k?1222m?1?k即Sk?1?k?1 (m?N,m?2) ∴n?k?1时，命题成立 ……17分
22m?1?n?1?,m?N,m?2}。……18分 由①②，n?N，Sn所有可能值集合为{x|x?n2（3）①n?1时， S1?·9·