南京工业大学 概率统计（江浦）课程考试试题解答
(2005025A)
一.填空（18分）
1、0.45； ???????????2分
9/13。 ???????????4分
2. 1。 ???????????3分
3．189/64； ???????????2分
189/4096。 ???????????4分
4.0.6。 ???????????3分
5.?2(n?1)； ???????????2分
???????????42(n?1)。分
二.选择（9分）
1．(C)。 ???????????
3分
2．(A)。 ???????????3分
3．(D)。 ???????????3分
三（12分）、 解：引进事件：A1={电压不超过200V}，A2={电压在200V～240V}，A3={电压超过240V}，B={电子元件损坏}。 ???????????1分
由于?~N(220, 25)，因此
200?220????220P(A1)?P{??200}?P???
25?25?2
??(?0.8)?1??(0.8)?0.212 ??????????
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3分
P(A2)?P{200???240}??(240?22025)??(200?22025)
??(0.8)??(?0.8)?0.576 ?????????
5分
P(A3)?P{??240}?1?0.212?0.576?0.212. ??????????6分
由题设知 P(B|A1)=0.1, P(B|A2)=0.001, P(B|A3)=0.2。
（1）由全概率公式
3??P(B)??P(A)P(B|A)
iii?1?0.212?0.1?0.576?0.001?0.212?0.2?0.0642 ???????
9分
（2）由贝叶斯公式
??P(A2|B)?12分
P(A2)P(B|A2)P(B)?0.576?0.0010.0642?0.009 ?????????
四（15分）、解： （1）f?(x)?????????y?x???xedy?xe,x?0f(x,y)dy??x
?0,x?0.?1?y?y??xedx?y2e?y,y?0?? f?(y)????f(x,y)dx??02?0,y?0.?由于f(x,y)?f?(x)?f?(y)，故?与?不独立。 ???4
分 (2)f?(z)??????f(x,z?x)dx
显然仅当0?x?z?x，即0?2x?z时，上述积分不等于零，故
f?(z)????????z?z/2?(z?x)?z?z??xedx?e?(?1)e,z?0 ???f(x,z?x)dx??02?0,z?0.???8分 （3）E??E?2?????xf?(x)dx?2?0x?xe??2?xdx?2；
?x????xf?(x)dx??0x?xedx?6；
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D??E?22?(E?)?2。 ???????
10分
同理，E??3，D??3；
E(??)???????????xyf(x,y)dxdy????0dx???xxy?xe?ydy?8。
故 Cov(?,?)?E(??)?E??E??8?2?3?2。 ???????14分
Cov(?,?)D??D?12c34c????于是，
分
?22?358c7?23 ???????15
五（8分）、由于2分
+++
16c=1，因此c?3716。 ?????????
P{??1|??0}?P{??1,??0}P{??0}?P{???1}P{??0}?0.32 ????????
5分
1357?1611? ?????????E???(?1)??0??1??2????248163737??8分
六（8分）、以?表示同时使用外线的分机数，则?~B(200，0.05)。 ???????1分
设总机需设x根外线，则有P???x??90%， 即 P?????200?0.05200?0.05?0.95????0.90 ????????
200?0.05?0.95?x?200?0.053分
由中心极限定理，有
?x?10????9.5?x?10??0.90, 由题设所给数据得 ?1.282 ??????????9.5?6分
解得 x?13.95
故总机需要14根外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使
用。 ?????????8分
七（10分）、解 矩估计
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由于 DX??2?EX2?(EX)，令 EX22?A2?1n22 Xi 即DX?(EX)?A2，
?ni?1又已知 EX??。故 ?2的矩估计量为
? ?分
2?A2??2?1n2iX?ni?1??2?1ni2 ?????????5??)。
(X?ni?1极大似然估计
?已知时，似然函数为：L(?)?(2??22)?n21??exp???2?n2?i?12?(xi??)?，
?因此 lnL(?)??令
dlnL(?)d?22n2ln(2??2)?12?n2n?(xi?1i2??)，
22??n12?2?12??24?(xi?1i??)?0。
2 ?????????10??)。
2解得?的极大似然估计为：?分
八（8分）、解：由题设得到 x=
110?1ni(X?ni?1(74?95???67)?71.2，s2?110i2?x)?245.51。 ??????3
?(x9i?1分
又由置信度为1-α=1-0.05=0.95得临界值t0.025(9)?2.2622。 ??????5分
故置信区间为 [71.2?2.2622245.5110,71.2?2.2622245.5110]?[59.99,82.41]。 ?????8
分
九（12分）、解：(1)待验假设H0：? =1000，H1：? ≠1000 由于题设方差?2未知，故检验用统计量为 T?分
由? =0.05?t?/2?t0.025(15)?2.13
又由x?946、s2=1202，可算得统计量观测值t为
t?x??0s/n2X??0S/n2~t(n?1) ?????2
?946?10001202??1.8 ?????4
/16分
因|t|?1.8?t0.025(15)?2.13，故考虑接受H0，从而认为这批灯泡的平均寿命与标准
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值的差异不显著。 ?????6分
?：? ?1000，H1?：? <1000。 ?????(2)待验假设为H08分
因为?2未知，故仍选用统计量 T?X??0S/n2 ?????10~t(n?1)。
分
由? =0.05?t?(n?1)?t0.05(15)?1.75，而统计量观测值亦同(1)，即t??1.8， 因t??1.8??t0.05(15)??1.75，故拒绝H0，即可以认为这批灯泡不合格。 ?????12分
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