武汉理工大学《专业课程设计3(信息光学)》课程设计说明书
2 建立模型描述
基于耦合波理论，探讨高斯光束经过透射体光栅后的传输特性，推导透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系式，推导出两组变量之间的关系，即角度选择性与光栅线对、波长选择性与光栅线对，角度选择性与光栅厚度以及波长选择性与光栅厚度之间的关系。同时，要数值分析平面波、谱宽和发散角为高斯分布的光束入射条件下，衍射效率受波长和角度偏移量的影响。
本次课程设计利用matlab软件对实验结果进行模拟的。
3仿真结果及分析
3.1角度选择性的模拟
讨论光栅的角度选择性时，假定波长的偏移量??等于零，即不考虑光栅的波长选择性。对角度选择性曲线的分析中，主要讨论两个方面：
（1）角度选择性曲线中的水平选择角，即角度选择性曲线的主瓣半宽度。若角度选择性曲线中的水平选择角越大，则光栅的角度选择的范围越宽；若角度选择性曲线中的水平选择角越小，则光栅的角度选择的范围越窄。
（2）角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度，即衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小。若角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越高，则旁瓣对角度选择的影响越大；若角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越低，则旁瓣对角度选择的影响越小。
衍射效率随角度偏移量的变化而变化，这两者的相互变化关系可由下式表示，角 度的偏移量即为所讨论的角度选择性。其中，在运用matlab进行绘图时，为方便观察和分析光栅的衍射效率与角度选择的变化，将讨论光栅的归一化衍射效率与角度选择性的关系。
1?2222?sin?????2?1????????n1d? （43） ????cos?????dcos?0?????cos????10
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公式(43)中个符号的意义，以及运用matlab进行数值模拟计算时所取得数值如下：
?——光栅的衍射效率；
n——所用的介质的折射率，取值1.52； n1——折射率调制度，取值为4?10?4；
?——进入光栅时的入射光波在真空中的波长，取值1.064?10?6； d——介质的厚度，即光栅的厚度，讨论起取值范围?1mm~1.8mm?；
?——光栅周期，讨论其取值范围?800线对/mm~1400线对/mm?；
??——入射光角度相对与布拉格角度的角度偏移，即为所考察的角度选择性，讨
论其变化范围为??0.1?~0.1??；
?——光波入射角，其大小为布拉格角度与角度偏移之和，即???0???；
?0——布拉格角，由介质折射率、入射光波长已经光栅周期决定，其表达式为
sin?0?n?2?。
3.1.1不同光栅厚度下的角度选择性
对公式（43）在matlab上进行模拟，选取光栅线对为定值（1200线对/mm），光栅的厚度在1mm—1.8mm范围内变化，如图6所示，图6依次为光栅厚度d为1mm、1.3mm、1.5mm、1.8mm下的角度选择性与归一化衍射效率关系的曲线。
图6 不同光栅厚度下的角度选择性
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在图6中，在光栅厚度d取值为1mm 的条件下，角度选择性曲线中，水平选择角(角度选择性曲线的主瓣半宽度)为0.0431?，第一个旁瓣峰值高度(衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小)为8.61%；在光栅厚度d为1.3mm的条件下，角度选择性曲线中，水平选择角为0.0309?，第一个旁瓣峰值高度为13.72%；在光栅厚度d为1.5mm的条件下，角度选择性曲线中，水平选择角为0.0249?，第一个旁瓣峰值高度为20.89%；在光栅厚度d为1.8mm的条件下，角度选择性曲线中，水平选择角为0.0177?，第一个旁瓣峰值高度为50.44%。
根据公式(43)，针对光栅的角度选择性进行数值模拟计算，分析并归纳总结光栅的水平选择角和旁瓣高度随光栅厚度的曲线变化趋势，可以得出如下结论：当光栅厚度变大时，光栅的选择角变小，旁瓣高度变大。
3.1.2不同光栅线对下的角度选择性
对公式（43）在matlab上进行模拟，选取d=1mm,为固定值。光栅线对在800线对/mm—1400线对/mm范围内变化，如图7所示。图7中依次为线对为800/mm、1000/mm、1200/mm、1400/mm下的角度选择性与归一化衍射效率关系的曲线。
图7不同光栅线对下的角度选择性
在图7中，在光栅线对取值为800/mm的条件下，角度选择性曲线中，水平选择角(角度选择性曲线的主瓣半宽度)为0.0660?，第一个旁瓣峰值高度(衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小)为8.05%；在光栅线对取值为1000/mm的条件下，角度选择性曲线
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中，水平选择角为0.0526?，第一个旁瓣峰值高度为8.28%；在光栅线对取值为1200/mm的条件下，角度选择性曲线中，水平选择角为0.0433?，第一个旁瓣峰值高度为8.61%；光栅线对取值为1400/mm的条件下，角度选择性曲线中，水平选择角为0.0369?，第一个旁瓣峰值高度为9.09%。
根据公式(43)，针对光栅的角度选择性进行数值模拟计算，分析并归纳总结光栅的水平选择角和旁瓣高度随光栅线对数目曲线变化趋势，可以得出如下结论：当光栅线对增大时，光栅的选择角变小，旁瓣高度变化不明显。
3.2波长选择性的模拟
讨论光栅的波长选择性时，假定角度的偏移量??等于零，即不考虑光栅的角度选择性。对波长选择性曲线的分析中，主要讨论两个方面：
（1）波长选择性曲线中的波长变化，若波长选择性曲线中的波长变化越大，则光栅的波长选择的范围越宽；若波长选择性曲线中的波长变化越小，则光栅的波长选择范围越窄。
（2）波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度，即衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小。若波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越高，则旁瓣对波长选择的影响越大；若波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越低，则旁瓣对波长选择的影响越小。
衍射效率随波长的偏移量的变化而变化，这两者的相互变化关系可由下式表示。
1?2222?sin?????2?1????????n1d??? （44） ??cos?????d????2n?2cos?????——光栅的衍射效率；
n——所用的介质的折射率，取值1.52； n1——折射率调制度，取值为4?10?4；
?——进入光栅时的入射光波在真空中的波长，取值1.064?10?6； d——介质的厚度，即光栅的厚度，讨论起取值范围?1mm~1.8mm?；
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?——光栅周期，讨论其取值范围?800线对/mm~1400线对/mm?；
?——光波入射角，此时不考虑角度偏移，所以就等于?0；
??——波长偏移，即波长选择性，其取值范围为??5?10?6mm~5?10?6mm?；
?0——布拉格角，由介质折射率、入射光波长已经光栅周期决定，其表达式为
sin?0?n?2?。
3.2.1不同光栅厚度下的波长选择性
对公式（44）在matlab上进行模拟，选取光栅线对为定值（1200线对/mm），光栅的厚度在1mm—1.8mm范围内变化，如图8所示。图8中依次为光栅厚度d为1mm、1.2mm、1.4mm、1.6mm下的波长选择性与归一化衍射效率关系的曲线。
图8不同光栅宽带下的波长选择性
在图8中，在光栅厚度d取值为1mm 的条件下，波长选择性曲线中，波长变化(波长选择性曲线的主瓣半宽度)为1.75nm，第一个旁瓣峰值高度(衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小)为8.56%；在光栅厚度d为1.2mm的条件下，波长选择性曲线中，波长变化为1.38nm，第一个旁瓣峰值高度为11.46%；在光栅厚度d为1.4mm的条件下，波长选择性曲线中，波长变化为1.12nm，第一个旁瓣峰值高度为16.64%；在光栅厚度d为1.6mm的条件下，波长选择性曲线中，波长变化为0.90nm，第一个旁瓣峰值高度为26.83%。
根据公式(44)，针对光栅的波长选择性进行数值模拟计算，分析并归纳总结光栅
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目录
1 基本原理 .................................................................. 1
1.1耦合波理论 ........................................................... 1 1.2高斯光波的基本理论 ................................................... 9 2 建立模型描述 ............................................................. 10 3仿真结果及分析 ........................................................... 10
3.1角度选择性的模拟 .................................................... 10 3.2波长选择性的模拟 .................................................... 13 3.3单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 .............................. 15 3.4多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 ................................ 17 4 调试过程及结论 ........................................................... 18 5 心得体会 ................................................................. 20 6 思考题 ................................................................... 20 7 参考文献 ................................................................. 20 8 附录 ..................................................................... 21
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高斯光束经透射型体光栅后的光束传输
特性分析
1 基本原理
1.1耦合波理论
耦合波理论分析方法基于厚全息光栅产生的布拉格衍射光。当入射波被削弱且产生强衍射效率时，耦合波理论分析方法适用耦合波理论分析方法适用于透射光栅。
1.1.1耦合波理论研究的假设条件及模型
耦合波理论研究的假设条件： (1) 单色波入射体布拉格光栅；
(2) 入射波以布拉格角度或近布拉格角度入射； (3)入射波垂直偏振与入射平面；
(4)在体光栅中只有两个光波：入射光波 R 和衍射光波 S；
(5)仅有入射光波 R 和衍射光波 S 遵守布拉格条件，其余的衍射能级违背布拉格 条件，可被忽略；
(6)其余的衍射能级仅对入射光波 R 和衍射光波 S 的能量交换有微小影响； (7)将耦合波理论限定于厚布拉格光栅中；
图1为用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。边界面垂直于入射面，与介质边界成?角。光栅矢量K垂直于边界平面，其大小为K?2?/?，?为光栅周期，?为入射角。
图1布拉格光栅模型
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R—入射波，S—信号波，?—光栅的倾斜角，?0—再现光满足布拉格条件时的入射
角（与z轴所夹的角），K—光栅矢量的大学，d—光栅的厚度，?r和?s—再现光波和衍射光波与z轴所夹的角度，?—光栅周期。 光波在光栅中的传播由标量波动方程描述：
?2E?k2E?0 （1）
假设为与y无关，其角频率为?。?是y方向的电磁波的复振幅，
公式（2）中传播常数k?x,z?被空间调制，且与介质常数??x,z?和传导率??x,z?相关：
k?2公式（2）中E?xz,?2c2??j??? （2）
公式(3)中，在自由空间传播的条件下c是自由空间的光速，?为介质的渗透率。在此模型中，介质常量与y无关。布拉格光栅的边界由介质常数??x,z?和传导率??x,z?的空间调制表示：
?????0??1cos?K.x?（3） ??????cosK.x???01?公式(4)中，?1和?1是空间调制的振幅，?0是平均介电常数，?1是平均传导率。假设对?和?进行相位调制。为简化标记，我们运用半径矢量x和光栅矢量K：
?x??sin???；K=K?0?；K?2?/? yx=????????z???cos???结合公式（3）和公式（4）：
k2??2?2j???2???ejK.x?e?jK.x? （4）
此处引入平均传输常数?和平均吸收常数?
??2???0?/?；???c?0/2??0? （5）
耦合常数?定义为：
1?2?????14??1212??0?12?j?c?1??0?12? （6） ??耦合常数?描述了入射光波R和衍射光波S之间的耦合光系。耦合常数是耦合波理论的中心参量。当耦合常数??0时，入射光波R和衍射光波S之间不存在耦合，因此也没有衍射存在。
光学介质通常由他们的折射率和吸收常数来表征。当满足如下条件时，运用平均
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传输常数?、平均吸收常数?和耦合常数?等参量就十分方便。
2?n2?n??；??1?z?；n?n1 （7） ??公式（8）适用于几乎所有的实际情况。公式（8）中，n为平均折射率，n1是折射率空间调制的振幅，?1是吸收常数空间调制的振幅。其中，?是自由空间的波长。在以上的条件下，可以写出具有较高精确度的平均传输常数?：
??2?n? （8）
和耦合常数?
???n1??j?12 （9）
1.1.2光栅中光波的表达式
由折射率空间调制的振幅n1和吸收常数空间调制的振幅?1产生的空间调制的光栅，会使入射光波R和衍射光波S产生耦合，并且导致入射光波R和衍射光波S之间的能量交换。通过入射光波R?z?和衍射光波S?z?的复振幅描述光波，入射光波R?z?和衍射光波S?z?沿着 z方向变化，这种变化产生的原因是由于能量的交换，或者说是由于吸收导致的能量损耗而产生。在光栅内的全部电磁场是入射光波R?z?和衍射光波S?z?的叠加：
E?R?z?e?j?.??S?z?e?j?.? （10）
公式(11)中，传播矢量?和?，描述了光栅中衍射的物理过程和传播过程，包含了入射光波R?z?和衍射光波S?z?中的传播常量及传播方向。传播矢量?表示为耦合过程中有入射波的传播矢量。?由光栅本身所驱动，与传播矢量?和光栅矢量K相关：
???.K （11）
公式(12)是体现了能量转换的动力方程。选择传播矢量?和?，使其尽可能的接近于光栅中衍射现象所描绘的物理过程。若实际的相位速度与假定值略有不同，根据以上理论，这些差异就会体现在入射光波R?z?和衍射光波S?z?的复振幅中。
1.1.3光栅内布拉格条件
图2为入射波R和信号波S的传播矢量的大小和方向之间的关系，图 2中标出了倾斜因子CR和CS。传播矢量?由?x和?y给出：
??x??sin????? （12） ???0???0????y??????cos??3
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图 2入射波R和信号波S的传播矢量与光栅矢量K的关系
由公式（12）和公式（13），可得出：
K??sin??sin?????x?????????0????0? （13）
????y?K???cos??cos???????与公式(13)相关的矢量如图3所示，它们之间集合于一个以?为半径的圆中。
（a） （b）
图3矢量半径(a)近布拉格条件，(b)完全满足布拉格条件
图3(a)，不满足布拉格条件，传播矢量?长度不等于?；图3(b)，满足布拉格条件，传播矢量?和?的长度均等于?。此时的入射角等于布拉格角度cos?0，满足布拉格条件：
cos??????K2? （14）
对于某一固定波长，由于入射角度相对于布拉格角度?0的偏移??的存在，导致不满足布拉格条件。同样，对于某一固定入射角，由于入射波长相对于中心波长?0的偏移??的存在，导致不满足布拉格条件。如下
???0???；???0??? （15）
假设偏移量和都很小，角度偏移量??和波长偏移量??对光栅中的衍射有同样的影响。而且，厚布拉格光栅中的角度选择性和波长选择性有十分密切的关系。为了更便于观察角度选择性和波长选择性的关系，对公式(15)进行求导，得出:
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d?0?K4?sin????0? (16) d?0???之间的关系由失相因子?来表示，失相因子?出现在耦合波方程中，定义为：
??????22?K22??Kcos??????? (17)
4?n对公式(18)中失相因子?进行泰勒级数展开可产生如下的表达式，其修正了角度偏移量??和波长偏移量??的第一量级:
K2????.Ksin???????? (18)
4?n注意到，根据公式(19)，角度偏移量??和波长偏移量??的变化会产生同样的失相因子?。
1.1.4光波在光栅内耦合波方程
下面可以对耦合波方程进行推导。
联立公式(1)公式(5)，并且插入公式(10)式和公式(11)。比较等式中的因子，可得到:
R''?2jR'?z?2j??S?2??S?0 (19)
S''?2jS'?z?2j??S???2??2?S?2??R?0 (20)
根据假设条件，忽略??K和??K方向产生的光波，以及其他高能级衍射波。此外，假设入射光波R?z?和衍射光波S?z?之间的能量交换很慢，能量吸收也很慢，就可忽略R和S。将公式(18)代入公式(19)和公式(20)，可写为:
cRR'??R??j?S（21）
cSS'????j??S??j?R （22）
以上两式就是下面所分析的耦合波理论中的耦合波方程。 公式(21)和公式(22)中缩写cR和cS分别描写为：
cR??z??cos?
cS??z??cos??K?cos? （23）
衍射过程的物理图像就可以通过耦合波方程公式(21)和公式(22)中所体现。沿着
z轴方向传播的光波，由于和其他光波的耦合??R,?S?,或吸收??R,?S?，而产生了变
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化。
耦合波模型的能量平衡可以通过下式来表示：
?cRRR*?cSSS*??2??RR*?SS*??j??*????SR*?RS*??0 （24）
公式(24)中，星号表示为复振幅共轭。公式(24)体现了能量平衡。第一项中的cR和
cS表示了入射光波R?z?和衍射光波S?z?沿z轴方向的能量中注入了能量平衡。第二、第三项描述了由于光栅吸收导致的能量损失。若有布拉格条件不被满足，会使入射光波R?z?和衍射光波S?z?不再同步，并产生??S?。
直接给出解的形式：
R?z??r1exp??1z??r2exp??2z? （25） S?z??s1exp??1z??s2exp??2z? （26）
其中?i和si是由边界条件决定的常数。把公式(25)和公式(26)代入耦合方程，得：
?cR?i???ri??j?si （27）
?cS?i???j??si??j??i （28）
i?1,2
将以上两式公式(27)和公式(28)相乘，得到?的二次式：
?cR?i????cs?i???j????j?2 （29）
其解为：
?1,21?????1???????2?? （30） ?????j??????j??42?cRcScS?2??cRcScS?cRcS???2121.1.5光栅的角度、波长选择性
（1）分析透射光栅中的解
波振幅 图4 波在透射光栅中传播
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继续对耦合波的分析，需要确定常数?i和si的大小。为了确定其大小，需在光栅模型中引入边界条件。针对透射光栅的边界条件如图4所示。假设入射波R在z?0处的大小为一个单位的振幅。入射波R向右传播的过程中逐渐减小，并且其能量耦合进S中。在透射光栅中，信号波S在z?0处的大小为零，传播方向向右?cS?0?。图4中，阴影表示了边缘的取向。因此，透射光栅的边界条件可以写为：
R?0??1，S?0??0 （31） 把边界条件公式(31)代入公式(22)、公式(23)，及
r1?r2?1s1?s2?0 （32） 将以上各式结合公式(31)，得到：
s1??s2??j?cR?r1?r2? （33）
将以上常量引入公式(26)，得到在光栅输出端的信号波振幅：
S?d??j?cS?r1?r2??exp?rd??exp?rd?? （34）
21结合公式(30)和公式(34)，得到透射光栅信号波S的普遍公式：
1?cR??222S??j??exp???dcR?esin???????c?S?12??1????? （35）
22121????????d?cRcS???d???j?
2?cRcScS?12 和衍射效率
??|cS|SS* （36） cR （2）无吸收、非倾斜光栅中透射光波表达式
无吸收、非倾斜、透射式体相位衍射光栅中相应的参数：耦合常数???n1?；吸收常数???1?0；光栅的倾斜角??90?，公式(36)重写为如下形式：
1?cR??i?222S??j??esin????????cS?12??1????? （37）
2212???n1d??cRcS????d2cS
和衍射效率：
1212??sin???????222?1??2?2? （38）
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??和??相对?为独立量，因此??和??可由?表示为
????.Kdsin????0?2cS????.K2d8?ncS （39）
（3）角度选择性、波长选择性
公式(39)可以看到，由于参量?的改变量与角度的偏移量??以及波长的偏移量
??成正比，因此，入射光只要偏离布拉格角一个很小的角度，或波长超出????的范
围，衍射效率?就降低为0，光栅的这一特性分别称之为角度选择性和波长选择性。
从相位失配因子?可以看出，波长偏离和角度偏离对衍射效率的影响是等效的。 先讨论角度选择性。
令波长的偏移量等??于0，设??90?。结合相位失配因子?、公式(37)式以及 公式(38)，得到衍射效率?随角度的偏移量??的变化:
??sin2???n1d??cRcS?
12????dcos?0??2????cS??2?????cos??2?0?1??? (40) ?????cS????再讨论波长选择性。
同理，令角度的偏移量??等于0，设??90?。结合相位失配因子?、公式(37)以及公式(38)，得到衍射效率?随波长的偏移量??的变化：
??sin2????d??2???22n?cS??122?????d?2??1??? （41） ??2n?2?cS????????n1d??cRcS?
下面，将各符号所表示含义整理如下：
?——入光栅时的入射光波真空中波长；
n——介质的折射率；
???0???——入射角；
?——光栅周期；
d——光栅厚度； ??——角度偏移； ??——波长偏移；
?0——布拉格角，由下式确定sin?0?n?2?；
K?2??——光栅矢量大小；
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??2?n?——平均传输常数；
???n1??j?12——耦合常数；
????Ksin????0????K24?n——相位失配因子；
?——吸收常数；
?1，n1——吸收常数和折射率调制度。
1.2高斯光波的基本理论
激光谐振腔发出的基膜场，其横截面的振幅分布遵守高斯函数，称之为高斯脉冲光波。如图5所示为高斯脉冲光波及其参数的图。
图5 高斯脉冲光波及其参数图
沿z方向传播的基膜高斯脉冲光波，其表达式的一般形式为：
??r2?r2?z???????00(x,y,z)?exp??exp?ikz??arctg????? （42） ???2?z?????z?2Rf??????????c公式（42）中，各个符号的含义：
?0：基膜高斯脉冲光束的腰班半径；
f：高斯脉冲光波的共焦参数；
R?z?：高斯脉冲光波的共焦参数；
??z?：传播曲线相交于z点的高斯脉冲光波等相位面的光斑半径。
公式（1）中，各符号的具体表达式：
?0????f2?;f?0;r2?x2?y2;k?; ???2??f?2??f?R?z??z?1????;??z???01??? ?z????z???9
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的波长变化和旁瓣高度随光栅厚度的曲线变化趋势，可以得出如下结论：光栅厚度变大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变大。
3.2.2不同光栅线对下的波长选择性
公式（44）在matlab上进行模拟，选取d=1mm,为固定值。光栅线对在800线对/mm—1400线对/mm范围内变化，如图9所示。图9中依次为线对为800/mm、1000/mm、1200/mm、1400/mm下的角度选择性与归一化衍射效率关系的曲线。
图9不同光栅线对下的波长选择性
在图9中，在光栅线对取值为800/mm的条件下，波长选择性曲线中，波长变化(波长选择性曲线的主瓣半宽度)为4.20nm；在光栅线对取值为1000/mm的条件下，波长选择性曲线中，波长变化为2.61nm，第一个旁瓣峰值高度（衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小）为8.21%；在光栅线对取值为1200/mm的条件下，波长选择性曲线中，波长变化为1.75nm，第一个旁瓣峰值高度为8.56%；光栅线对取值为1400/mm的条件下，波长选择性曲线中，波长变化为1.22nm，第一个旁瓣峰值高度为9.05%。
根据公式(44)，针对光栅的波长选择性进行数值模拟计算，分析并归纳总结光栅的波长变化和旁瓣高度随光栅线对数目曲线变化趋势，可以得出如下结论：当光栅线对增大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变化不明显
3.3单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性
透射型光栅的布拉格条件是：
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sin?0?n?2? （45）
单色发散的高斯光束，如果在光束的传播方向上满足透射型体光栅的布拉格条件，即公式（45），则归一化光束强度公式可以写为：
?????0?2?G1??,b??exp??2??? （46）
??b????其中，???0为角度变化量，b为发散角，对于一个有限的衍射光束直径为D的光束，它的发散角可表示为：
b?2?o （47） ?D结合公式（43）与公式（45），可以得出单色发散的高斯光束的衍射效率公式：
???b??21????G1??,b?d? （48） ?b?根据公式（48），在matlab上编写程序进行仿真，可以得到发散角与衍射效率的关系图，如图10所示。
图10单色发散光束经透射型光栅衍射效率与发散角关系图
从图10中可以看出，当光束发散角小于10?4rad时，衍射效率较高，而且光栅周期的大小对该光束的衍射效率影响不大；如果光束发散角大于10?4rad时，衍射效率呈指数型下
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降，而且在同一发散角时，光栅的周期越小衍射效率越低。
3.4多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性
多色平面波经透射型布拉格体光栅满足布拉格条件，则它的归一化光束强度公式可以写为
?????0?2?G2??,w??exp??2??? （49）
w?????? 公式（49）中w为角谱宽度，???0为波长变化量。结合公式（44）和公式（49）可以得出多色平面波经透射型布拉格体光栅后的衍射效率公式：
???b??21????G2??,w?d? （50） ?w?根据公式（50），在matlab上编写程序进行仿真，可以得到发散角与衍射效率的关系图，如图11所示。
图11多色平面波衍射效率与角谱宽度关系图
从图11中可以看出，当角谱宽度小于10?1nm时，衍射效率较高，而且光栅周期的大小对该光束的衍射效率影响不大；如果角谱宽度大于10?1nm时，衍射效率呈指数型下降，而且光栅周期对衍射的效率影响很大，在同一发散角时，光栅的周期越小衍射效率越低。
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4 调试过程及结论
通过耦合波理论的学习及理解，以及在matlab软件上的不断调试与验证，调试过程中遇到不少困难，有matlab程序出错的，也有出图但是与结果不符合的，但通过不断的尝试以及不断查找资料，终于得到了透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系，得出如下结论：
（1）当光栅厚度变大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变大，如图12所示。
图12 光栅厚度与光栅选择角和旁瓣高度的关系
（2）当光栅线对增大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变化不明显，如图13所示。
图13 光栅线对与光栅选择角和旁瓣高度的关系
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（3）当光栅厚度变大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变大，如图14所示。
图14 光栅厚度与光栅波长变化和旁瓣高度的关系
（4）当光栅线对增大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变化不明显，如图15所示。
图15 光栅线对与光栅波长变化和旁瓣高度的关系
与此同时，通过学习高斯光束的两种不同形式--单色发散光束和多色平面波，matlab软件上不断调试，学习用数值积分函数quadl来解决积分问题，最终得到光束衍射效率与谱宽及发散角的关系，即衍射效率随着发散角以及谱宽的增大而减小。
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5 心得体会
经过这一个多星期的努力，此次课程设计终于接近尾声了，这一多星期，我们通过查资料、学习新知识、预答辩、编程序、仿真调试以及最后的报告的书写，虽然辛苦，但收益良多。
此次课程设计帮助我们巩固了信息光学的知识，进一步理解光栅、高斯光束等一系列知识。在课程设计期间，有许多知识是以前没有学过的或者没有理解的，这需要自己去翻书找答案，这又是对自己的一种挑战，对自己自学能力的挑战，比如我选的课题就涉及到耦合波理论、体光栅等一系列新知识，都需要自学，我只能通过老师给予的资料以及网络尽可能得去理解它。但是付出是有收获的，通过这几天的努力，我发现以前不愿意去接触的复杂的衍射方程现在都可以接受了。
与此同时，此次课设的关系曲线需要用matlab来来实现，由于之前matlab没学好，这也得重新学习，这样负担很重。但是，我们都坚持下来了，不懂的同学间讨论以及上网找资料咨询，尽可能去理解。终于我们对新知识有了一定的理解，这样一步步完成课设的技术要求。此次课设虽然遇到了许多困难与艰辛，但是学到了很多知识。
最后，我想这次的课程设计也是一种锻炼自己学习能力的过程，体现了我们自主学习，自主分析，自我督促的态度。这一过程弥补了被动教学的不足，对我们的个人能力的提升也有很大的作用。自主设计程序、自主学习新的知识、学习使用新的软件，学会了使用matlab软件，这为以后的学习以及进一步的学习都有很大的帮助。
6 思考题
1 透射型体光栅的布拉格条件是什么？
答：透射型体光栅的布拉格条件是sin?0?n?2?。
2 体光栅有哪些应用领域？
答：体光栅可以用来制作激光器纵向模式选择器，在光谱领域、超快脉冲激光器展宽器和压缩器领域、多波长合束领域、角度放大领域有比较普遍的应用。
7 参考文献
[1] 梁铨廷. 物理光学. 北京: 机械工业出版社, 1987. [2] 苏显渝,李继陶.信息光学.科学出版社,2007
[3] 谢敬辉,赵达尊，阎吉祥.物理光学.北京理工出版社，2007
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[4] 周炳琨,高以智.激光原理.国防工业出版社，2009 [5] 吕乃光. 傅里叶光学. 北京: 机械工业出版社,2006
[6] 冯宇.体布拉格光栅中角度、波长选择性与光栅参数的关系.华中科技大学学报，2009
8 附录
（1）不同光栅厚度、光栅线对下的角度选择性matlab程序 clc; clear; n=1.52;%折射率
n1=0.0004;%介质的折射率调制度
lambda=1.064*(10^-3);%进入光栅时的入射光波在真空中的波长 deltatheta=linspace(-0.1*pi/180,0.1*pi/180,1000);%角度变化范围 for num=1:4 %不同光栅厚度下的角度选择性 switchnum case 1
d=1.0;%厚度为1mm case 2
d=1.3;%厚度为1.3mm case 3
d=1.5;%厚度为1.5mm case 4
d=1.8;%厚度为1.8mm end
kai=1/1200;%光栅周期
theta0=asin((n*lambda)/(2*kai));%布拉格角 theta=theta0+deltatheta;%入射角 nu=(pi*n1*d)./(lambda.*cos(theta));
xi=(deltatheta*pi*d*cos(theta0))./(kai*cos(theta));%失相位因子
eta=(sin(sqrt(nu.^2+xi.^2)).^2)./(1+(xi./nu).^2);%衍射效率
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b=eta/max(eta);%归一化 j=deltatheta*180/pi; figure(1)
subplot(2,2,num); plot(j,b,'r'); switchnum case 1
title('d=1.0mm'); case 2
title('d=1.3mm'); case 3
title('d=1.5mm'); case 4
title('d=1.8mm'); end
xlabel('角度变化（。）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on
figure(5)%在一张图中比较 switchnum case 1 plot(j,b); hold on; case 2
plot(j,b,'--'); hold on; case 3 plot(j,b,':'); hold on;
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case 4 plot(j,b,'.'); hold on; end
legend('d=1.0mm','d=1.3mm','d=1.5mm','d=1.8mm'); title('不同光栅厚度下的角度选择性'); xlabel('角度变化（。）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on end
for i=1:4 %不同光栅线对下的角度选择性 switchi case 1 kai=1/800; case 2 kai=1/1000; case 3 kai=1/1200; case 4 kai=1/1400; end
d=1.0;
theta0=asin((n*lambda)/(2*kai)); theta=theta0+deltatheta;
nu=(pi*n1*d)./(lambda.*cos(theta));
xi=(deltatheta*pi*d*cos(theta0))./(kai*cos(theta));
eta=(sin(sqrt(nu.^2+xi.^2)).^2)./(1+(xi./nu).^2); b=eta/max(eta); j=deltatheta*180/pi;
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figure(2) subplot(2,2,i); plot(j,b,'r'); switchi case 1
title('kai=1/800 mm'); case 2
title('kai=1/1000 mm'); case 3
title('kai=1/1200 mm'); case 4
title('kai=1/1400 mm'); end
xlabel('角度变化（。）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on figure(6) switchi case 1 plot(j,b); hold on; case 2
plot(j,b,'--'); hold on; case 3 plot(j,b,':'); hold on; case 4 plot(j,b,'.');
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hold on; end
legend('kai=1/800 mm','kai=1/1000 mm','kai=1/1200 mm','kai=1/1400 mm'); title('不同光栅线对下的角度选择性'); xlabel('角度变化（。）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on end
（2）不同光栅厚度和光栅线对下的波长选择性matlab程序 clc; clear; n=1.52;
n1=0.0004;%介质的折射率调制度 lambda0=1.064*10^-3;
deltalambda=linspace(-5*10^-6,5*10^-6,1000);%波长变化范围 for num=1:4 %不同光栅厚度下的波长选择性 switchnum case 1
d=1.0; case 2
d=1.2; case 3
d=1.4; case 4
d=1.6; end kai=1/1200;
lambda=lambda0+deltalambda; theta=asin((n*lambda0)/(2*kai));
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nu=(pi*n1*d)./(lambda.*cos(theta));
xi=(deltalambda*pi*d)./(2*n*(kai^2)*cos(theta)); eta=(sin(sqrt(nu.^2+xi.^2)).^2)./(1+(xi./nu).^2); a=(pi*n1*d)./(lambda0*cos(theta)); b=(sin(a))^2;%?=0时的衍射效率最大值 c=eta./b; figure(3)
subplot(2,2,num); plot(deltalambda,c,'r'); switchnum case 1
title('d=1.0mm'); case 2
title('d=1.2mm'); case 3
title('d=1.4mm'); case 4
title('d=1.6mm'); end
xlabel('波长变化（mm）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on figure(7) switchnum case 1
plot(deltalambda,c); hold on; case 2
plot(deltalambda,c,'--');
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hold on; case 3
plot(deltalambda,c,':'); hold on; case 4
plot(deltalambda,c,'.'); hold on; end
legend('d=1.0mm','d=1.2mm','d=1.4mm','d=1.6mm'); title('不同光栅厚度下的波长选择性'); xlabel('波长变化（mm）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on end
for i=1:4 %不同光栅线对下的波长选择性 switchi case 1 kai=1/800; case 2 kai=1/1000; case 3 kai=1/1200; case 4 kai=1/1400; end d=1;
lambda=lambda0+deltalambda; theta=asin((lambda0*n)/(2*kai)); nu=(pi*n1*d)./(lambda.*cos(theta));
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xi=(deltalambda*pi*d)./(2*n*(kai^2)*cos(theta)); eta=(sin(sqrt(nu.^2+xi.^2)).^2)./(1+(xi./nu).^2); a=(pi*n1*d)./(lambda0*cos(theta)); b=(sin(a))^2; c=eta./b; figure(4) subplot(2,2,i);
plot(deltalambda,c,'r'); switchi case 1
title('kai=1/800 mm'); case 2
title('kai=1/1000 mm'); case 3
title('kai=1/1200 mm'); case 4
title('kai=1/1400 mm'); end
axis([-5*10^-6,5*10^-6,0,1]); xlabel('波长变化（mm）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on figure(8) switchi case 1
plot(deltalambda,c); hold on; case 2
plot(deltalambda,c,'--');
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hold on; case 3
plot(deltalambda,c,':'); hold on; case 4
plot(deltalambda,c,'.'); hold on; end
legend('kai=1/800 mm','kai=1/1000 mm','kai=1/1200 mm','kai=1/1400 mm'); title('不同光栅线对下的波长选择性'); xlabel('波长变化（mm）'); ylabel('归一化的衍射效率'); grid on end
（3）单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性matlab程序 clc; clear; syms t; d=1; n=1.52;
n1=0.0004;%介质的折射率调制度 lambda=1.064*10^-3; c=linspace(0,0,1000); b=linspace(10^-5,10^-1,1000); for num=1:3 %不同光栅线对 switchnum case 1 kai=1/500; case 2
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kai=1/1000; case 3 kai=1/2000; end
theta0=asin((lambda)/(2*kai*n)); for i=1:1000
f=@(t)(((sin(sqrt((pi*n1*d./(lambda*cos(t))).^2+(t*pi*d*cos(theta0)./(kai*cos(t))).^2)).^2)./(1+((t*pi*d*cos(theta0)./(kai*cos(t)))./((pi*n1*d)./(lambda*cos(t)))).^2)).*(exp(-2*((t)./b(i)).^2))); c(i)=quadl(f,-1,1);%积分 end c=c./b;
c=c*sqrt(2/pi); c=c/max(c);%归一化 figure(9) switchnum case 1 semilogx(b,c); hold on; case 2
semilogx(b,c,'--'); hold on; case 3
semilogx(b,c,'-.'); hold on; end end
title('单色发散光束经透射型体光栅衍射效率与发散角关系图');
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xlabel('发散角（rad）'); ylabel('归一化的衍射效率');
legend('500/mm','1000/mm','2000/mm');
（4）多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性matlab程序 clc; clear; syms t; n=1.52; d=1*10^6;
n1=0.0004;%介质的折射率调制度 lambda0=1.064*10^3; m=lambda0*(1-1*10^-12); c=linspace(0,0,1000); w=linspace(10^-2,10^2,1000); fornum=1:3 switchnum case 1
kai=1/500*1000000; case 2
kai=1/1000*1000000; case 3
kai=1/2000*1000000; end
theta=asin((lambda0)/(2*kai*n)); fori=1:1000
f=@(t)(((sin(sqrt(((pi*n1*d)./(t.*cos(theta))).^2+(((t-lambda0)*pi*d)./(2*n*kai^2*cos(theta))).^2))).^2)./(1+((((t-lambda0)*pi*d)./(2*n*kai^2*cos(theta)))./((pi*n1*d)./(t.*cos(theta)))).^2).*(exp(-2*((t-lambda0)./w(i)).^2)));
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c(i)=quadl(f,lambda0-m,lambda0+m); end c=c./w; c=c/max(c); figure(10) switchnum case 1 semilogx(w,c); hold on; case 2
semilogx(w,c,'--'); hold on; case 3
semilogx(w,c,'-.'); hold on; end end
title('多色平面波衍射效率与角谱宽度关系图'); xlabel('角谱宽度（nm）'); ylabel('归一化的衍射效率');
legend('500/mm','1000/mm','2000/mm');
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