雅礼中学高三数学试卷
一：选择题
5????1?则?CRA??B?
2??x?2?A?x:?2?x??1或x?3? B?x:?2?x??1或x?3?
1己知R为全集，A??x:log1(3?x)??2?,B??x:??C?x:?1?x?3或x??2? D ?x:?1?x?3或x??2?
2若函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x)且x???1,1?时，f(x)=x则函数y=f(x)的图象与函数y=log3x的图象的交点个数为
A 2 B 3 C 4 D此一无数个
3己知?ABC中AB=2、BC=1,?ABC?120?,平面ABC外点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P—ABC的体积是 A
555 B C
3245 6 D4 设M=
2cos34??cos22?M???,N?sinsinsin,则? 562814Ncos14?A 8 B 6 C 4 D 2
5过园x2?y2?4内定点Q(1,1)引直线L与圆交于A.B两定点A.B过AB两点引园的切线,则两切线交点的轨迹方程是;
A x+y=2 B 2x+3y=6 C x+y=4 D x+y=2
6 右图实线是函数y=f(x)(0?x?2a)的图象,它关于点A(a,a)对称,如图它是一条总体密度曲线,则正数a为:
12 B C 1 D 2 227 代号为狂飙的台风在某沿海城市A附近的海面上形成,据
A
监测当前台风中心位于城市A的南偏东60度的400km的海面B处,预计台风中心将以每小时40km的速度向正北方向移动,离台风中心的350km的范围将会受到台风影响,则A市受到台丸影响到结束所持续的时间为
A 2小时 B 2.5小时 C 3小时 D 4小时
8 点P从O出发逆时针方向沿周长为L的图形运动一周,点OP的距离y与点P所走过的路程x的函数关系如图所示,则点P所走过的图形是;；C
yPPFPOO(C)(D)kOL/2LxO(A)E(B)
9设圆O中有任意内接直角三角形ABC,取AB BC CA的中点分别为C1 A1 B1,得一组内接三角形A1B1C1，又取A1B1 B1C1 C1A1中点分别为C2， A 2， B2，又得内接三角形A2B2C2依此
下去可得三角形AnBnCn,又limAn?A（指An的极限位置为A）则三角形ABC是:
n??A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
10某城市有主要道路横6条,纵5条,某人从O点出发沿这些主逆时针方向行走再回到O点,且所走的路线是一个矩形,则不同的行走路线总数为: A 62 B 64 C 66 D 68
二 填空题
x211若f(x?2)? 则f?1(x?2)? 。?x?2x?1
12三个半径为1球互相外切,且每个球同时与另外两个半径为r的球相外切,如果这两个半
1径为r的球也相互外切,则r= 613 给定正数m,若圆系x2?y2?r2与直线mx+my=m+r，不管r取何值它们的交点的轨迹均为?2?? 椭园,则m的取值范围是 ?0,?2???14 设数列?an?的通项an?n(n?1)(n?2),又设数列?bn?满足bn是an的个位数字,则
b2008= 0 又构造无穷小数0.b1b2b3b4...若将它化成分数为 64000 9999915阅读下面材料回答下列问题
在平面区域D中,任取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)?d的面积
D的面积? 8<1>在边长为2的正方形ABCD内任取一点P,使?APB?90?的概率为 1?<2>在??1,1?上任取两点a，b,方程x2?ax?b?0的两根均为实数的概率为P, 则P的范围为 (填答案的代码) B
A 0?P?11991616 B ?P? C ?P? D ?P?1 2216162525
三 解答题
16 某校大门上有一旗杆，从大门所对的直街道上的点A测得大门高ED的仰角为?,大门上旗杆DC的视角为?(?CAD),向大门走近距离a,测得旗杆的视角仍为?,求旗杆的长
CD
ABE
解 ??CAD??CBD??，?A,B,D,C四点共园??BCD??DAB??，
?ACB??ACE??BCE?(90???CAE)??BCE?[90??(???)]???90??(2???).
分别在?ABC与?BCD中运用正弦定理，得
BCAB?，
sin(???)sin[90??(2???)]BCCD?180?????)?sin(a??)， .?sin(sin(180?????)sin?aCD?，
cos(2???)sin?sin[90??(2???)]?cos(2???),AB?a 由以上两式可得
?CD?asin?asin?，故旗杆的长为.
cos(2???)cos(2???)
17 有一款网络游戏中，每个玩家被赋予了一种“攻击力”属性（记为AT）。某玩家现在的AT值为100，它从该游戏官方网站的公告得知，在某处丛林里，有一群“外星怪兽”正在摧毁森林，他决定独自去找这些“怪兽”一一战斗。依游戏设定，以他目前的级别，在这群“怪兽”的所有战斗中，他获胜的概率均为
2，若不能获胜，他总有机会“逃跑”。如果不3能连续获胜，则获胜一场战斗，他的AT值将增加3；如果连续获胜n场战斗，则他在这n场战斗中增加的AT值分别为3,4…,n+2(n?N*)，如果“逃跑”，则他的AT值不变。已知在他的级别提升之前，他总共与7只这样的“怪兽”进行了战斗。 (1)求他在这7次战斗中获胜3场的概率； (2)如果已知他在这7次战斗中获胜了3场，求他现在的AT值的期望。
解 记“他在一次战斗中获胜”为事件A，“他在一次战斗中逃跑”为事件B，则p?P(A)?
2. 3(1)即为7次独立重复试验中的事件A发生3次的概率。记“7次战斗中获胜3场”为
2314280343事件C，则有P(C)?C3. 7p(1?p)?C7?()?()?332187 (2)在已知他7次战斗中获胜3场时，如果没有任何两场连续获胜，则AT=109，由于将
四个B排成一排，然后在这四个B之间的三个“空隙”和两端插入三个A，共有C35种排列方法，因此P(AT?109)?
C35C37?2； 7如果连续三场获胜，则AT=112，由于在四个B和三个A的排列中，三个A相邻的排
列有5种不同情况，因此P(AT?112)?
5C37?1； 7如果恰好只有两次连续获胜，则AT=110， P(AT?110)?1?P(AT?109)?P(AT?112)?214?E(AT)?109??112??110??110.
7774。 718 四棱锥中S-ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45?,AB=2,BC?22, SA?SB?3,点E是SD的中点。
(1)证明：SA?BC;
(2)求证：SB//平面AEC;
(3)求直线SD与平面SAB所成角的大小。
证 (1)如图6，作SO?BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC?底面ABCD，得SO?底面ABCD. ?SA?SB,?AO?BO.
SECB 又?ABC?45?，故?ABC为等腰直角三角形，AO?OB. 由三垂线定理，得SA?BC.
D
A (2) 连接BD，与AC相交于H，连接EH.
由于ABCD是平行四边形，知H是BD的中点，又E是SD的中点，
?EH//SB，又SB?平面AEC，EH?平面AEC，?SB//平面AEC.
解 (3)由(1)知SA?BC，依题设AD//BC，故SA?AD，由AD=BC=22,SA=3,AO=2.得SO=1，SD=11.
?AB?2
??SAB的面积
S1?11?AB?SA2?(AB)2?2， 22?DAB的面积S2?1?AB?AD?sin135??2. 2?VS?ABD设点D到平面SAB的距离为h，由VD?ABS设SD与平面SAB所成的角为?， 则sin??h222??. SD111111，得h?S1?SO?S2，解得h?2.
33 所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin
22. 11 19 已知椭圆
x2a2?y2b2?1 (a>b>0)，A，B分别为左右顶点，x轴上有一点F(m,0) (0 a2对于椭圆上的任意一点P(不包括两顶点)，设AP与直线l：x?交于点M，PB与直线l m交于点N. (1)对于给定的m , 求线段MN长度的最小值； (2)是否存在m ，使BM与FN互相垂直？ 解 (1)设点P的坐标为 (acos?,bsin?)，则直线AP的方程为： y?bsin?(x?a)， a(cos??1)AOPMFKBB1a2令x?，得点M的坐标为: mN a2b(a?m)sin?(,). mm(cos??1) b(a?m)sin?b(a?m)sin?a2b(a?m)sin?)，?同理可求得点N的坐标为(,于是，MN? mm(cos??1)m(cos??1)m(cos??1)cos?? ?2b?aacos??m，欲求m的最小值，可求sin?sin?sin?acos??m的最大值，而 sin?acos??m可 看作是x2?y2?1上的一点(cos?,sin?)与(时，斜率的绝对值最大，于是由点(a,0)连线的斜率，当且仅当(cos?,sin?)为切点mam,0)在切线xcos??ysin??1上可得cos??，即mam?a?m(a2?m2)22acos??m，此时 sin?acos??mcos??有最大值.故MN?2b?sin?am的最小值为 2ba2?m2ba2?m2). ，此时点P的坐标为(m,?mab(a?m)sin?b(a?m)sin?a2a2)，FN?(?m,)， (2)BM?(?a,mm(cos??1)mm(cos??1) b2(a2?m2)sin2?(a2?m2)(a2?am?b2)a2a2?故BM?FN?(?a)(?m)?， mmm2(cos2??1)m2 c2c2当且仅当a?am?b?0即m?时，BM?FN?0,所以存在m?，使BM与FN互相垂 aa22直. 20 在数列?an?中，a1?t?1，其中t?0且t?1，且满足关系式： an?1(an?tn?1)?an(tn?1?1)，(n?N*)。 (1)猜想出数列?an?的通项公式并用数学归纳法证明之； (2)求证：an?1?an，n?N*. 解 (1)由递推式得到an?1(t2?1)a112?(t?1)， ?， a2?na?t?12an?t?11(tn?1?1)an 1(t3?1)?(t2?1)(t?1)a2t3?12， a3???2332a2?t?1(t?1)23tn?1猜想得到an?， n tn?1下面用数学归纳法证明an?, n1? 当n?1时，a1?t?1，满足条件； tk?1. 2? 假设当n?k时，ak?ktk?1ktk?1k?1tk?1ktk?1k?1则ak?1(?t?1)?(t?1) ?ak?1?(?t?1)?(t?1) kkkkk?1tk?1?1tk?1?1，?ak?1?, 即当n?k?1时，原命题也成立. ?ak?1??kkk?1tn?1由1?、2?知an?. n1tn?1?1tn?1?[n(tn?1?1)?(n?1)(tn?1)] (2)an?1?an??n(n?1)n?1n?1t?1[ntn(t?1)?(tn?1)]?[ntn?(tn?1?tn?2?...?t?1)]， n(n?1)n(n?1) 设f(t)?ntn?(tn?1?tn?2?...?t?1)?(tn?tn?1)?(tn?tn?2)?...?(tn?t)?(tn?1) ?tn?1(t?1)?tn?2(t2?1)?tn?3(t3?1)?...?t(tn?1?1)?(tn?1) 则当t?1时，f(t)?0，则an?1?an?0; 当0?t?1时，f(t)?0，则an?1?an?0. 故t?0，且t?1时有an?1?an?0，即an?1?an. ax，求f(x)的单调区间。 （其中,a为常数）x?121 （1）已知函数f(x)?ln(1?x)?（2）求证：不等式 111??在0?x?1上恒成立。 ln(x?1)x2解：（1）定义域为x>-1,又f?(x)?1ax?1?a??x?1(x?a)2(x?1)2,在a?0时有x?1?a?0故 f?(x)?0,f(x)在（-1，?)单调递增。在a>0 时易知f(x)在??1,a?1?上为减函数，在?a?1,???x2为增函数。 （2）原问题等价于 g(x)?ln(1?x)?ln(1?x)?x?0在（0，1）上恒成立， x1xln(1?x)?ln(1?x)?x，则g?(x)?(ln(1?x)?)由（1）知a?1,f(x)在x?0取到22x?1x设最小值，有ln( 1?x)?在x?0恒成立，故g?(x)?0,g(x)在（0，1）上为增函数1?x所以g(x)?g(0)?0,即x2ln(1?x)?ln(1?x)?x?0在（0，1）上恒成立，故原不等式得证