15章习题参考答案 15-3求各图中点P处磁感应强度的大小和方向。
[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0
4?a2B?对于导线2：?1??2??，因此B2?0
Bp?B1?B2??0I 4?a方向垂直纸面向外。
(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0?0，方向垂直纸面向内。
24?a4?r?I?I?对于导线2：?1?，?2??，因此B2?0?0，方向垂直纸面向内。
24?a4?rB?半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的
圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即
1?0I?0I，方向垂直纸面向内。 ?22r4r?I?I?I?I?I所以，Bp?B1?B2?B3?0?0?0?0?0
4?r4?r4r2?r4rB3?(c) P点到三角形每条边的距离都是
d?3a 6?1?30o，?2?150o
每条边上的电流在P点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是
B0??0I?cos300?cos1500??3?0I 4?d2?a9?0I 2?a故P点总的磁感应强度大小为
B?3B0?方向垂直纸面向内。
15-4在半径为R和r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面线圈，通有电流I，方向如图所示。求中心O处的磁感应强度。 [解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI圆盘，设单位长度线圈匝数为n
n?N R?r建立如图坐标，取一半径为x厚度为dx的 圆环,其等效电流为:
dI?jdx?dB0?NIdx R?r??0dI2x?0NIdx2x(R?r)R
所以B0??dB0??NI?0NIdx2x(R?r)r??0NI2(R?r)lnR r方向垂直纸面向外.
15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I=5.0A，圆筒半径 R=1.0?102m如图所示。求轴线上一点的磁感应强度。
[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元dl
则dI?dlI ?Rdl??y则dl在O点所产生的磁场为
?dI?IdldB?0?022
2?R2?R又因，dl?Rd?
?dI?Id?所以，dB?0?02
2?R2?RxdBdBx?dBcos?，dBy?dBsin?
半圆筒对O点产生的磁场为：
?0I
00?2R?0I所以B只有y方向分量，即B?By?2，沿y的负方向。
?RBx??dBx?0，By??dBy???15-6矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共N匝，通以电流I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为 ???0NIhD1ln 2?D2dxxOx[证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元dS?hdx 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r，
D2D?r?1， 22?B?dl?2?rB??0NI
B??0NI 2?rD12dΦ?BdS
所以 ???d???BdS??D2?0NI?hNID1hdr?0ln
22?r2?D215-7长直导线aa?与半径为R的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线bb?沿半径方向与圆
环接于点b，如图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。 (1)求圆环中心点O的B。
(2)B沿闭合路径L的环流?B?dl等于什么?
Laa?12R?O12003b4b?
[解] (1)B0?B1?B2?B3?B4 其中: B4?0 B1? B2??0I 4?R2?0I21?0I3I2l3? ,,B3?32R32RI3l2故B2与B3大小相等,方向相反,所以B2?B3?0 因而B0?B1??0I,方向垂直纸面向外. 4?R2II)??0 33(2)由安培环路定理,有:
?B?dl??0?Ii??0(I?L15-9磁场中某点处的磁感应强度B?0.40i?0.20jT，一电子以速度
v?0.5?106i?1.0?106jms通过该点。求作用在该电子上的磁场力。
[解] 由洛仑兹力公式,有
F?qv?B??1.6?10?19ijk0.51.00?106?8?10?14kN 0.4?0.20
15-10在一个圆柱磁铁N极正上方，水平放置一半径为R的导线圆环，如图所示，其中通有
顺时针方向(俯视)的电流I。在导线处的磁场B的方向都与竖直方向成?角。求导线环受的磁场力。
[解] 圆环上每个电流元受力为dF?Idl?B
将B分解为z分量和径向分量：B?Bz?Br
Bz?Bcos?，Br?Bsin?
所以 dF?Idl??Bz?Br??Idl?Bz?Idl?Br
dFz?Idl?Br dFr?Idl?Bz
对于圆环?dFr?0 圆环所受合力为
2?F?Fz?IBr?dl?IBsin??Rd??2?RIBsin?，方向沿z轴正向。
015-11如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a和 b，导体内通有电流I，且电流在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。求证导体内部(a B?2?b2?a2??0I?r2?a2 r[解] 作图示的安培环路有 ?LB?dL??0?Ii 因为导体电流在横截面上均匀分布，所以j?22B?dL??j?(r?a) 0?LI 22?b?a??即 ?0I(r2?a2)所以 B? 2?(b2?a2)r15-12一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀磁场中，如图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力(已知线圈法线方向与B的方向相同)。 ?Tl ?F?T[解] 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有:2T?F，半圆所受到的磁力F等效于长为2R的载流直导线，在磁场中受力： F?BIl?2BIR 所以T?FBIl??BIR 2215-13厚为2d的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j，求空间 磁感应强度的分布。 y[解] 建立如图所示的坐标系,对板内,取安培环路abcd 则 ?LB?dL?2Bl??02xlj Ba?d?xadbb?c?所以 B??0jx 对板外,取安培环路a?b?c?d?,则有: xc?LB?dL??0I 即 2Bl???0jl?2d 所以B??0jd 15-14一根半径为R的长直导体圆柱载有电流I，作一宽为 R长为l的假想平面S，如图所示。若假想平面S可在导体直径和轴OO?所确定的平面内离开OO?轴移动至远处，试求当通过面S的磁通量最大时平面S的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。 I?r2 [解] r≤R时：?B1?dl??0I???02?R?Irr2B12?r??0I2 即B1?02 2?RRr≥R时： ?B2?dl??0I B22?r??0I 即B2??0I 2?r当假想平面的内边界离OO?轴x时 R?IR?x?I?0Il12?0IlR?x200??????r?l?dr??l?dr?R?x?ln ?R2?rx2?R22?R2?R22?Il?Ild?1令???0 ? ??02?2x?0??0 dx4?R2?x?Rx1?5?15?1R x2??R(舍) 22??0Il?0Il?d2?对?求二阶导数 <0 ????22?dx22?R2??x?R?????5?1R时，有最大值。 215-15将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，已知平面两侧的磁感应强 因此x1?度分别为B1和B2(如图所示)。求载流平面上单位面积所受磁力的大小和方向。 [解] 由图可知，B2>B1，说明载流平面的磁场B的方向与所放入的均匀磁场B0的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为j。则 1?0j 21B2?B?B0?B0??0j 2B1?B0－B?B0?由此二式解得B0?1?B1?B2? ， j?1?B2?B1? ?02在载流平面上沿电流方向取长为h、宽为dl的条形面积，面积dS=hdl，面积上电流dI=jdl， 此电流受到的磁力大小为 dF?BhdI?Bjhdl?BjdS 载流平面单位面积所受磁力大小为 dF112?Bj?B2?B1B2?B1?B2?B12 dS2?02?0??????方向为垂直于平面向左。 15-16电流为I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1共面，如图所示。求： (1)载流线圈所受到的总的磁场力； (2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c并垂直于纸面方向的直线为轴)。 [解] ab边到长直导线的距离为d，电流I1在ab边上的磁场为 B??0I1 2?ddl?0I1I2l 2?d方向垂直纸面向内。此磁场对ab边的作用力为 FAB?I2Bl?方向向左。 Oxx在ac边上任取一dl,设dl到I1的距离为x，则I1在dl处产生的磁场为B??0I1， dl受到的磁力dF?I2dl?B，又因为dl?B 2?x?IIdx所以dF?I2dlB?012， 2?xcos300所以Fac??dd?3l2?0I1Idx?0I1I3l?ln(1?)，方向如图所示。 2d3?x3?同理，可求得Fbc?Fac，方向如图所示。 则线圈受到的合力为： ?Fy?0， ?Fx?Fab?Facx?Fbcx??方向沿x轴负向。 ?0I1I2??l13l??ln(1?)? ?2d?3??2d?（2）因为dPM?IdSn n的方向垂直直面向外 所以dPM∥B 又因为dM?dPM?B，所以dM?0，所以M?0 15-17半径为a、线电荷密度为?(常量)的半圆，以角速度?绕轴O?O??匀速旋转，如图所示。 求： (1)在点O产生的磁感应强度B； (2)旋转的带电半圆的磁矩Pm。 [解] （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dq???dl??ad? 旋转后形成电流元dI?n?dq?由圆环B???a?dq?d? 2?2?2R?x??0IR22232?s 得 R?asin? x?aco?dB?2a2?sin2??a2?cos2????0a2?sin2??dI?32??0a2?sin2?2a3dI??0??2sin?d? 4??0??2??? 方向向上 sin?d??004?8??a3sin2?22d? （2）因为Pm?ISn， dPm?SdI??asin?dI?B??dB??2d??sin?d??，方向向上。 22?0415-18有一均匀带电细直棒AB，长为b，线电荷密度为?。此棒绕垂直于纸面的轴O以匀角速度?转动，转动过程中端A与轴 O的距离a保持不变，如图所示。求： 0Pm?????a3sin2???a3?2???a3 (1)点O的磁感应强度B0； (2)转动棒的磁矩Pm； (3)若a>>b，再求B0和Pm。 [解] (1)均匀带电直棒AB绕O轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元 dq??dr,等效电流为：dI?它在O点的磁感应强度 dq????dr 2?2?dB0??0dI2r????0dr 4?rB0??dB0????04??aa?bdr??0?a?b（??0，方向垂直直面向里） ?lnr4?a(2)dpm??r2dI?1??r2dr 2a?b1pm??dpm????r2dr a2???[(a?b)3?a3]/6 OAa(3)若a>>b，则有： ???b?0?qa?bb ? ， B0?0?aa4?a4?a与带电粒子?b情况相同 lna??b时,(a?b)3?a3(1?3b/a),则有 dqb?Bpm???b1a33?q?a2 6a2与点电荷的磁矩相同 15-20有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R2和R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a(R2>a+R1>2R1)，如图所示。电流I沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。 [解] 根据叠加原理，此系统可看作由半径为R2，其上电流密度为j?I的实心导2?R2?R12??体，与半径为R1的，电流密度为-j的实心导体所构成的。 设j沿z轴正方向，根据安培环路定理，半径为R2电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为0，而半径为R1电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为 ?0?R12j?0?R12?0IR12I BO???222?a2?a?R2?R122?R2?R12a????BO''?BR2O''?BR1O'' 由环路定理：BR2O''??0Ia2?2(R2?R12) B所以，BR1O''?0 O''?BR2O''??0Ia22?(R2?R12)，方向垂直纸面向外