高等数学c1 第一章练习参考答案
一、填空
1.[0,2) ; 2.[0,ln2] ; 3.(??,0)?(0,3] ;4. [-1，1],[1，10],[-2，-1]
?1,?x1?x25., x ;6. x?2 ;7.?2? ;8.?1?x2?x?0,x?0 ; x?0419. ;10.a?0 ,b?2 ;11.e. ;12.m=, n=2 ;13.0 , 1;
3214. e?1. ;15.a=2 ;16. ?3；1 ;17. b,1,a,1,1; 18. 1,1,??,0 二、选择
1.C 2.AC 3.BD 4.B 三、计算
(2x?3)60(3x?2)20?3?1.lim =?? 80x??(2x?5)?2?lim(x2?1?x) =0 （分子有理化） 2、 x?+?x=x. （第一个重要极限） nn??2tanx?sinx14. lim=.（第一个重要极限及无穷小的等价代换
x?0x321x?0,1?cosx?x2）
2203. lim2nsin5. limx?01+tanx?1?sinxx1?sin2x?x1x?a=
1. （提示：有理化及无穷小的等价代换） 21x?a?sinx?6.lim??x?asina???sinx?sina??lim?1??x?asina??（第·
6. 二个重要极限）
(1?x)(1?3x)(1?4x)17. lim= （分子有理化） 、
x?1(1?x)324 8.求极限lim1?2+3n???nn1n? =3 （第二个重要极限）lim(1+2
(1?x2)13?129.lim=? （无穷小的等价代换） x?0cosx?13 1
11??10. 10.lim?sin?cos?=e（提示：第二个重要极限）令t=1/x 再利用+1 -1
x???xx??技巧 (sin t + cos t -1)/t=1
xx?11limx??13?2x?1??x?1?x4?4x2?5=0 （提示：约分）
?n2?1? 12.lim?3??sin(n!)=0 （无穷小乘以有界函数是无穷小） n??3n?2??13.limnn???n?2?n =1
?14. 14.lim?3??1=-1 （通分） ?3?x?11?x1?x??arctanx
x?1?115.limx?0arctanx?(x?1?1)x?0(x?1?1)(x?1?1) arctanx?lim?(x?1?1)?1?2?2x?0x?lim16.limln(??0??xx1)?limln(???0??xx)?xx1??lne?1x1 x117.lim(1?3tanx)x?023tan2x?(?3)?e?3
三、证明与计算
1..设数列{xn}由递推公式xn?的极限存在，并求极限值. 证明：由递推公式知，
19(xn?)给出，其中x1?1，试用“单调有界准则”证明{xn}2xnxn?1?131919?3，即数列{xn}是有下界的。 (xn?)??2xn??3，而x2?42xn2xn 由
xn?11919?(1?2)??(1?2)?1知xn?1?xn，所以{xn}单调减少且有下xn2xn23 2
界，所以{xn}存在极限。
设limxn?1?A，则limxn?1?lim(xn?n??n??1n??2199)即A?(A?)，解之得A?3，所以
2Axnn??limxn?3。
12n????(n?1,2,3,?)，求limxn.
n??n2?n?1n2?n?2n2?n?n2..设xn?
limxn=n??1(提示：夹逼准则) 23证明函数f(x)?x当x?0时极限不存在. x证明：因为limf(x)?limx?0?xx??1 ?1，limf(x)?limx?0?x?0??xx?0?xx当x?0时极限不存在。 |x| 所以f(0?0)?f(0?0)，故f(x)??x2?1?4.已知lim??ax?b??0，求常数a,b的值.
x???x?1?a?1,b??1（提示：利用有理分式在自变量趋于无穷时的极限）
f(x)??ln?1??f(x)sin2x??lim5. 设lim 求 ?5,2xx?0x?0x3?1limx?0f(x)=10ln3（提示：注意利用无穷小的等价代换） 2x
6.求下列函数的间断点，并判断其类型. 若为可去间断点，补充或修改定义后使其为连续点.
?x2?x,x??1,0?2 f(x)??x(x?1)
?0,x??1?x?0为f(x)的第一类间断点（跳跃间断点），x?1为第二类间断点，x??1为f(x)的第
一类间断点（可去间断点），若令f(?1)?1,则f(x)在x??1处连续。 2 3
x2?2x7..求函数f(x)?间断点，并指出其类型.
x?x2?4?解：因为f(0?0)??,f(0?0)?121， 所以x?0是第一类间断点（跳跃）。 2因为f(x)在x?2处无定义，且limf(x)?x?21，所以x?2是第一类间断点（可去）。 4因为
x??2limf(x)??，所以x??2是第二类间断点。
8..证明方程x?acosx?b（其中a?0,b?0）至少有一个不超过a?b的正根. 证明：令f(x)?x?acosx?b，则f(x)在[0,a?b]上连续， 由于
f(0)??a?b?0,
f(a?b)?a?acos(a?b)?a(1?cos(a?b))?0所以f(0)?f(a?b)?0。
当f(0)?f(a?b)?0时，由零点定理知在(0,a?b)内至少存在一点?当f(a?b)?0时，则x?a?b即为x，使f(?)?0
?acosx?b的一个根，所以方程x?acosx?b在(0,a?b]上至少有一根，即至少有一个不超过a?b的正根。
9.设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?a,f(b)?b,证明在开区间(a,b)内至少存在一点?，使f(?)??.
提示：构造函数F(x)?f(x)?x
10. 证明方程x?ex?0在(?1,1)至少有一个实根.
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