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C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误． 故选：B． 点评： 本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求． 13. （2014?山西，第6题3分）我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A． 演绎 B． 数形结合 C． 抽象 D． 公理化
考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 专题： 数形结合． 分析： 从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现． 解答： 解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想． 故选B．
2
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，
），对称轴直线x=﹣
2
，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
时，y随x的增大而减小；x
2
当a＞0时，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣
＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣
2
，时，y取得最小值，即顶点是抛物线时，y随x的增大
的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣
而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是
抛物线的最高点．
2
14. （2014?丽水，第8题3分）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ） A．（﹣3，﹣6） B． （1，﹣4） C． （1，﹣6） D． （﹣3，﹣4） 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象，再根据顶点坐标公式，可得答案．
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2解答： 解：函数y=2x+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y=22（x﹣2）+4（x﹣2）﹣3﹣1， 2即y=2（x﹣1）﹣6， 顶点坐标是（1，﹣6）， 故选：C． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象的平移规律：上加下减，左加右减． 215．(2014年广西南宁，第10题3分）如图，已知二次函数y=﹣x+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． a＞1 B． ﹣1＜a≤1 C． a＞0 D． ﹣1＜a＜2
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列式即可．
2
解答： 解：二次函数y=﹣x+2x的对称轴为直线x=1， ∵﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大， ∴a≤1， ∴﹣1＜a≤1． 故选B．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键．
16．(2014年贵州安顺，第18题4分)如图，二次函数y=ax+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中： ①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个． 其中正确的结论是 ③④ ．（只填序号）
2
考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；等腰三角形的判定．
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分析： 先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴AB=4， ∴对称轴x=﹣
=1，
即2a+b=0． 故①错误； ②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0． 故②错误； ③∵A点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a， ∴a+2a+c=0，即c=﹣3a． 故③正确； ④当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
2
∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣， 把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2， ∴D点坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，BE=2，DE=2， ∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形， ∴△ADB为等腰直角三角形． 故④正确； ⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC， 当AB=BC=4时， ∵AO=1，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， 2∴c=16﹣9=7， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣，
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=同理当AB=AC=4时 ∵AO=1，△AOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|，
∴c=16﹣1=15， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣ 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=同理当AC=BC时
22
在△AOC中，AC=1+c，
2
；
；
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在△BOC中BC=c+9， ∵AC=BC，
22∴1+c=c+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件． 故⑤错误．
综上所述，正确的结论是③④． 故答案是：③④．
22
2
点评： 本题考查了二次函数y=ax+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣
；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
17．
二、填空题
1. （2014?浙江绍兴,第13题5分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解
2
析式是 y=﹣（x+6）+4 ．
2
考点：二 次函数的应用 分析：根 据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 解答： ：由题意可得出：y=a（x+6）2+4， 解2将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）+4， 解得：a=﹣， ∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）+4． 2故答案为：y=﹣（x+6）+4． 2
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点评：此 题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键． 22．(2014?黑龙江牡丹江, 第19题3分)已知二次函数y=kx+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），则对于下列结论： ①当x=﹣2时，y=1；
②方程kx+（2k﹣1）x﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x2； ③x2﹣x1=
．
2
其中正确的结论有 ①② （只需填写序号即可）．
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 直接根据抛物线与x轴的交点问题、根与系数的关系对各小题进行逐一分析即可． 解答： 解：①当x=﹣2时，y=4k﹣2×（2k﹣1）﹣1=4k﹣4k+2﹣1=1，故本小题正确； ②∵抛物线x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），
2
∴方程kx+（2k﹣1）x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2，故本小题正确；
2
③∵二次函数y=kx+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2）， ∴x1+x2=∴x2﹣x1=
，x1?x2=﹣
=
=
=
，故本小
题错误， 故答案为：①②．
点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键． 3．
三、解答题
1. （2014?海南,第24题14分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标； （3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
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二次函数
2. （ 2014?福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+点O（0，0），A（2，0）． （1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
的图象经过原
考点：二 次函数的性质；坐标与图形变化－旋转． 分析：（ 1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1； （2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，的顶点． ），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣解答： ：解（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+∴抛物线的对称轴为直线x=1； （2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A′B⊥x轴于点B， ∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′， ∴OA′=OA=2，∠A′OA=2， 在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°， ∴OB=OA′=1， ∴A′B=OB=， ）， （x﹣1）2+的顶点． （x﹣1）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）． ∴A′点的坐标为（1，∴点A′为抛物线y=﹣
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点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：时，y随x的增大而①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值
，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质． 6. 2014?广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式；
1）；点4（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
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考点：二次函数综合题． 专题：综合题．
分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继
而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论； （3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，于x的方程，求出x的值即可得出答案． 解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax2，
12
x），根据PF=PM=FM，可得关411）代入y=ax2得：a=， 441∴二次函数的解析式为y=x2；
4将点A（1，
（2）证明：∵点P在抛物线y=∴可设点P的坐标为（x，
12
x上， 412x）， 412
x﹣1，PB=x， 4过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=∴Rt△BPF中， PF=
∵PM⊥直线y=﹣1， ∴PM=
=
12
x+1， 412
x+1， 4∴PF=PM， ∴∠PFM=∠PMF， 又∵PM∥x轴， ∴∠MFH=∠PMF， ∴∠PFM=∠MFH，
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∴FM平分∠OFP；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°， ∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4， ∵PF=PM=FM， ∴
12
x+1=4， 4，
解得：x=±2∴
121x=×12=3， 44，3）或（﹣2
，3）．
∴满足条件的点P的坐标为（2
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直
角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．
7. （2014?广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1． （1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点． ①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．
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考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于韦达定理．由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值． （2）①直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线r：y=kx+k2+1．根据无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C：y=ax2+bx+1都只有一个交点，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△==0．这虽然是个方程，但无法求解．这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回△=中，若不能使其结果为0，则应舍去． ②求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图．发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较．这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=﹣x2+1上，则可设其坐标为（x，﹣x2+1），进而易求OP，PQ． 解答：（ 1）解： ∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点， ∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0． ∵B与A关于原点对称， ∴0=xA+xB=∴k=1． ∵y=ax2+x+1=a（x+∴顶点（﹣，1﹣）2+1﹣， ， ）在y=x上，
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抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以D选项错误． 故选B．
2
点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象
为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=
﹣
；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
4. （2014?江西，第6题3分）已知反比例函数y=． y=2kx2-4x+k2的图像大致为（ ）
k的图像如右图所示，则二次函数x
【答案】 D.
【考点】 二次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质．
【分析】 反比例函数的图像作用是确定k的正负，从双曲线在二、四象限可知k<0。要确定二次函数y=ax2+bx+c的图像，一看开口方向(a >0或a<0)，二看对称轴位置，三看在y轴上的截距（即c），四看与x轴的交点个数（根据根的判别式的正负来确定）。本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜－1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案． 【解答】 解：∵函数y=k的图像的图象经过二、四象限， x ∴k＜0，由图知，当x=－1时，y=－k＞1， ∴k＜－1， ∴抛物线y=2kx-4x+k开口向下， ∵对称轴为x??22?411=，?1＜＜0， 2?2kkk∴对称轴在－1与0之间，故选D． 【点评】 本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，要求对二次函数和反比例函数的图像和性质有比较深刻地理解，并能熟练地根据二次函数图像中的信息作出分析和判断，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题． 5、（2014?宁夏，第11题8分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax的图象
有可能是（ ）
2
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A．B． C． D．
考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象． 2分析： 本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax图象中a的正负，再与一次函数比较．） 2解答： 解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），错误； 2B、函数y=ax中，a＜0，y=ax中，a＞0，错误； 2C、函数y=ax中，a＜0，y=ax中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），正确； 2D、函数y=ax中，a＞0，y=ax中，a＜0，错误． 故选C． 点评： 函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状． 6．(2014?陕西,第10题3分)二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
22
A． c＞﹣1 B． b＞0 C． 2a+b≠0 D． 9a+c＞3b
考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合．
分析： 由抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由抛物线开口方向得a＞0，再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号，即b＜0；由于抛物线过点（﹣2，0）、（4，0），根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣﹣3时，y＜0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b． 解答： 解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方． ∴c＜﹣1； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴x=﹣
＞0，
=1，则2a+b=0；由于当x=
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∴b＜0； ∵抛物线过点（﹣2，0）、（4，0）， ∴抛物线对称轴为直线x=﹣
=1，
∴2a+b=0； ∵当x=﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＞0， 即9a+c＞3b． 故选D．
2
点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣
2
2
；抛物线与y轴的交点坐标为（0，
c）；当b﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；
2
当b﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
7．（2014?四川成都,第9题3分）将二次函数y=x﹣2x+3化为y=（x﹣h）+k的形式，结果为（ ） 2222 A．B． C． y=（x+1）+4 y=（x+1）+2 y=（x﹣1）+4 D． y=（x﹣1）+2 考点：二 次函数的三种形式． 分析：根 据配方法进行整理即可得解． 2解答： ：y=x﹣2x+3， 解2=（x﹣2x+1）+2， 2=（x﹣1）+2． 故选D． 点评：本 题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键． 28．（2014?黑龙江哈尔滨,第8题3分）将抛物线y=﹣2x+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
222
yA． =﹣2（x+1）2﹣1 B． y﹣2（x+1）+3 C． y=﹣2（x﹣1）+1 D． y=﹣2（x﹣1）+3 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：根据图象右移减，上移加，可得答案．
2
解答： 解；将抛物线y=﹣2x+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线
2
为y=﹣2（x﹣1）+3， 故选：D． 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换， 函数图象平移的规律是：左加右减，上加下减． 9. (2014年湖北黄石) （2014?湖北黄石,第7题3分）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
2
2
2
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第2题图 A． x＜﹣1 B． x＞3 C．﹣1＜x＜3 D． x＜﹣1或x＞3 考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可． 解答： 解：由图可知，x＜﹣1或x＞3时，y＞0． 故选D．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 10. （2014?湖北荆门,第4题3分）将抛物线y=x﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
222
A． y=（x﹣4）﹣6 B． y=（x﹣4）﹣2 C． y=（x﹣2）﹣2
2
D．y=（x﹣1）﹣3
考点： 二次函数图象与几何变换．专题： 几何变换．
2
分析： 先把y=x﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
22
解答： 解：y=x﹣6x+5=（x﹣3）﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）， 把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
2
所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）﹣2． 故选B．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2
11．（2014?莱芜，第12题3分）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示．下列结论：
22
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）＜b 其中正确的个数有（ ）
2
1 2 3 4 A．B． C． D． 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合． 分析： 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则
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（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）﹣b＜0，即（a+c）＜2b． 解答： 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴x=﹣＜0， 222∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，所以①正确； ∵﹣1＜﹣＜0， ∴2a﹣b＜0，所以②正确； ∵当x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确； ∵当x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0， 22∴（a+c）﹣b＜0，所以④正确． 故选D． 2点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣2；抛物线与y轴的交点坐标2为（0，c）；当b﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b﹣4ac=0，抛物线与x轴2有一个交点；当b﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 212. （2014?青岛，第8题3分）函数y=与y=﹣kx+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B． C． D． 考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象． 分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 2解答： 解：由解析式y=﹣kx+k可得：抛物线对称轴x=0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，正确；
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∴∠MCP1=∠MP1C， ∴MC=MP1， 设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4， 解得：m1=0（舍去），m2=2． ∴﹣m2+3m+4=6， 即P（2，6）． 第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F． ∴P2N∥x轴， 由∠CAO=45°， ∴∠OAP=45°， ∴∠FP2N=45°，AO=OF． ∴P2N=NF， 设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）﹣1， 解得：n1=﹣2，n2=4（舍去）， ∴﹣n2+3n+4=﹣6， 则P2的坐标是（﹣2，﹣6）． 综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）； （3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF． 根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短． 由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4， 则AC==4，
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根据等腰三角形的性质，D是AC的中点． 又∵DF∥OC， ∴DF=OC=2， ∴点P的纵坐标是2． 则﹣x2+3x+1=2， 解得：x=， ，0）或（，0）． ∴当EF最短时，点P的坐标是：（点评：本 题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 35. （2014?菏泽，第21题10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 分析： 二次函数综合题． （1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，根据根的判别式b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）=36＞0，所以无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点． （2）直接将C点（0，﹣5）代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可；
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（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C（x0，y0），则D（4﹣x0，y0），P（x0， y0）．根据PM=DC就有|2x0﹣4|=﹣y0，由C点在抛物线上有|2x0﹣4|=﹣（ x02﹣4x0﹣5），分两种情况求出x0的值就可以得出结论． 解答： 解：（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0， ∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根， ∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方， ∴该抛物线与x轴总有两个交点． （2）∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5）， ∴﹣5=m2﹣9． 2． 解得：m=±当m=﹣2，y=0时，x2+4x﹣5=0 解得：x1=﹣5，x2=1， ∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB）， ∴m=﹣2不符合题意，舍去． ∴m=2． ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；
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（3）如图2，假设E点存在， ∵MC⊥EM，CD⊥MC， ∴∠EMP=∠PCD=90°． ∴∠MEP+∠MPE=90°∵PE⊥PD， ∴∠EPD=90°， ∴∠MPE+∠DPC=90°∴∠MEP=∠CPD． 在△EMP和△PCD中， ， ∴△EPM≌△PDC（AAS）． ∴PM=DC，EM=PC 设C（x0，y0），则D（4﹣x0，y0），P（x0， y0）． ∴|2x0﹣4|=﹣y0． ∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上； ∴y0═x02﹣4x0﹣5 ∴|2x0﹣4|=﹣（x02﹣4x0﹣5）． 当2x0﹣4=﹣（x02﹣4x0﹣5）时， 解得：x01=3，x02=﹣7（舍去）， 当4﹣2x0=﹣（x02﹣4x0﹣5）时， 解得：x03=1，x04=11（舍去）， ∴x0=1或x0=3． ∴P（1，﹣2）或P（3，﹣2）． ∴PC=6．∴ME=PC=6． ∴E（7，0）或E（﹣3，0）． 点评： 本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定
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系数法求出解析式是关键，解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点． 36.（2014?济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解答： （1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）解：、B（﹣1，0）两点， ∴， 解得．
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∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称， ∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA=5，AC=10， ∴OC===． ∵S△OAC=OC?AD=OA?AC， ∴AD=∴AA′=． ， 在Rt△A′EA和Rt△OAC中， ∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°， ∴∠A′AE=∠ACD． 又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt△A′EA∽Rt△OAC． ∴∴A′E=4，AE=8． ∴OE=AE﹣OA=3． ∴点A′的坐标为（﹣3，4）， 当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4． 所以，点A′在该抛物线上． （3）存在． 理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， ，即． 则，解得 ∴直线CA′的解析式为y=x+…（9分）
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设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+∵PM∥AC， ）． ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方， ∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10． 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2时，y=﹣． ∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形． 点评：本 题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解． 37．（2014年山东泰安，第29题）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
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分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣（2）设N（x，﹣x2﹣∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣
﹣x+1；
x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣
；
x=﹣（x+）2+
，
则当x=﹣时，MN的最大值为
（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣
x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=
，解得：x=1，
故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．
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点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．
二次函数
一、选择题
22
1. （2014?海南,第13题3分）将抛物线y=x平移得到抛物线y=（x+2），则这个平移过程正确的是（ ） A．向左平移2个单位 B． 向右平移2个单位 C． 向上平移2个单位 D． 向下平移2个单位 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 根据图象左移加，可得答案． 22解答： 解：将抛物线y=x平移得到抛物线y=（x+2），则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位， 故选：A． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减． 2. （2014?黑龙江绥化,第17题3分）如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（ ）
22 A．b＞4ac B． ac＞0 C． a﹣b+c＞0 D． 4a+2b+c＜0
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考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合． 2分析： 根据抛物线与x轴有两个交点有b﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可C选项进行判断；由于x=2时，函数值小于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断． 解答： 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b﹣4ac＞0，即b＞4ac，所以A选项正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴ac＜0，所以B选项错误； ∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，所以C选项错误； ∵当x=2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误． 故选A． 2点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣222；抛物线与y轴的交点坐标2为（0，c）；当b﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b﹣4ac=0，抛物线与x轴2有一个交点；当b﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 23. （2014?湖北宜昌,第15题3分）二次函数y=ax+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ） A．B． C． D．
考点：二次函数的图象；反比例函数的图象． 专题：数形结合． 分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大
致位置进行判断，从而确定该选项是否正确． 解答：解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，所以
A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，所以C选项正确；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，