专题 空间向量的应用
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分90分.考试时间60分钟.
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
????1.(空间向量的平行与坐标运算，改编)已知a?(2,4,?5)，若a//b，则x?y?（ ） b?(3,x,y)，
93 C.?3 D. ? 22??3xy15153??. 【解析】A 由a//b得：??，解得x?6,y??，故x?y?6?24?5222??????2.（空间向量的垂直与坐标运算，改编）已知a?(1,1,0)，b?(?1,0,3)，且ka?b与a?2b垂
A．?9
B.?直，则k的值为
A．
（ ）
2112121 B． C． D．
2542????【解析】C ka?b?(k?1,k,3)，a?2b?(3,1,?6)，由题意得(k?1)?3?k?1?3?(?6)?0，
解得k????3. （空间向量的数量积运算及其应用，改编）若直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，
??????????已知l??b??c（?,??R），m∥a，a?b，a?c，则直线m与直线l （ ）
A．共线
B．相交
C．垂直
D.不共面
21. 4??????【解析】C 由m∥a可得m?ta(t?R)，
????????????????????故m?l?m?(?b??c)??m?b??m?c??ta?b??ta?c?0，故m与l垂直，即直线m与直
线l垂直.
???4. （空间向量数量积的坐标运算，改编）已知 向量a?( |c|?23，1,?2,3)，b?(?2,22,?6)，?????若(a?b)?c?6，则a与c的夹角为（
A．30?
B．60?
） C．120?
D．150?
??????????【解析】C a?b?(?1,?2,?3)??a，故(a?b)?c??a?c6，?得a?c??6，而
|a2?|21??(22)?2??????a?c13?，所以23cos?a,c??????，?a,c??120?.
2|a||c|??5.（空间向量数量积的坐标运算与函数的最值，改编）已知a?(?1,2,1)，b?(2,?1,1)，则
??|a?tb|的最小值是（ ）
A．23
B．32 2C．6 D．32
??【解析】B a?b?(2t?1,2?t,t?1)，
??21299故|a?tb|?(2t?1)2?(2?t)2?(t?1)2?6t2?6t?6?6(t2?t)?6?6(t?)??，
222故|a?tb|的最小值为
??32. 26. （空间向量求线线角，2011届金华十二校一联）如图，已知三棱柱
ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，且CC1?底面ABC，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（ ）
A．
? 2B．
?? C． 46D．
? 3?????A?a，解析：A 由题意可知该三棱柱为正三棱柱，设其棱长为2，设B?????????????????????|b|?|c|?|，2且?a,c??，?a,b???b,c??，所以BB1?b，BC?c，则|a?32???????a?c?2?2?cos?2，a?b?b?c?0.
3??1???????????而AB1?b?a，BM?c?b，
2????????????1???12???????????????1)?(c?b)??bc?b??ac??ab?0，故?AB1?BM??，即所以，AB1?BM?(b?a2222AB1?BM.
7．(空间向量求解点到面的距离，江西省南昌市2011届高三第一次模
拟理科)在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为 （ ）
A．DAMBC6a 3B．6a 6
D1A1
B1
C1
C．
2a 2D．
1a 2AzDMBC解析：A 如图建立直角坐标系，则A1(a,0,0)，D(0,0,a)，
(O)yaD1M(a,,a)，C(0,a,a). C12??????????????A1B1axA1M?(0,,a)，A1D?(?a,0,a)，DC?(0,a,0)，
2???????a???y?2z?0?y?az?0?n?A1M?0设平面A1MD的法向量为n?(x,y,z)，则由??????，得?2，即?，??x?z???n?A1D?0??ax?az?0?令x?1，则y??2，z?1，所以n?(1,?2,1)为平面A1MD的一个法向量.
?????|DC?n||1?0?(?2)?a?1?0|2a6????a. 所以点C到面A1MD的距离等于
2223|n|61?(?2)?18.(空间向量求直线和平面所成的角，辽宁省丹东市四校协作体2011年高三第二次联合考试文
AB?1，AC?2， 科)如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
C1 A1 D C A B1 BC?3，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平
面BB1C1C所成的角为( )
E ??A. B. 64??C. D. 32222解析：C 由AB?1，AC?2，BC?3可得AB?BC?AC，
B zCB1故AB?BC.又由直棱柱的性质可知BB1?面ABC.
A1xC1AyBh如图建立空间直角坐标系，设棱BB1长为h，则E(0,0,)，
2????1313hA(0,1,0)，C1(3,0,0)，D(,,)，故DE?(,,0).
22222AB?平面BB1C1C，故因为BB1?面ABC，所以BB1?AB，又因为AB?BC，所以
????是平面BB1C1C的一个法向量. BA?(0,1,0)设直线
DE与平面
BB1C1C所成的角为
?，则
????????????????BA?DE?s?i?n?BA|DEc??o???s?????,|BA?DE||33. |2|?|212|322()?()?0?122所以???3.
第Ⅱ卷（非选择题 共50分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。.
???9．（空间向量的坐标运算，改编题）已知a?(2,?1,1)，b?(?1,4,?2)，c?(11,5,?)，若向???量a、b、c共面，则?? .
?11?2x?2y???????x?7?【解析】1 向量a、b、c共面可得c?xa?yb，故有?5??x?4y，解得?，
y?3????x?2y?故??7?6?1.
???10. （空间向量的数量积与坐标运算，改编题）已知2a?b?(0,?3,?10)，c?(1,?2,?2)，
?????a?c?4， |b|=12，?b,c?＝ .
????【解析】 (2 a?b)?c?0?1?(?3)?(?2)??(10?)?(，2?3????????????而(2a?b)?c?2a?c?b?c?8?b?c，故b?c?18，|c|?22?22?12?3，
???????b?c181????故cos?b,c????，所以?b,c??.
3|b|?|c|12?3211. （空间向量求点到平面的距离与几何体结构特征的综合，改编
题）如图，?BCD与?MCD都是边长为2的正三角形，平面
AMCD?平面BCD，AB?平面BCD，AB?23，则求点A到平面MBC的距离等于 .
BMD215 取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，5OM⊥CD．又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD.
【解析】
取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空
C间直角坐标系如图．OB=OM=3，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，3），B（0，
，A（0，-3，23）. ?3，0）???设n?(x,y,z)是平面MBC的法向量，则?????????BC?(1,3,0),BM?(0,3,3).
???????????????由n?BC得x?3y?0；由n?BM得3y?3z?0． ???????取n?(3,?1,1)．BA?(0,0,23)，
?????BA?n23215则d?． ???55nAzMBOCDyx12. （空间向量求线面角，改编题）已知空间不共面四点O,A,B,C，
?????????????????????????????????????????????且|O则OM与平面ABC所OA?OB?OA?OC?OB?OC?0，A|?|OB||O?C|，AM?MB，
成角的正切值是________________.
【解析】2 由题意可知，OA,OB,OC两两垂直，如图建立空间直
)B(0,1,0)，角坐标系，设OA?OB?OC?1，则A(1,0,0，
zC11C(0,0,1)，M(,,0). O22ByA?????11????????M故AB?(?1,1,0)，AC?(?1,0,1)，OM?(,,0).设平面
x22?ABC的法向量为n?(x,y,z)，
?????????x?y?0?n?AB则由?????，令x?1，得平面ABC的一个法向量为n?(1,1,1). ?，得???x?z?0??n?AC??????故cos?n,OM??13?22?66，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正
33切值为2.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13（．本小题满分10分）(山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科) 三
?棱锥P?ABC中，?BAC?90，PA?PB?PC?BC?2AB?2.
（1） 求证：面PBC?面ABC
（2） 求二面角B?AP?C的余弦值． 【解析】本题主要考查空间面面垂直的证明以及空间向量的基本运算及应用其求解二面角.
证明：（1）取BC中点O，连接AO,PO,由已知?ABC为直角三角形， 所以可得OA?OB?OC,又知PA?PB?PC， 则?POA??POB??POC
所以?POA??POB??POC，………………………2分 所以PO?OB,PO?OA,OB?OA?O，
所以PO?平面BCD.PO?面ABC，
∴平面PBC?平面ABC. ………………………4分 （2） 解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点， 如图建立坐标系O?xyz则A(
31,?,0)，B(0,?1,0)，C(0,1,0)，22
P(0,0,3)，BA?(31,,0),BP?(0,1,3) . 22??设面PAB的法向量为n1??x,y,z?，
??????????????由n1?BA?0,n1?BP?0,可知n1?1,?3,1.………………………7分
????同理可求得面PAC的法向量为n??3,2?3,1 ………………………9分
???????????n1?n265. ………………………10分 所以cosn1,n2???????65n1n214. （本小题满分10分）(江西省新余市2011年高三第二次模拟理科)在四棱锥P?ABCD中，侧面PCD?底面ABCD，PD?CD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，?ADC=90°,AB?AD?PD?1，
CD?2.
（1）求证：BC?平面PBD；
????????（2）设E为侧棱PC上一点，PE??PC，试确定?的值，使得二面角E?BD?P的大小
为45.
【解析】本题主要考查空间向量的基本运算及其应用，考查空间线面垂直的证明以及二面角的探索性问题.
（1）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz. 则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0）， PzP（0，0，1） ………2分
?DB?(1,1,0),BC?(?1,1,0).
所以
EBC?DB?0,BC?DB,
DCy又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC， 所以BC⊥平面PBD. ………4分
（2）平面PBD的法向量为BC?(?1,1,0),
xABPC?(0,2,?1),PE??PC,??(0,1)，所以E(0,2?,1??)，………6分
设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），DB?(1,1,0),DE?(0,2?,1??) 由n?DB?0，n?DQ?0，得 所以，??a?b?0
2?b?(1??)c?0??2?)，………………………………………8分 ?n?(?1,1,??1???n?BC由cos???，解得??2?1…………………………10分
4nBC15. （本小题满分10分）（山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试理科）已知在四棱锥
P?ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD?2，AB?1，PA?平面ABCD，E、F分别
是线段AB、BC的中点．
（1）证明：PF?FD；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD； （3）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角A?PD?F的余弦值．
?【解析】本题主要考查空间向量的基本运算以及应用空间向量证明线线垂直、空间线面平行关系的探索性问题以及二面角的求解.
?（1）∵ PA?平面ABCD，?BAD?90，AB?1，AD?2，建立如图所示的空间直角坐
标系A?xyz，则A?0,0,0?,B?1,0,0?,F(1,1,0),D(0,2,0)．…………1分
????????不妨令P(0,0,t)∵PF?(1,1,?t)，DF?(1,?1,0) ????????∴PF?DF?1?1?1?(?1)?(?t)?0?0，
即PF?FD．…………………………3分
?（2）设平面PFD的法向量为n??x,y,z?，
???????x?y?tz?0t?n?PF?0由??????，得?，令z?1，解得：x?y?．
2?x?y?0??n?DF?0??tt?∴n??,,1?． ………………………………………………………5分
?22?????1?1?设G点坐标为(0,0,m)，E?,0,0?，则EG?(?,0,m)，
2?2??????n?0， 要使EG∥平面PFD，只需EG?ttt1?0??1?m?m??0，得m?t，…………………6分 22441从而满足AG?AP的点G即为所求．……………………………7分
4????????（3）∵AB?平面PAD，∴AB是平面PAD的法向量，易得AB??1,0,0?，
即(?)?…………………………………………………………………………………8分 又∵PA?平面ABCD，∴?PBA是PB与平面ABCD所成的角，
12??11?得?PBA?45，PA?1，平面PFD的法向量为n??,,1? ……9分
?22????????????AB?n∴cosAB,n???????AB?n162， ?611??1446．…………………………………10分 6故所求二面角A?PD?F的余弦值为