2013广东省高考压轴卷 数学理试题
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：
锥体的体积公式：V?球体体积公式：V球?1343Sh（S是锥体的底面积，h是锥体的高）
3?R(R是半径)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1、设全集R，A?{x|x(x?2)?0},B?{x|y?ln(1?x)}, 则A?（CUB）= （ ） A．(?2,1) B．[1,2) C．(?2,1] D．(1,2) 2、已知复数z的实部为?1，虚部为2，则
5iz= （ ）
A．2?i B．2?i C．?2?i D． ?2?i
3、已知a?R，则“a?2”是“|x?2|?|x|?a恒成立”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、函数f(x)?x?sinx(x?R) （ ） A．是偶函数，且在(??,??)上是减函数； B．是偶函数，且在(??,??)上是增函数； C．是奇函数，且在(??,??)上是减函数； D．是奇函数，且在(??,??)上是增函数；
5、已知???x,y?x?1,y?1，A是曲线y?x与y?x2围成的区域，若向区域?上随机投一点P，则
2??1点P落入区域A的概率为 （ ） A.
6、图1是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）
页
1第
13 B.
14 C.
18 D.
112
A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9
7、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
???????????b满足：①|b|=1; ②a?b； ③对任意的t?R,恒8、称d(a,b)?|a?b|为两个向量a,b间的距离。若a、????有d(a,tb)?d(a,b)，则 （ ）
????????????A. (a?b)?(a?b) B. b?(a?b) C.a?b D. a?(a?b)
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题） 9、某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容 量为___________
?x?0?10、设x,y满足约束条件?x?2y?3,则z?x?y的
?2x?y?3?最大值是_________.
11 、已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥 的体积为 .
第11题图
12、若(1?x)?a0?a1x?a2x?a3x?????anx(n?N)，且a1:a3?1:7，则a5?_____
13、定义映射f:A?B，其中A?{(m,n)m,n?R}，B?R，已知对所有的有序正整数对(m,n)满足
下述条件:①f(m,1)?1；②若n?m，f(m,n)?0；
③f(m?1,n)?n[f(m,n)?f(m,n?1)]， 则f(2,2)? ，f(n,2)? ． 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
页
2第
n23n*14、已知曲线C1的参数方程为们的交点的直角坐标为 _____ ．
（0≤θ＜π），直线l的极坐标方程为???4，(??R)，则它
15、如图，直线PC与?O相切于点C，割线PAB经过
圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC?4，PB?8，则 CE?
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分12分）已知函数f(x)?Asin(?x??)，x?R（其中A?0,??0,?部分图像如图所示．
(1) 求函数f(x)的解析式； (2) 已知横坐标分别为?1、1、5的三
M、N、P都在函数f(x)的图像上，-2-1π2???π2），其
y1O-1123456x点
求
sin?MNP的值．
17. （本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件A 元件B [70,76) [76,82) 12 [82,88) [88,94) [94,100] 8 7 40 40 32 29 8 6 18 （Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利
50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本题满分13分）如图甲，直角梯形ABCD中，AB//CD，?DAB??2，点M、N分别在AB，
CD上，MC?CB，BC?2，MB?4，且MN?AB，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND
页
与平面MNCB垂直（如图乙）． （Ⅰ）求证：AB//平面DNC；
?（Ⅱ）当DN的长为何值时，二面角D?BC?N的大小为30？ DDNCANCAM图甲B3第
M图乙B19.（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和为Sn，且满足S1=2,Sn+1=3Sn+2?n?1,2,3??． （I）求证：数列{Sn+1}为等比数列； （Ⅱ）设bn?
20．（本小题满分14分）动圆P在x轴上方与圆F：x??y?1??1外切,又与x轴相切.
（1）求圆心P的轨迹C的方程；
（2）已知A、B是轨迹C上两点，过A、B两点分别作轨迹C的切线，两条切线的交点为M, 设线段
?????????AB的中点为N，是否存在??R使得MN??OF（F为圆F的圆心）；
22anSn2,求证：b1?b2?...?bn?1．
（3）在(2)的条件下，若轨迹C的切线BM与y轴交于点R，A、B两点的连线过点F,试求△ABR面积的最小值．
21.（本小题满分14分） f?x??x?a?lnx?a?0?. (1)若a?1,求f?x?的单调区间及f?x?的最小值; (2)若a?0,求f?x?的单调区间;
ln2222(3)试比较
?ln3322???lnnn22与
?n?1??2n?1?的大小.?n???2n?1N且n?2,并证明你的结论.
??
页
4第
2013广东省高考压轴卷 数学理试题答案
一．选择题（每题5分，共40分） 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 D 6 C 7 B 8 B 二．填空题（每题5分，共30分）
9、 15 10、____ __ 0 11、 2 12. ?56 13、 2 2?2 14. (306,306) 15.
125n
1、A??0,2?,B????,1?,CUB??1,???, v 2、z??1?2i，
5iz?5i?1?2i?5i??1?2i??10?5i5?2?i
??1?2i???1?2i?3、x?2?x?a恒成立等价于?x?2?x?min?a，即2?a
4、f??x???x?sin??x???x?sinx??f?x?，得f?x?为奇函数
页
5第
0f?x?在R上为增函数 f?x??1?cosx?得
10/5、区域A面积为? P?13/4?112?x?x2??213?11dx??x2?x?|0?
33?3?3
6、160~180是A4到A7，参与循环的是i?7，循环结束 是i?8
7、先把两个女生选好在捆绑在一起C3A2?6
假设捆在一起的女生记为A,B，另一个女生记为C，两个男生记为甲乙，从左到右编号1~5
（一）A,B排在1,2号，那么甲可以选3,4.若甲选3，则C,乙无要求，有2种；如果甲选4号，则C只能选5号，有一种。则共3种情形
（二）A,B排在2,3号，那么甲只能选4号， C只能选5号，有一种。 （三）A,B排在3,4号，那么甲只能选2号， C只能选1号，有一种。 （二）A,B排在4,5号，情形同（一）共3种 则总数为N=6*8=48种
8、考察向量减法的三角法则，以及向量模的几何意义。
????????????对任意的t?R,恒有d(a,tb)?d(a,b)，表明d(a,b)?|a?b|是所有d(a,tb)?|a?tb|中最短的一个，而???垂线段最短，故有b?(a?b)
229、
n750?7350得n=15
10、线性规划，三角形区域，最优解（1,1） 11、四棱锥底面是直角梯形，面积为
a1a3?Cn?Cn1312?2??2?1??3，高为2，则体积为2
12、??1n?n?1??n?2?6?17得n=8，a5??C8??56
513、解：根据定义得f(2,2)?f(1?1,2)?2[f(1,2)?f(1,1)]?2f(1,1)?2?1?2。
f(3,2)?f(2?1,2)?2[f(2,2)?f(2,1)]?2?(2?1)?6?2?2， f(4,2)?f(3?1,2)?2[f(3,2)?f(3,1)]?2?(6?1)?14?2?2， f(5,2)?f(4?1,2)?2[f(4,2)?f(4,1)]?2?(14?1)?30?2?2，
543所以根据归纳推理可知f(n,2)?2?2。
x2n14、在直角坐标系中：曲线C1:5?y?1?y?0?，直线l:y?x
2页 6第
15、PC?PA?PB?PA?2?AB?6,
连接OC，直角三角形OCP中CE?OC?CPOP?1252
16.（本小题满分12分）
解：（1）由图可知，A?1 ， ?????????????????????1分
最小正周期T?4?2?8, 所以T?又f(1)?sin(所以?π4?π4π4??)?1 ，且?3π42π?π2?8,??π2π4π4. ?3分
???π2,??
. ???????5分
???π4，
π4??? 所以f(x)?sin(x?1)． ????????6分 π4(?1?1)?0,f(1)?sinπ4(1?1)?1,
(2) 解法一: 因为f(?1)?sinf(5)?sinπ4(5?1)??1，
所以M(?1,0),N(1,1),P(5,?1)，?8分 MN?5?20?3725?20355,MP?37,PN?20，
从而cos?MNP???， ?10分
45由?MNP??0,π?，得sin?MNP?解法二: 因为f(?1)?sinf(5)?sinπ4π41?cos?MNP?π42. ???????12分
(?1?1)?0,f(1)?sin(1?1)?1,
(5?1)??1， 所以M(?1,0),N(1,1),P(5,?1)， ?8分
???????????????????????NM?(?2,?1),NP?(4,?2),NM?NP??6,NM??????????NM?NP则cos?MNP???????????NM?NP?65?25352????5,NP?20?25, ??. ?????????10分
45由?MNP??0,π?，得sin?MNP?1?cos?MNP?. ?????12分 ． ??????1分
17.【答案】（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为
元件B为正品的概率约为
40?29?610040?32?8100?34?45． ???2分
（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X的所有取值为90,45,30,?15． ???3分 P(X?90)?P(X?30)?4545??3414??3515； P(X?45)?15?1534?14320；
．???7分
； P(X??15)?7第
??120页
所以，随机变量X的分布列为:
X P 90 3545 32030 15?15 120 ???8分
EX?90?35?45?320?30?15?(?15)?120?66． ???9分
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5?n件. 依题意，得 50n?10(5?n)?140， 解得 n?196．
所以 n?4，或n?5． ???11分 设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
13581434P(A)?C5()??()?则 444128． ???13分
18.解法一：（Ⅰ）MB//NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC， ?MB//平面DNC．??2分
同理MA//平面DNC，又MA?MB=M, 且MA,MB?平面MAB．
?平面MAB//平面NCD???AB//平面DNCAB?平面MAB?． （6分）
（Ⅱ）过N作NH?BC交BC延长线于H，连HN，
?平面AMND?平面MNCB，DN?MN, ???????8分 ?DN?平面MBCN，从而DH?BC,
??DHN为二面角D-BC-N的平面角． ??DHN=30o ???????10分
?90?由MB=4，BC=2，?MCB?知?MBC?60o，
332?CN?4?2cos60?3． ?NH?3?sin60o =
DNNH33 ???????11分
3332由条件知：tan?NHD??,?DN?NH?33332??. ???13分
解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系N设DN?a?xyz.易得NC=3，MN=3，
．
zD，则D(0,0,a),C(0,3,0),B(3,4,0),M(3,0,0),A(3,0,a)????????????（I）?ND?(0,0,a),NC?(0,3,0),AB?(0,4,?a)????????4????4?AB??(0,0,a)?(0,3,0)??ND?NC33．
，
ANCy∵ND,NC?平面DNC，且ND?NC?N，
页
8第
MBx????∴AB与平面DNC共面，又AB?平面DNC，?AB//平面DNC． （6分）
（II）设平面DBC的法向量n1??????DC?n1?3y?az?0则???????CB?n1?3x?y?0?(x,y,z)，DC?????????(0,3,?a),CB?(3,1,0)
，令x??1，则y?3，z?33a ∴n1?(?1,3,33a)． （8分）
?(0,0,1)又平面NBC的法向量n2． （9分）
33?cosn1,n2?n1?n2|n1||n2|?a1?3?94?27a232. ???????11分
?1即：
6a?1?3?27a2,?a2?, 又a?0,?a?32.即DN?32. ???????13分
19.（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）?Sn+1=3Sn+2，∴Sn+1+1=3(Sn+1)， ……………2分
又?S1+1=3， ……………3分
∴{Sn+1}是首项为3，公比为3的等比数列，且Sn?3?1,n?N．……………4分
n*（Ⅱ）当n=1时，a1=S1=2， ……………5分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3?1)?(3nn?1?1) ?3n?1(3?1) ?2?3n?1．
………………7分
故an?2?3n?1,n?N． ………………8分
*?bn?2?3nn?12(3?1)?2?3(3n?1n?1n?1)(3?1)?(13?11?131n?1?1?13?11?n,?n?2? ………………11分 13?13?b1?b2?...?bn?12?3?12)?(3?12)?????(13n?1?1?13?1n)
………………12分
?12?12?13?1n?1． ………………14分
20．解：（1）设P（x,y）由题意知
x??y?1??y?1?x??y?1??(y?1)
22222y ? y?14x (x?0).
FNABxO2页 9第
M即圆心P的轨迹C的方程为y?（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2) 由y'?1214x(x?0)-------------4分
2x得直线AM的斜率kAM?12x2
121212x1
直线BM的斜率kBM?∴直线AM的方程为y?y1?直线BM的方程为y?y2?由①②消去y得y2?y1?12x1(x?x1)--------------①
x2(x?x2)-------------②-------------------6分
12x12x2(x?x2)?(2x1(x?x1)?1412x1?12x2)x?12x2?212x1
2∵A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线 y?∴
14x2?122(x?0)上
214x1?(212x1?12x2)x?12x2?2x1
∴x?(x1?x2)
12(x1?x2)，又∵点N的横坐标为也为
x1?x22即点M的横坐标x?
?????????∴MN//y轴，即MN与OF共线
?????????∴存在??R使得MN??OF.----------------------------------------------------------9分
t2（3）设点B的坐标为(t,4)(t?0)，则轨迹C的切线BM的方程为y?t24?t2(x?t)
可得R的坐标为(0,?t24)，----------------------------------------------------------------10分
?4y?xt?444?2x?1，由?(?,2)---11分 直线BA的方程为y?可得点A的坐标为t?44tttx?1?y?4t?22∴S?ABR?∵
12|14312|FR|?|xB?xA|=
4t12|1?t24|?|t?4t|?12|14t?2t?34t|-------------12分
t?2t?|是关于t的偶函数，∴只须考虑t?0的情况，
令f(t)?2311341324(t?2t?)（t?0）则f'(t)?(t?2?2)，令f'(t)?0解得t?
324t24t233233∵当t?(0,页
)时，f'(t)?0，当t?(,??)时，f'(t)?0
10第