2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计
温江二中 何汝兵
一、教材分析：
向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.
向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l就可以用点A和某个向量?a表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.
??二、学情分析：
学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。
三、教学目标：
1、知识与技能
通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。 2、过程与方法
通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。 3、情感态度与价值观
通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。
四、教学重难点
教学重点：
1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；
2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。
五、教具选取
三角板、投影仪、多媒体辅助教学。
六、教学基本流程
实例引入 探究：观察、发现和类比
口答题、练习题 向量数乘运算的定义及其几何意义
向量数乘运算律及其几何意义 例1及巩固练习 共线向量定理 练习 例2讲解 变式一、变式二讲解 归纳总结 例3、例4讲解 课堂作业 课堂小结 作业布置 七、教学过程 教学环节 复习回顾 引入新课 （?a）+（?a）+（?a） 已知非零向量a，作出a+a+a和想一想：它们的大小和方向有什么变化？ 学生作图，观察并思考 认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理新课讲解 实数与向量的积的定义：问题1：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？ 小组合作交流，学生单独作答 性认识作好铺垫。 通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法 教学内容 向量的加法、向量的减法 教师提问 学生回答 复习回顾，引发新知 教师活动 学生活动 设计意图 ? 一般地，实数?与向量a的积?是一个向量，记作?a，它的长度与方向规定如下： ??（1）|?a|?|?||a|； ??（2）当??0时，?a的方向与a的方向相同； ?当??0时，?a的方向与?a的方向相反； ????0当 时，?a?0． 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 小组合作交流，学生单独作答 从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把??向量a沿a的方向或反方向伸长或缩短?倍。 说一说： a与下列向量之间的关系：12a、?12抽学生回答，并指出 其几何意义 通过简单口答题来巩固学生对向量数乘的理解及应用，同时渗透几何问题向量化的一种思考方式。 a、2a、?2a 练一练： 学生单从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固 数学中引进一个新的量自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发。而书的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效的简化运算。类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律。 教材P90 练习独作答 2、3题 实数与向量的积的运算律： ??（1）?(?a)?(??)a（结合律）； 和运算律是紧密???运算律可（2）(???)a??a??a（第一相连的，问题4：数的运算小组交流探讨 以有效地简化运分配律）； ????算。类比数的乘法（3）?（a+b）=?a??b（第二分的运算律，你能说配律）． 出数乘的运算律 吗？ 问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？ 提问、及时评价 小组交流探讨 独立完成，单独回答 例1 计算： ?（1）(?3)?4a； ?????（2）3(a?b)?2(a?b)?a； （3） ??????(2a?3b?c)?(3a?2b?c)． 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固，通过例1加深学生对数乘向量运算律的理解。 学生单及时练习，及时巩练一练 教材P90 练习独作答 固，反馈学生的学习情况 5题 本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算。 向量的加、减、数乘运算统称为向 量的线性运算。对于任意的向量a,b，以及任意实数?,?1,?2，恒有?(?1a??2b)???1a???2b ????对于向量a(a?0)、b，如果??有一个实数?，使b??a，那么??由向量数乘的定义知a与b共线，????且向量b是向量a(a?0)模的?问题6：引入数乘向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？ ?1) a为什么合作交流，独师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生立作答. 理解向量共线只需看这两个向量 的方向相同或是相反，在向量???a(a?0)的前提思考: 要是非零向量? ????倍，而?的正负由向量a(a?0)、2) b可以是?b的方向所决定. ??反过来，已知向量a与b共???线，a?0，且向量b的长度是向???量a的长度的?倍，即b??a，下，向量零向量吗? 3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？ ????a(a?0)、b共线，当且仅当有一个实数?，使得??b??a；且实数?的唯一性是由??向量a和b的模??那么当a与b同方向时，有????b??a；当a与b反方向时，有??b???a. 和方向同时决定. 通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. 从上述两方面可知 （板书）共线向量定理：向????量a(a?0)、b共线，当且仅??当有一个实数?，使得b??a. 练一练 教材P90练习题4题 学生单独作答 学生思考作答 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固 共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线 例2、如图，已知AD?3AB，DE?3BC.试判断是否共线AC与AE引导学生思考