2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所
粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．
2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
球的表面积公式 S?4πR 其中R表示球的半径
2P(A?B)?P(A)?P(B)
如果事件A，B相互独立，那么 球的体积公式 V?43πR 3
P(A?B)?P(A)?P(B)
其中R表示球的半径
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）．若A为位全体正实数的集合，B???2,?1,1,2?则下列结论正确的是（ ）
A．A?B??2,?1? C．A?B?(0,??)
?B． (eRA)?B?(??,0) D． (eRA)?B??2,?1?
?解：eRA是全体非正数的集合即负数和0，所以(eRA)?B??2,?1?
?????????????（2）．若AB?(2,4)，AC?(1,3), 则BC?（ ）
A．
（1，1）
B．（－1，－1） C．（3，7）
D．（-3,-7）
????????????解：向量基本运算 BC?AC?AB?(1,3)?(2,4)?(?1,?1)
（3）．已知m,n是两条不同直线，?,?,?是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
用心 爱心 专心
A．若???,???,则?‖? C．若m‖?,n‖?,则m‖n
B．若m??,n??,则m‖n
D．若m‖?,m‖?,则?‖?
解：定理：垂直于一个平面的两条直线互相平行，故选B。 （4）．a?0是方程ax?2x?1?0至少有一个负数根的（ ）
A．必要不充分条件
C．充分必要条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
2解：当??22?4a?0，得a<1时方程有根。a<0时，x1x2?程根为x??1，所以选B
1?0，方程有负根，又a=1时，方a（5）．在三角形ABC中，AB?5,AC?3,BC?7,则?BAC的大小为（ ）
A．
2? 3 B．
5? 6C．
3? 4D．
? 32?52?32?721??，?BAC?解：由余弦定理cos?BAC?
32?5?32（6）．函数f(x)?(x?1)2?1(x?0)的反函数为
A．f?1(x)?1?x?1(x?1)
B． f?1(x)?1?x?1(x?1)
C．f?1(x)?1?x?1(x?2) D． f?1(x)?1?x?1(x?2)
解：由原函数定义域是反函数的值域，f?1(x)?0，排除B,D两个；又原函数x不能取1，
f(x) 不能取1，故反函数定义域不包括1，选C .(直接求解也容易)
（7）．设(1?x)8?a0?a1x???a8x8,则a0,a1,?,a8中奇数的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
i08解：由题知ai?C8(i?0,1,2,?8)，逐个验证知C8?C8?1，其它为偶数，选A。
（8）．函数y?sin(2x?A．x??解：y?sin(2x??3)图像的对称轴方程可能是（ ）
B．x???6
?12
C．x?
?6
D．x??12
?3)的对称轴方程为2x??3?k???2，即x?k????，k?0,x? 21212（9）．设函数f(x)?2x?A．有最大值
1?1(x?0), 则f(x)（ ） x
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
用心 爱心 专心
解：∵x?0∴?2x?0,?111?0，f(x)?2x??1??[(?2x)?(?)]?1，由基本不等式 xxx11f(x)??[(?2x)?(?)]?1??2(?2x)(?)?1??22?1有最大值，选A
xx（10）若过点A(4,0)的直线l与曲线(x?2)2?y2?1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为
（ ）A．[?3,3] B．(?3,3) C．[?33,] 33D．(?33,) 33解：解：设直线方程为y?k(x?4)，即kx?y?4k?0，直线l与曲线(x?2)2?y2?1有公共点，
圆心到直线的距离小于等于半径 d?得4k?k?1,k?2222k?4kk?12?1，
1，选择C 3另外，数形结合画出图形也可以判断C正确。
?x?0?（11） 若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从－2连续变
?y?x?2?化到1时，动直线x?y?a 扫过A中的那部分区域的面积为 ( )A．
3 4 B．1 C．
7 D．5 41?2?2?2小,故选C,不需要算出来） 2解：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。
（阴影部分面积比1大，比S?OAB?（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其
他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )
26A． C8A6
22 B． C8A3 22 C．C8A6
22D．C8A5
2解：从后排8人中选2人共C8种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4
人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为
A62；综上知选C。
用心 爱心 专心
2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（文科）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）．函数f(x)?x?2?1log2(x?1)的定义域为 ．
解：由题知：log2(x?1)?0,x?1?0且x?1?0,|x?2|?1?0；解得：x≥3.
x2y2??1的离心率是3。则n＝ （14）．已知双曲线
n12?n解：a2?n,b2?12?n,c2?a2?b2?12，离心率e?（15） 在数列{an}在中，an?4n?则ab?
c12??3，所以n?4 an5*，a1?a2??an?an2?bn，n?N,其中a,b为常数， 235n(?4n?)532?2n2?n。 解：∵an?4n?,∴a1?,从而Sn?222221∴a=2，b??，则ab??1
2
（16）已知点A,B,C,D在同一个球面上,AB?平面BCD,BC?CD,若AB?6,AC?213,AD?8,则B,C两点间的球面距离是 解：如图，易得BC?(213)2?62?4，BD?82?62?27，
∴CD?12，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD（CD
的对边与CD等长），从而球外接圆的直径为
2R?62?42?(12)2?8，R=4则BC与球心构成的大圆如图，
因为△OBC为正三角形，则B，C两点间的球面距离是
4?。 3用心 爱心 专心
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x?)sin(x?)
344??（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[?解：（1）?f(x)?cos(2x?,]上的值域
122???)?2sin(x?)sin(x?) 344?? ?13cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx) 2213cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 2213cos2x?sin2x?cos2x 22 ? ? ?sin(x2?（2）?x?[??6 ) ∴周期T?2??? 2??5?,],?2x??[?,] 122636?6)在区间[?,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，
12332??因为f(x)?sin(2x?所以 当x??????3时，f(x)取最大值 1
又 ?f(??12)???3?13 ?f()?，∴当x??时，f(x)取最小值?1222223,]上的值域为[?,1] 1222所以 函数 f(x)在区间[???（18）．（本小题满分12分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼
音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测
试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。
（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音
“g”的卡片不少于2张的概率。
解：（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的
用心 爱心 专心
3，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求1033327?的概率为??
1010101000概率为
（2）设Ai(i?1,2,3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P(Ai),则
123C7C3C371 P(A2)? , ?P(A)??333C1040C10120 因而所求概率为
(AP(3A)? P(A2?A3)?P2)?7111?? 4012060
（19）．（本小题满分12分
如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形，?ABC?点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
解：方法一（综合法）
（1）?CD‖AB,
∴?MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP?CD于P,连接MP
O?4, OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中
MABCD∵OA?平面ABCD，∴CD?MP
∵?ADP?O
?4,∴DP=2 2M
∵MD?MA2?AD2?2，
DP1?∴cos?MDP??,?MDC??MDP?
MD23ABQPD
所以 AB与MD所成角的大小为
? 3C∴点A和点B到平面OCD的距离相等， （２）∵AB‖平面OCD,用心 爱心 专心
连接OP,过点A作AQ?OP 于点Q，
∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP, ∵AQ?平面OAP,∴AQ?CD
又 ∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?1322，AP?DP? ?222
2OA?AP2?2，所以点B到平面OCD的距离为2 ∴AQ??3OP33222?方法二(向量法)
作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1), 222zOM(1)设AB与MD所成的角为?,
?????????22∵AB?(1,0,0),MD?(?,,?1)
22?????????AB?MD1? ∴co?s????,?? , ???????∴3AB?MD2∴AB与MD所成角的大小为
? 3AxBCPDy????????222(2) ∵OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)
222????????∴设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n?OP?0,n?OD?0
?2y?2z?0??2即 ?
??2x?2y?2z?0??22取z?2,解得n?(0,4,2)
用心 爱心 专心
????设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,
????OB?n2?????. ∵OB?(1,0?,, 2∴)d?n3所以点B到平面OCD的距离为（20）．（本小题满分12分） 设函数f(x)?2 3a332x?x?(a?1)x?1,其中a为实数。 32（Ⅰ）已知函数f(x)在x?1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）已知不等式f'(x)?x2?x?a?1对任意a?(0,??)都成立，求实数x的取值范围。 解: (1)f'(x)?ax2?3x?(a?1)，由于函数f(x)在x?1时取得极值，所以 f'(1)?0
即 a?3?a?1?0,∴a?1 (2) 方法一
由题设知：ax2?3x?(a?1)?x2?x?a?1对任意a?(0,??)都成立 即a(x2?2)?x2?2x?0对任意a?(0,??)都成立
设 g(a)?a(x2?2)?x2?2x(a?R), 则对任意x?R，g(a)为单调递增函数(a?R) 所以对任意a?(0,??)，g(a)?0恒成立的充分必要条件是g(0)?0
2 即 ?x?2x?0，∴?2?x?0， 于是x的取值范围是x|?2?x?0?
? 方法二
由题设知：ax2?3x?(a?1)?x2?x?a?1对任意a?(0,??)都成立 即a(x2?2)?x2?2x?0对任意a?(0,??)都成立
x2?2xx2?2x?0 于是a?2对任意a?(0,??)都成立，即2x?2x?2∴?2?x?0， 于是x的取值范围是?x|?2?x?0?
（21）．（本小题满分12分）
设数列?an?满足a0?a,an?1?can?1?c,c?N*,其中a,c为实数，且c?0 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式
用心 爱心 专心
（Ⅱ）设a?11,c?，bn?n(1?an),n?N*,求数列?bn?的前n项和Sn； 22*（Ⅲ）若0?an?1对任意n?N成立，证明0?c?1 解 (1) 方法一： ∵an?1?1?c(an?1)
∴当a?1时，?an?1?是首项为a?1，公比为c的等比数列。
n?1 ∴an?1?(a?1)，即 an?(a?1)cn?1?1。当a?1时，an?1仍满足上式。 c ∴数列an?的通项公式为 an?(a?1)cn?1?1(n?N*)。
方法二
由题设得：当n?2时，an?1?c(an?1?1)?c2(an?2?1)???cn?1(a1?1)?(a?1)cn?1
?∴an?(a?1)cn?1?1
n?1时，a1?a也满足上式。
∴数列?an?的通项公式为 an?(a?1)cn?1?1(n?N*)。
1?n()n
21121n Sn?b1?b2???bn??2()???n()
2221111Sn?()2?2()3???n()n?1 222211111∴Sn??()2???()n?n()n?1 22222111111∴Sn?1??()2???()n?1?n()n?2[1?()n]?n()n2222221∴Sn?2?(2?n)()n
2 (2) 由（1）得bn?n(1?a)cn?1
(3) 由（1）知an?(a?1)c若0?(a?1)cn?1n?1?1
?1?1，则0?(1?a)cn?1?1
1(n?N*) 1?a∵0?a1?a?1, ∴0?cn?1?由cn?1?0对任意n?N*成立，知c?0。下面证c?1，用反证法
xn?1方法一：假设c?1，由函数f(x)?c的函数图象知，当n趋于无穷大时，c用心 爱心 专心
趋于无穷大
∴cn?1?1*不能对n?N恒成立，导致矛盾。∴c?1。 1?a∴0?c?1
11n?1n?1方法二：假设c?1，∵c?，∴logcc?logc
1?a1?a1(n?N*) 恒成立 （＊） 即 n?1?logc1?a∵a,c为常数，∴ （＊）式对n?N*不能恒成立，导致矛盾，∴c?1 ∴0?c?1
（22）．（本小题满分14分）
x2y2设椭圆C:2?2?1(a?b?0)其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x?4.
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F1(?2,0)倾斜角为?的直线交椭圆C于A,B两点，求证： AB?42; 22?COS? （Ⅲ）过点F1(?2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B和D,E,求AB?DE 的最小值 解 ：（1）由题意得：
?c?2?22??a?a?8?4∴?2 ?
??b?4?c222??a?b?cx2y2??1 ∴椭圆C的方程为84 (2)方法一：
由（1）知F1(?2,0)是椭圆C的左焦点，离心率e? 设l为椭圆的左准线。则l:x??4
作AA1?l于A1,BB1?l于B1，l与x轴交于点H(如图) ∵点A在椭圆上
2 2用心 爱心 专心
∴AF1?2AA1 22(FH1?AF1cos?) 22?2AF1cos? 2 ? ? ∴AF1?2
2?cos?2
2?cos? 同理 BF1? ∴AB?AF1?BF1?方法二： 当??2242。 ??22?cos?2?cos?2?cos??2时，记k?tan?，则AB:y?k(x?2)
将其代入方程 x2?2y2?8 得 (1?2k2)x2?8k2x?8(k2?1)?0 设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则x1,x2是此二次方程的两个根.
8k28(k2?1),x1x2?. ∴x1?x2??1?2k21?2k2 AB?22(1x?2x)2?(1y?y?(1?2k)(2)1x?2x)?(1?2k)1[x(?22x)?142x x]?8k2232(k2?1)42(1?k2) ?(1?k)[( ................(1) )?]?2221?2k1?2k1?2k2 ∵k?tan 当??22?,代入（1）式得 AB?42 ........................(2) 22?cos??2时，AB?22 仍满足（2）式。
∴AB?42 22?cos?（3）设直线AB的倾斜角为?，由于DE?AB,由（2）可得
用心 爱心 专心
AB?4242 ， DE?2?cos2?2?sin2? AB?DE?4242122122??? 2?co2s?2?s2i?n?22s?in2?co2s?1si2n?243?162时，AB?DE取得最小值 43 当???4或??用心 爱心 专心