首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
一、（15分）求经过三平行直线L1:x?y?z，L2:x?1?y?z?1，L3:x?y?1?z?1的 圆柱面的方程．
解： 先求圆柱面的轴L0的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是n?(1,1,1)， 且圆柱面
?经过点O(0,0,0)， 过点O(0,0,0)且垂直于n?(1,1,1)的平面?的方程为：
? x?y?z?0. ……………………………（3分)
?与三已知直线的交点分别为O(0,0,0),P(1,0,?1),Q(0,?1,1)………… （5分)
圆柱面的轴L0是到这三点等距离的点的轨迹， 即
222222??x?y?z?(x?1)?y?(z?1)， ?222222??x?y?z?x?(y?1)?(z?1)即 ??x?z?1?y?z??1 … ………………（9分)
将L0的方程改为标准方程 x?1?y?1?z.
圆柱面的半径即为平行直线x?y?z和x?1?y?1?z之间的距离.
P0(1,?1,0)为L0上的点. ……………………… （12分)
??????????|n?P0S||n?P0O|??对圆柱面上任意一点S(x,y,z)， 有， 即 ?|n||n| (?y?z?1)?(x?z?1)?(?x?y?2)?6，
222所以，所求圆柱面的方程为：
x?y?z?xy?xz?yz?3x?3y?0. ………………. （15分) 二、（20分）设Cn?n222是n?n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，
?0?1?F??0????0?001?0?????000?1?an???an?1??an?2?????a1??
?a11?a21?（1）假设A?????a?n1a12a22?an2????a1n??a2nn?2?，若AF?FA，证明：A?aFn?1?aF???a21F?a11E； n1n?11???ann??（2）求Cn?n的子空间C(F)??X?Cn?n|FX?XF?的维数.
（1）的证明:记A?(?1,?2,?,?n)，M?an1Fn?1?an?11Fn?2???a21F?a11E.要证明M?A，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以ei记第i个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i，
Mei?Aei(??i). ……………………… （2分)
若记??(?an,?an?1,?,?a1)T，则F?(e2,e3,?,en,?).注意到，
Fe1?e2,Fe1?Fe2?e3,?,F2n?1e1?F(Fn?2e1)?Fen?1?en （*） …………（6分)
由 Me1?(an1Fn?1?an?11Fn?2???a21F?a11E)e1
??an1Fn?1e1?an?11Fn?2e1???a21Fe1?a11Ee1
?an1en?an?11en?1???a21e2?a11e1????Ae1 …………（10分)
已知 Me2?MFe1?FMe1?FAe1?AFe1?Ae2，Me3?MFe1?FMe1?FAe1?AFe1?Ae3
Men?MFn?12222e1?Fn?1Me1?Fn?1Ae1?AFn?1e1?Aen
所以 M?A. ………………………… （14分)
（2）解： 由（1），C(F)?span{E,F,F,?,F2n?1}， ………… （16分)
2n?1?O，等式两边同右乘e1，利用（*）得 设x0E?x1F?x2F???xn?1F??Oe1?(x0E?x1F?x2F???xn?1F?x0Ee1?x1Fe1?x2Fe1???xn?1F22n?1)e1
n?1e1?x0e1?x1e2?x2e3???xn?1en.........................(18分）
因e1,e2,e3,?,en线性无关，故，x0?x1?x2???xn?1?0…………（19分) 所以，E,F,F,?,F特别地，
dimC(F)?n. ……………………………（20分)
2n?1线性无关.因此，E,F,F,?,F2n?1是C(F)的基，
三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n?0），f,g是V上的线性变换.如果
fg?gf?f，证明：f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.
证明：假设?0是f的特征值，W是相应的特征子空间，即W????V|f(?)??0??. 于是，W在f下是不变的. …………………………（1分)
下面先证明，?0=0.任取非零??W，记m为使得?,g(?),g2(?),?,gm(?)线性相关的最小的非 负整数，于是，当0?i?m?1时，?,g(?),g2(?),?,gi(?)线性无关． ……………（2分)
当0?i?m?1时令Wi?span{?,g(?),g2(?),?,gi?1(?)},其中，W0?{?}.因此，dimWi?i（1?i?m），并且，Wm?Wm?1?Wm?2??. 显然，g(Wi)?Wi?1，特别地，Wm在g下是不变的.
………………（4分) 下面证明，Wm在f下也是不变的.事实上，由f(?)??0?，知
fg(?)?gf(?)?f(?)??0g(?)??0?， …………（5分)
fg(?)?gfg(?)?fg(?)??g(?0g(?)??0?)?(?0g(?)??0?)
??0g(?)?2?0g(?)??0? ………………（6分)
22根据 fgk(?)?gfgk?1(?)?fgk?1(?)?g(fgk?1)(?)?fgk?1(?)
用归纳法不难证明，fg(?)一定可以表示成?,g(?),g(?),?,g(?)的线性组合，且表示式中gk(?)前的系数为?0. ………………………………… （8分)
因此，Wm在f下也是不变的，f在Wm上的限制在基?,g(?),g(?),?,g2m?1k2k(?)下的矩阵是上三角
矩阵，且对角线元素都是?0，因而，这一限制的迹为m?0. …………………（10分)
由于fg?gf?f在Wm上仍然成立，而fg?gf的迹一定为零，故m?0?0，即?0=0.……（12分) 任取??W，由于f(?)??，fg(?)?gf(?)?f(?)?g(?)?f(?)??，所以，g(?)?W.因此，W在
g下是不变的.从而，在W中存在g的特征向量，这也是f,g的公共特征向量. …………（15分)