课时规范练;; A组 基础对点练;;
→→→
1．(2017·杭州模拟)在△ABC中，已知M是BC中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝( ) 1
A.a－b ;; 21
C．a－b
2
1
B.a＋b 21
D．a＋b
2
1→→→→1→
解析：AM＝AC＋CM＝－CA＋CB＝－b＋a，故选A.
22答案：A
→→
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( ) A．(－7，－4) C．(－1,4)
B．(7,4) D．(1,4)
→
解析：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，;;
??x＝－4，→所以?从而BC＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
??y＝－2，
故选A. 答案：A
3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( );; A．a C．c
B．b D．0
解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0. 答案：D
→→
4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( );; →A.BC →C.AD
1→B.AD 21→D.BC 2
→→→→→→→→1→→1→
解析：如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝(AC＋AB)＝·2AD＝
22→
AD.
答案：C
→→→
5．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2 AC＋CB＝0，则向量OC等于( );; 2→1→A.OA－OB 33→→C．2 OA－OB
1→2→B．－OA＋OB
33→→D．－OA＋2 OB
→→→→→→→→→→→→→
解析：因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2 AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－→→→→→2 OA＋OB＝0，所以OC＝2 OA－OB. 答案：C
6．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，xy→→→→
且AM＝x AB，AN＝y AC，则的值为( );;
x＋yA．3 C．2
1B. 31D. 2
→→→→→
解析：由已知得M，G，N三点共线，所以AG＝λ AM＋(1－λ)AN＝λx AB＋(1－λ)y AC.∵点
→21→→1→→
G是△ABC的重心，∴AG＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，∴
323
?
?1?1－λ?y＝，?3
1λx＝，3
?即?1
1－λ＝，?3y
1λ＝，3x
x＋y1111xy1
得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝. 3x3yxyxyx＋y3答案：B
7．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( ) A．(5,7) C．(3,7)
B．(5,9) D．(3,9)
解析：由a＝(2,4)知2a＝(4,8)，所以2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．故选A. 答案：A
8．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( ) A．2 C．4
B．3 D．6
解析：由向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，可得4x＝2×6，解得x＝3. 答案：B
9．(2018·武汉武昌区调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD→→→→
所在平面内的任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( ) →A.OM →C．3OM
→B．2OM →D．4OM
→→→→→
解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD→→→→→→
＝2OM，所以OA＋OB＋OC＋OD＝4OM，故选D. 答案：D
→→
10．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→
A.AD＝－AB＋AC
33→4→1→
C.AD＝AB＋AC
33
→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→
D.AD＝AB－AC
33
1→4→→→→→1→→1→1→
解析：由题意得AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝－AB＋AC，故选A.
33333答案：A
11．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
解析：结合图形，易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2. 答案：C
m
12．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于( )
nA．－2 1C．－
2
B．2 1D. 2
解析：由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2mm1
－n)－4(3m＋2n)＝0.∴＝－. n2答案：C
→→→→→→
13．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝m AM成立，则m＝__________.
→→→→解析：由MA＋MB＋MC＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM＝2→21→→1→→→→→
AD＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，所以AB＋AC＝3 AM，故m＝3. 3323答案：3
14．已知向量a＝(m,4)，b＝(3,4)，且a∥b，则m＝________. 解析：由题意得，4m－12＝0，所以m＝3. 答案：3
15．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________. 解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b，则m＋2＝0，所以m＝－2. 答案：－2
→1→16．(2018·福建四地六校联考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3，4)，O为坐标原点，且OD＝(OA＋
2→→→
OB－CB)，则|BD|等于__________．
→1→→→1→→→
解析：由OD＝(OA＋OB－CB)＝(OA＋OC)，知点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以BD
22→
＝(－2,2)，故|BD|＝答案：22
B组 能力提升练
1．(2018·河北三市联考)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，m
若a∥b，则等于( )
n1A．－
2C．－2
1B. 2D．2
?－2?2＋22＝22.
??λn＝mm
解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则?，故＝－2.
n
??－λ＝2
答案：C
→1→→→2→
2．在△ABC中，AN＝NC，若P是直线BN上的一点，且满足AP＝m AB＋AC，则实数m
45的值为( ) A．－4
B．－1
C．1 D．4
→→→→→→→→→→→
解析：根据题意设BP＝n BN(n∈R)，则AP＝AB＋BP＝AB＋n BN＝AB＋n(AN－AB)＝AB＋
?1－n＝m，?1→→→n→→→2→
AC－AB?＝(1－n)AB＋AC，又AP＝m AB＋AC，∴?n2n??5?55
??5＝5，选B. 答案：B
??n＝2，
解得?故
??m＝－1，
→→→→→→→→1→
3．在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是( )
2A．(0，C．(
5] 2
B．(D．(57，] 227
，2] 2
5
，2] 2
1
解析：由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心、半径为的圆内，
2→→→→→→又AB1⊥AB2，AP＝AB1＋AB2，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当点P与点O重合时，|OA17→
|最大，为2，当点P在半径为的圆周上时，|OA|最小，为，故选D.
22答案：D
→→→→→
4．在△ABC中，BD＝3 DC，若AD＝λ1 AB＋λ2 AC，则λ1λ2的值为( ) 1A. 161C. 2
3B. 1610D. 9
→→→→3→→3→→1→3→
解析：由题意得，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
4444133
∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.
4416答案：B
→→→
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5 AM＝AB＋3 AC，则△ABM与△ABC的面积的比值为( ) 1A. 53C. 5
2B. 54D. 5
→→→
解析：设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5 AM＝AB＋3 AC，23→→→→2→3→
得5 AM＝2 AD＋3 AC ①，即AM＝AD＋AC，即＋＝1，故C，M，
5555→→→→→
D三点共线，又AM＝AD＋DM ②，①②联立，得5 DM＝3 DC，即在△
33
ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为. 55答案：C
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O为坐标原点，→→→→
动点P满足|CP|＝1，则|OA＋OB＋OP|的最小值是( ) A.3－1 C.3＋1
B.11－1 D.11＋1
?cos θ＋2?2＋?sin θ－1?2＝
→→→
解析：设P(cos θ，－2＋sin θ)，则|OA＋OB＋OP|＝4＋22cos θ－2sin θ＝答案：A
4＋23cos?θ＋φ?≥
4－23＝3－1.
7．(2018·河南中原名校4月联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的→→→
中点，若DE＝λ AB＋μ AD(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
5A. 8C．1
1B. 45D. 16
13→1→1→1→1→1→1→→1→3→
解析：DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，
22242444445
故λ2＋μ2＝，故选A.
8答案：A
32
8．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
xyA．24 8C. 3
解析：∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，
B．8 5D. 3
化简得2x＋3y＝3，又∵x，y均为正数， 3232?1
＋×(2x＋3y) ∴＋＝?xy?xy?39y4x1
6＋＋＋6?≥ ＝?xy?3?1?×3?12＋2
9y4x?
·＝8， xy?
9y4x
当且仅当＝时，等号成立．
xy32
∴＋的最小值是8.故选B. xy答案：B
→→→→→
9．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2 BD，CE＝2 EA，AF→→→→→
＝2 FB，则AD＋BE＋CF与BC( ) A．反向平行 C．互相垂直
B．同向平行
D．既不平行也不垂直
→→→→1→→→→→1→→→→→
解析：由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋
331→1→→→→→1→→→→2→→→→→
BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC－AB)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC3333反向平行． 答案：A
→→
10．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC＝3 EC，F为→
AE的中点，则BF＝( )
2→1→A.AB－AD 332→1→C．－AB＋AD
33
1→2→
B.AB－AD 331→2→D．－AB＋AD
33
→
解析：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以BC→→→→1→→→→→2→→2→1→?2→2→
AD－AB＝AB＋AD，＝GD＝AD－AG＝AD－AB，∴AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋?2?3233?3
2→1→→→→1→→12→2→?→
AB＋AD－AB＝－AB＋AD，故选C. 于是BF＝AF－AB＝AE－AB＝?3?22?333
答案：C
→→→
11．已知AC⊥BC，AC＝BC，D满足CD＝tCA＋(1－t)CB，若∠ACD＝60°，则t的值为( ) A.
3－1
2
B.3－2 D.3＋1
2
C.2－1
解析：由题意知D在直线AB上．令CA＝CB＝1，建立平面直角坐标系，如图，则B点坐标为(1,0)，A点坐标为(0,1)．
令D点的坐标为(x，y)，因为∠DCB＝30°，则直线CD的方程为y＝
3
x，易知直线AB的方3
?y＝3x，?3
程为x＋y＝1，由?
??x＋y＝1
答案：A
3－13－1
得y＝，即t＝.故选A.
22
12．已知O为坐标原点，B、D分别是以O为圆心的单位圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交π→→→→
点，点P为单位圆劣弧BD上一点，若OB＋OD＝xDB＋yOP，∠BOP＝， 则x＋y＝( )
3A．1 C．2
→→→
解析：如图，DB＝OB－OD， →→→→→∴OB＋OD＝x(OB－OD)＋yOP，
B.3 D．4－33
→→→
∴yOP＝(1－x)OB＋ (1＋x)OD，① π3→→1→
∵∠BOP＝，∴OP＝OB＋OD，
3223→→y→
∴yOP＝OB＋yOD，②
22
?由①②得?3
1＋x＝y，?2
答案：B
y1－x＝，2
解得x＝2－3，y＝23－2，∴x＋y＝3，故选B.
13．已知向量e1、e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.
??x＝2解析：因为a与b共线，所以a＝xb，?，
??λx＝－1
1
故λ＝－. 21
答案：－ 2
14．(2018·贵阳监测考试)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________.
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：0
→→→→→→→15.(2018·临汾模拟)如图，△ABC中，GA＋GB＋GC＝0，CA＝a，CB＝b.若CP＝ma，CQ＝11→→
nb，CG∩PQ＝H，CG＝2CH，则＋＝________.
mn
→→→→1→1
解析：由GA＋GB＋GC＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则CH＝CG＝
231→1→1111→1→→
CD＝(CA＋CB)＝CP＋CQ，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.
66m6n6m6nmn答案：6
→1→→→2→
16.如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值
311为________．
→1→→1→
解析：由AN＝NC，可知AN＝AC，
34
83→→2→→8→
又∵AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，且B、P、N共线，∴m＋＝1，∴m＝.
111111113
答案： 11