上海市浦东新区2010年高考预测数学（文科）试卷2010．4
注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空
格填对得4分，否则一律得零分.
3，则tan2?? . 32x?12．不等式?0的解是 .
x?11nn3. 若自然数n满足P，则行列式? . ?4272?n3n1．若cos??4．已知集合A?yy?sinx,x?R，集合B?xx2?x?0,x?R，则A?B? . 5．已知点A(2,?1),B(k?1,k)，O是坐标原点，若OA//OB，则实数k? . 26. (3x2?3)5的二项展开式中，常数项的值是 . 开始x7．已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的
a?1,s?1????中位数是 .
是 8．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 ． a?4??2x?y?1?x?y?2输出s否 ?229．满足条件?的目标函数P?x?y的最大值是 . s?s?9x?0?结束?y?0?a?a?110．在等比数列?an?中，an?0，且a1?a2???a7?a8?16，则a4?a5
的最小值为 .
11．设点A(1,1)、B(1,?1)，O是坐标原点，将?OAB绕y轴旋转一周，
所得几何体的体积为 .
212．关于x的不等式|x?4x?m|?x?4的解集为A，且0?A,2?A，则实数m的取值范围
是 .
x2y2??1的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程13．以双曲线
416为 .
14．设函数y?f(x)由方程x|x|?y|y|?1确定，下列结论正确的是 .（请将你认为正确
的序号都填上）
（１）f(x)是R上的单调递减函数；
（２）对于任意x?R，f(x)?x?0恒成立；
（３）对于任意a?R，关于x的方程f(x)?a都有解；
（４）f(x)存在反函数f?1(x)，且对于任意x?R，总有f(x)?f?1(x)成立. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15．“直线a与直线b没有公共点”是“直线a与直线b平行”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．若直线l的法向量n?(1,2)，且经过点M(0,1)，则直线l的方程为 （ ） A．2x?y?1?0 B．2x?y?2?0 C．x?2y?2?0 D．x?2y?1?0
17．设O为坐标原点，复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正确的是 ．．．．．
1
（ ）
A．|z1?z2|?|OP?OQ| B．|z1?z2|?|OP?OQ|
y L C．|z1|?|z2|?|OP|?|OQ| D．|z1?z2|?|OP?OQ|
N 18．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a，中心在原点O的 E D 正六边形ABCDEF，AB//Ox. 直线L:y?kx?t(k为常数） 与正六边形交于M、N两点，记?OMN的面积为S，则函数 F S?f(t)的奇偶性为 （ ） O C x M A．奇函数 B．偶函数
C．不是奇函数，也不是偶函数 D．奇偶性与k有关 B A
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写
出必要的步骤. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在?ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?6,b?53,B?（1）求sinA；
（2）求cos(B?C)?cos2A的值.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设函数f(x)?x2?2a|x|(a?0).
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并写出x?0时f(x)的单调增区间； （2）若方程f(x)??1有解，求实数a的取值范围.
21．（本大题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.
2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n?1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n?2；依此类推??，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.
对第n个时刻进入园区的人数f(n)和时间n（n?N）满足以下关系（如图1）：
?2?. 33600?n?24??3600?312f(n)????300n?21600?0?(1?n?24)(37?n?72)(73?n?90)(25?n?36)，n?N?
f(n)f(n) 10800 108003600 36001 1对第n个时刻离开园区的人数g(n)和时间 ： n（n?N?）满足以下关系（如图2）
36241 24 36 72 90 n g(n)24000 O17290n（图1）
0(1?n?24)??g(n)??500n?12000(25?n?72),n?N??5000(73?n?90)?（1）试计算在当天下午3点整（即15点整） 时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多
的时刻.
2
12000 6000 5000 O 24 36 72 90 n（图2）
22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6
分.
设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应.
（1）在复数范围内解方程: t2?4t?6?0.
（2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数
?3y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹为C2. 且两，当n为奇数时，动点P(x、a?(,3)）
2条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于
23，3求实数x0的取值范围. 23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8
分.
已知函数f(x)?log2x.
（1）若函数y?g(x)是函数y?f(x)的反函数，解方程：g(2x)?3g(x)?4；
（2）当x?(3m,3m?3](m?N)时，定义h(x)?f(x?3m). 设an?n?h(n)，数列{an}的前n项和为Sn，求a1、a2、a3、a4和S2010；
（3）对于任意a、b、c?[M,??)，且a?b?c. 当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f(a)、
f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值.
3
浦东新区2010年高考预测
数学（文科）试卷 2010．4
注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空
格填对得4分，否则一律得零分.
3，则tan2?? 2 . 32x?112．不等式?0的解是 (?1,) . x?121n3. 若自然数n满足P，则行列式?4272?n1．若cos??n? 6 . 3n4．已知集合A?yy?sinx,x?R，集合B?xx2?x?0,x?R，则A?B?(0,1). 5．已知点A(2,?1),B(k?1,k)，O是坐标原点，若OA//OB，则实数k? ?????1 . 3开始25)的二项展开式中，常数项的值是 1080 . x37．已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的 中位数是 8 .
8．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 729 ．
?2x?y?1?x?y?2?9．满足条件?的目标函数P?x2?y2的最大值是 4 . ?x?0??y?010．在等比数列?an?中，an?0，且a1?a2???a7?a8?16，则a4?a5
的最小值为 22 . 11．设点A(1,1)、B(1,?1)，O是坐标原点，将?OAB绕y轴旋转一周，
6. (3x2?所得几何体的体积为
a?1,s?1a?4?否 是 输出ss?s?9结束a?a?14? . 312．关于x的不等式|x2?4x?m|?x?4的解集为A，且0?A,2?A，则实数m的取值范围是
[?4,?2) . x2y2??1的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为 13．以双曲线
416(x?25)2?y2?25. 14．设函数y?f(x)由方程x|x|?y|y|?1确定，下列结论正确的是（１）（２）（３）（４）.（请将你认
为正确的序号都填上）
（１）f(x)是R上的单调递减函数；
（２）对于任意x?R，f(x)?x?0恒成立；
（３）对于任意a?R，关于x的方程f(x)?a都有解；
（４）f(x)存在反函数f?1(x)，且对于任意x?R，总有f(x)?f?1(x)成立.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15．“直线a与直线b没有公共点”是“直线a与直线b平行”的 （ B ）
4
A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
16．若直线l的法向量n?(1,2)，且经过点M(0,1)，则直线l的方程为 （ C ）
A．2x?y?1?0 B．2x?y?2?0 C．x?2y?2?0 D．x?2y?1?0
17．设O为坐标原点，复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正确的是 ．．．．．（ D ）
L C．|z1|?|z2|?|OP|?|OQ| D．|z1?z2|?|OP?OQ| N E D 18．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a，中心在原点O的
正六边形ABCDEF，AB//Ox. 直线L:y?kx?t(k为常数）
F 与正六边形交于M、N两点，记?OMN的面积为S，则函数
O C x S?f(t)的奇偶性为 ( B )
M A．奇函数 B．偶函数
B C．不是奇函数，也不是偶函数 D．奇偶性与k有关 A
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写
出必要的步骤. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在?ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?6,b?53,B?（1）求sinA；
（2）求cos(B?C)?cos2A的值. 解：（1）在?ABC中，由正弦定理得
将a?6,b?53,B? A．|z1?z2|?|OP?OQ| B．|z1?z2|?|OP?OQ| y 2?. 3ab?????????????????2分 ?sinAsinB6532??代入上式得，???????????2分
2?3sinAsin3解得sinA?3；?????????????????????????2分 5（2）?ABC中，A?B?C??,且B为钝角，所以cosA?4??????????2分 54cos(B?C)??cosA?????????????????????????2分
57cos2A?1?2sin2A????????????????????????2分
254713???????????????2分 所以cos(B?C)?cos2A???52525
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设函数f(x)?x2?2a|x|(a?0).
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并写出x?0时f(x)的单调增区间； （2）若方程f(x)??1有解，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意，函数f(x)?x2?2a|x|(a?0)的定义域D?R，对于任意的x?D,恒有
f(?x)?x2?2ax?f(x)，所以函数f(x)是偶函数.??????????3分
2当x?0时，函数f(x)?x?2ax（a?0）
且[a,??)?(0,??)，所以此时函数f(x)的单调递增区间是[a,??).??3分
5
（2）由于函数f(x)?(x?a)2?a2??????????????????2分
f(x)min??a2??????????????????????????2分 只须?a2??1，即a?1或a??1?????????????????2分 由于a?0，所以a?1时，方程f(x)??1有解.???????????2分
21．（本大题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.
2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n?1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n?2；依此类推??，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.
对第n个时刻进入园区的人数f(n)和时间n（n?N）满足以下关系（如图1）：
?3600?n?24??3600?312f(n)????300n?21600?0?(1?n?24)(37?n?72)(73?n?90)(25?n?36)，n?N?
f(n)f(n) 10800 108003600 36001 11 24 36 72 90 O172n 3624对第n个时刻离开园区的人数g(n)和时间 ： n（n?N?）满足以下关系（如图2）
90ng(n)24000 （图1） 0(1?n?24)??g(n)??500n?12000(25?n?72),n?N??5000(73?n?90)?（1）试计算在当天下午3点整（即15点整） 时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多
的时刻. 解：（1）当0?n?24且n?N时，f(n)?3600，
当25?n?36且n?N时，f(n)?3600?3?? 12000 6000 5000 O 24 36 72 90 n（图2）
n?2412，????????????2分
所以S36??f(1)?f(2)?f(3)???f(24)?????f(25)?f(26)???f(36)?
?12312312?1??? ?3600×24?3600×?12?3?1?????86400?82299.59?168700；???????????????2分
另一方面，已经离开的游客总人数是：
??T12?g(25)?g(26)???g(36)?12×500?12?11?500?39000；??2分 2所以S?S36?T12?168700?39000?129700（人）
故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有129700位游客. ????2分
6
（2）当f(n)?g(n)?0时园内游客人数递增；当f(n)?g(n)?0时园内游客人数递减.
(i)当1?n?24时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；?????????2分 (ii)当25?n?36时，令500n?12000?3600，得出n?31，
即当25?n?31时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；???????2分 当32?n?36时，3600?3n?2412，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越?500n?12000多；????????????????????????????2分
(iii)当37?n?72时， 令?300n?21600?500n?12000时，n?42， 即在下午4点整时，园区人数达到最多.
此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ?????2分 22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6
分.
设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应.
（1）在复数范围内解方程: t2?4t?6?0.
（2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数
?3y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹为C2. 且两，当n为奇数时，动点P(x、a?(,3)）
2条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于求实数x0的取值范围.
解：（1）t?23，34?22i????????????????????????2分 232化简得t?2?2i???????????????????????2分 （2）方法1：①当n为奇数时，??3???3?2a，常数a?(,3)），
x2y2?1；????????????2分 轨迹C1为双曲线，其方程为2?a9?a2②当n为偶数时，??3???3?4a，常数a?(,3)），
32x2y2?1；???????????????2分 轨迹C2为椭圆，其方程为2?4a4a2?92?4??1??4a4?45a2?99?0?4a24a2?92a?3， 依题意得方程组?解得??4242a?15a?36?0????1??a29?a23因为?a?3，所以a?3，
2x2y2x2y2??1，??1.????????2分 此时轨迹为C1与C2的方程分别是：
36123?|??3|?|??3|?4a?|??3|?3a方法2：依题意得? ?????????????2分 ??|??3|?|??3|?2a|??3|?a??轨迹为C1与C2都经过点D(2,2)，且点D(2,2)对应的复数??2?2i，
代入上式得a?3????????????????????????????2分
7
x2y2??1； 即|??3|?|??3|?23对应的轨迹C1是双曲线，方程为
36x2y2??1.???????2分 |??3|?|??3|?43对应的轨迹C2是椭圆，方程为
123x2y2??1，设点A的坐标为?x,y?， （3）由（2）知，轨迹C2：
123122222则|AB|?(x?x0)?y?(x?x0)?3?x
43234122，x?[?23,23]????????2分 x?2x0x?x0?3?(x?x0)2?3?x04433334124当0?x0?23即0?x0?时，|AB|2min?3?x0??0?x0?5
23333323834?x0?当x0?23即x0?时，|AB|min?|x0?23|?，?????2分
233383综上 0?x0?5或x0?.?????????????????????2分
3?23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8
分.
已知函数f(x)?log2x.
（1）若函数y?g(x)是函数y?f(x)的反函数，解方程：g(2x)?3g(x)?4；
（2）当x?(3m,3m?3](m?N)时，定义h(x)?f(x?3m). 设an?n?h(n)，数列{an}的前n项和为Sn，求a1、a2、a3、a4和S2010；
（3）对于任意a、b、c?[M,??)，且a?b?c. 当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f(a)、
f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值.
x解：（1）?函数y?g(x)是函数y?f(x)的反函数，f(x)?log2x,?g(x)?2(x?R)
而g(2x)?3g(x)?4,?22x?3?2x?4?????????????????2分
(2x?1)?(2x?4)?0,?2x?4
故：原方程的解为x?2????????????????????2分 (2) 若1?(3m,3m?3]，?m?0，??(1)?f(1)?0，?a1?1?0?0
若2?(3m,3m?3]，?m?0，??(2)?f(2)?1，?a2?2?1?2 若3?(3m,3m?3]，?m?0，??(3)?f(3)?log23，?a3?3log23
若4?(3m,3m?3]，?m?1，??(4)?f(1)?0，?a4?4?0?0????2分
当n?3m?1(m?N)时，?(n)?f(n?3m)?f(1)?0，?an?n?0?0
8
当n?3m?2(m?N)时，?(n)?f(n?3m)?f(2)?1，?an?n?1?n
当n?3m?3(m?N)时，?(n)?f(n?3m)?f(3)?log23，?an?nlog23?2分 ?S2010?a1?a2?a3?a4???a2010
?1?0?2?1?3?log23?4?0?5?1???2010?log23 ?(2?5?8???2009)?1?(3?6?9???2010)?log23 ?2?20093?2010?670??670?log23 22 ?673685?674355?log23???????????????2分 (3) 由题意知，c?b?a
若f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长?log2c?log2b?log2a?bc?a????2分 又：bc?b?c?(b?1)(c?1)?1
当b?2,c?2时，有(b?1)(c?1)?1成立，就一定有bc?a成立. ???????2分
2当0?M?2时，取b?M,c?M,a?M2，有M?M?M,即b?c?a，此时a,b,c可作为一
个三角形的三边长????????????????????????????2分
但log2M?log2M?2log2M?log2M2，即f(b)?f(c)?f(a)，所以f(a)、f(b)、f(c)不能作为三角形的三边长.
综上所述，M的最小值为2. ??????????????????????2分 解法2：a?b?c 由题意知，b?c?a
若f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长?log2b?log2c?log2a?bc?a????2分 设a?c?p1 , b?c?p2 p1?p2?0
若p1?0?p2?0，则a?b?c?1，f(a),f(b),f(c)显然能作为某个三角形三边长????2分 若p1?0，由（1）知c?p1?p2 由(2)知bc?a?c?p?p2ac?p1????????????????2分 ??1?1bc?p2c?p2p1?p2p1?p2p?p2p?p2p??1?1?1?1?2?2?2
c?p2p1c?p2p1p1而c?p2?p1，则0?故：c?2?????????????????????????????2分
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