新编物理基础学(上、下册)课后习题详细答案
王少杰，顾牡主编
第一章
????1-1.质点运动学方程为：r?acos(?t)i?asin(?t)j?btk,其中a，b，?均为正常数，求质
点速度和加速度与时间的关系式。
?分析：由速度、加速度的定义，将运动方程r(t)对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。
?????解：v?dr/dt??a?sin(?t)i?a?cos(?t)j?bk
????a?dv/dt??a?2?cos(?t)i?sin(?t)j???
1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/dt??Kv2， 式中K为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 v?v0e?Kx 。 其中v0是发动机关闭时的速度。
分析：要求v?v(x)可通过积分变量替换a?证：
dvdv?v，积分即可求得。 dtdxdvdvdxdv???v??Kv2 dtdxdtdxdv ??Kdx
vv1xv , ln??Kx dv??Kdx?v0v?0v0 v?v0e
1-3．一质点在xOy平面内运动，运动函数为x?2t,y?4t?8。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。
分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运
2?Kx
???动学方程r(t)表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得v(t)和a(t)，把时间代入可得某时刻
质点的位置、速度、加速度。
2解：（1）由x?2t,得：t?x,代入y?4t?8
2 可得：y?x?8，即轨道曲线。
画图略
2???2（2）质点的位置可表示为：r?2ti?(4t?8)j
????? 由v?dr/dt则速度：v?2i?8tj
???? 由a?dv/dt则加速度：a?8j
????????则：当t=1s时，有r?2i?4j,v?2i?8j,a?8j
22????????当t=2s时，有r?4i?8j,v?2i?16j,a?8j
1-4．一质点的运动学方程为x?t，y?(t?1)，x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在t?2s时质点的速度和加速度。 分析同1-3.
1
解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由x?t2，，可得t?
x,代入y?(t?1)2
y?x?1，即轨迹方程
??2?2 （2）质点的运动方程可表示为：r?ti?(t?1)j
???? 则：v?dr/dt?2ti?2(t?1)j
???? a?dv/dt?2i?2j
?????? 因此, 当t?2s时，有v?4i?2j(m/s),a?2i?2j(m/s2)
11-5．一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t?bt2，其中v0，b都是常量。（1）
2整理得：求t时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b； （3）到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。
分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程s?s?t?，求导可求出质点的运动速率v?ds，因dtv2???dv22而，a??，an?，a?a??0?ann0，a?a??an，当a?b时，可求出t，代入运动
?dt学方程s?s?t?，可求得a?b时质点运动的路程，解：（1）速率：v?dss即为质点运动的圈数。 2?R??b
dtdt?dv?v2??(v0?bt)2??0?n0??b?0?n0 加速度：a?dt?R 则大小：a??v0?bt，且dva2??a2n?(v0?bt)2?2?b???????????①
R??
2 方向：tan????v0?bt?2bRv（2）当a=b时，由①可得：t?0
b2v0v012（3）当a=b时，t?，代入s?v0t?bt,可得：s?
2bb22v0s? 则运行的圈数 N? 2?R4?bR1-6．一枚从地面发射的火箭以20m?s?2的加速度竖直上升0.5min后，燃料用完，于是像一个
自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。
2分析：分段求解：0?t?30s时，a?20ms，求出v、a；t＞30s时，a??g。求出v2(t)、
x2(t)。当v2?0时，求出t、x，根据题意取舍。再根据x?0，求出总时间。
解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s，且0.5min=30s
tvxdvx2, 得?axdt??dvx,ax?20(m/s)，
00dt vx?20t(m/s),t?30(s)时，v1?600(m/s)
则：当0≤t≤30s，由ax? 2
30x1dx 由vx?，得?vxdt??dx，则：x1?9000(m)
00dt当火箭未落地, 且t＞30s,又有：
?t30ax2dt??vx2v1dvx2,ax2??9.8(m/s2)，
则：vx2?894?9.8t(m/s) 且：
?t30vx2dt??dx，则：x??4.9t2?894t?13410(m)?①
x1x当vx2?0，即t?91.2(s)时，由①得，xmax?27.4km
（2）由（1）式，可知，当x?0时，t?166(s)，t≈16(s)＜30(s)（舍去）
1-7. 物体以初速度20m?s?1被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后
的1.5s末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是多少?（3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？
??分析：（1）建立坐标系，写出初速度v0，求出v(t)、tan?，代入t求解。
（2）由（1）中的tan?关系，求出时间t；再根据y方向的运动特征写出y?t?，代入t求y。 （3）物体轨迹最高点处，vy?0，且加速度a?an?v2??g，求出?。
v2，求出?。
（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 an?gcos???解：以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向建立二维坐标系
?????00（1）初速度v0?20cos60i?20sin60j?10i?103j(m/s)，
??2 且加速度a??9.8j(m/s),
??? 则任一时刻：v?10i?(103?9.8t)j(m/s)??????①
103?9.8t???????????②
10当t=1.5(s)时，tan??0.262,??14?41'
与水平方向夹角有tan??当t=2.5(s)时，tan???0.718,???35?41' （2）此时tan??1, 由②得t=0.75(s)
121gt?103?0.75??9.8?0.752?10.23(m) 22?v2?v?10i(m/s),v?10(m/s),an??g，（3）在最高处，
高度y?vyot??v2?10.2(m) 则：??g（4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知：
an?acos??gcos??g ?gvx v10?4.9(m/s2) 20v2400????82(m)
an4.93
1-8．应以多大的水平速度v把一物体从高h处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h的n倍？ 分析：若水平射程vt?hn，由h?1gt消去t，即得v?h?。 2解：设从抛出到落地需要时间t
则，从水平方向考虑vt?hn，即
从竖直方向考虑h?则有： v?12gt,消去t， 2n2gh 21-9．汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m?s-1，切向加速度的大小为0.2m?s-2。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。
分析：由某一位置的?、v求出法向加速度an，再根据已知切向加速度a?求出a的大小和方向。
102??0.25(m/s2), 方向指向圆心 解：法向加速度的大小an??400总加速度的大小
v2a?a2??a2n?0.22?0.252?0.32(m/s2) a??0.8,??38?40', an则总加速度与速度夹角??90????128?40'
如图1-9，tan??
? v0 ?????an?at ?v ???g 图1-10
1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成?角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an ? v /? 。
分析：运动过程中，质点的总加速度a? g 。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小v?v0，其方向与水平线夹角也是?。可求出an ，如图1-10。再根据关系
2an ? v 2/? 求解。
解：切向加速度 a??gsina 法向加速度 an?gcosa
2v0v2 ? ???因 an? ?angcos?v2 4
1-11．火车从A地由静止开始沿着平直轨道驶向B地，A，B两地相距为S。火车先以加速度a1作匀加速运动，当速度达到v后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a2作匀减速行驶，使之刚好停在B地。求火车行驶的时间。
分析：做v-t图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S。 解：由题意，做v-t图（图1-11）
则梯形面积为S，下底为经过的时间t， tan??a1,tan??a2
v?t?(t?vcot??vcot?)? 2S111则：t??v(?)
v2a1a2则：S?
1-12. 一小球从离地面高为H的A点处自由下落，当它下落了距离h时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h为多大时，小球弹的最远？
分析：先求出小球落到A点的小球速度，再由A点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l,最后由极植条件求出h。
2解：如图1-12，当小球到达A点时，有v?2gh 则速度大小：v?2gh, 12gt， 2 设从A点落地的时间为t，则有H?h? 则t?2(H?h) g2小球弹射的距离，l?vt?2(H?h)h?2?h?Hh
则当h?1H时，l有最大值。 2 1-13．离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。
分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为v0。可以由v0求出船速v和垂直绳的分量v1。再根据an?v12?关系，以及an与a关系求解a。
5
解：如图1-13，v2?v0 船速v?v2sec? 当船离岸的距离为s时， v?v0vhs2?h2,v1?v2tan??0 ssv12s?h22则，an?v12???acos??ass?h22 v02h2 即：a?
s3
1-14. A船以30km?h-1的速度向东航行，B船以45km?h-1的速度向正北航行，求A船上的人观察到的B船的速度和航向。
分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。
解：如图1-14，vA?30i(km/h),vB?45j(km/h)
?????????B船相对于A船的速度vBA?vB?vA?45j?30i(km/h)
则速度大小：vBA?方向：??arctanv2B?v2A?54.1(km/h)
vB?56.3?，既西偏北56.3? vA1-15. 一个人骑车以18km?h-1的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至
36km?h-1时，看见雨滴与他前进的方向成120°角下落，求雨滴对地的速度。
6
分析：相对运动问题，雨对地的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。
解：如图1-15，vr为雨对地的速度， vp1,vp2分别为第一次，第二次人对地的速度，
?????vr?p1,vr?p2分别为第一次，第二次雨对人的速度
??120?
由三角形全等的知识，可知：????180??120??60
三角形ABC为正三角形，则：vr?vp2?36(km/h)，方向竖直向下偏西30?。
1-16如题图1－16所示，一汽车在雨中以速率v1沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方?角，速率为v2，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿？
分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系可解。 解：如图1-16（a），车中物体与车蓬之间的夹角 ??arctanl h若?＞?，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿 若?＜?，则图1-16（b） 则有v车?|BC|?|AC|?|AB|
=v雨对车sin??v雨sin??v雨cos?tan??v雨sin? 又v雨?v2 则：v车?v2(lcos??sin?) h1-17，渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥下时，一只水桶落入水中，0.5h后他才发觉，即回头追赶，在桥下游5.0km处赶上，设渔人顺流及逆流相对水划行速率不变，求水流速率。 分析：设静水中船、水的速率分别为v1,v2(v1?v2)，从桶落水开始记时，且船追上桶时为t时
7
刻。取水速的反方向为正方向，则顺水时，船的速率为v?v1?v2，逆水时船的速率为v?v1?v2,做v-t图，见图1-17
解： SABDC?SDEGF即：?(v1?v2)?(?v2)??0.5?(?v2)???(v1?v2)??(t?0.5) 则：t?1.0(h) 又：v2?t?5.0
则：水流速率v2=5.0(km/h)
1-18．一升降机以2g的加速度从静止开始上升，在2.0s末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离h=2.0m，求钉子从顶板落到底板的时间t, 它与参考系的选取有关吗？ 分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解。
解：如图1-18建立坐标系，y轴的原点取在钉子开始脱落时升降机的底面处，此时，升降机、钉子速度为vo,钉子脱落后对地的运动方程为： y1?h?vot?升降机底面对地的运动方程为：
??12gt 21y2?vot??2gt2
2且钉子落到底板时，有y1?y2，即t?0.37(s)
t与参考系的选取无关。
8
第二章
2-1分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。
??解：以m、M整体为研究对象，有：F?(m?M)a?①
???以m为研究对象，如图2-1（a），有F?FMm?ma?②
由①、②，有相互作用力大小FMm?MF
m?M若F作用在M上，以m为研究对象，
??如图2-1（b）有FMm?ma????③
由①、③，有相互作用力大小FMm
?FMmm
?F mF，发生变化。 ?m?M（a）
?FMmm
（b）
2-2. 分析：由于轻滑轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。
解：取向上为正，如图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象， 有： T1?M1g?M1a
?(M2?m)g?T2?? (M2?m)a
FM2m?mg ? ?ma
2M1mg
M1?M2?m又：T1=T2，则： FMm =
2当M1=M2= 4m， F
?Mm210mg8mg 当M=5m, M=3m, 12?FM2m9，发生变化。 92-3.分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。
?解：f为空气对气球的浮力，取向上为正。
分别由图2—3（a）、(b)可得：
f?Mg?Ma
9
f?(M?m)g?(M?m)a1
则a1?
2-4．分析：用隔离体法受力分析，人站在底板上静止不动，底板、人受的合力分别为零. 解：设底板、人的质量分别为M，m， 以向上为正方向，如图2-4（a）、(b)， 分别以底板、人为研究对象， 则有：T1?T2?F?Mg?0 T3?F'?mg?0
F为人对底板的压力，F'为底板对人的弹力。 F=F'
Ma?mgm?a?g? ,?a?a?a1?m?Mm?M1T1 2(M?m)g则T2?T3??245(N)
4又：T2?T3??由牛顿第三定律，人对绳的拉力与T3是一对
作用力与反作用力，即大小相等，均为245（N）。 2-5．分析：加斜向下方向的力，受力分析，合力为零。 解：如图2—5，建坐标系，以沿斜面向上为正方向。
在mg????与N所在的平面上做力F，且0???
2?（若????，此时F偏大）
2则：?Fcos??mgsin??f?0
f??N
N?Fsin??mgcos??0
则有：F?mg(?cos??sin?)mg(?cos??sin?)1?,??arctan
?sin??cos??1??2sin(???) 10
即：Fmin?mg(?cos??sin?)1??2,此时???2???arctan?
2-6. 分析：利用牛顿定律、运动方程求向上滑动距离。停止滑动时合力为零。 解：由题意知： ??tan? ① 向上滑动时， mgsin???mgcos??ma ②
2v0?2aS ③
2联立求解得 S?v0/(4gsin?)
当它停止滑动时，会静止，不再下滑． 2-7. 分析：要满足条件，则F的大小至少要使水平方向上受力平衡。
解：如图2—7，Fcos??f??N??(mg?Fsin?) F??mg1??sin(???)2(??arctan1?)
当sin(???)?1时,Fmin=?mg1+?2?14.08N
2—8. 分析：垂直方向的力为零，水平方向的力提供向心力。先求速度，再求周期讨论。 证：设两个摆的摆线长度分别为l1和l2，摆线与竖直轴之间的夹角分别为?1和?2，摆线中的张力分别为F1和F2，则
F1cos?1?m1g?0 ① F1sin?1?m1v1/(l1sin?1) ②
解得： ??v1?sin?1gl1/cos?1??? 第一只摆的周期为 T1?22?l1sin?1?2?v1 l1cos?1 gm1 m2 题2-8
同理可得第二只摆的周期 T2?2?l2cos?2 g由已知条件知 l1cos?1?l2cos?2 ∴ T1?T2 2—9分析：受力分析，由牛顿第二定律列动力学方程。 证明：如图2—9（b）、（c），分别以M、M+m为研究对象，
a2（方设M、M+m对地的加速度大小分别为a1（方向向上）、
向向下），则有：对M，有：
11
（b） (c) 图2-9
h?12a1t2f?Mg?Ma1
对M?m,有:(M?m)g?f'?(M?m)a2又:f?f'mgt2-2Mh则:a2=(M+m)t2则质量重的人与滑轮的距离:
1m?12?h??h?a2t2?h?gt?。此题得证。 ?2M?m?2?2-10.分析：受力分析，由牛顿定律列方程。 解：物体的运动如图2—10（a ）， 以m1为研究对象，如图（b），有：
F1?m1a1
以m2为研究对象，如图（c），有：
F?F1'?m2a2
又有：F1?F1 则：a2?'F?m1a1?9.4m/s2 m2
2—11.分析：（1）小物体此时受到两个力作用：重力、垂直漏斗壁的支承力，合力为向心力；（2）小物体此时受到三个力的作用：重力、垂直漏斗壁的支承力和壁所施的摩擦力。当支承力在竖直方向分量大于重力，小球有沿壁向上的运动趋势，则摩擦力沿壁向下；当重力大于支承力的竖直方向分量，小球有沿壁向下的运动趋势，则摩擦力沿壁向上。这三个力相互平衡时，小物体与漏斗相对静止。 解：
12
（1）如图2—11（a），有：
mgtan?2?mv2htan?2，则：v?gh （2）若有向下运动的趋势，且摩擦力为最大静摩擦力(f2??N2)时，速度最小，则图2—11（b）有： 水平方向：N2cos?2?f2sin?2?mv2htan?2
竖直方向：N2sin?2 又：f2??N2
则有：v??f2cos?2?mg
1??tangh1??cot??2
2若有向上运动的趋势，且摩擦力最大静摩擦力(f3??N3)时，速度最大，则图2—11（c），有： 水平方向：N3cos?2?f3sin?2?mv2htan?2
竖直方向：N3sin?2?f3cos?2?mg
又：f3??N3
1??tan则有：v???2
gh1??cot21??tan综合以上结论，有gh??2?v?gh1??tan1??cot??2 1??cot222—12． 分析：因为滑轮与连接绳的质量不计，所以动滑轮两边绳中的张力相等，定滑轮两边绳中的张力也相等，但是要注意两物体的加速度不相等。
解：图2—12（a）以A为研究对象，其中FL、FR分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有：
mAg?FL?FR?mAaA
且：FL?FR
'图2—12（b）以B为研究对象，在水平方向上，有：FL?f?mBaB '2又：FL?FL，aB?2aA,aA?1.0m/s
13
mA?mB?m?3kg 联立以上各式，可解得：f?
2—13．分析：如图2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。 解：mgrcos??A 题图2－12 B mg?2maB?maA?7.2N
2?FR ?FL
?N ?f ?FL?
?mAg
图2－12a
?mBg 图2－12b
又：v???r,此时,v??r???② 由①、②可得： ?????12mv????① 22gcos? r题图2－13
v2N?mgcos??m??③
r由①、③可得，N=3mgcos?
图2－13
2—14分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。 解：设阻力f?kv(k?0)，则加速度a?2F?kvmF,k?2,从而:则有：0?mvm2F?f，当a=0时，速度达到最大值vm， mf?F2v 2vm又a?F?fdv，即：?mdtF?F2v2vmdv?????① mdt 14
Fdt?mtdvv2(1?2)vmdvv2(1?2)vmvm/2vm/2F?0mdt??0
?v??1?t?vm?F??vm?t??ln?v?m??0?2?1???vm??0t?mvmln3，即所求的时间 2FF?对①式两边同乘以dx，可得：
2vmvFdx?2dv2mvm?vF2v2vmdvdx?dx mdt?x02vm/2vmvFdx??dv20mvm?v2x2mvm/2
?F??v22?x??ln(v?vm)????m2??0??0x?mvmv4ln?0.1442F3F2m2m题图2－15
2-15．分析：相对运动。m1相对地运动，m2、m3相对B运动，T1?2T2。根据牛顿牛顿定律和相对运动加速度的关系求解。
解：如下图2-15，分别是m1、m2、m3的受力图。
设a1、a2、a3、aΒ分别是m1、m2、m3、B对地的加速度；a2B、a3B分别是m2、m3对B的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式
?m1g?T1'?m1a1?????① ?m2g?T2'?m2a2????②
?m3g?T2?m3a3?????③
又：
15
a2?aB?a2Ba3?aB?a3B
且：a2B??a3B
则：a2?a3?2aB,且aB??a1,则：
a2?a3??2a1
又：T1?T1?T2?T2
''????④ ????⑤ ????⑥
T2'?T2
?4m2?3m1ga?g????1.96m/s2?13m1?4m25??4m2?m1g则由①②③④⑤⑥，可得：?a2??g????1.96m/s2
3m1?4m25??5m?4m23gg??5.88m/s2?a3?13m1?4m25?8m1m2g（2）将a3的值代入③式，可得：T2??0.784N。T1?2T2?1.57N
3m1?4m2aM?am，2-16．分析：：要想满足题目要求，需要M、m运动的加速度满足：
如图2-16（b），以M为研究对象，N1，N2，f1，f2分别为m给M的压力，地面给M的支持力，m给M的摩擦力，地面给M的摩擦力。 解：aM?F?f1?f2
M''如图2-16（c），以m为研究对象，N1,f1分别为M给m的支持力、摩擦力。
f1'则有：am?
m又f1?f1??N1??N??mg,则aM?am可化为：则：Fmin''f2??N2???m?M?g
F??(M?m)g??mg?mg ?Mm?2?(m?M)g?19.4N
题图2－16
2-17．分析：如图2-17，对石块受力分析。在斜面方向由牛顿定律列方程，求出时间与摩擦系数的关系式，比较??60o与??45o时t相同求解?。
解：（1）其沿斜面向下的加速度为：
16
a?mgsina??mgcosa?gsina??gcosa
mL1又s??at2，则：
cosa22L
gcosa(sina??cosa)t?（2）又??60?时，t1?2L，
gcos60?(sin60???cos60?)??45?时，t2?2L gcos45?(sin45???cos45?)又t1?t2，则：??0.27
2—18，分析：绳子的张力为质点m提供向心力时，M静止不动。 解：如图2—18，以M为研究对象, 有：Mg?T'??① 以m为研究对象，
v2水平方向上，有：T?man?m??②
r又有：T'?T?③
v2Mg?由①、②、③可得： rm-10
题图2－18
2-19．一质量为0.15kg的棒球以v0?40m?s的水平速度飞来，被棒打击后，速度与原来方向成135角，大小为v?50m?s-1。如果棒与球的接触时间为0.02s，求棒对球的平均打击力大小及方向。
分析：通过动量定理求出棒对球在初速方向与垂直初速方向的平均打击力，再合成求平均力及方向。 解：
?F1?t?mvcos135??mv0 ①
在和初速度垂直的方向上，由动量定理有： F2?t?mvcos45? ② 又F?F12?F22 ③
由①②③带入数据得：F?624N
?F2?F与原方向成arctan???F???155?角
1??2-20. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高出盒底h将小钢珠以每秒B个的速率由静止开始掉入盒内，设每一个小钢珠的质量为m，若钢珠与盒底碰撞后即静止，试求自钢珠落入盒内起，经过t秒后秤的读数。
分析：秤的读数是已落在盒里石子的重量与石子下落给秤盘平均冲力之和，平均冲力可由动量定律求得。
17
解：对在dt的时间内落下的钢珠，由动量定理： 0?mBdt2gh??Fdt
所以t秒后秤的读数为： mgBt?mB2gh
2-21. 两质量均为M的冰车头尾相接地静止在光滑的水平冰面上，一质量为m的人从一车跳到另一车上，然后再跳回，试证明，两冰车的末速度之比为?M?m?/M。 分析：系统动量守恒。
解：任意t时刻，由系统的动量守恒有：Mv1?(M?m)v2?0
所以两冰车的末速度之比： v1/v2??M?m?/M
2-22. 质量为3.0kg的木块静止在水平桌面上，质量为5.0g的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。 分析：由动量守恒、动能定理求解。
解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有：
Mv0?(M?m)v 一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有：
①
1(M?m)v2??(M?m)gl 2由①②带入数据有： v0?600m/s
② 2-23. 光滑水平平面上有两个物体A和B，质量分别为mA、mB。当它们分别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以vA、vB的速度作惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为： 分析：系统的动量守恒。 解：由系统的动量守恒有：
EkAmB。 ?EkBmAmAvA?mBvB?0
所以 vA/vB?mB/mA
2EkA(1/2)mAvAmB??物体的动能之比为： 2EkB(1/2)mBvBmA
2-24．如图2-24所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m小物体，从高H处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m到达C点瞬间的速度；（2）m离开C点的速度；（3）m在C点的动量损失。
分析：机械能守恒，C点水平方向动量守恒，C 点竖直方向动量损失。 解：（1）由机械能守恒有：
18
题图2－24
mgH?12mvc带入数据得vc?2gH， 2方向沿AC方向
（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以
mvccos??mv，得：v?2gHcos?
方向沿CD方向。
（3）由于受到竖直的冲力作用，m在C点损失的动量：
?p?m2gHsin?，方向竖直向下。
2-25．质量为m的物体，由水平面上点O以初速度v0抛出，v0与水平面成仰角α。若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点落回至同一水平的过程中，重力的冲量。
分析：竖直方向由动量定力理求重力冲量。最高点竖直方向速度为零。落回到与发射点同一水平面时，竖直方向的速度与发射时竖直的方向速度大小相等，方向相反。 解：（1）在竖直方向上只受到重力的作用，由动量定理有：
0?(mv0sin?)?I重，得I重??mv0sin?，方向竖直向下。
（2）由于上升和下落的时间相等，物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量：
I重??2mv0sin?，方向竖直向下。
2-26．如图所示，在水平地面上，有一横截面S=0.20m2的直角弯管，管中有流速为v=3.0m?s?1的水通过，求弯管所受力的大小和方向。
分析：对于水竖直方向、水平方向分别用动量定理求冲力分量，弯管所受力大小为水所受的冲力合力。
解：对于水，在竖直方向上，由动量定理有：
0??vdtSv?F1dt
①
在水平方向上，由动量定理有：
?vdtSv?F2dt ②
由牛顿第三定律得弯管所受力的大小：
F?F12?F22 ③
由①②③带入数据得F=2500N，方向沿直角平分线指向弯管外侧。
题图2－26
2—27．一个质量为50g的小球以速率20m?s?1作平面匀速圆周运动，在1/4周期内向心力给它的冲量是多大？
分析：画矢量图，利用动量定理求冲量。 解：由题图2—27可得向心力给物体的冲量大小：
I?2mv1?1.41N?S
题图2－27
19
2—28．自动步枪连续发射时，每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为7.90g，出口速率
735m?s?1，求射击时枪托对肩膀的平均冲力。
分析：由动量定理及牛顿定律求解。
解：由题意知枪每秒射出2发子弹，则由动量定理有：
2dtmv?0?F?dt
由牛顿第三定律有：枪托对肩膀的平均冲力 F?F??11.6N
2—29. 如图2-29所示，已知绳能承受的最大拉力为9.8N，小球的质量为0.5kg，绳长0.3m，水平冲量I等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止）。 分析：由动量定理及牛顿第二定律求解。 解：由动量定理有： mv?0?I
①
②
L v2由牛顿第二定律有：F?mg?m
l
由①②带入数据得：I?0.857kg?m/s
I 题图2－29
2—30. 质量为M的木块静止在光滑的水平面桌面上，质量为m，速度为v0的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动。求（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；（2）子弹相对木块静止后，子弹的动量；（3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量。
分析：由木块、子弹为系统水平方向动量守恒，可求解木块的速度和动量。由动量定理求解子弹施于木块的冲量。
解：（1）由于系统在水平方向上不受外力，则由动量守恒定律有：
mv0?(m?M)v
所以木块的速度：v?mv0mv0，动量：Mv?M
m?Mm?Mm2v0（2）子弹的动量： mv?
m?M（3）对木块由动量定理有： I?Mv?Mmv0
m?M2—31．一件行李的质量为m，垂直地轻放在水平传送带上，传送带的速率为v，它与行李间的摩擦系数为?，（1）行李在传送带上滑动多长时间？（2）行李在这段时间内运动多远？ 分析：由动量定理求滑动时间，由牛顿定律、运动方程求出距离。 解：（1）对行李由动量定理有： ?mg?t?mv?0
得：?t?v ?g12at，2（2）行李在这段时间内运动的距离，由：?mg?ma，a??g，s? 20
?U?2.044?104(V)
4-11 已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，试求该粒子的速率。
分析：该题考察的是相对论的质能关系式。根据粒子的动能和静能比可以求出该粒子总能量和静能之比，这个比值也就是该粒子的质量与静止质量之比，根据相对论质量与速度的关系式，我们可以求出该粒子的速率，从而求出该粒子的动量。 解：依题意有：Ek?nE0 所以其质量与静止质量之比为：
mmc2Ek?E0???n?1 2m0m0cE0根据相对论质量与速度的关系有：
m?m01?u2
c2所以该粒子的速度为：
n2?2nu?c
n?14-12 一静止的粒子（质量为m0），裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c。求裂变过程的静质量亏损和释放出的能量。
分析：该题涉及到质量亏损的概念和动量守恒定律。由于反应后的两个粒子的质量未知，因此我们可以根据两个粒子之间的速度关系推导出二者的质量比，又由于该两个粒子的总动能来源于该反应的静质量亏损，因此结合反应后两个粒子的质量比以及各自的速度大小，我们可以求出该反应的质量亏损，从而求出该反应所释放的能量。
解：设反应后两粒子的质量分别为m1、m2，则根据动量守恒定律有：
m1?0.6c?m2?0.8c ?m1/m2?4/3 （1）
反应前后总的能量守恒，所以有：
11m0c2?m1c2?m1?(0.6c)2?m2c2?m2?(0.8c)2 （2）
22将（1）式代入（2）式，得：
m0?2.17m1
所以反应前后的静质量亏损为：
?m?m0?m1?m2?0.19m0
释放出的能量为：
E??mc2?0.19m0c2
4-13 试求静止质量为m0的质点在恒力F作用下的运动速度和位移。在时间很短（t??m0c/F）
46
和时间很长（t??m0c/F）的两种极限情况下，速度和位移值又各是多少？
分析：根据力和动量的关系，经过积分后我们可以求解在恒力作用下的力与速度之间的关系，经过再次积分，可以得到位移和力的关系。 解：由于力代表的是动量的变化率，因此有：
F?m0dpdd?(mv)?(v)
22dtdtdt1?v/c将上式积分，由于力为恒力与时间无关，再代入初始条件（起始时为静止，即初速度为零）可得：
Ft?m01?v/c22v
因此可得速度与力之间的关系式：
v?Ft/m0dx ?2dt1?(Ft/m0c)2将上式再积分，并假定起始时所处位置为坐标原点，可得位移与力之间的关系：
24?m0c2?m0c22X??ct???2FF?? 21/2???2?Ft????m0c??x???1???1??mcF???0???????当t??m0c/F时，有：
Ftv??,2m1?(Ft/m0c)0当t??m0c/F时，有：v?Ft/m0Ft2x??vdt?
02m0tFt/m01?(Ft/m0c)2?c,x??vdt?ct
0t4-14 在原子核聚变中，两个2H原子结合而产生4He原子。试求：（1）该反应中的质量亏损为多少？（2）在这一反应中释放的能量是多少？（3）这种反应每秒必须发生多少次才能产生1W的功率？已知2H原子的静止质量为3.34365?10?27kg,4He原子的静止质量为
6.6425?10?27kg。
分析：已知反应前后各种反应物和生成物的质量，我们可以很方便的求出反应前后的质量亏损，并据此求出反应所释放的能量。 解：反应的质量亏损为：
?m?2mH?mHe?2?3.34365?10?27?6.6425?10?27?0.0448?10?27(kg)
该反应所释放的能量为：
?E??mc2?0.0448?10?27?9?1016?4.03?10?12(J)
要达到1W的功率需要每秒钟反应的次数为：
47
n?1/4.03?10?12?2.48?1011
4-15 当一个粒子所具有的动能恰好等于它的静能时，试问这个粒子的速度有多大？当动能为其静能的400倍时，速度有多大？
分析：粒子的总能量可以用粒子的动质量与光速的平方的乘积来表示，而粒子的静能则等于粒子的静质量与光速的平方的乘积，因上我们可以很方便的把粒子的动能和静能之比用粒子的速度表示出来。
解：根据粒子的质量和速度之间的关系可得：
m(v)?m01?v2 c2所以粒子的总能与静能之比为：
Em1??2E0m01?v
c2?1 c2又该粒子的总能等于动能与静能之和，所以该粒子的动能与静能之比为：
EkE?E0m1???1?2E0E0m01?v所以当动能等于静能时，有：
11?v?v?2?1?1 c23c 2当动能等于静能的400倍时，有：
11?v2?1?400
c2?v?0.9999969c
4-16同位素3He核由两个质子和一个中子组成，它的静质量为3.01440u(1u?1.600?10?27kg)。
（1）以MeV为单位，3He的静能为多少？（2）取出一个质子使3He成为2H（静质量为，试问需要多少能量？ 2.0135u）加一个质子（静质量为1.0073u）
分析：本题涉及的是静能以及质量亏损的概念。粒子的静能由粒子的静质量与光速的平方的乘积表示；而反应前后总能量守恒的要求指明反应进行需要的能量由反应前后的质量亏损所决定。 解：静能为：
E0?m0c2?3.01440?1.600?10?27?9?1016?4.34?10?10(J)?2.71?103(Mev)
当从同位素氦核中取出一个质子时，此时质量亏损为：
48
?m?mD?mH?mHe?2.0135?1.0073?3.0144?0.0064(u)?1.024?10?29(kg)
所以反应需要能量为：
E??mc2?1.024?10?29?9?1016?9.216?10?13(J)
4-17 把一个静止质量为m0的粒子由静止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？
分析：此题涉及到的是粒子的总能量与速度之间的关系。根据能量守恒定律，通过计算任一速度下的总能量即可求出从该速度下再增加0.1c的速度所需要做的功。 解：粒子的静能量为：
E0?m0c2
速度为0.1c时，该粒子的总能量为：
E1?m1c?2m0c21?0.12?1.005m0c2
因此将粒子由静止加速到0.1c所需要做的功为：
?E?E1?E0?0.005m0c2
同理粒子在速度为0.89c和0.99c时的总能量分别为：
E2?m2c?E3?m3c2?2m0c21?0.892m0c21?0.992?2.193m0c2
?7.089m0c2所以将粒子由0.89c加事到0.99c时所需做的功为
?E??E3?E2?4.896m0c2
4-18 两个静止质量都是m0的小球，其中，一个静止，另一个以??0.8c运动，在它们做对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。
分析：由于碰撞前后，体系的总能量不变，所以可以得出碰后合成小球的动质量与m0的关系；再根据碰撞前后动量守恒，加上已求出的合成小球的动质量，可以求出合成小球的速度；最后根据合成小球的速度和相应的动质量可以求出合成小球的静质量。
解：设碰撞前运动小球的质量为m1，碰撞后合成小球的质量和速度分别为M和u，根据题意，显然有：
m1?m01?v?c?2?5?m0 （1）
1?(0.8)23m0由能量守恒，有：
m0c2?m1c2?Mc2
49
8?M?m0
3（2）
碰撞前后动量守恒，
m1v?Mu （3）
由（1）、（2）和（3）式可得：
5u?v?0.5c
8所以合成小球的静质量为：
M0?M1?u
?c?2843?m01?0.52?m0 3350