8、设射手在相距100米处对目标进行射击，击中的概率是0.6；若第一次未击中，则进行第二次射击，但目标将被移远使距离拉成了150米；若第二次仍未击中，则进行第三次射击，此时已是相距200米了。设射手击中目标的概率与距离成反比，求射手击中目标的概率。
解：设A=“相距100米射击击中”；B=“相距150米射击击中”；C=“相距200米射击击中”；D=“击中目标”；
P（A）?0.6；P(B/A)?100150?0.6?0.4；P(C/AB)?100200?0.6?0.3；
P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(BA)?P(CAB)?0.6?0.4?0.4?0.4?0.6?0.3?0.8329、投掷两个均匀的骰子，试求：
（1）若已知点数和是偶数时，点数和等于8的概率； （2）若已知点数和是奇数时，点数和大于6的概率； （3）若已知点数和大于6时，点数和是奇数的概率； 解：（1）设A1=“点数和是偶数”，B1=“点数和等于8”
P（B1|A1）?P（A1B1）P（B1）5??P（A1）P（A1）18。（参照第一章第7题）
（2）设A2=“点数和是奇数”，B2=“点数和大于6”
P（B2|A2）?P（A2B2）12?P（A2）18
（3）P（A2|B2）?P（A2B2）1212??P（B2）1?2?3???621。
111410、三个人独立地同时破译一密码，若各人能译出的概率分布是，，
53，求次密码能
被他们破译出的概率。
解：设A=“甲译出密码”；B=乙译出密码”；C=丙译出密码”
P（A）=
15114，P（B）=，P（C）=
3
P（A?B?C）?P（A）?P（B）?P（C）?P（AB）?P（AC）?P（BC）?P（ABC）
?15?13?14?15?13?15?14?13?14?13?14?15?476023??341260?45??16035?35
或者P（A?B?C）?1-P(ABC)?1-P(A)P(B)P(C)?1?。
11、盒中装有编号自1到10的十张卡片，现从中任意抽看两张的编号，第一次看一张，看后放回，混合后再抽看一张。若记第一张卡片的编号为?1，第二张卡片的编号为?2，现
11
令A?{??4}，B?{????7}，试求P?B|A?及P?A|B?。
112解：P（B|A）?P（A|B）?P（AB）11?1?P（A）C1010
P（AB）1?P（B）6
12、袋中装有10个白球和20个黄球，今从中取出5个球（不放回），接着再取出10个球。求第一次取出全是黄球且第二次取出黄、白球各半的概率。
解：设A=“第一次取出的全是黄球”；B=“第二次取出的黄、白球各半”；
P（AB）?P（A）?P（B|A）?C20C3055?C10?C15C251055
13、袋中装有a只白球，b只黄球，现从袋中任意取出1个球，观察颜色后再旋即放回袋中，并另加入c只与之同色的球。如此观察了三次，试求前两次取得黄球第三次取得白球的概率。
解：A1=“第一次取黄球”；A2=“第二次取黄球”；A3=“第三次取白球”；
P（A1A2A3）?P（A1）?P（A2|A1）P（A3|A1A2）?ba?ba?b?ca?b?2c?b?c?a
14、对一批空调设备70台要作验收检查，规定检查时对任意抽出的2台设备作样本进行检查，先抽1台，不放回地再抽第二台，样本中只要有1台式次品就退货，否则就通过。生产厂知道这批产品中有3台是次品，试求下列事件的概率：
（1）这批货获得通过；（2）样本中恰有1台次品；（3）这批空调设备被退货。 解：A1=“第一次抽到次品”；A2=“第二次抽到次品”；D=“被退货”。 （1）P（A1A2）?P（A1）P（A2|A1）?677069?66?14741610
（2）P（A1A2?A1A2）?P（A1A2） ?P（A1A2）?P（A1）P（A2|A1）?P（A1）P（A2|A1）?6770?369?370?6769??1341610
（3）P（D）?1?P（A1A2）?1?147416101361610
15、B公司在B1厂和B2厂生产电视机显像管，每周产量共3000个，其中B1厂生产1800个有1%为次品，B2厂生产1200个有2%是次品。现从每周的产品中任选一个，求下列事件的概率：
（1）选出的产品是次品；
（2）已知选出产品是次品，它是由B1厂生产的；
12
（3）已知选出产品是正品，它是由B1厂生产的；
解：设A=“选出的产品是次品”，则P（A|B1）?1%，P（A|B2）?2%
P（B1）?18003000?35，P（B2）?25
35?2%?25?1.4%（1）P（A）?P（A|B1）?P（B1）?P（A|B2）P（B2）?1%?1%??3
（2）P(B1|A)?P(A|B1)P(B1)P(A)5?3
1.4s5?297
493（3）P(B1|A)?P(A|B1)P(B1)P(A)[1?P(A|B1)]??1?1.4、用某种方法检测产品，若产品是次品，经检验为次品的概率是90%；若产品是正品，经检验定为正品的概率为99%。现从含5%次品的一批产品中任取一件进行进行检验，求下列事件的概率： （1）经检验定为次品；
（2）经检验定位次品而实为正品。
解：A=“次品”，B=“某方法检验为次品”。
P（B|A）?0.9，P(B|A)?0.99，P(A)?0.05
（1）P(B)?P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)?0.9?0.05?[1?P(B|A)]P(A)
?0.9?0.05?0.01?0.95?0.045?0.0095?0.0545
0.9?0.050.0545?0.17
（2）P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(B|A)P(A)P(B)?1?17、某大学一个年级的学生有5000名，其中男、女士的比例为2:3，已知在男生中有10%选修会计学，女生中有6%选修会计学，现从这5000名学生中任选一人，求下列事件的概率：
（1）这位学生是选修会计学的女生； （2）这位学生是未选修会计学的男生； （3）这位学生是选修会计学的学生； 解：男生人数：5000?女生人数：5000?（1）P（A）?18050003525?2000，男生选修会计人数：2000?10%?200
?3000，女生选修会计人数：3000?6%?180
13
（2）P（B）?（3）P（C）?18005000
?3805000200?1805000
18、用X射线检查肺癌的可靠性有些列数据，肺癌患者通过检查被确诊的有98%，而未患肺癌者经检查有99%可正确确诊为未患肺癌，误诊率为2%及1%。在某人口密集的工业区，估计有3%的人患肺癌，先现从该地区任选1人检查，试求： （1）若此人被诊断成患肺癌，他确患此病的概率； （2）若此人被诊断成未患肺癌，他实患此病的概率； （3）解释以上结论的意义。
解：A=“用X光查肺癌”，B=“患有肺癌”， 则P（B）?3%，P（A|B）?98%，P（A|B）?99%
?（1）P（A）?P（A|B）P（B） ]P（B）?P（A|B）P（B）?98%?3%?[1?P（A|B）?98%?3%?1%?97%P（B|A）?=0.0391
P（A|B）P（B）98%?3%??0.7519P（A）98%?3%?1%?97%（2）P（B|A）?P（A|B）P（B）（1?98%）?3%=0.0006 ?P（A）1?0.0391（3）该结论说明X射线检查用于确诊肺癌的可靠性一般，并不令人满意，而用于排除肺癌的可靠性很好。
19、将两种信息分别编码成0或1传送出去，由于信道存在着干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设0被误收为1的概率是0.02，1被误收为0的概率为0.01；整个传送过程中，0与1的传送次数比为7:3，试求当收到信息0时，原发信息也是0的概率。 解：设A=“发送0”，A=“发送1”，B=“接收0”，B=“接收1”。
P（A）?0.7，P(A)?0.3，P(B|A)=0.02，P(B|A)=0.01
P(B|A)P(A)?(1?0.02)?0.7((1?0.02)?0.7?0.01?0.3?686689P(A|B)?P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)。
20、某公司准备向市场推出一批廉价的计算机，公司营销部预估，畅销的概率是0.5，销路一般的概率是0.3，滞销的概率是0.2。现决定先行试销，以检验销路情况，营销部估计，若计算机畅销，则在试用期内卖出200台以上的概率是0.9,；若销路一般，则试销卖出200台以上的概率是0.5；若销路不佳，则试销卖出200台以上的概率仅为0.1，倘若试销结束后，实际卖出数达200台以上，试求下列事件的概率： （1）这批计算机畅销； （2）这批计算机的销售一般；
14
（3）这批计算机的销路不佳； （4）这批计算机畅销货销路还可以。
解：A1=“畅销”；A2=“一般”；A3=“滞销”；B=“卖出200台以上”。
P(A1)?0.5，P(A2)?0.3，P(A3)?0.2 P(B|A1)?0.9，P(B|A2)?0.5，P(B|A3)?0.1
P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)?0.9?0.5?0.5?0.3?0.1?0.2?0.62
（1）P(A1|B)?P(B|A1)P(A1)P(B)P(B|A2)P(A2)P(B)?0.9?0.50.620.5?0.30.62?0.726
（2）P(A2|B)???0.242
（3）P(A3|B)?1?P(A1|B)?P(A2|B)?0.032 （4）P(A1?A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)?0.968
21、设盒中有5个外形一样而均匀性不同的硬币，每个硬币经抛掷出现字面的概率分别为
p1=0，
p2=
14，
p3=
12，
p4=
34，
p5=1，试求下列事件的概率：
（1）任取一个硬币抛掷出现字面；
（2）任取一个硬币抛掷后出现字面，这个硬币是第i个硬币（i=1,2,3,4,5）； （3）若将（2）中的这个硬币再抛掷1次，又出现字面。 解：设A=“字面”，
。 A=“抛掷第i个硬币出现字面”
i（1）P（A）?P（A|B1）P（B1）?P（A|B2）P（B2）???P（A|B5）P（B5）
?0?15?14?15???1?15?15[0?14?12?34?1]?0.5
（2）P（B1|A）?P（A|B1）P（B1）0??0
P（A）0.511P（B2|A）?45??0.1
0.5101P(B3|A)?25?0.2 0.5?1?13P(B4|A)?45?0.3
0.5?1 15
第一章 基本概念
1、试对下列随机试验各写出一个样本空间： （1）掷一颗骰子；
（2）一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球； （3）10只产品中有3只是次品，每次从中任取一只（取出后不放回），直到将3只次品全部取出，记录抽取的次数；
（4）对某工厂生产的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如果查出2件次品就停止检查，或者查满4件也就停止检查，记录检查结果。 解：（1）?＝{1,2,3,4,5,6}
（2）?＝{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}
5个球中选3各球进行组合，有C53＝10种。
（3）?＝{3，4，5，6，7，8，9，10}
最少抽取的次数是每次取出的都是次品；最多抽取的次数是把10只产品全部取出，总能抽出3个是次品。
（4）用数字1代表正品，数字0代表次品；样本空间包括查出2件是次品和查满4件产品这两种情况。
?＝{(0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,1),(0,1,1,1)}
2、工厂对一批产品作出厂前的最后检查，用抽样检查方法，约定，从这批产品中任意取出4件产品来做检查，若4件产品全合格就允许这批产品正常出厂；若有1件次品就再作进一步检查；若有2件次品则将这批产品降级后出厂；若有2件以上次品就不允许出厂。试写出这一试验的样本空间，并将“正常出厂”、“再作检查”、“降级出厂”、“不予出厂”这4个事件用样本空间的子集表示。 解：用数字1代表正品，数字0代表次品
设＝“正常出厂”； ＝“再作检查”； ＝“降级出厂”；D＝“不予出厂”
A＝{(1,1,1,1)}
B?{(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}C?{(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0)}D?{(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0)}
1
??A?B?C?D?{(1,1,1,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0)}
3、设A、B、C是三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A与B都发生，但C不发生；
（2）A发生，但B与C可能发生也可能不发生； （3）这三个事件都发生； （4）这三个事件都不发生；
（5）这三个事件中至少有一个发生； （6）这三个事件中最多有一个发生； （7）这三个事件中至少有两个发生； （8）这三个事件中最多有两个发生； （9）这三个事件中恰有一个发生； （10）这三个事件中恰有两个发生。 解：（1）ABC
（2）A （3）ABC （4）ABC （5）A?B?C
（6）ABC?ABC?ABC?ABC （7）AB?AC?BC （8）ABC
（9）ABC?ABC?ABC （10）ABC?ABC?ABC
4、设?＝{1，试用?的子集表示出下列事件； 2，3，4，5，6}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4},C?{4,5,6}，(1)AB;(2)A?B;(3)B?A;(4)ABC;(5)A(B?C).
解：（1）AB?{4} （2）A?B?{2,3,4,5,6} （3）B?A?{1,2,3,5,6}
（4）ABC?{4,5,6} （5）A(B?C)?{1,4,5,6} 5、对三个任意给定的事件A、B、C：
（1）试化简（A?B）(B?C) （2）试将A?B?C表成互斥事件之和
2
（3）化简(A?B)(A?B)(A?B)(A?B) （4）化简AB?AB?AB?AB?AB 解：（1）(A?B)(B?C)?[A(B?C)]?[B(B?C)]＝[AB?AC]?[B?BC]
?AB?AC?B?B?AC
（2）A?B?C?(A?AB)?(B?BC)?(C?AC)?ABC
（3）(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?(A?AB?BA?BB)(A?AB?BA?BB)
?(A?BB)(A?BB)?AA??
（4）AB?AB?AB?AB?AB?(A?A)B?(A?A)B?AB
?B?B?AB??AB?AB
6、指出下列各题是否正确（提示，可借助文氏图） （1）A?B?AB?B （2）AB?A?B （3）A?BC?ABC （4）AB(AB)??
（5）若A?B，则A?AB （6）若AB??,C?A，则BC＝? （7）若A?B，则B?A （8）若B?A，则A?B?B （9）若A?C?B?C，则A?B （10）若A?C?B?C，则A?B 解：（1）AB?B?(A?B)?(B?B)?A?B 正确
（2）AB?B?A?A?B 错误
（3）A?BC?(A?B)?(A?C)?AB?AC?ABC 错误 （4）AB(AB)?ABB?A???? 正确 （5）若A?B，AB?A 正确
（6）若AB??,C?A,则BC?AB??,?BC?? 正确 （7）A?B,B?A 正确
（8）若B?A,则A?B?A?B 错误
（9）若A?C?B?C,A可以不等于B。当A?C,B?C时，A?B等式也成立。（10）若A?C?B?C,A可以不等于B。当C?A,C?B时，A?B等式也成立
3
错误 错误
7、对投掷一对均匀骰子的试验，可给出两个样本空间?和?1如下：?是由第一颗骰子与第二颗骰子出现点数的对子组成，有
?(1,1)?(2,1)???(3,1)?＝??(4,1)?(5,1)???(6,1)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,6)??(2,6)?(3,6)??? (4,6)?(5,6)??(6,6)??而?1由两颗骰子出现点数之和组成，有?1＝{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}。在求出现“点数之和等于7”的概率时，依?计算的p＝636＝16；依?1计算得p＝111，试分别解释得此结果的依
据，哪一个结果正确？怎样理解这一正确结果？
解：这两个结果都是依古典概率公式算得，因为骰子是均匀的，故每次投掷出现哪一个点数均应是等可能的，所以有理由认为对样本空间?，其样本点是具等可能性的，据此用古典概率公式算出的结果p?636是正确的，因为?中有6个样本点使点数之和等于7，而?中
共有36个样本点。这个概率的意义是说明在作大量次数投掷一对均匀骰子的试验时，约有
16那么多次会碰上点之和为7的结果。依?1计算得p＝111，同样也用了古典概率公式，?1111中共有11个样本点，而点数之和等于7只是1个样本点，所以得p＝言，其样本点的等可能性明显是不成立的。
，但是，对?1而
8、假设发现了一颗不均匀的骰子，由于它，使得在进行掷一对骰子的试验时，在上题的样本空间?中出现偶数和（如（1,1）、（1,3）……）的次数比奇数和（如（2.1）、（2,3）……）的次数多一倍，求下列事件的概率：
（1）点数和小于6； （2）点数和等于8； （3）点数和是偶数
解：（1）在本题中，由于样本空间?中出现偶数和的次数比奇数和的次数多一倍，因此样本空间?中共有36＋18＝54个样本点；而点数和小于6这一事件分为点数和出现偶数并小于6和点数和出现奇数并小于6这两个事件，点数和出现偶数并小于6的事件包含
{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)}共
8个样本点，而点数和出现奇数并小于6的事件
包括{(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(4,1)}共6个样本点，因此点数和小于这一事件包括8＋6＝14个样本点，所以得到p＝1454。
（2）样本空间中的样本数同（1），包括54个样本点；而点数和等于8这一事件包括
{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}共
10个样本点，所以得到p＝1454。
（3）样本空间中的样本数同（1），包括54个样本点；而点数和是偶数这一事件包括18
4
×2＝36个样本点，所以得到p＝3654。
9、某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，试求他拨号不超过三次就能接通电话的概率是多少？若记得最后一位是奇数，则此概率又是多少？ 解：随意拨电话号码的最后一个数字，其样本空间?共有10个样本点，而他拨号不超过三次这一事件包括3个样本点，所以p＝310＝0.3；若记得最后一位是奇数，则样本空间?1共
35有5个样本点，同样他拨号不超过三次这一事件还是包括3个样本点，所以p＝＝0.6。 10、房间中有4人，试问没有2个人的生日在同一个月份的概率是多少？
4解：样本空间?共有124个样本点，而没有2个人的生日在同一月份这一事件包括个A12样
本点，因此p＝A121244
11、从1、3、5、7、9这五个数字中等可能地，有放回地接连抽取三个数字，试求下列事件的概率：
A＝{三个数字全不相同}，B＝{三个数字中不含1及5}，C?{三个数字中5出现了两次}
A5533解：样本空间?共有5个样本点：事件A中包含A个样本点，因此p1＝335＝0.48，事件B
中包含3个样本点，因此p2＝33533＝0.216；事件C中包含C3C4＝12个个样本点，因此
21p3＝C3C45321＝0.096
12、将十本不同的书放置到一级空书架上去，求其中指定的某三本书恰好放在一起的概率。
10＝10！解：样本空间?共有A10个样本点，而其中指定的某三本数恰好放在一起这一事件包括
AA?3!?8!个样本点，因此p＝3388A3A8A101038。
13、将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率：
（1）A是没有一个盒子里有2个球；（2）B是3个球全在一个盒子内。
解：将球与盒子均作编号后处理，即球与盒子都是可辨别的，则样本空间?共有43个样本点：
（1）事件A中包含A个样本点，因此p1?34A4433
5
（2）事件B中包含C＝4个样本点，因此p2?14C4431
14、教室内10个人分别佩戴着编号从1号到10号的校徽，现从中任选3人并记录其校徽的号码，试求下列事件的概率：
（1）最小号码是5； （2）最大号码是5。
解：教室内10个人分别佩戴着编号从1号到10号的校徽，即人与校徽都是可辨别的，则
3样本空间?共有个C10样本点：
（1）最小号码是5这一事件包含C52个样本点，因为除了最小号码是5外，其余2个号码是从{6,7,8,9,10}中抽取，故为C，因此p1?25C5C2310；
（2）最大号码是5这一事件包含C42个样本点，因为除了最大号码是5外，其余2个号码是从{1,2,3,4}中抽取，故为C，因此p2?24C4C2310。
15、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，现从中有放回地抽取二次（每次取出一只），求下列事件的概率： （1） A是两次抽到的都是次品；
（2） B是一次抽到正品，另一次抽到次品。
解：灯泡是有放回抽取的，因此样本空间?共有62个样本点： （1）事件A中包含2个样本点，因此p1?2262＝219；
166＝249111（2）事件B中包含C2C4C2＝16个样本点，因此p2?。
16、将上题改为无放回抽取两次后（相当于一次抽取2个），再计算这些事件的概率。 解：灯泡是有放回抽取的，因此样本空间?共有C62个样本点： （1）事件A中包含C22＝1个样本点，因此p1?1＝2115C6；
81511C2＝8个样本点，因此p2?（2）事件B中包含C48C6＝2。
17、一公司批发出售服装，每批100套。公司估计某顾客商欲购的那批100套服装中有4套是次品，12套是等级品，其余是优质品，客商在进货时要从中接连抽出2套作样品检查，如果在样品中发现有次品，或者2套都是等级品，客商就要退货。试求下列事件的概率：
6
（1）样品中1套是优质品，1套是次品；（2）样品中1套是等级品，1套是次品； （3）退货； （4）该批货被接受； （5）样品中有1套优质品。 解：从100套服装中抽2取套，因此样本空间?共有C100?4950个样本点：
11（1）样本中1套是优质品，1套是次品这一事件包含C4C84＝336个样本点，因此
2p1?C4C84C100211＝3364950＝56825 ；11（2）样本中1套是等级品，1套是次品这一事件包含C4C12＝48个样本点，因此
p2?C4C12C100211＝484950＝8825；
（3）退货，即包括样本中套是等级品，或者有次品这一事件包含
C12＋C4C84＋C4C12＋C4＝456211112，因此p3?4564950＝76825；
（4）该批货被接受，是退货的对立事件，因此p4?1－p3＝749825；
1111C84＋C12C84＝1344个样本点，因此（5）样本中1套是优质品这一事件包含C4p5?C4C84＋C12C84C10021111＝13444950＝224825.
18、在桥牌比赛中，将52张牌任意地分给东、南、西、北四家，求在北家的13张牌中 （1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率； （2）恰有大牌A、K、Q、J各1张，而其余皆为小牌的概率。
解：北家的13张牌是从52张牌中任意抽取，因此样本空间?中包含C52个样本点：
5431C13C13C13个样本点，（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花这一事件包括C1313因此；p1＝C13C13C13C13C52135431
11119C4C4C4C36个样本点，（2）恰有大牌A、K、Q、J各1张，而其余皆为小牌这一事件包括C4因此p2＝C4C4C4C4C36C135211119。
19、甲、乙两人相约9点到10点间在某地点会面，约定先到者等候20分钟，过时就可离去。试求两人能会面的概率。
0?Y?1，即点M落在下图中的阴解：以、分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0?X?1，
7
影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点都是等可能的。而两人会面的条件是：X－Y?阴影部分的面积正方形的面积1－2?＝213，因此利
用几何概型计算几何概率为：p＝
22?()23＝5. 2191y 1 y?x?13 y?x?13 0 1 x 20、在观察投掷一对均匀骰子100次之后，一个观察者估计第101次投掷出现点数和是偶数的概率为0.85。请评说对这一概率应给以相对频率解释（即统计概率）还是主观概率解释？试说明理由。
解：观察者通过投掷骰子100次，从而估计第101次投掷出现点数和是偶数的概率为0.85，这是对只发生一次的过程自信程度，只能作为主观概率解释，不是统计概率。
21、某地区的最新生存率统计数据表明，每10万人中有6万人活到了70岁以上，故而长期在该地区生活的A先生能活到70岁以上的概率是说明理由。
解：这一概率只是反映了对A先生能活到70岁以上的自信程度，这一主观概率值是依据相对频率数据（生存率统计）作出的。
610＝0.6，对这一概率应怎样理解？试
8
第二章 基本定理
1、试用概率的可加性证明，若事件B蕴含A，即B?A，则必成立P(A?B)?P(A)?P(B)；而对任意的两事件A，B，必成立P（A?B）?P（A?AB）?P（A）?P（AB）。
解：B?A，则A?B?，而B与A-B互不相容，因此由概率的可加性，有：（A?B），从而有P(A?B)?P(A)?P(B)——（*）。 ??P（B）P（A）?P?B?（A?B）?P（A?B）若B?A，则P（A?B）?P（A?AB），显然AB?A，利用（*）式，有
P（A?B）?P（A?AB）?P（A）?P（AB）
2、已知， P?A?=0.5，P?B?=0.4，P?AB?=0.1，试求 （1）P?A?B?；（2）P?A|B?；（3）P?B|A?；（4）P?A|B? 解：（1）P?A?B??P（A）?P（B）?P（AB）?0.8； （2）P?A|B??（3）P?B|A??P（AB）0.1??0.25P（B）0.4；
P(AB)P(A)P(AB)P(B)?0.10.5?0.2；
（4）P?A|B???P(A?B)1?P(B)?P(A)?P(AB)1?P(B)?23；
3、已知A、B是独立事件，P?A?=0.3，P?B?=0.6，试求 （1）P?A|B?；（2）P?A?B?；（3）P?B|A?；（4）P?A|B? 解：（1）P?A|B??P(A)?0.3；
（2）P?A?B??P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.7； （3）P?B|A??1?P(B)?0.4； （4）P?A|B??1?P(A)?0.7
4、设P?A?>0，P?B?>0，试将下列4个数：P?A?，P?AB?，P?A?+P?B?，P?A?B?按由小到大的顺序用不等号“≤”联结起来，并分别对每个不等号指明何时成为等号。
?P（A）?P（B）?P（AB）解：P（A?B）
?P（A）?P（B）?P（A?B），当P（AB）?0时“?”成立
9
，当B?A时“?”成立 ?A?A?B?P（A）?P（A?B），第一个等号在?AB?A?P（AB）?P（A）?P（A?B）?P（A）?P（B）19A?B时成立。
5、已知独立事件A、B均不发生的概率为，“A发生B不发生”及“A不发生B发生”的概率相等。求P?A?。
解：根据题意可得：P?AB?=P?AB?，根据事件A、B是独立的可知，事件A与B以及事件
A与
B都是独立的，从而有：P(A)P(B)?P(A)P(B)，再由对立事件的概率公式及一些简
19单计算可得P(A)?P(B)，又由题意可得P(AB)?P(A)?23，结合独立性以及P(A)?P(B)可推出
。
6、已知A、B、C三事件两两独立，ABC?? （1）若P?A?=P?B?=P?C?<
12及P?A?B?C?=
12916，求P?A?；
（2）若P?A?=P?B?=P?C?>0，试证P?A?<
。
解：（1）P?A?B?C??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3P(A)2?所以：P(A)?14916
或者P(A)?34（舍去）
（2）证明：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?2P(A)?P(A)2
由于A?B?A?B?C，于是2P(A)?P(A)2?3P(A)?3P(A)2，从而P(A)?注解：有反例可以说明，题中要求证明P(A)?1212
是不正确的，等号是可以成立的。
7、设已知事件A、B、C相互独立，试证：A?B，AB，A?B与C独立。 解：（1）P（ [A?B）C]?P（AC?BC）?P（AC）?P（BC）?P（ABC）?P（A）P（C）?P（B）P（C）?P（A）P（B）P（C）
?P（C）[P（A）?P（B）?P（A）P（B）]
?P（C）[P（A）?P（B）?P（AB）]?P（C）P（A?B）（2）P（ [AB）C]?P（ABC）?P（A）?P（B）?P（C）?P（AB）?P（C）?P（C）[A?B）C]?P[ABC]?P（A）?P（B）?P（C）?P（AB）?P（C）?P（A?B）（3）P（
10
1?P(B5|A)?15?0.4 0.5（3）C=“再次出现字面”
P（C）?P[C（|B1|A）]?P（B1|A）?P[C（|B2|A）]?P（B2|A）???P[C（|B5|A）]P（B5|A） ?0?0?14?0.1?12?0.2?34?0.3?1?0.4?0.75
22、甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中概率分别是0.4，0.5，0.7。若有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；若三人全击中，则飞机定被击落，试求飞机被击落的概率。
解：设A1=“一人击中”；A2=“两人击中”；A3=“三人击中”；B=“飞机被击落”； ；C2=“乙射击”；C3=“丙射击”。 C1=“甲射击”
P（A1）?P（C1C2C3?C1C2C3?C1C2C3）
?P（C1C2C3）?P（C1C2C3）?P（CC2C3）
?P（C1）P（C2）P（C3）?P（C1）P（C2）P（C3）?P（C1）P（C2）P（C3）
?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36P(A2)?P(C1C2C3?C1C2C3?C1C2C3)
?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)
?P(C1)P(C2)P(C3)?P(C1)P(C2)P(C3)?P(C1)P(C2)P(C3)
?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41
P(A3)?P(C1C2C3)?0.4?0.5?0.7?0.14
P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)?0.2?0.36?0.6?0.41?1?0.14?0.458
23、用某种仪器检验电子元件，若元件是正品，经检验定为正品的概率是0.99；若元件是次品，经检验被定为正品的概率是0.05，当有大批元件送检时，检验员只能从一批元件抽取样本来检验；无放回地抽取3件，对每1件独立地进行检验，若3件全验定为正品，这批元件就可以出厂。现送来元件100件，已知其中有4件次品，求这批元件能出厂的概率。 解：设A1=“第一次抽出的是正品”；A2=“第二次抽出的是正品”；A3=“第三次抽出的是正品”； B1=“第一次检验出的是正品”；B2=“第二次检验出的是正品”；B3=“第三次检验出的是正品”；
16
P（A1）?96100
9599?96100?9699?4100?96100P（A2）?P（A2|A1）P（A1）?P（A2|A1）P（A1）?
P（A3）?P（A3|A1A2）P（A1A2）?P（A3|A1A2）P（A1A2） ?P（A3|A1A2）P（A1A2）?P（A3|A1A2）P（A1A2）?9498?96100?9599?9598?4100?9699?9598?96100?499?9698?4100?399?96100
P（B1）?P（B1|A1）P（A1）?P（B1|A1）P（A1）?0.99?0.96?0.05?0.04?0.9524P(B2)?P(B2|A2)P(A2)?P(B2|A2)P(A2)?0.9524P(B3)?0.9524
3?P(B1B2B3)?[0.9524]?0.8639
；Bi?“抽取3件元件中恰有1方法2：设A?“这批原件能出厂”则有：P(B0)?C96C10033i件次品”,i?0,1,2,3.
3,P(B1)?C96C4C10032,P(B2)?C96C4C100312,P(B3)?C43C100；
有根据独立性，有：
P(A|B0)?(0.99),P(A|B1)?(0.99)*0.05,P(A|B2)?(0.05)*0.99,P(A|B3)?(0.05)3223
利用全概率公式：
3P(A)??P(A|Bi?0i)P(Bi)?0.8629
注解：两种方法有微小误差是因为在考虑无放回抽取问题时，对于总量很大而抽取少数几件的情况，可以把每次抽取产品之间近似看成是相互独立的。
24、有三箱同型号产品，分别装有合格产品20件、12件、17件；不合格产品5件、4件、5件，现任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验。由于检验误差，每件合格品被检验误定为不合格品的概率为0.04，不合格品被定为合格品的概率亦为0.06。试求下列事件的概率：
（1）取出的这件产品经检验为合格品； （2）被验为合格品的产品真是合格品。
解：设A=“合格品”；B=“检验为合格品”；C1=“抽出第一箱中的产品”；C2=“抽出第二箱中的产品”；C3=“抽出第三箱中的产品”。
17
P(C1)=P(C2)=P(C3)=P(A|C1)=
202513
1216，P(A|C2)=，P(A|C3)=
1722
P（B|A）?0?04，P（B|A）?0?06 P（A）?P（A|C1）P（C1）?P（A|C2）P（C2）?P（A|C3）P（C3）?P（A）?202529?13?1216?13?1722?13?79
79?0?06?29?0?76（1）P（B）?P（B|A）P（A）?P（B|A）P（A）?0?96?P（B|A）P（A）?P（B）0?96?0?7679?0?9824
（2）P（A|B）?
25、甲乙两只袋,分别装4份,8份报名表，其中女生的报名表分别有2份，6份，现任取一袋并从中先后取出2份报名表。 （1）求先取出那份是女生报名表的概率
（2）已知后取出的是男生的表，求先取出那份是女生的表的概率
解：设事件A=“取甲袋”；B=“取得的第一份表是男生的报名表”；C=“取得的第二份表是男生的报名表”。 根据题意，则有：P(A)?12,P(B|A)?12,P(B|A)?1458
（1）利用全概率公式有：
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?12*12?12*34?
（2）利用贝叶斯公式有：
P(B|C)?P(C|B)P(B)P(C|B)P(B)?P(C|B)P(B)，而
12*1212**1213*?2312?*1214**3417*?2717168?2384P(C|B)P(B)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?
P(C|B)P(B)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?23因此：P(B|C)?842384?17168?4663。
18
第三章 离散型随机变量
1、一射手对某目标进行了三次独立射击，现将观察这些次射击是否命中作为试验，试写出此试验的样本空间；试在样本空间上定义一个函数以指示射手在这三次独立射击中命中目标的次数；设已知射手每次射击目标的命中率为，试写出命中次数的概率分布。 解：设Ai=“第i次射中”，i=1,2,3。则有：
??{(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3)} ?{?1,?2,?,?8}
令?代表击中目标的次数，则：
?(?1)?3，?(?2)??(?3)??(?4)?2，?(?5)??(?6)??(?7)?1，?(?8)?0
P(??3)?P(?1)?P(A1A2A3)?(0.7)?0.3433
P(??2)?P(?2?P(?3)?P(?4)?3P(A1A2A3)?3?0.7?0.7?(1?0.7)?0.441P(??1)?P(?5)?P(?6)?P(?7)?3P(A1A2A3)?3?0.7?(1?0.7)?(1?0.7)?0.189P(??0)?P(?8?0)?P(A1A2A3)?(1?0.7)?0.0273
?0所以，?的分布列为：??0.027?10.18920.441??. 0.343??32、一批零件中有9个合格品、3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个来使用，若取得废品就不再放回而再取1个，求在取得合格品之前已取出的废品数的概率分布。 解：令?代表废品数，则?的可能取值为：0,1,2,3
P(??0)?C911C12C3C1?912C2C1 P(??1)?C9C1C311C12?C911C11?312?911?27132
P(??2)?112?111?110?31211?211312?910211?541320199
5411880P(??3)?C311C12?C211C11?C111C10?C9C9???10??
?0所以，?的分布列为：?9??121271322541320?? ?11880?3543、设在10个同类型的一堆产品内混有2个废品，现从中任取3次，每次取1个，试分别就（1）取后不放回；（2）取后放回两种不同情况，求出取得废品数的概率分布。
19
解：（1）令?代表废品数，则?的可能取值为：0,1,2
P(??0)?C83C103，P(??1)?C8?C2C10321，P(??2)?2?2?C?C2
?3C10??18C8?C2C10312
?0?3所以，?的分布列为：?C8?C3?1011C?C228C103（2）令?代表废品数，则?的可能取值为：0,1,2,3
1?C8P(??0)??1?C?101??C81??0.512，P(??1)?C3???C1?10?3????21?C2?1?C?10???0.384??3
1?C82P(??2)?C3?1?C?101??C2????C1??101??C2??0.096，P(??3)????C1?10?2???0.008??
所以，?的分布列为：???010.38420.096?0.512??. ?0.008?34、自动生产线经调整后出次品的概率是p，若在生产过程中出现次品就立即要进行调整，试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。 解：令合格品数为?，则
P(??0)?P{两次调整之间生产的是P(??n)?P{两次调整之间前一件次品}?p
(n?1)件是次品}?pqnn次生产正品，第，
其中（n=1,2,3，??；q?1?p）
所以，?的分布列为：??p??01pq2pq23pq3??npqn???，其中q?1?p???
5、甲、乙两人分别独立的对同一目标各射击1次，甲、乙击中目标的概率分别为p，p，
12试求击中目标次数的概率分布。
解：令?为击中目标的概率，则?的取值为0,1,2
P(??0)?(1?p1)(1?p2) P(??1)?(1?p1)p2?p1(1?p2) P(??2)?p1p2
20
所以，?的分布列为：??(1?p)(1?p)(1?p)p?p(1?p)121212??01?? ?p1p2?aN，k?1,2,?,N26、（1）已知随机变量所有的可能值是1，2，? ，N ，且已知P(??k)?试确定a的值； （2）试问下式的
?2?c取何值能使P(??k)?c??，k?1,2,?，为分布律。
?3?k，
解：（1）由概率的规范性，可知
N?k?1P(??k)?1，则，?k?1NaN?1，从而
a=1；
（2）由概率的规范性，可知
n?12??2???1????kk??3??3???2??2????2 P(??k)?1，则?c???1，而????limn??233??k?1?k?1?1?3??k?1所以2c=1，c=
12。
347、设在某种试验中，试验成功的概率为，以?表示首次取得成功的试验次数序号，试写出的?分布律，并求出?为偶数的概率p。
解：令?代表首次取得成功的试验次数序号，从而?的取值为1,2，?
P(??1)?34；
；
3?3?P(??2)??1???4?4?23?3?P(??3)??1???
4?4???
3??P(??k)??1??4??k?1?34
??
?1?所以，?的分布列为：?3??423?3??1???4?4?323?3??1???4?4???k3???1??4??k?1?34???，k?1,2,? ???? 21
?为偶数时，P?P(??2)?P(??4)??
353?3?1?1?3?3?3?3?1??=?1?????1?????=??????????
4?4?4?4?4?4????4?4??=?lim432(n?1)?1??1??1????4?4?????n???1?1????4?2?31?416415?15
8、一本500页的书，共有100个错别字，设每个错别字等可能的出现在500页的任何一页上，现考察该书某一页上的错别字数，试用n重贝努利试验描述之。 解：每个错别字以概率p?1500499500出现在该页，而以概率q?不出现在该页，由于错别字
1500是否出现在该页对其他错别字是否出现没有影响，故该页上错别字字数?~B（100，）。
9、人类的血型可粗分成O、A、B、AB等四型，设已知某地区人群中这四种血型人数的百分比依次为0.4、0.3、0.25、0.05，要从该地区任意选出10人，考察带AB型的人数，试用n重贝努利试验描述之。
解：由于只关心AB血型的人数，其他血型可不予区分，故在此时每个人血型只有两个可能结果：AB型或者非AB型。这样p?0.05是任取一人，其血型为AB型的概率，而问题可说成是成功概率为p的10重贝努利试验，带AB血型的人数?~B（10，0.05）。
10、某建筑物内装有5个同类型的供水设备， 设在任一时刻每个设备被使用的概率是0.2，又设各个设备是否被使用相互独立，求在同一时刻下列事件的概率： （1）恰有2个设备在使用； （2）最多有2个设备在使用； （3）至少有2个设备在使用； （4）有多数设备在使用。
解：设?代表设备使用的个数，?=0，1，2，?，5，由题意，显然?~B（5，0.2） （1）P(??2)?C52p2q3?C52?(0.2)2?(0.8)3?0.2048 （2）P(??2)?P(??0)＋P(??1)＋P(??2)
?C5(0.2)(0.8)?C5(0.2)(0.8)?C5(0.2)(0.8)?0.94208
114(0.2)(0.8)?0.26272 （3）P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?1?C50(0.2)0(0.8)5?C5005114223（4）有多数设备在使用，即超过半数以上的设备在使用，故应取?应取3,4,5，即?>2，从
22
而P(??2)?1?P(??2)?1?0.94208?0.05792
11、设事件A在一次试验中发生的概率为0.3，当在进行多次试验时，若发生3次或更多次时，指示灯就要发出信号，求下列情况下，指示灯发出信号的概率： （1）共进行次试验； （2）共进行次试验。
解：设?代表事件发生的次数，由题意?~B(n,0.3)
（1）因为试验只进行3次，要指示灯发出信号，则事件只能出现3次
P(??3)?P(??3)?C3(0.3)(0.7)?0.027330
（2）因为试验进行5次，要指示灯发出信号，则事件可发生3次、4次和5次
P(??3)?P(??3)?P(??4)?P(??5)
=C53(0.3)3(0.7)2＋C54(0.3)4(0.7)1＋C55(0.3)5(0.7)0?0.16308
12、某商店有4名售货员，据统计，每名售货员平均在一小时内用秤的时间为15分钟，各人何时用秤相互独立。试问： （1）该店配备几台秤较为合适？
（2）若按（1）的结果配秤，一天8小时内平均有多少时间秤不够用？ 解：设?代表一小时内用秤的售货员数，则?~B(4,)
4181?1??3?（1）P(??0)?C40??????0.3164
256?4??4??1??3?P(??1)?C?????0.4219
?4??4?141304?1??3?P(??2)?C?????0.2109
?4??4?2422P(??2)?P(??0)?P(??1)?P(??2)?0.9492
故同时用秤的人数不超过2人的概率接近0.95，从而可配2台秤，这样既不使秤过度闲置，也不致常因秤不够用而影响业务；
（2）由题（1），每小时，2台秤的平均使用率为0.9492，那么还有（1-0.9492）×1的时间内秤不够用，而在8小时内，秤不够用的时间就为（1-0.9492）×8=0.4064（小时）。 13、已知某厂产品的次品率是件次品？为什么？
解：任取一件产品为次品的概率为
110，今从其大批产品中任取件10来检验，问其中是否必有1
110，任查十件产品的次品率是在这十件产品中次品出现
23
的频率，两者有区别，可算出任取10件产品其中1件是次品的概率为
p?C10(0.1)(0.9)?0.387419，可见，如果经常任抽十件检查，约有38.74%的机会会遇到1件
次品。
14、进行8次独立的射击，设每次击中目标的概率均为0.3，试问： （1）击中几次的可能性最大？并求出相应的概率； （2）求至少击中目标2次的概率。
解：设?代表击中目标的次数，则＝0，1，2，3，?，8，显然?~B(8,0.3)
（1）(n?1)p?2.7，由二项分布的定理2，取k?ent((n?1)p)?2时，B(2;8,0.3)的值最大，故击中2次的可能性最大p?C82(0.3)2(0.7)6?0.2965
（2）P(??2)?1?P(??0）?P(??1)?1?C80(0.3)0(0.7)8?C81(0.3)1(0.7)7?0.7447 15、某厂产品的次品率为0.005，问在它生产的1000件产品中： （1）只有1件次品的概率； （2）至少有1件次品的概率；
（3）最大可能有几件次品，概率是多少？
解：设?代表产品为次品的件数，?= 0,1,2，?，1000，显然?~B(1000,0.0005)。显然n很大，p很小，从而?~P(?)，??np?5 （1）P(??1)?51!e?5?0.0337
50（2）P(??1)?1?P(??0)?1?0!e?5?0.9933
（3）最多可能有5件次品，其概率为P(??5)?555!e?5?0.1755
16、为了保证设备能够正常运转，需配备适当数量的维修人员（配少了有时会影响设备正常运转，配多了会造成浪费人力资源），根据检验，每台设备发生故障的概率是0.01，各台设备情况相互独立，试问：
（1）若由1人负责维护20台设备，有设备发生故障而不能得到及时维修的概率； （2）若有设备100台，每台发生故障时均需1人去处理，则至少要配多少维护人员，才能使设备发生故障时不能得到及时维修的概率不超过0.01。
解：（1）设?代表一人负责的20台设备中，同时发生故障的台数，?=0,1,2，?，20，显然?~P(?)，??np?0.2
24
P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?1?0.20!0e?0.2－0.21!1e?0.2?0.01755
（2）设?代表100台设备中，同时发生故障的台数，?=0,1,2，?，100，显然?~P(?)，
??np?1
10P(??0)?0!12e?1?0.3679；P(??1)?111!13e?1 ?0.3679；P(??2)?2!14e?1?0.1839；P(??3)?3!e?1 ?0.0613；P(??4)?4!e?1?0.0153
?P(??0)?P(??1)?P(??2)?P(??3)?P(??4)?0.9963
故在100台设备中，有4台同时发生故障的概率在0.9963，所以应派4个维修人员，才能使得设备发生故障而不能得到及时维修的概率不超过0.01。
17、设要对某一物理量进行测量，已知由于各种原因而导致带过大测量误差的概率是0.05，现在独立的进行了100次测量，求误差过大的次数不小于3的概率。
解：设?代表100次测量中，出现过大测量误传的次数，?=0,1,2，?，100，显然?~P(?)，
??np?5
50P(??3)?1?P(??0)?P(??1)?P(??2)?1?0!e?5?511!e?5?522!e?5?0.8753
18、设随机变量?服从参数为?的泊松分布，问m为何值时，概率P(??m)最大。 解：P(??k)?P(??k)P(??k?1)?kk!?e??，P(??k?1)??k?1(k?1)!e??
所以
?k
（1）??k，P(??k)?P(??k?1)，P(??k)? （2）?＝k，P(??k)＝P(??k?1)，P(??k)达到最大值（3）??k，P(??k)?P(??k?1)，P(??k)?
从而，当?非整数时，m?[?]，使P(??m)最大；当?是整数时，m??或m???1，同
25
时使得P(??m)最大。
19、一产品的次品率为0.1，检验员每天抽检4次，每次随机抽查10件产品进行检验，如发现次品多于1件，就要调整设备，以?表示1天要调整设备的次数，求E?。 解： ?代表1天要调整设备的次数，?=0,1,2,3,4
令?代表1次抽检中抽出次品的件数，?=0,1,2，?，10，显然?~B(10,0.1) 令Ai =“每i次抽检时，抽出次品多于1件，从而调整设备”，i=1,2,3,4
P(Ai)?1?P(??0)?P(??1)?0.2642P(Ai)?1?P(Ai)?0.7358
则?~B(4,P(Ai))
P(??0)?[P(Ai)]?0.2931134
P(??1)?C4P(Ai)[P(Ai)]?0.421222P(??2)?C4[P(Ai)][P(Ai)]?0.2267P(??3)?C4[P(Ai)]P(Ai)?0.0543P(??4)?C4[P(Ai)]?0.00494433
230.0543??0.0049??4从而，?~??0.2931??010.4210.2267
所以，E??0?0.2931＋1?0.421＋2?0.2267＋3?0.0543＋4?0.0049?1.0569 或者直接用E??np?4?0.2642?1.0569
20、一长途客车沿途可靠k个站，规定途中只可下客不能上客，一个站若无人下车可不停。设始发时车上乘客数十参数为?的泊松分布随机变量?，每个乘客在这k个站中哪一站下车是等可能的。求有2个乘客在终点站下车的概率p。 解：设始发时车上人数为m个，则P(??m)??em??m!，m=2,3,4，??。由于每个乘客在k
1k个站中下车是等可能的，所以乘客在终点站下车的概率为
q?1?
。不在终点站下车的概率为
1k。则每个乘客是否在终点站下车时独立的，因此可把在终点站下车的乘客数看作
26
如从p?1k的m重伯努利试验。设在终点站下车的乘客数为?，则?~B(m,)。则
k?2m2m?21P(??2|??m)?Cpq。由全概率公式P(??2)??P(?m?2?m)P(??2|??m)??e2?k/?22!k
21、某生产流水线一天出次品数?为?=5的泊松分布，若采用新工艺，则有0.75的可能使
?成为?=3的泊松分布，但也有0.25的可能失效。现采用新工艺生产，结果一天出了2件
次品。问新工艺有效地概率多大？（令A=“新工艺有效”。）
解：令A=“新工艺有效”，则P(A)=0.75；新工艺无效为A，P(A)=0.25；新工艺有效情况下次品件数?服从参数为3的泊松分布，P(??k|A)?3ek?3k!；新工艺无效，即旧工艺有效
5ek?5情况下，次品件数?服从参数为5的泊松分布，P(??k|A)?P(??2|A)P(A)P(??2|A)P(A)?P(??2|A)P(A)k!。则由贝叶斯公式，
P(A|??2)??0.89。
22、某设备一天发生故障次数?服从泊松分布。已知一天内发生1次故障与发生2次故障的概率相同，求每天发生故障不超过1次的概率。 解：设发生故障次数服从参数为?的泊松分布，P(??k)??ek??k!。由P(??1)?P(??2)可
得，?=2（?=0舍去）。P(??1)?P(??0)?P(??1)?3e?2。
??223、已知?的分布列为?3a???11603a1a3?11?，试求： 30??（1）a的值； （2）E?；
（3）???2?1的分布列； （4）用两种方法算出E?
??2?1，从而a=解：（1）3a??3a?a?。因此，?~?1?63015?51111?11601511153?11? ?30?（2）E??(?2)?15?(?1)?16?0?15?1?115?3?1130?35
27
（3）???2??1?1，所以，?~?1??515?0?15730?3?16150730?8?153151130?8?11? ?30?103115（4）E??(?1)?2
1130?103E??E(??1)?3??0??(?1)??0??8?
24、设已知?~??0.4???200.32??，试求E?0.3??，E?2，E(3?2?5)，D?
解：E??(?2)?0.4?0?0.3＋2?0.3??0.2
E?2?(?2)?0.4?0?0.3＋2?0.3?2.8
2222E(3??5)?3E??5?13.4 D??E??(E?)?2.7622
?10??，试问?q?25、设随机变量?的分布列为??p?解：E??1?p?0?q?p
E?2p取何值时，使D?达到最大值。
?1?p?0?q?p2
1142从而，D??E?2?(E?)2?p?p2??(p?)2?所以，当p?12
时，D?max?14
26、袋中有8个球，6个黑球，2个白球。每次从袋中取2球，取出后不放回。在第3次从袋中取球时，所得白球数为?，求E?。
解：第三次取球时，已经取出了4个球，这4个球有三种情况。 第一种情况：4个黑球，用A表示。P(A)?C2C2C2411C6C844?314，P(??0|A)?C2C422?16，
P(??1|A)??23，P(??2|A)?C2C224?16；
C6C2C8431第二中情况：3黑1白，用B表示。P(B)?C3C412?47，P(??0|B)?C322C4?12，
P(??1|B)??12，P(??2|B)?0；
28
第三种情况：2黑2白，用C表示。P(C)?P(??2|C)?0；
C6C2C8422?314，P(??0|C)?C4C422?1，P(??1|C)?0，
由全概率公式：
P(??0)?P(??0|A)P(A)?P(??0|B)P(B)?P(??0|C)P(C)?P(??1)?P(??1|A)P(A)?P(??1|B)P(B)?P(??1|C)P(C)?1528
1228
1P(??2)?P(??2|A)P(A)?P(??2|B)P(B)?P(??2|C)P(C)?E??0*P(??0)?1*P(??1)?2*P(??2)?1228
也可以把第三次取出的白球数?看作服从伯努利分布，即?~B(2,1/4)，E??np?1/2。 27、一台仪器有3个元件，各个元件发生故障与否相互独立，且发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4。求发生故障元件总数?的E?和D?。
解：设发生故障的元件数为?，则?=0,1,2,3。三个元件发生故障分别记为A，B，C。
P(A)?0.2，P(B)?0.3，P(C)?0.4，三个元件发生故障与否相互独立，因而： P(??0)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?0.336
P(??1)?P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?0.452P(??2)?P(ABC?ABC?ABC)?0.188
P(??3)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?0.024E??0*P(??0)?1*P(??1)?2*P(??2)?3*P(??3)?0.9 E?2?0*P(??0)?1*P(??1)?2*P(??2)?3*P(??3)?1.42222222
D??E??(E?)?0.61
28、设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2，若一周5个工作日无故障则机器可产生利润10万元，发生1次故障仍可生利5万元，发生2次故障就没有利润了，若发生3次或3次以上的故障就要亏损2万元。试求一周利润的期望值。
解：令?代表一周内机器发生故障的次数，?=0,1,2，?，5，显然，?~B(5,0.2)
?5?5?P(??0)??0.2?0.8?0.32768?0???
29
?5?14P(??1)???1??0.2?0.8?0.4096???5?23?P(??2)??0.2?0.8?0.2048?2???
P(??3)?1?P(??0)?P(??1)?P(??2)?0.05792所以，E??10?0.32768＋5?0.4096＋0?0.2048＋(?2)?0.05792?5.126（万元）。
30
试求：（1）常数c的值；（2）联合分布函数F(x,y)；（3）?及?的边缘密度函数；（4）条件密度函数f(x|y)及f(y|x)。 解：（1）1???????????122f(x,y)dxdy????(x?cxy)dy?dx??0??0??10(2x?2cx)dx?223?c，所以c?13。
（2）利用F(x,y)?????xy??f(x,y)dxdy，下面对x，y的范围分情况进行讨论：
①当x?0或者y?0时，概率密度f(x,y)?0，于是F(x,y)?0； ②当x?1并且y?2时，F(x,y)?③当0?x?1并且0?y?2时，
F(x,y)???????????f(x,y)dxdy?1；
????xy??f(x,y)dxdy??x0?y21?(x?xy)dy??0?dx?3??2313x?y?3?x0(xy?216xy)dx?213xy?3112xy22；
④当0?x?1并且y?2时，F(x,y)?F(x,2)?⑤当x?1并且0?y?2时，F(x,y)?F(1,y)??0,?1122?x3y?xy,12?3?1?2因此：F(x,y)??x3?x2,3?312?1y?y,?312???1,131x2；
212y；
x?0或者y?00?x?1并且0?y?20?x?1并且y?2x?1并且0?y?2x?1并且y?22?2212(x?xy)dy?2x?x,?f(x,y)dy???033?0,?0?x?1其他
（3）?的边缘密度函数为：f?(x)??????
?的边缘密度函数为：f?(y)??????11?121??0(x?xy)dx??y,f(x,y)dx??336?0,?0?y?2其他
（4）①当y?2或者y?0时，f?(y)?0，于是f(x|y)?②当0?y?2时，f?(y)?13?16yf(x,y)f?(y)没有定义；
，
46
?212?x?3xy6x?2xy?,f(x,y)?11??2?y于是f(x|y)??yf?(y)?36??0,0?x?1
其他③同样，当x?1或者x?0时，f?(x)?0，于是f(y|x)?④当0?x?1时，f?(x)?2x2?23xf(x,y)f?(x)没有定义；
，
于是
?21?x?3xy3x?y?,f(x,y)?2f(y|x)???2?6x22x?xf?(x)?3??0,0?y?2
其他x?0,y?011、已知(?,?)的联合概率密度为
?(2x?y)?,?2ef(x,y)???其他?0,，
试求：（1）条件密度函数f(x|y)及f(y|x)；（2）条件概率P(??2|??1)。 解：（1）?的边缘密度函数为： f?(x)?????????(2e?(2x?y))dy?2e?2x,?f(x,y)dy???0??0,x?0x?0
于是当x?0时，f?(x)?0，所以f(y|x)?f(x,y)f?(x)没有定义；
当x?0时，
?2e?(2x?y)?y?e,f(x,y)??2xf(y|x)???2ef?(x)?0,?y?0y?0
?的边缘密度函数为：f?(y)?????????(2e?(2x?y))dx?e?y,?f(x,y)dx???0??0,y?0y?0
于是当y?0时，f?(y)?0，所以f(x|y)?f(x,y)f?(y)没有定义；
当y?0时，
?2e?(2x?y)?2x?2e,f(x,y)?f(x|y)???e?yf?(y)?0,?x?0x?0
（2）P(??2|??1)?P(??2,??1)P(??1)??20?12e?(2x?y)dy?dx????0??1?1?e?40e?y
dy 47
12、设随机变量?在区间（0,1）上服从均匀分布，而当??x（0?x?1）时，?在（x，1）上服从均分分布，试求：
（1）（?，?）的联合密度函数f(x,y)；（提示：先求条件密度f(y|x)））；（2）关于?的边缘密度；（3）概率P(????1)。
?1,解：（1）由于?服从（0,1）上的均匀分布，所以：f?(x)???0,0?x?1其他
?1,?有根据??x（0?x?1）时，在（x，1）上服从均分分布，可得：?f(y|x)??1?x?0,??1,?f(x,y)?f?(x)f(y|x)??1?x?0,?x?y?1其他
因此，（?，?）的联合密度函数为：
0?x?y?1其他
（2）?的边缘密度为：f?(y)???????y1dx??1n(1?y),??0f(x,y)dx??1?x?0,?0?y?1其他
（3）P(????1)??1121?y? dx??1?y1?x?dy?ln2??13、设（?，?）的联合分布列为：
? ? 1 16132 193 1181 2 A B 试确定A、B之值使?，?成为独立随机变量。
解：根据联合分布列的性质及?，?是独立的随机变量可得：
111?11?????A?B?1A?B????69183?3?? ?11111111??(????(?A))(?A)??69189?9?939解得：A?29，B?19。代入联合分布列验证可知：?，?是独立的随机变量。
14、已知?，?是独立随机变量，试填出其联合分布列中漏失的数据：
48
? ? x1 x2 y1 y2 y3 · · 1 · 1/8 1/6 1/8 · · · · · 解：设（?，?）的概率分布为P(??xi,??yj)?pij，i?1,2；j?1,2,3。于是根据边缘分布以及?，?是独立随机变量：
1p11?16?18?1241；p1??p11p?11p3?24?；p2??21?8? 114p?1466118112p13?p1??p11?p12?14?124??；p?2?p12p22?p?2?p12?12?18?38；p?3?1?p?1?p?21?8? 1p1?24111111?1???；p23?p?3?p13???；
6233124因此，联合分布列如下表：
? ? x1 x2 y1 y2 y3 1/4 3/4 1 1/24 1/8 1/6 34121/8 3/8 1/2 331/12 1/4 1/3 15、设?，?分别是参数和
34的0—1分布，r??=
12。求（?，?）的联合分布列。
解：由于?，?分别是参数和
E??34的0—1分布，所以：
14，E??12；D??316，D??
D?D??34?12?33*34*12?12E(??)?E?E??Cov(?,?)?E?E??r??
设（?，?）的概率分布为P(??xi,??yj)?pij，i?0,1；j?0,1，则：
P(???1)?p11，P(???0)?p10?p01?p00。于是结合边缘分布可得：
49
??p00??p?10??p00???p11??p01??p11??p10??12143412，解得：
p11?p00?1214,,p10?14联合分布列为：
,p01?0.? ? 0 1 0 1 0 1/4 1/4 1/2 16、设某仪器由两个部件构成，?与?分别是这两个部件的寿命（千小时），已知（?，?）
??1?的联合分布函数为：F(x,y)????0,e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0其他
试求：（1）边缘分布函数F?(x)，F?(y)；（2）联合密度f(x,y)及边缘密度f?(x)，f?(y)；（3）判定?，?是否独立；（4）两部件寿命均超过100小时的概率。
?1?e?0.5x,解：（1）F?(x)?F(x,??)???0,x?0?1?e?0.5y,；F?(y)?F(??,y)??x?0?0,x?0,y?0其他y?0y?0
（2）
?0.25e?0.5(x?y),f(x,y)?F(x,y)???x?y?0,?2
y?0y?0f?(x)?dF?(x)dx?0.5e?0.5x,???0,x?0x?0；f?(y)?dF?(y)dy?0.5e?0.5y,???0,
（3）由于f(x,y)?f?(x)*f?(y)，所以?，?相互独立。
（4）根据的相互独立性可知，两部件寿命均超过0.1（千小时）的概率为：
P(??0.1,??0.1)?P(??0.1)P(??0.1)????0.10.5e?0.5xdx*???0.10.5e?0.5ydy?e?0.1
17、已知f(x,y)是二维随机变量（?，?）的联合密度函数，
?c(x?y),f(x,y)???0,0?y?x?1其他
试求：（1）常数c的值；（2）边缘密度函数f?(x)，f?(y)；（3）?与?是否独立；（4）概
50