∵GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 (2)连结CF,∵EC切⊙O于C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC.
AC?AF∴AEAC,∴AC2=AE·AF. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
23.解：(1)设P(x，y)，则由条件知M?xy?2，2??
，
?x
2＝2cosα，
由于M点在C1上，所以?
?y
2＝2＋2sinα.
则C2的参数方程为???x＝4cosα，
??
y＝4＋4sinα.
(α为参数) 。。。。。。。5分
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ. 射线θ＝π的极径为ρ1＝4sinπ
3与C1的交点A3， 射线θ＝πC2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ
3与3. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.。。。。。。。。。。。10分
24.解：（Ⅰ）当a?1时，
f(x)?3x?2可化为x?1?2.由此可得 x?3或x??1.
故不等式f?x??3x?2的解集为
?x|x?3或x??1?.。
。。。。。。。。。。。5分
(Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0
??x?a?x?a此不等式化为不等式组?x?a?3x?0? 或?a?x?3x?0
??x?a?x?a??即 ??x?a?a4x?? 或??2 ??x|x??a?因为a?0，所以不等式组的解集为?2??
11
a??12由题设可得，故a?2 .。。。。。。。。。。。10分
?
12
2012～2013学年度包头一中第二次模拟考试
高三年级数学（理科）试卷
第Ⅰ卷
一.选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是 符合要求的）
1.如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若
x,y?R，
A??xy?2x?x2?，
B?yy?3x,x?0??，则A*B=（ ）
A．(2,??) B．
?0,1??(2,??) C．?0,1??(2,??) D．?0,1??[2,??)
2. 给出以下结论：
x0x0x?R,2?0x?R,2?0； 00（1）命题“存在”的否定是：“不存在
z?（2）复数
11?i在复平面内对应的点在第二象限
（3）l为直线，?,?为两个不同平面，若l??,???，则l//?
2??(??0),统计结果 N90,??（4）已知某次高三模拟的数学考试成绩～
显示p?70???110??0.6，则p???70??0.2 .其中结论正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1
?x3?sinx, ?1?x?12f?x????2, 1?x?2，则??1f?x?dx?( ) 3. 若
A.0 B.1 C.2 D.3
24. 对于使?x?2x?M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做?x?2x的上
2确界,
12??a?b?1a、b?R若，且，则2ab的上确界为（ ）
?991?A.2 B.2 C.4 D.-4
x2y2?2?1(a?0,b?0)2b5.已知已知点（2，3）在双曲线C：a上，C的焦距为4，
则它的离心率为（ ）
1
A.2 B.
3 C. 22 D. 23
16.若(x＋x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．120
7.设A．
x,y满足约束条件
?x?0??y?x?4x?3y?12?x?2y?3x?1的取值范围是（ ） ，则
?1,5? B．?2,6? C．?3,10? D．?3,11?
2y?x?1在其上任一点(x,y)处的切线的斜率为g(x)，则函数y?g(x)cosx的8. 设曲线
部分图象可以为 （ ）
y O x
y y y O x O x O x A． B． C． D．
9．某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少
选一门，则不同的选法共有( )
A. 48种 B. 42种 C . 35种 D. 30种
x2y2F1、F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)ab10. 已知的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内
的一点，点B也在椭圆 上，且满足OA?OB?0（O为坐标原点），AF2?F1F2?0，若
2椭圆的离心率等于2, 则直线AB的方程是 ( )
A．
y?2233xy??xy??xy?x2 B．2 2 C．2 D．3?????????11. 在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转4后，得向量OQ
则点Q的坐标是（ ）
2
A. (?46,?2) B.(?46,2) C.(?72,?2) D. (?72,2) 12．设集合A?[0,1),B?[1,2]，函数f(x)?? 则
2x,(x?A),4?2x,(x?B),x0?A,且f[f(x0)]?A,
x0的取值范围是 ( )
323,1log2,12) D．(log32,1) A．(3) B．[0，4] C．(
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二.填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的 相应位置）
13．设点A(2,?3)，B(?3,?2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k 的取值范围是 .
14．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出得 到
y(万元)具有线性相关关系，并
?=0．254x+0．321，y关于x的线性回归直线方程：y由回归直线方程可知，家庭年收入每增 加l万元.年饮食支出平均增加
__________ 万元．
15. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°, E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上 折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的 体积为________. 已知等差数列
{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1?1,a4?3,S3?9，
nb?2an,则b1?b2???bn的结果为 。 n设
三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的解答过程填在答卷纸的相应位置） 17.（本题满分
12
分）已知
?n?为锐角，且ta?2?1，函数
f(x)?2xta2n??si2n?(??)4，数列{an}的首项a1?1,an?1?f(an).
（Ⅰ）求函数f(x)的表达式； （Ⅱ）求数列
3
{an}的前n项和Sn.
18.（本题满分12分）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋
志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 10人 高二年级 6人 高三年级 4人 （I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择
是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N 分别是PA、BC的中点．
(I)求证：MN∥平面PCD；
(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE⊥平面PBD?若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．
?1?20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P1，2到抛物线C：y2＝2px(p>0)??
5
的准线 的距离为4.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.
（1）求p，t的值；
（2）求△ABP面积的最大值.
4
af(x)?(1?)ex(x?0)x21. （本小题满分12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）当a?2时，求曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的面积；
5（Ⅱ）若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e，求a的值.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题纸上把所选题号涂黑.
22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图，直线AB过圆心O，交⊙O于A,B，直线AF交⊙O于F
(不与B重合)，直线l与⊙O相切于C,交AB于E,且与AF垂直，垂足为G,连结AC. 求证：(1) ?BAC??CAG;
2 (2) AC?AE?AF.
23.(本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》
?x?2cos??Cy?2?2sin? (?为参数) M是C1上的动xoy1在直角坐标系中，曲线的参数方程为?
5
?????????C点，P点满足OP?2OM，P点的轨迹为曲线2.
(1)求
C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线???3与C1的异于极点的交点
为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
24.（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》 设函数
f?x??x?a?3x,其中a?0.
（Ⅰ）当a?1时，求不等式f?x??3x?2的解集；
（Ⅱ）若不等式
f?x??0的解集为
?x|x??1? ，求a的值.
包头一中第二次模拟考试 高三年级数学（理科）答案
一、选择题： CDCBA BDADA CC 二、填空题
k?36?13.
4或k??4 14． 0.254 15. 8 16. n?2n?1
三、解答题
17. （本小题满分12分）
tan2??2tan?1?tan2??2(2?1)1?(2?1)2?1解：⑴
又∵?为锐角
2???∴
4 ∴ f(x)?2x?1 ???5分 （2） ∵
an?1?2an?1， ∴an?1?1?2(an?1) ∵a1?1 ∴数列?an?1?是以2为首项，2为公比的等比数列。an?2n?1， ?9分
6
n可得an?1?2，∴
2(1?2n)Sn??n?2n?1?n?21?2∴ ????12分
18. （本小题满分12分）
12C10C1015P?A???338 CA20解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则
答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生
15的概率为38. …………4分
（II）解法1：?的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率
1均为3.所以………6分
161?1?0?1??2???P??1?CP???0??C4?????4??81; ?3??3??3?2204132?2????81; ?3?1324882?1??2?3?1??2?P???2??C4?P???3??C4??????????8127;?3??3??3??3?81; 14?1??2?P???4??C4?????81. …………10分 ?3??3? 随机变量?的分布列为：
403? P 0 1 2 3 4 1681 3281 827 881 181
E??0?163224814?1??2??3??4??81818181813……12分
1解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为3. …………………5分 11B(4,)3.……………7分 则随机变量?服从参数为4，3的二项分布，即?～
随机变量?的分布列为：
7
? P 0 1 2 3 4 1681 3281 827 881 181 E??np?4?所以
14?33 ……12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连结FC，MF．
MF?AD,MF?∵
11ADNC//AD,NC?AD22,.
∴四边形MNCF为平行四边形，?????3分 ∴MN//FC，又FC?平面PCD,????5分 ∴MN∥平面
分
（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、空间直角坐标系.设AB=2，则P(0，0，2)，C(2，2，0)， 设PC上一点E坐标为即(x,y,z?2)??(2,2,?2)， 则
PCD. ????????6AP分别为x、y、z轴建立
B(2,0，0)，D(0，2，0)，
????????(x,y,z)，PE??PC，
E(2?,2?,2?2?)．??????7分
??????????AE?PB?01????????????AE?PD?0,解得2． 由?????∴AE?(1,1,1).??????9分
作AH⊥ PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
????1????????????AH?(AB?AP)?(1,0,1)2∴AH⊥平面PBC,取AH为平面PBC的法向量．则，
?????????∴设AE与平面PBC所成角为，AH,AE的夹角为?，则
????????AH?AE26??sin??|cos?|??????????3.????12分 |AH|?|AE|32
8
20. （本小题满分12分）
?2pt＝1 1解：（1）由题意知?，???p＝2，
??1＋p5
得?
????4分 2＝4，??t＝1.（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，
由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0).
由???y2
1＝x1，??
y22＝x2，
得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2. 故k·2m＝1.
所以直线AB方程为y－m＝1
2m(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0. ????6分
由???x－2my＋2m2－m＝0，??
y2＝x
消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0， 所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m. 从而|AB|＝
1＋1
k2·|y1－y2|＝1＋4m2·4m－4m2.????8分
设点P到直线AB的距离为d，则d＝|1－2m＋2m2|
1＋4m2
.
设△ABP的面积为S，则S＝1
2|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·m－m2. ????9分由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.
令u＝m－m2，0＜u≤1
2，则S＝u(1－2u2)， 设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤1
2，则S′(u)＝1－6u2.
由S′(u)＝0得u＝6∈??0，1???662，所以S(u)max＝S??6?6??＝9. 故△ABP面积的最大值为6
9.????12分 21.（本小题满分12分）
f?(x)?x2?ax?ax解：（Ⅰ）x2e， ????2分
9
x2?2x?2xf?(x)?e2x当a?2时，， f?(1)?
所以曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?ex?2e，??????4分 切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,?2e)， ??????5分
1?2?21?e?e21，f(1)??e，
1?2??2e?2e所以，所求面积为2. ????6分
（Ⅱ）因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程x?ax?a?0在(0,??)内存在两个不等实根，?????7分
2???a2?4a?0,?a?0.则? ????8分
所以a?4. ????9分 设
x1,x2为函数f(x)的极大值点和极小值点，则
x1?x2?a，x1x2?a， ????10分
因为，
f(x1)f(x2)?e5，
x1?ax1x2?ax2e?e?e5x1x2所以，，??????11分
22x1x2?a(x1?x2)?a2x1?x25a?a?ae?eea?e5x1x2a即，，
ea?e5，
解得，a?5，此时f(x)有两个极值点，所以
a?5. ??????12分
22.【证明】(1)连结BC,∵AB是直径，
∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°.
10