F(x) 1
0 c x
单点分布函数图
以上例子可以得出这样一个结论：离散型随机变量的分布函数F?x?总是阶梯函数。 结论1 若随机变量?为离散型，那么其分布函数F?x?为阶梯函数。 证明
?为离散型随机变量
）
??的分布列为????xi???i， i?1,2,3, （不妨这里设x1?x2??xi?xi?1? 下证（1）当x?x1时，F?x??0； （2）当xi?x?xi?1， i?1,2,3,时，F?x??ci（常数），且
0?ci?ci?1?1.
事实上，（1）当x?x1时，
F?x??xk?x1?????x???????0;
k（2）当xi?x?xi?1，i?1,2,3,i时，
F?x???????xk???????xk?.
xk?xk?1 这是?取i（有限）个值对应概率相加
时，F?x??ci
i?1 ?其和一定存在，记为ci，即 当xi?x?xi?1, i?1,2,3,i 显然，0?ci??????xk???????xk??ci?1?1.
k?1k?1 综上可知，?的分布函数F?x?为阶梯函数。 3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法
我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件。
结论2 设随机变量?的分布函数为F?x?.若F?x?是阶梯型函数，则?为离散型随机变量。
5
证明
F?x?是?的分布函数 F?x?是阶梯函数
?F?x?一定是右连续
?F?x?是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小到大的顺序排列起来的顺序为x1?x2??0,?c,?1??c, 则F?x???2??ci,???x?x1x1?x?x2x2?x?x3xi?x?xi?1?xi?xi?1?
其中，ci，i?1,2,3,为常数，0?ci?1
为?的分布列。
下证????xi??F?xi?0??F?xi?， i?1,2,3,（1）F?x?是单调不减的函数
?????xi??F?xi?0??F?xi??ci?ci?1?0 （2）F?xi?0??F?xi?1?
??????xi?????F?xi?0??F?xi???i?1i?1???lim???F?xi?0??F?x????limF?xn?1??1n??i?1n??n
综合（1）、（2）可知： ????xi??F?x??i0， i?1,2,3,?F??ix是?的分布列。
（三）非离散型随机变量
由于非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，但它总的情况可以分为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量。 1．连续型随机变量及密度函数的定义
假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b)，则称其为连续随机变量。
Fx)，如果存在实轴上的一个非负可积函数定义 设随机变量X的分布函数为 (p(x)，使得对任意实数x有
[1]6
F(x)??p(t)dt
??x则称p(x)为X的概率密度函数，简称密度函数，或称密度。 2．密度函数的性质
（1）非负性 p(x)?0 （2）正则性
?????（含有p(x)的可积性）。 p(x)d?x1以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质，也是确定或判别某个函数是否成为密度函数的充要条件。
例：向区间(0,a)上任意投点，用X表示点的坐标。设这个点落在(0,a)中任意一个小区间的概率与这个小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关。求X得分布函数和密度函数。
解：记X的分布函数为F(x)，则
当x?0时，因为?X?x?是不可能事件，所以F(x)?P(X?x)?0； 当x?a时，因为?X?x?是必然事件，所以F(x)?P(X?x)?1；
当0?x?a时，有F(x)?P(X?x)?P(0?X?x)?kx，其中k为比例系数。因为
1?F(a)?ka，所以得k?1. a于是X的分布函数为
x?0,?0,?x?F(x)??,0?x?a,
?ax?a.??1,下面求X的密度函数p(x).
当x?0或x?a时，p(x)?F'(x)?0; 当0?x?a时，p(x)?F'(x)?1， a而在x?0和x?a处，p(x)可取任意值，一般就近取值为宜，这不会影响概率的计算，因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是X的密度函数为
?1?,0?x?a, p(x)??a?其他.?0,这个分布就是区间(0,a)上的均匀分布，记为U(0,a)，其密度函数p(x)和分布函数的图形如下。
7
y y 11 aa 0 a x 0 a x (a) p(x)的图形 (b) F(x)的图形
(0,a)上的均匀分布
3．连续型随机变量分布函数的特征
结论3 设?为连续型随机变量，F(x)是其分布函数，则F(x)是连续函数。 证明 ∵ (Fx)是连续型随机变量的分布函数
?由定义，存在非负可积函数p(x)，对?x????,???有
F?x?????t?dt
??x 又由变动积分上限函数的性质可知， (Fx)连续 故 (Fx)是R上的连续函数。 4.非离散非连续的随机变量
除了离散型和连续型分布之外，还有既非离散又非连续的分布，见下例。
例：以下函数确是一个分布，它的图形如图所示。
x?0,?0,?1?x?F(x)??,0?x?1,2?x?1.??1,y
1
0.5
0 1 x 既非离散又非连续的分布函数示例
8
从图上看出，它既不是阶梯函数，又不是连续函数，所以它既是非离散的又是非连续的分布。这类分布函数 (Fx)常可分解为两个分布函数的凸组合，如上例中的分布函数可分解为
F(x)?11F1(x)?F2(x) 22其中
?0,0,x?0,?? F2(x)??x,F1(x)???1,x?0.?1,?x?0,0?x? 1,x?1.F1x)是而 (（离散）单点分布函数， （连续）均匀分布U(0,1)的分布函数。 F2(x)是
三、既不离散也不连续的随机变量及其判别
（一）随机变量的判别
由结论1的逆否命题可得，
结论4 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是阶梯函数，则?一定是非离散型随机变量。
由结论3的逆否命题可得，
结论5 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是连续函数，则?一定是非连续型随机变量。
（二）既不离散也不连续的随机变量的判别
既非离散又非连续的随机变量的分布函数具有不同于离散型、连续型随机变量分布函数的特点[3]。
（1）分布函数是右连续，但却不是在每一个分段区间内是常函数，这一点区别于离散型随机变量的分布函数。
（2）分布函数不是连续函数，在某些点处有跳跃性，这一点区别于连续型随机变量的分布函数。
综上，我们可以得到一个既不离散也不连续随机变量的判别条件。
Fx)既不是阶梯函数又不是连续函数，则?一结论6 若随机变量?的分布函数 (定是既不离散也不连续的随机变量。
例4 已知函数
x?0?0,?F?x???0.5(x?1),0?x?1
?1,x?1?9