人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修
第三章 不等式
概述
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准，在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.
1．内容与课程学习目标
本章主要学习描述不等关系的数学方法，一元二次不等式的解法及其应用，线性规划问题，基本不等式及其应用等，通过学习，要使学生达到以下目标：
（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景.
（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.
（3）从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
（4）探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题. 2．教学要求 （1）基本要求
①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题.
②理解并掌握不等式的基本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
③理解一元二次不等式的概念；通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系.
④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程.
⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域.
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⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法.
⑦了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算术平均数，几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.
（2）发展要求
①体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用.
②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决. （3）说明
①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.
②淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用.
③突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形. 3. 教学内容及课时安排建议
3.1 不等式与不等关系（约2课时）
3.2 一元二次不等式及其解法（约2课时）
3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（约2课时） 3.3.2 简单的线性规划问题（约2课时）
3.4 基本不等式：ab?
a?b（约2课时） 22
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3.1 不等关系与不等式
教案 A
第1课时
教学目标
一、知识与技能
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质.
二、过程与方法
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法. 三、情感、态度与价值观
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯. 教学重点和难点
教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系；并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.
教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.
教学关键：将实际问题的不等关系转化为数学中不等式问题.
教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法. 教法与学法导航
教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.
学习方法：从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握． 教学准备
教师准备：多媒体、黑板、教材. 学生准备：直尺、教材. 教学过程
一、创设情境，导入新课
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系. 二、主题探究，合作交流 1. 用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是v?40.
3
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引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
f?2.500,p?2.300.
问题1：设点A与平面?的距离为d，B为平面?上的任意一点，则d?|AB|. 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8?x?2.5?0.2)x 万元，那么0.1不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式
(8?x?2.5?0.2)x?20. 0.1问题3：某钢铁厂要把长度为4 000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍. 怎样写出满足所有上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
?500x?600y?4000，?3x?y，? ?x?0，??y?0.?三、拓展创新，应用提高
1. 试举几个现实生活中与不等式有关的例子. 2. 教材第74页的练习 第1、2题. 四、小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.
五、课堂作业
教材第75页习题 3.1A组 第4、5题.
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第2课时
教学目标
一、知识与技能
掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式.
二、过程与方法
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.
三、情感、态度与价值观
通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 教学重点和难点
教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式.
教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式.
教学关键：学生会用不等式的性质证明简单的不等式和比较两个数的大小.
教学突破方法：通过问题解决情景的设置、投影错例展示的方式，解决学生对不等式的理解.
教法与学法导航
教学方法：采用探究法，遵循从具体到抽象的原则.
学习方法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的基本性质，设计较典型的问题，总结解题的规律. 教学准备
教师准备：多媒体、黑板、教材. 学生准备：直尺、教材. 教学过程
一、创设情境，导入新课
??a?b?a?b?0;关于不等式的几个基本事实?a?b?a?b?0;
??a?b?a?b?0.在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质，请同学们回忆初中不等式的的基
本性质.
1. 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若
a?b?a?c?b?c；
2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若
a?b,c?0?ac?bc；
3. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若
a?b,c?0?ac?bc.
二、主题探究，合作交流 1. 不等式的基本性质
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师：同学们能证明以上不等式的基本性质吗？
证明：（1）?(a?c)?(b?c)?a?b?0，∴a?c?b?c；
（2）??a?c???b?c??a?b?0，∴a?c?b?c． 实际上，我们还有a?b,b?c?a?c.
（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．） 根据两个正数的和仍是正数，得
（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0， ∴a＞c． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）a?b?b?a； （2）a?b,b?c?a?c； （3）a?b?a?c?b?c；
（4）a?b,c?0?ac?bc；a?b,c?0?ac?bc.
cc?. ab1?0. 证明：因为a?b?0，所以ab>0,ab1111?b?于是a?，即?. ababbacc由c<0 ，得?.
ab例1 已知a?b?0,c?0,求证
例2 比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4） ＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８） ＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4） 2. 探索研究
思考：利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （5）a?b,c?d?a?c?b?d； （6）a?b?0,c?d?0?ac?bd； 6
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（7）a?b?0?an?bn(n?N,n?2)； （8）a?b?0?na?nb(n?N,n?2). 证明：（5）∵ a＞b， ∴ a＋c＞b+c． ①
∵ c＞d， ∴ b＋c＞b＋d． ② 由①②得 a＋c＞b＋d． （6）
a?b,c?0?ac?bc?c?d,b?0?bc?bd??ac?bd.
?（7）同学们自己证明. （8）反证法）假设na?nb，
??nan则：??b?a?b这都与a?b矛盾，
??na?nb?a?b∴na?nb．
三、知识巩固，练习提高
例3 已知x?0, 比较(x2?1)2与x4?x2?1的大小. 解：（取差）(x2?1)2?(x4?x2?1)
?x4?2x2?1?x4?x2?1?x2.
∵x?0， ∴x2?0. 从而(x2?1)2>x4?x2?1.
例4 已知a＞b＞0，c＜d＜0，则ba－c与a
b－d
的大小关系为________．
解析：bb2－bd－a2＋ac(b＋a)(b－a)－(bd－aca－c－a
b－d＝(a－c)(b－d)＝)(a－c)(b－d).
因为a＞b＞0，c＜d＜0，
所以a－c＞0，b－d＞0，b－a＜0， 又－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd， 即ac＜bd，则bd－ac＞0， 所以（b＋a）（b－a）－（bd－ac）＜0， 所以ba(b＋a)(b－a)－(bd－ac)a－c－b－d＝(a－c)(b－d)＜0，
即
baa－c＜b－d
.. 7
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ba＜ . a－cb－d
课堂练习：教材第74页的练习 第3题. 四、小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论. 五、课堂作业
教材第75页习题3.1 A组 第2、3题；B组 第1题.
答案：
教案 B
第1课时
教学目标
1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.
2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.
3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣. 教学重点
用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质. 教学难点
用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小.
教学过程
一、导入新课
章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.
二、提出问题
1. 回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与不等式的异同，怎样利用8
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不等式研究及表示不等关系？
2. 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，你能举出一些实际例子吗？
三、应用示例
例1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
?40x?90y?1000,?x?5,，即. ?y?6,?x，y?N?,??4x?9y?100,?x?5, ?y?6,?x，y?N?.?例2．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．
?500x?600y?4000,?3x?y,?根据题意，应有如下的不等关系：?
?x?N,??y?N.说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
四、小结
上面的例子表明，我们可以用不等式（组）来刻画不等关系．
?、?、?、?）表示不等关系. 表示不等关系的式子叫做不等式,常用（?、老师进一步画龙点睛，指出不等式是研究不等关系的重要数学工具．
五、练习
教材第74页 练习第 1、2题． 六、提出新问题
怎样比较两个实数的大小？ 七、作业
教材第75页习题3.1 A组第4、5题； B组第1、2题．
第2课时
教学目标
1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，
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及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.
2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.
3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣. 教学重点
用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质. 教学难点
用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小. 教学过程
一、提出问题
不等式是研究不等关系的重要数学工具，我们都了解哪些不等式的性质呢？ 1.请学生回答等式有哪些性质？
2.不等式有哪些基本性质？这些性质都有何作用？ 二、探究不等式的性质
性质1：如果a?b，那么b?a；如果b?a，那么a?b（对称性）. 证：∵a?b，
∴a?b?0，由正数的相反数是负数.
?(a?b)?0，b?a?0，b?a.
性质2：如果a?b，b?c，那么a?c（传递性）. 证：∵a?b，b?c，∴a?b?0，b?c?0. ∵两个正数的和仍是正数，∴(a?b)?(b?c)?0.
∵a?c?0，∴a?c.
由对称性，性质2可以表示为如果c?b且b?a那么c?a.
性质3：如果a?b，那么a?c?b?c（加法单调性）反之亦然. 证：∵(a?c)?(b?c)?a?b?0，∴a?c?b?c.
从而可得移项法则：a?b?c?a?b?(?b)?c?(?b)?a?c?b. 性质4：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d（相加法则）. 证：
a?b?a?c?b?c???a?c?b?d.
c?d?b?c?b?d?推论：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d（相减法则）.
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证：∵c?d ∴?c??d；??a?b??c??d?a?c?b?d.
或证：(a?c)?(b?d)?(a?b)?(c?d).
?a?b?c?d ?a?b?0??c?d?0???上式>0.
性质5：如果a?b且c?0，那么ac?bc.
如果a?b且c?0，那么ac?bc（乘法单调性）. 证：ac?bc?(a?b)c.
∵a?b，∴a?b?0.
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
c?0时(a?b)c?0，即：ac?bc； c?0时(a?b)c?0，即：ac?bc.
性质6：如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd（相乘法则）. 证：
a?b,c?0?ac?bc?c?d,b?0?bc?bd???ac?bd.
推论：如果a?b?0且0?c?d，那么
abc?d（相除法则）. 1证：∵d?c?0 ∴c?1?0???a?b. a?db?0???cd性质7：如果a?b?0, 那么an?bn (n?N且n?1).
性质8：如果a?b?0，那么na?nb (n?N且n?1.) 证：（反证法）假设na?nb，
则： ?n?na?n?bb??aa??bb这都与a?b矛盾， ∴na?n?anb. 三、应用实例 例1 比较大小
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①已知a?b?0，c?0求证：解：∵a?b?0，
cc?； ab1?0. ab1111?b?∴a?，即?. ababbacc∵c<0 ，∴?.
ab∴ab>0,②
13?2和10.
解：∵
13?2?3?2，
∵(3?2)2?(10)2?26?5?∴
24?25?0.
13?2<10.
例2 比较(a?3)(a?5)与(a?2)(a?4)的大小. 解：（取差）(a?3)(a?5)? (a?2)(a?4)
?(a?2a?15)?(a?2a?8)??7?0.
∴(a?3)(a?5)<(a?2)(a?4).
22例3 已知x?0, 比较(x?1)与x?x?1的大小.
22424222解：（取差）(x?1)?(x?x?1)
?x?2x?1?x?x?1?x.
24222∵x?0， ∴x?0. 从而(x?1)>x?x?1.
42422小结：比较大小的步骤：“作差－变形－定号－结论”. 例4 已知x?2,比较x?11x与6x?6的大小． 12
32 人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修
解：x3?11x?(6x2?6)?x3?3x2?3x2?11x?6
?x2(x?3)?(?3x?2)(x?3)=(x?3)(x?2)(x?1)-----------------（*）
（1）当x?3时，（*）式?0，所以 x?11x?6x?6； （2）当x?3时，（*）式?0，所以 x?11x?6x?6；
32（3）当2?x?3时，（*）式?0，所以 x?11x?6x?6.
3232说明：实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
四、课堂练习
1．已知a?b?0，c?d?0，e?0，求证：
ee?. a?cb?d11?a?b?0?ee???证明：. ??a?c?b?d?0?a?cb?d??c?d?0?a?cb?d?e?0?2．ab?0,|a|?|b|， 比较解：
11与的大小. ab11b?a??， abab当a?0,b?0时，∵|a|?|b|即a?b，b?a?0，ab?0， ∴
b?a11?0，∴<. abab当a?0,b?0时∵|a|?|b|即a?b，b?a?0，ab?0，
b?a11?0，∴>. ababb3．若a,b?0， 求证：?1?b?a.
abb?a?0. 解：?1?aa∵a?0， ∴b?a?0，∴a?b. b?a?b?a?0 .
bb?ab??1?0， ∴?1. ∵a?0，∴
aaa∴
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五、课堂小结
1.不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式; 2. 如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法. 六、布置作业
教材第75页习题3.1 A组第2、3题； B组第2、3题.
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