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安徽大学2008—2009学年第一学期
《高等数学A（三）》考试试卷（A卷）
（闭卷 时间120分钟）
题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分
阅卷人
一、单项选择题（每小题2分，共10分） 得分
1、下列陈述正确的是（ ）。 (A) 若方程组Am?nx?0有唯一解，则方程组Am?nx?b有唯一解 (B) 若方程组Am?nx?b有唯一解，则方程组Am?nx?0有唯一解 (C) 若方程组Am?nx?0有无穷多解，则方程组Am?nx?b有无穷多解 (D) 若方程组Am?nx?b无解，则方程组Am?nx?0无解
2、已知n维向量组?1,?2,?,?s(s?2)线性相关，则下列选项中必正确的是( )。 (A) 对于任何一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0 (B) ?1,?2,?,?s中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0 (D) 对于每一个?i都可以由其余向量线性表出
3、设0?P(A)?1,0?P(B)?1，且P(A|B)?P(A|B)?1，则 ( )。 (A) 事件A与事件B互不相容 (B) 事件A与事件B对立 (C) 事件A与事件B不独立 (D) 事件A与事件B独立
4、设X~E(?)（指数分布），X1,X2,?,Xn是总体X的样本，则参数?的矩估计是( )(A) max1?i?n{Xi} (B) 2X (C) X (D) 1/X
5、设X1,X2,?,X2n是来自正态总体N(?,?)的样本，则下列结论正确的是( )。
(A) 1nn?2?(Xi??)2~?2(n) (B) 1?(Xi?X)2~?2(n?1)
i?1ni?1(C) 1nn2?(X2i?X)2~?(n) (D) 1?i?X)2~?2(n?1)
i?1n?1?(Xi?1
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 1 页 共 36 页
。
二、填空题（每小题2分，共10分） 得分
?kx1?x2?x3?0?6、若齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0 有非零解，则k＝ 。
?2x?x?x?03?12?001???7、矩阵A??110?的逆矩阵为 。
?210???8、若3阶方阵A的特征值分别为?1、0、1，则行列式A3?2A2?2E= 。
9、已知X~P(?)（泊松分布），??0，且P(X?1)?2P(X?2)，则D(?3X?5)? 。
10、从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（单位：毫米）为： 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3 设零件直径服从正态分布N(?,?2)，其中?未知，??0.21（毫米），?(1.96)?0.975，则这批零件平均直径?的对应于置信度为0.95的置信区间为 。
三、计算题（本大题共4小题，共46分） 得分
11、(本小题10分) 计算下列行列式 x1a2a3?ana1Dn?a1a1x2a2a2a3?anx3?ana3?xn(xi?ai,i?1,2,?,n) ?????《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 2 页 共 36 页
12、(本小题14分) 已知三阶矩阵
?400???A??042?
?024???求: (1) 矩阵A的特征值及特征向量（6分）；
(2) 正交矩阵Q，使得Q?1AQ为对角矩阵，并写出相应的对角阵（4分）；
(3) Ak(k为正整数)(4分)。
13、（本小题10分）已知二次型
222x12?ax2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
正定，求a的取值范围。
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 3 页 共 36 页
14、(本小题12分) 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为
?Cx2y,x2?y?1f(x,y)??
,其它?0求：(1) 常数C(6分)；
(2) P(0?X?Y)(6分)。
四、证明题（本大题共2小题，共24分）
15、(本小题12分) 设A为n?n实矩阵，且满足A2?6A?7E?0。 （1）若A?E?0，证明A?7E不可逆（5分）； （2）证明A?E可逆，并求其逆（7分）。
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 4 页 共 36 页
16、(本小题12分) 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密得分 为
?1?x3y?xy3,|x|?1,|y|?1?f(x,y)?? 4?0,其它? 证明：(1) X与Y不相关(6分)；
(2) X与Y不独立(6分)。
五、综合分析题（本大题共10分） 得分
17、 设总体X~N(?,?2)，其中?和?2为未知参数，(X1,X2,?,Xn)是 总体X的一个子样。 ?2(6分)； ?和?(1) 求参数?和?2的极大似然估计??2是否为?2的无偏估计量(4分)。 (2) 判断?
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 5 页 共 36 页
度函数
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安徽大学2008—2009学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（B卷）
（闭卷 时间120分钟）
题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分
阅卷人
一、选择题（每小题2分，共10分） 得分
1、设A为n阶方阵，B????A???????T0??，其中为n维列向量， 且r(A)?r(B)，则( )。 (A) Ax????必有无穷多解 (B) Ax????必有唯一解 (C) By???0仅有零解 (D) By???0必有非零解
2、设?1?(1,1,1),?2?(1,1,?1),?3?(1,?1,?1),??(1,2,1)，则?在?1,?2,?3下的坐标为( )。(A) (1,12,?12) (B) (1,?1111112,2) (C) (1,?2,?2) (D) (?1,2,?2)
3、设随机变量X~P(?)[泊松分布],则方差D(2X?1)?( )。 (A) ? (B) 4? (C) 2? (D) 4??1
4、设X~U(0,?)，X1,X2,?,Xn是总体X的样本，则参数?的矩估计是( )。 (A) max1?i?n{Xi} (B)2X (C)min1?i?n{Xi} (D) X
5、设X1,X2,?,Xn是总体X的样本，且E(X)??,D(X)??2，则( )是?2 的无偏估计。(A) 1?n?1(X2n?12n?11i?X) (B) 1ni?1n?1?(X1i?X) (C)(Xi?X)2 (D)
i?1?n?1?nn(Xi?X)2 i?1i?1
二、填空题（每小题2分，共10分）
得分 《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 6 页 共 36 页
?(1??)x1?2x2?4x3?0?6、若齐次线性方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解，则?＝ 。
?x?x?(1??)x?023?1?321???7、矩阵A??315?的逆矩阵为 。
?323???
8、 设n阶方阵A可逆，且?1,?2,?,?n为其特征值，则矩阵A?1的特征值为 。
9、设随机变量X的分布函数为 ?1xe,??2F(x)???1?1e?x,??2x?0 x?0
则 P(?1?X?1)? 。
10、已知P(A)?1/4,P(B)?1/3,P(A|B)?1/6, 则P(A?B)? 。
三、计算题（本大题共4小题，共46分） 得11、(本小题10分) 计算行列式 abb?bbDn?bbabbbab???bb a分 ?????
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 7 页 共 36 页
22?3x3?4x2x3为标准12、(本小题12分) 求一个正交线性替换，化二次型f?2x12?3x2形。
13、(本小题12分) 设连续型随机变量X的概率密度函数为 x??9?f(x)??Ae,x?0 ?x?0?0,试求：(1) 常数A(4分)； (2) P{3?X?9}(4分)； (3) 分布函数F(x)(4分)。
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 8 页 共 36 页
14、(本小题12分) 设一个人有n把钥匙，其中只有一把钥匙能把门打开，现每次开门时随机地任取一把，直到把门打开，用X表示直到把门打开时的次数，求在每次打不开门钥匙放回的情形下X的分布律及其数学期望E(X)。
得分 四、综合分析题（本大题共14分）
?x1?3x2?2x3?x4?1?x2?ax3?ax4??1，问a取何值时，方程组有解？并在有解时求出15、对于线性方程组??x1?2x2?3x4?3?其通解。
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 9 页 共 36 页
五、证明题（本大题共2小题，每题10分，共20分）
16、设A为n?n实矩阵，B??E?AA,
17、设随机变量X的概率密度函数为
T得分 ??0，求证：B为正定矩阵。
?2e?2x,x?0f(x)?? 0,x?0?证明：随机变量Y?1?e?2X服从区间(0,1)上的均匀分布。
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 10 页 共 36 页
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安徽大学2009—2010学年第一学期
《高等数学A（三）》考试试卷（A卷）
（闭卷 时间120分钟）
院/系 年级 专业 姓名 学号
题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分
一、选择题（每小题2分，共10分） 得分 1.设A,B均为n阶方阵，且满足等式AB?0，则必有（ ）. (A) A?0或B?0 (B) A?B?0 (C) A?0或B?0 (D) A?B?0 2.设向量组 Ⅰ：???? Ⅱ：???????1,?2,?,?s；1,?2,?,?s,?s?1,?s?2,?,?s?t 则下列说法必正确的是（ ）. (A)Ⅰ线性无关，则Ⅱ线性无关； (B) Ⅰ线性无关，则Ⅱ线性相关； (C) Ⅱ线性相关，则Ⅰ线性相关； (D) Ⅱ线性无关，则Ⅰ线性无关. 3.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）. (A) 3p(1?p)2 (B) 6p(1?p)2 (C) 3p2(1?p) (D) 3p2(1?p)2 4.设随机变量X与Y相互独立，且X?N(0,12)，Y?N(1,12)，则与随机变量Z?Y?X同分布的随机变量是（ ）. (A) X?Y (B) X?Y (C) X?2Y (D) Y?2X 5. 在假设检验中，记H0为原假设，则称 为犯第一类错误． （ ） (A)H0为真时接受H0 (B) H 0不真时接受H0 (C)H0为真时拒绝H0 (D) H0不真时拒绝H0
二、填空题（每小题2分，共10分） 得分 2?315 6.方程
?46x?101247?0的根为 . x?1?2?4?77.设3阶矩阵A有3个特征值1，2，3，且矩阵B与A相似，则|B?E|? .
8. 设随机变量X的分布函数为
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 11 页 共 36 页
?0,x?0?F(x)??Ax2,0?x?1
?1,x?1?1则概率P(?1?X?)? . 29.设随机变量X和Y的数学期望分别为2和?2,方差分别为1和4,而相关系数为?0.5,则根
据切比雪夫不等式有P(|X?Y|?6)? .
10.设某农作物的平均亩产量X（单位：kg）服从N(?,1002)，现随机抽取100亩进行试验，观察亩产量，得到x?500kg，则总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为 ． (?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95)
三、计算题（本大题共10分） 11.（本小题10分）计算下列行列式 an(a?1)n?(a?n)nan?1(a?1)n?1?(a?n)n?1Dn?1??a1?a?11????a?n1得分
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 12 页 共 36 页
----------------------- 四、分析题（本大题共5小题，共62分） 12.（本小题13分）已知线性方程组
?x1?x2?x3?x4?x5?a?3x?2x?x?x?3x?0?12345 ??x2?2x3?2x4?6x5?b??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2问：a,b取何值时，方程组有无穷多解？并在此时求其通解. 得分 - --号---学---- -- - -- -- 线- -- -- -- -- -- -- --名 线----姓 - - -- -- 订-- -- -- -- 装 -- -- -- 超 - 订 -- 勿 -- --业题-- --专 -- -- 答-- -- -- -- -- -- -- -- --级----年---- -- -- - 装 -- -- - -- -- -- - -- --系---/--院--------- .（本小题14分）设二次型
f(X)?2x21?5x22?4x1x2?4x1x3?8x2x3?5x23 1）求正交变换X?QY，使f(QY)为标准形； 2）判定二次型f(X)的正定性. 《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 13 页 共 36 页
13（（
院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- 14.（本小题10分）设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友；如该天不下雨，则以0.9的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友.已知该日下雨的概率为0.3. （1）试求那天他外出购物的概率；
（2）若已知他那天外出购物，试求那天天下雨的概率. 15.（本小题13分）已知二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布表如下： Y 0 ?1 1 X 1 ?1 81 0 81 18(1)求(X,Y)关于X,Y的边缘分布律； (2)判断X,Y的独立性； (3)判断X,Y的相关性。
1 81 81 81 8 0 1 8 《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 14 页 共 36 页
院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- 16.（本小题12分）设总体X的概率密度为
2??x??f(x)??axe,x?0
?x?0?0,其中a是常数，??0是未知参数.从总体X中抽取样本X1,X2,?,Xn. （1）求常数a的值；
?； （2）求参数?的最大似然估计量??是否为?的无偏估计量. （3）判断?
五、证明题（本大题共8分） 17.（本小题8分）设A,B均为n(n?1)阶方阵，且满足 A2?2AB?2E?0. 证明：
（1）A?2B可逆； （2）AB?BA.
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 15 页 共 36 页
得分
安徽大学2009—2010学年第一学期
院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- 《高等数学A（三）》考试试卷（B卷）
（闭卷 时间120分钟）
阅卷人
一、选择题（每小题2分，共10分） 1. 设线性方程组Ax?b,其中A为m?n矩阵，b?0,且m?n,则方程组Ax?得b( ). 分 (A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 可能无解 2. 设向量组M:?1,?2,??s与N:?1,?2,??t的秩都是r,则( ). (A) 向量组M与N 等价 (B) 秩(?1,?2,??s,?1,?2,??t)?2r (C) 如果 s?t?r,则M与N 等价 (D) 如果M可由N线性表出，则M与N等价 3. 设随机事件A与B互不相容，并且P(A)?0,P(B)?0,则( ). (A) P(A)?1?P(A) (B) P(AB)?P(A)P(B) (C) P(A?B)?1 (D) P(AB)?1 4. 设总体X?N(1,32)，X1,X2,?,X9是来自于X的样本，则下列结论正确的是( ) （A） （C）X?1X?1?N(0,1) （B） ?N(0,1) 31题 号 得 分 一 二 三 四 五 总分 X?1X?1?N(0,1) ?N(0,1) （D） 935. 在假设检验中，记H1为备择假设，则称 为犯第一类错误. （ ） （A）H1为真时接受H1 （B）H1不真时接受H1 （C）H1为真时拒绝H1 （D）H1不真时拒绝H1
二、填空题（每小题2分，共10分） 14323x?896?0的解为 . 6. 方程3?2x1?325?17. 设A,B同为5阶方阵，|A|?1,|B|?2，则2?ATB?1?? .
28. 设A为正交矩阵,且A??1,则伴随矩阵A?? . 9. 一部四卷的文集，按任意次序放到书架上，则自左向右或自右向左恰好为1，2，3，4的
概率为 .
10.在贝努利每次试验成功的概率为p，(0?p?1),进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为 . 三、计算题（共10分）
得分 《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 16 页 共 36 页
11.（本小题10分）计算下列行列式
答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- 12Dn?3n1?122?2n32?3n n2?nn????
四、分析题（共62分） 12.（本小题13分）求下列线性方程组的通解. ?2x1?x2?3x3?5x4?5x5?0??x1?x2?x3?4x4?3x5?0 ?3x?x?5x?6x?7x?0345?12
得分
13.（本小题14分）已知实二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x2x3?2x3x1，试利用正交线性替换
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 17 页 共 36 页
X?QY将二次型f(x1,x2,x3)化为标准形，并写出正交线性替换X?QY.
14.（本小题10分）发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号“*”和“－”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，接收台不一定收到信号“*”，而是以概率0.8和0.2收到信号“*”和“－”．同样地，当发报台发出信号“－”时，接收台以0.9和0.1的概率收到信号“－”和“*”．试求：（1）接收台收到信号“*”的概率；（2）当接收台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率．
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 18 页 共 36 页
答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- ??101?15.（本小题13分）设随机变量Xi??111?,(i?1,2),且满足P(X1X2?0)?1,
???424?（1）求P(X1?X2)；（2）判断X1和X2是否独立.
16.（本小题12分）设总体X的概率密度为
0?x?1??,?f(x)??1??,1?x?2 ?0,其他? 其中?是未知参数（0???1），X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值
x1,x2,?,xn中小于1的个数，求
（1）?的矩估计； （2）?的最大似然估计．
五、证明题（本大题共8分）
17.（本小题8分）设n阶方阵A满足A2?3A.证明： （1）4E?A可逆；
（2）若A?0，则3E?A不可逆.
《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 19 页 共 36 页
得分
安徽大学2008—2009学年第一学期
《高等数学A（三）》（A卷）考试试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题2分，共10分）
1、B 2、C 3、 D 4、D 5、A
二、填空题（每小题2分，共10分）
?0?11???6、-1，-2 7、?02?1? 8、30 9、9 10、（19.77，20.05）
?100???
三、计算题（本大题共4小题，其中第11题和第13题各10分，第12题14分，第14题12分，共46分）
11、解：将第一行的-1倍加到其余各行，得 x1a2a3?ana1?x1Dn?a1?x1?a1?x1x2?a20?00?0??00?x3?a3? ……………………………………(4分)
?xn?an再将第i(i?2,3,?,n)列的x1??i?2nx1?a1倍加到第一列，得 xi?aiai(x1?a1)xi?ai00?0a2x2?a20?0a30?0???an00?Dn?x3?a3? ………………………(8分)
?xn?an?(x1??i?2nai(x1?a1))(x2?a2)(x3?a3)?(xn?an)xi?ai
?(1??i?1nai)(x1?a1)(x2?a2)(x3?a3)?(xn?an) …………………(10分) xi?ai
12、 解：(1)
??4|?E?A|?0000?2?(??2)(??4)(??6)
??4?2??4《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 20 页 共 36 页
?3?? （3分） 2样本的一阶原点矩为A1?X （5分） 令?1?A1，得到
???X ?32即为?的矩估计。 （6分） （2）似然函数为 L(?)??N(1??)n?N （8分） 故lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??) 令即
dlnL?0 （10分） ?d?Nn?N??0 ???1????N 得到?n即为?的极大似然估计。 （12分） 五、证明题（本大题共8分） 17.（本小题8分） 2证明：（1）由A?3A得到 ?1?(4E?A)?(E?A)??E ?4?1?1故4E?A可逆，且有?4E?A??(E?A)； （4分） 4（2）用反证法。假设3E?A可逆。由A2?3A得到 (3E?A)A?0 上式两端左乘?3E?A?，得到 A?0
这与已知条件矛盾，故假设不成立，即有3E?A不可逆。 （8分）
?1《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 36 页 共 36 页