高一数学集合与函数解答难题
一．解答题（共29小题） 1．（2015?铜川三模）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|． （1）画出函数y=f（x）的图象； （2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．
2．（2015?天津校级二模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数
的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值 （Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，Sn=（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=得不等式
3．（2015?惠州模拟）已知函数
的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间； （2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
+
上，且=．
++
，求Sn；
，Tn为数列{an}的前n项和，若存在正整数c、m，使
成立，求c和m的值．
，过点P（1，0）作曲线y=f（x）
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间
内，总存在m+1个数a1，
a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值． 4．（2015?衡阳二模）已知函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界对数的底，a∈R） （1）求f（x）的解析式； （2）设
，求证：当a=﹣1时，
；
（3）是否存在实数a，使得当x∈[﹣e，0）时，f（x）的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．
5．（2015?新余二模）设函数f（x）=x﹣mlnx，h（x）=x﹣x+a．
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2
2
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由． 6．（2015?琼海校级模拟）（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3． （Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．
7．（2014?江苏模拟）设函数f（x）=
．
（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
8．（2014?中山市校级二模）定义F（x，y）=（1+x），x，y∈（0，+∞）， （Ⅰ）令函数（Ⅱ）令函数
，写出函数f（x）的定义域；
的图象为曲线C，若存在实数
y
b使得曲线C在x0（﹣4＜x0＜﹣1）处有斜率为﹣8的切线，求实数a的取值范围
*
（Ⅲ）当x，y∈N且x＜y时，求证F（x，y）＞F（y，x）． 9．（2014?安徽模拟）定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x﹣af（x），h（x）=x﹣a（1）求a的值及h（x）的单调区间； （2）求证：当1＜x＜e时，恒有x＜
2
2
，且g（x）在x=1处取得极值．
；
（3）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点的个数，并说明道理．
10．（2014?上海模拟）已知函数f（x）=
2
．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）如果关于x的方程f（x）=kx有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．
11．（2014?大港区校级二模）已知函数g（x）=（0，π），f（x）=mx﹣
﹣lnx（m∈R）．
+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
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（Ⅲ）设h（x）=
，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成
立，求m的取值范围．
12．（2014?陕西模拟）已知函数
，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程
在区间
内
有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 13．（2014秋?东湖区校级月考）对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}． （I）设f（x）=3x+4，求集合A和B； （Ⅱ）若f（x）=
2
，??A?B，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）=ax，求证：A=B．
14．（2013?许昌三模）设函数
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
15．（2013?重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={
|m∈In，k∈In}． ．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．
16．（2013?文昌模拟）已知函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|﹣m）． （1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
17．（2013?成都模拟）已知函数y=f（x），x∈N，y∈N，满足：①对任意a，b∈N，a≠b，
*
都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N都有f[f（n）]=3n．
*
（I）试证明：f（x）为N上的单调增函数； （II）求f（1）+f（6）+f（28）； （III）令an=f（3），n∈N，试证明：.
18．（2013?镜湖区校级一模）已知函数y=f（x）=
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n
*
*
*
*
．
．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=处的切线方程；
（2）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．
19．（2013?湖南模拟）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明（Ⅱ）若x∈[2，6]，范围；
（Ⅲ）当n∈N时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n的大小关系．
20．（2013?江阴市校级模拟）已知k∈R，函数f（x）=m+kn（0＜m≠1，n≠1）．
（1）如果实数m，n满足m＞1，mn=1，函数f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值，如果没有，说明为什么？
（2）如果m＞1＞n＞0判断函数f（x）的单调性；
（3）如果m=2，n=，且k≠0，求函数y=f（x）的对称轴或对称中心．
21．（2013?桐乡市校级模拟）已知函数f（x）=ln（e+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
2
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围 （3）讨论关于x的方程
的根的个数．
x
x
x
*
2
在定义域上是奇函数；
恒成立，求实数m的取值
22．（2013?锦州二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|， （1）求不等式f（x）≤6的解集．
（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．
23．（2013?临洮县校级模拟）已知f（x）=（1）求实数a的值所组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=的两个根为x1、x2，若对任意x∈A及t∈[﹣1，1]，不等式m+tm+1≥|x1﹣x2|恒成立，求m的取值范围．
24．（2012?江苏）设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
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*
2
在区间[﹣1，1]上是增函数．
①A?Pn；②若x∈A，则2x?A；③若x∈
A，则2x?A．
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）． 25．（2012?辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若
26．（2012?陕西）设函数fn（x）=x+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间（，1）内存在唯一的零点； （2）设n为偶数，|f（﹣1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
27．（2012?雁峰区校级学业考试）已知函数f（x）=log2（x﹣1）， （1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）设g（x）=f（x）+m，若函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数m的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）+
28．（2012?田家庵区校级一模）已知集合P=域为Q．
（1）若P∩Q≠?，求实数a的取值范围； （2）若方程
29．（2012?昆明模拟）选修4﹣5：不等式选讲： 设函数
．
，求实数a的取值的取值范围． ，y=log2（ax﹣2x+2）的定义
2
n
恒成立，求k的取值范围．
，求函数y=h（x）在[3，9]内的值域．
（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
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高一数学集合与函数解答难题
参考答案
一．解答题（共29小题）
1． 2． 3． 8． 9． 10． 4． 11． 5． 12． 6． 13． 7． 14． 15． 22． 29．
16． 23． 17． 18． 24． 25． 第6页（共6页）
19． 26． 20． 27． 21． 28．