§15．2．1 同底数幂的乘法
教学目标
（一）教学知识点
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． （二）能力训练要求
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，?使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．
（三）情感与价值观要求
体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神． 教学重点
正确理解同底数幂的乘法法则． 教学难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力． 教具准备
投影片（或多媒体课件）． 教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境 复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，?n是指数．
（出示投影片）
提出问题： （出示投影片）
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数=运算速度×工作时间
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103． [师]1012×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知
1012×103=(10?????10)=1015． ???10)×（10×10×10）=(10?10???????12个10???????15个10 [师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． Ⅱ．导入新课 1．做一做 出示投影片：
计算下列各式：
（1）25×22
（2）a3·a2
（3）5m·5n（m、n都是正整数）
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2） =27=25+2．
因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2． 5m·5n= (5?5?????5)×(5?5?????5)=5m+n．
??????????m个5n个5 （让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）． [生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 出示投影片
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
[师生共析] am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： am·an=(a?a????a)·(a?a????a)=a?a????a=am+n
???????????????m个amnm+n
n个a(m+n)个a 于是有a·a=a（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深
刻理解同底数幂的乘法法则． [生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n．
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加． 3．例题讲解 出示投影片 [例1]计算： （1）x2·x5 （2）a·a6 （3）2×24×23 （4）xm·x3m+1 [例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？ [生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则． [生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，?看谁算得又准又快． 生板演： （1）解：x2·x5=x2+5=x7． （2）解：a·a6=a1·a6=a1+6=a7． （3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28． （4）解：xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．
[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？?与同伴交流一下解题方法．
解法一：am·an·ap=（am·an）·ap =am+n·ap=am+n+p； 解法二：am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p． 解法三：am·an·ap=a?a????a·a?a????a·a?a????a
???????????????m个an个ap个a =am+n+p．
评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；?解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神． [生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，?就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？ [生]am1·am2·?·amn=am1+m2+mn
[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了． 2×24×23=21+4+3=28． Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习 Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，?请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，?我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）． Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．
§15．2．3幂的乘方
教学目标：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，
发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。 教学重点：会进行幂的乘方的运算。 教学难点：幂的乘方法则的总结及运用。 教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。 教学用具：投影仪、常用的教学用具 活动准备：
23224
1、计算（1）（x+y）·（x+y） （2）x·x·x+x·x （3）（0.75a）·（
3
143n-1n-24
a） （4）x·x－x·x 4教学过程：
通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。 一、 探索练习：
4
1、 6表示_________个___________相乘.
24
(6)表示_________个___________相乘. 3
a表示_________个___________相乘. 23
(a)表示_________个___________相乘.
2423
在这个练习中，要引导学生观察，推测(6)与(a)的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。
24
2、（6）=________×_________×_______×________
nmnm
=__________(根据a·a=a) =__________
35
（3）=_____×_______×_______×________×_______
nmnm
=__________(根据a·a=a) =__________
23
（a）=_______×_________×_______
nmnm
=__________(根据a·a=a) =__________
m2
（a）=________×_________
nmnm
=__________(根据a·a=a) =__________
mn
（a）=________×________×?×_______×_______
nmnm
=__________(根据a·a=a) =__________
mn
即 （a）= ______________(其中m、n都是正整数) 通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点（如底数、指数发生了怎样的变化）并运用自己的语言进行描述。然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。 二、 巩固练习：
1、 1、计算下列各题：
（1）（103）3 （2）[（
234
）]（3）[（－6）3]4 3（4）（x2）5 （5）－（a2）7 （6）－（as）3 （7）（x3）4·x2 （8）2（x2）n－（xn）2 （9）[（x2）3]7
学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。
2、 判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10 （ ） （2）（s3）3=x6 （ ） （3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ） （4）x3+y3=（x+y）3 （ ） （5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （ ）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用. 三、 提高练习：
1、 1、计算 5（P3）4·（－P2）3+2[（－P）2]4·（－P5）2
[（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）1990
2、 若（x2）n=x8，则m=_____________.
3、 、若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。 4、 若xm·x2m=2，求x9m的值。 5、 若a2n=3，求（a3n）4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
四、小结：会进行幂的乘方的运算。
五、作业：课本P16习题1.7：1、2、3。
§15．2．3 积的乘方
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义． 2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题． （二）能力训练要求
1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力． （三）情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美． 教学重点
积的乘方运算法则及其应用． 教学难点
幂的运算法则的灵活运用． 教学方法
自学─引导相结合的方法．
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问题． 教具准备 投影片． 教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，?你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×103）3cm3． [师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，?我认为应是积的乘方才有道理．
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？?有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒． Ⅱ．导入新课
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
出示投影片
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？ （1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( ) （2）（ab）3=______=_______=a( )b( ) （3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数） 2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达． 3．解决前面提到的正方体体积计算问题． 4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法． 5．完成课本P170例3．
学生探究的经过： 1．（1）（ab）2 =（ab）·（ab）= （a·a）·（b·b）= a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．?同样的方法可以算出（2）、（3）题． （2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3； （3）（ab）n=(ab)?(ab)?????(ab)=(a?a?????a)·(b?b?????b)=anbn
???????????????????n个abn个an个b 2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是： （ab）n=an·bn（n是正整数） 3．正方体的体积V=（1.1×103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算： V=（1.1×103）3=1.13×（103）3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109（cm3） 通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则： （ab）n=an·bn（n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即： an·bn=（ab）n（n为正整数）
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算． 对于an·bn=（a·b）n（n为正整数）的证明如下： an·bn=(a?a?????a)·(b?b?????b)──幂的意义
??????????n个an个b =(a?b)?(a?b)?????(a?b)──乘法交换律、结合律
?????????n个(a?b)n
＝（a·b） ──乘方的意义 5．[例3]计算 （1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3． （3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4． （4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，?使各个层面的学生都能学有所获）
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．?可以作如下归纳总结：
1．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·bn（n为正整数）． 2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an·bn·cn（n为正整数）．
3．积的乘方法则也可以逆用．即an·bn=（ab）n，an·bn·cn=（abc）n，（n为正整数）． Ⅲ．随堂练习 1．课本P170练习
（由学生板演或口答） Ⅳ．课时小结
[师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
[生]通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则，还能理解它的真正含义．
[生]其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．
[生]通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用． Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（5）、（6），2，3题．
2．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误． 3．预习“15．2．4 整式的乘法”一节．