证明： (Fx)是既不离散也不连续的某个随机变量?的分布函数。 证: 先证 (Fx)是?的分布函数。
(1)单调性：设x1?x2，
若x1、x2?0，则F?x1??F?x2??0 ; 若x1?0，x2?0，则0?F?x1??F?x2?;
若0?x1、x2?1，则F?x2??F?x1??0.5?x2?1??0.5?x1?1??0.5?x2?x1??0，
故F?x1??F?x2?;
若0?x1?1，x2?1，则F?x1??1?F?x2?，故F?x1??F?x2?; 若x1、x2?1，则F?x1??F?x2??1; 综上，F?x1??F?x2?.
(2)有界性：F?????xlim???F?x??0, F?????xlim???F?x??1;
(3)右连续性：只需考虑间断点0、1处的连续性。 F(0?0)?F(0?)F0,?(1?F0)? (1 ?F(x?0)?F(x )，故F?x?右连续。 ?F(x)可作为某随机变量?的分布函数。 再证 (Fx)是非离散非连续随机变量的分布函数。
易见 (Fx)是以x?0为间断点的非连续函数，同时也非阶梯函数。故由结论6，是既不离散也不连续的随机变量。
例5设随机变量的分布函数为
问随机变量?是离散型，还是连续型？
证：利用分布函数的性质来判断此函数在x?2处不连续， ∴?不是连续型随机变量。
∵此分布函数在区间(0,2]上不是常函数， ∴?不是离散型随机变量，
故?为既非离散又非连续的随机变量。
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? （三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例
在研究生入学考试中，对单纯的连续性和离散型随机变量的考查越来越少，反而对这种既不离散也不连续的随机变量考察加重，更注重考生们对知识点综合应用的能力，下面给出几个近几年考研中出现的此种类型的例子。
111.（1997，11）：假设随机变量X的绝对值不大于1，P?X??1??,P?X?1??,84在事件??1?X?1? 出现的条件下， X在??1,1?内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求
（1）X的分布函数F(x)?P?X?x?; (2) X取负值的概率p.
11由于P?X??1??,P?X?1??,在X??1和X?1这两点可以作为离散型的情况
84来处理。在其它情况下可作为连续型的情况来处理，且在??1,1?内服从均匀分布， X115在此区间内取值的概率为P??1?X?1??1???.
848因此，X的分布函数为
?0,x??1?51?F?x???(x?1)?,?1?x?1
8?16x?11,??易见，F?x?既非阶梯函数又不是连续函数，所以由结论6可知，X是既不离散也不连续的随机变量。
2.（2002）假设以设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).
解：设X的分布参数为?，由于EX?11.易见Y?min?X,2?. 5y5??5，可知??当y?0时，F(y)?0；当y?2时，F(y)?1;
当0?y?2时，F(y)?P?Y?y??P?min(X,2)?y??P?X?y??1?e.
y?0,?0，?y??Y的分布函数F(y）=?1?e5,0?y?2,
?1,y?2.???3.（99，4，3分）假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min?X,2?的分布函数（ ）
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（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点 【分析】首先求出Y的分布函数为（参见上题）
y?0,?0,?Fy(y)??1?e??y,0?y?2,由于Y的分布函数恰好在y?2处有一个间断点，因此
?1,y?2.?应选（D）.
4.设随机变量的绝对值不大于1，且P?X?0??取值范围内服从均匀分布，求X分布函数F(x).
证：写出已知条件的数量关系。依题意
13P{X?1}?P{?1?X?1}?1，P?X?0? =，P?X?0??，
441，已知当X?0时， X在其他4又除0点外， X在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含0点的子区间内
3的概率与该子区间的长度成正比，比例常数??，故有
8当x??1时F(x)?0；当x?1时，F(x)?1；
33x??1??当?1?x?0时F(x)?P{X?x}?P{X??1}?P{?1?X?x}?? ???x?1?；??88当0?x?1时，
3133x?5 F(x)?P{X?x}?P?X?0??P?X?0??P{0?X?x}=??(x?0)?8488x??1,?0,?3x?3?,?1?x?0,?8综上得F(x)??
3x?5?,0?x?1,?8?1,x?1.?x?0,?0,?1?5.设随机变量X的分布函数F(x)??,0?x?1,则P?X?1??（ ）
2??x1?e,x?1,??11（A） 0. （B）. (C) ?e?x. (D)1?e?1.
2211?F(?1?01)?e?1???e?1. 【分析】 P?X?1??P1?F(1)?X?1???PX??22故应选（C）.F(x)的分布函数在x?0和x?1处有分别有一个间断点，并且x?1不是常函数，所以X是既不离散也不连续的随机变量。
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考研中常遇到已知一个随机变量X的分布，又知另一个随机变量Y与X的函数关系Y?g(X)，求随机变量Y的分布。这属于求随机变量函数的分布问题。如果Y是既不离散也不连续的随机变量混合型随机变量，则一般是求其分布函数。
既不离散也不连续的随机变量是一类特殊的随机变量，一般形式比较复杂，但只要对其正确理解，求出其分布也就不难了。
四、结束语
本文总结了分布函数和离散型及连续型随机变量的相关知识，给出离散型和连续型随机变量的判别方法并证明，在此基础上讨论既不离散也不连续的随机变量，并通过对离散型和连续型随机变量判别方法逆命题的证明给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，运用实例加以说明，使初学概率统计者加深对随机变量的理解。本文举出了近几年考研中常见的既不离散也不连续的随机变量的题型，可以在此基础上进一步洞悉考研中随机变量的发展方向，总结此种类型问题的一般解题方法，使初学者对以后随机变量的学习有更深一层的了解。
参考文献
[1] 茆诗松.概率论与数理统计教程第二版. 北京:高等教育出版社，2011. [2]杨桂元.既不离散也不连续的随机变量[C].大学数学，2003. [3]宁丽娟.既非离散也非连续的随机变量[A].高等数学研究.2014.
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目录
中文摘要........................................................................................................................... 1 英文摘要........................................................................................................................... 1 一、引言........................................................................................................................... 2 二、随机变量及其分布................................................................................................... 2 （一）随机变量及其分布............................................................................................... 2