基础达标检测
一、选择题
1．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为( )
A．700 C．720 [答案] C
[解析] 因为{an}，{bn}都是等差数列，由等差数列的性质可知，20?a1＋a20?20?b1＋b20?
{an＋bn}的前20项的和为S20＝＋＝10(a1＋b1＋22a20＋b20)＝10×(5＋7＋60)＝720.
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝( )
A．15 C．－12 [答案] A
[解析] 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋?＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋?＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋?＋(b10－b9)＝5×3＝15.
3．(2014·三门峡模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝若前n项和为10，则项数n为( )
A．11 C．120
B．710 D．730
B．12 D．－15
，
n＋n＋1
1
B．99 D．121
[答案] C [解析] ∵an＝
1n＋n＋1
＝n＋1－n，
∴Sn＝a1＋a2＋?＋an＝(2－1)＋(3－2)＋?＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝10， 得n＝120.
4
4．(2013·全国大纲)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－3，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) C．3(1－3－10) [答案] C
[解析] 本题考查等比数列的定义，前n项和的求法． 3an＋1＋an＝0 an＋11∴a＝－3＝q
n
14
a2＝a1·q＝－3a1＝－3，∴a1＝4 1
4[1－?－3?10]
－10
∴S10＝＝3(1－3)． 1
1＋3
5．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，?，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) C．n2 [答案] C
[解析] 考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算
1
B.9(1－310) D．3(1＋3－10)
B．(n＋1)2 D．(n－1)2
法则．
2
∵{an}为等比数列，且a5·a2n－5＝22n，∴an＝22n，
∵an>0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1. ∴log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1 ＝1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝n2.
1111
6．数列1×2，2×4，3×8，4×16，?的前n项和为( ) 1n
A．2－2n－n＋1
211C.2(n2＋n＋2)－2n [答案] B
111111
[解析] S＝1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋?＋n×2n＝1×21＋111
2×22＋3×23＋?＋n×2n，①
111111
则2S＝1×22＋2×23＋3×24＋?＋(n－1)×2n＋n×n＋1，②
21?1?
?1－n?
2?2?111111n
①－②得2S＝2＋22＋23＋?＋2n－n×n＋1＝1－2n＋1＝1－2
1－21n－2n2n＋1. n∴S＝2－n－1－2n.
2二、填空题
7．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9
＝________.
[答案] 54
n
B．2－n－1－2n 211D.2n(n＋1)＋1－n－1 2
1
1
[解析] 由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5， 即2a5＝18－a5，∴a5＝6， ?a1＋a9?×9S9＝＝9a5＝54. 2
8．(文)(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________.
[答案] 2 2n＋1－2
[解析] 本题考查了等比数列性质，前n项和公式等．
由题意a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴q＝2，又由a2＋a4＝a1q＋a1q3知a1
2?1－2n?n＋1
＝2，∴Sn＝＝2－2.
1－2
(理)(2013·重庆高考)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn
为其前n项和，若a1、a2、a5成等比数列，则S8＝________.
[答案] 64
2[解析] 设等差数列{an}的公差为d，∵a2＝a1a5，
∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，即d2＝2d，∵d≠0，∴d＝2， 8×7
∴S8＝8×1＋2×2＝64.
9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝________.
[答案] 2 600
[解析] 由已知，得a1＝1， a2＝2， a3－a1＝0， ?
a99－a97＝0，
a100－a98＝2，
累加得a100＋a99＝98＋3，
同理得a98＋a97＝96＋3，?，a2＋a1＝0＋3， 则a100＋a99＋a98＋a97＋?＋a2＋a1 50×?98＋0?＝＋50×3＝2 600. 2三、解答题
10．(文)(2013·江西高考)正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
1(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
?n＋1?an
2
[解析] (1)由an－(2n－1)an－2n＝0，得
(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n. 1(2)an＝2n，bn＝，则
?n＋1?an1111
bn＝＝(－)．
2n?n＋1?2nn＋1
1111111111Tn＝2(1－2＋2－3＋?＋－＋－)＝2(1－)＝
n－1nnn＋1n＋1n
.
2?n＋1?
(理)(2013·浙江高考)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an|.
[解析] (1)由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，a1＝10，
即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N＋或an＝4n＋6，n∈N＋. (2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0， 由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则
1221
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an|＝Sn＝－2n＋2n.
121
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an|＝－Sn＋2S11＝2n2－2n＋110. 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an| 1221??－2n＋2n， n≤11，＝?1221??2n－2n＋110， n≥12.
能力强化训练
一、选择题
1
1．数列{an}满足an＋an＋1＝2(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )
21A.2 C．10 [答案] B
1
[解析] 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝2，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项，偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)1
＋?＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×2＋1＝6.
n＋1
2．(文)已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n∈N＋)，设其前n
n＋2
B．6 D．11
项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n( )
A．有最大值63 C．有最大值32 [答案] B
[解析] Sn＝a1＋a2＋a3＋?＋an n＋1234
＝log23＋log24＋log25＋?＋log2 n＋2
?234n＋1?
? ＝log2?3×4×5×?×n＋2??
B．有最小值63 D．有最小值32
2
＝log2<－5，
n＋221∴<32，∴64 ∴n>62，∴nmin＝63. (理)已知an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N＋)，若称使乘积a1·a2·a3·?·an为整数的数n为劣数，则在区间(1,2 015)内所有的劣数的和为( ) A．2 026 C．1 024 [答案] A lg?n＋2?lg?n＋2?lg3lg4[解析] ∵a1·a2·a2·?·an＝lg2·?·＝lg2＝log2(n＋2)lg3·lg?n＋1?＝k，则n＝2k－2(k∈Z)．令1<2k－2<2015，得k＝2,3,4，?，10. 4?1－29?∴所有劣数的和为－18＝211－22＝2 026. 1－2二、填空题 1 3．设f(x)＝x，则f(－9)＋f(－8)＋?＋f(0)＋?＋f(9)＋f(10) 2＋2的值为________． B．2 046 D．1 022 [答案] 52 [解析] ∵f(－n)＋f(n＋1)＝ 11 ＋ －nn＋1 2＋22＋22n·2＋12n12 ＝＋＝＝， nn＋1n＋1 21＋2·22＋22＋2 ∴f(－9)＋f(－8)＋?＋f(0)＋?＋f(9)＋f(10)＝52. 4．(文)数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}的前10项和S 10＝________. 10 [答案] 11 [解析] 由题意可知an＋1＝an(1－an＋1)， 111 整理可得－a＝1，则a＝1＋(n－1)＝n， an＋1nn1111 所以an＝n，bn＝anan＋1＝＝－， n?n＋1?nn＋1110 故S10＝b1＋b2＋?＋b10＝1－11＝11. (理)有限数列A＝{a1，a2，?，an}，Sn为其前n项的和，定义S1＋S2＋?＋Sn 为A的“凯森和”；如果有99项的数列{a1，a2，?，na99}的“凯森和”为1 000，则有100项的数列{1，a1，a2，?，a99}的“凯森和”为________． [答案] 991 [解析] ∵{a1，a2，?，a99}的“凯森和”为 S1＋S2＋?＋S99 ＝1 000， 99∴S1＋S2＋?S99＝1 000×99， 数列{1，a1，a2，?，a99}的“凯森和”为： 1＋?S1＋1?＋?S2＋1?＋?＋?S99＋1? 100100＋S1＋S2＋?＋S99 ＝＝991. 100三、解答题 5．已知{an }是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn. [解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力． (1)因为{an}为首项a1＝19，公差d＝－2的等差数列， 所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21， n?n－1? Sn＝19n＋2(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1－2n＋21 Tn＝b1＋b2＋?＋bn＝(1＋3＋?＋3n－1)＋Sn n3－12 ＝－n＋20n＋2. 6．(文)已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. (1)求an； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. [解析] (1)由Sn＝kcn－k，得 an＝Sn－Sn－1＝kcn－kcn－1(n≥2)， ??kc?c－1?＝4， 由a2＝4，a6＝8a3，得?5 2 ?kc?c－1?＝8kc?c－1?，? ??c＝2 解得?，所以a1＝S1＝2，an＝kcn－kcn－1＝2n(n≥2)，于是an ??k＝2 ＝2n. (2)Tn＝?iai＝?i·2i，即 i＝1 i＝1 n n Tn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋?＋n·2n 2Tn＝22＋2·23＋?＋n·2n＋1 ∴Tn＝2Tn－Tn＝－2－22－23－24－?－2n＋n·2n＋1＝－2n＋1＋2＋n·2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2. 1 (理)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8. (1)确定常数k，并求an； ?9－2an? ?的前n项和Tn. (2)求数列?n?2? 1 [解析] (1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－2n2＋kn取最大值，即S＝Sk＝12212－2k＋k＝2k， 故k2＝16，因此k＝4. 97 从而an＝Sn－Sn－1＝2－n(n≥2)，又a1＝S1＝2， 9 所以an＝2－n. 9－2ann (2)因为bn＝2n＝n－1 2 n－123n Tn＝b1＋b2＋?＋bn＝1＋2＋22＋?＋n－2＋n－1 . 22 11n1n 所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋2＋?＋n－2－n－1＝4－n－2－n－1＝4－ 2222n＋2 . 2n－1