导数部分补充题
1．已知函数f(x)?lnx.
（Ⅰ）求函数g(x)?f(x?1)?x的最大值； （Ⅱ）当0?a?b时，求证：f(b)?f(a)?2a(b?a)a?b22.
解：（Ⅰ）?f(x)?lnx,g(x)?f(x?1)?x,?g(x)?ln(x?1)?x.∵函数g(x)的定义域为（?1,??)，g?(x)?11?x?1.令g?(x)?0，解得x?0.
当?1?x?0时,g?(x)?0;当x?0时,g?(x)?0.又?g(0)?0，故当且仅当x?0时，g(x)取得最大值，最大值为0.
（Ⅱ）证法一：f(b)?f(a)?lnb?lna?lnb??lna??ln(1?a?b).
abb由（I）知ln(1?x)?x,?f(b)?f(a)??a?b?b?a.
bb又?0?a?b,?a2?b2?2ab.?1b?2aa?b22.?b?ab?2a(b?a)a?b22.?f(b)?f(a)?2a(b?a)a?b22.
证法二：设F(x)?(x2?a2)(lnx?lna)?2a(x?a),(x?a?0) 则F?(x)?2xlnxa?(x2?a)x2?2a?2xlnxa?(x?a)x2.?x?a?0,?F?(x)?0.∵当x?a时，F(x)是增函
数。又F(a)?0,?x?a时,F(x)?F(a)?0.?(x2?a2)lnx?2(x?a)?0.∴当b?a?0时，
a有(b2?a)ln2ba?2a(b?a)?0,?lnba?2a(b?a)a2?b2.即f(b)?f(a)?2a(b?a)a?b22.
2．已知函数f(x)?2x?1(x??1)，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l分别交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点. （1）求x=1时切线l的方程；
（2）求△AOB面积的最小值及此时P点的坐标. 解：（1）f?(x)?1x?1. 设y0?f(x0)，过P(x0,y0)的切线方程为y?y0?1x0?1(x?x0). 即
y?xx0?1?x0?2x0?1.∴当x0?1时，切线l的方程为x?2y?3?0.
（2）当x?0时，y?x0?2x0?1，当y?0时，x??x0?2.
2∴S?AOB?
12|x0?2x0?1?(x0?2)|?(x0?2).令
2x0?1x0?1?t，(t?0).
1
则 S?AOB?(t?1)2t1322.S??2(t?1)?2t?(t?1)2t1322222?(t?1)?(3t?1)2t13222?0.由于t?0，解得t?13。
当t?时，S??0，当t?时，S??0.∴当t?，即
x0?1?1383时，S取得最小值
S?83.此时x??2,y?2x?1?23.所以△AOB面积的最小值为
，此时P点的坐标
?AOB9030039为(?223,33). 3．已知函数f(x)?x3?2x2?x?4，g(x)?ax2?x?8。 （Ⅰ）求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）若对任意的x??0，???都有f(x)?g(x)，求实数a的取值范围. 解：（I）f'(x)?3x2?4x?1，令f (x)?0，解得x1??1或x2??13。
当x变化时，f'(x)、f(x)的变化情况如下：
x (??,?1) －1 (?1,?13) ?13 (?13,??) f(x) + 0 － 0 + f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 ∴当x=-1时，f(x)取得极大值为?4；当x??1时，f(x)取得极小值为?112327。
（II）设F(x)?f(x)?g(x)?x3?(2?a)x2?4，
?F(x)?0在?0，???恒成立?F(x)min?0，x??0，???，
若2?a?0，显然F(x)min?4?0；
若2?a?0，F'(x)?3x2?(4?2a)x，令F'(x)?0，解得x?0，x?2a?43。
当0?x?2a?4时，时，3F? (x)?0,当x?2a?43F? (x)?0.32?当x??0，???时，F(x)?F??2a?4?min??0,即??2a?4???(a?2)?2a?4??3??3???3??4?0,?解不等式得:a?5,?2?a?5. 2
当x?0时，F(x)?4满足题意。 综上所述a的取值范围为???，5?。
4．已知数列f(x)?x3?3ax (a?R). （1）若函数f(x)在x?2时取到极值，求a的值；
（2）若函数f(x)在闭区间[－1，1]上的最大值为g(a),求g(a)的解析式. 解：（1）f?(x)?3x2?3a，据题意，f?(2)?0,得a?4 。 （2）f?(x)?3(x2?a),x?[?1,1]。
①当a?1时，f?(x)?0,f(x)在[-1,1]上递减,f(x)max?f(?1)?3a?1； ②当0?a?1时,f?(x)?3(x?a)(x?a)。
a?x?a时,f?(x)?0。
当?1?x??a或a?x?1时,f?(x)?0，当?∴f(x)极大值?f(?a)?2aa,f(1)?1?3a，f(x)最大值?max{f(?a),f(1)}，
而f(?a)?f(1)?2aa?(1?3a)?3a?2aa?1 ?(a?1)(2a?1), 2
（i）当a?12,即1214?a?1时,f(?a)?f(1)?0,f(x)max?f(?a)?2aa。
14时,f(?a)?f(1)?0，∴f(x)max?f(1)?1?3a。
（ii）当a?,即0?a?2③当a?0时，f?(x)?3(x?a)?0,f(x)在[-1,1]上递增,f(x)max?f(1)?1?3a。
??3a?1,??综上：g(a)??2aa,??1?3a,??a?114?a?1。 14a?5．已知二次函数f(x)?ax?bx?c，当|x|?1时，都有|f(x)|?1. （1）求证： a?b?4； （2）当|x|?1时，都有|f?(x)|?4.
解：（1）?|x|?1时，都有|f(x)|?1，?x?1时，?1?a?b?c?1，……①
x??1时，?1?a?b?c?1，……②，x?0时，?1?c?1，即?1??c?1，……③
222①+③得：?2?a?b?2,
?(a?b)?4， ②+③：?2?a?b?2,2?(a?b)?4，
3
2?a?b?22(a?b)?(a?b)222?4?42?4，故 a?b?4。
22（2）?f(x)?ax2?bx?c,?f?(x)?2ax?b。 ∴要证|x|?1时有|f?(x)|?4，只要证
??4?f?(?1)?41331?? ，而，f(1)??2a?b??(a?b)?(a?b)f(1)?2a?b?(a?b)?(a?b) ???4?f(1)?42222?又??2?a?b?2,?2?a?b?2
??3?32(a?b)?3,?1?12(a?b)?1,?1??12(a?b)?1,?3??32(a?b)?3，??4?f?(?1)?4，
?4?f?(1)?4。即当|x|?1时，有|f?(x)|?4成立.
6．设函数f(x)?ex2?2x?2x,g(x)?xf(x),h(x)?g?(x).
a?b2 （1）求f(x)的最值； （2）判断函数h(x)在（0，+∞）上的单调性； （3）对任意的a,b?R?且a?b，比较af(a)?bf(b)与(a?b)f(解：（1）f?(x)?(2x?2)ex又[f?(x)]??2ex22)的大小.
?2x?2,?f?(0)?0。
?0,?f?(x)是R上的递增函数。?x?(??,0)时，f?(x)?0；
?2x?(2x?2)e2x?2x2x?(0,??)时，f?(x)>0。∴f(x)有最小值f(0)?1.无最大值.
（2）?h(x)?g?(x)?f(x)?xf?(x),?h?(x)?f?(x)?f?(x)?x[f?(x)]?，由（1）可知当x?(0,??)时，h?(x)?0，?h(x)在(0,??)上为增函数. （3）记F(x)?xf?(x)?bf(b)?(x?b)f(则F?(x)?f(x)?xf?(x)?f(?f(x)?xf?(x)?f(x?b2)?x?b2x?b2x?b2),x?(0,??)，
)?(x?b)f?(f?(x?b2x?b1) 22x?b2)，?F?(b)?h(b)?h(b)?0,x?(0,b))?h(x)?h(时，F?(x)?0,x?(b,??)时，F?(x)?0，?F(x)在(0,??)上有最小值F(b)?0。而a?(0,??)且
a?b，?F(a)?0，即af(a)?bf(b)?(a?b)f(a?b2)。
7．设函数f(x)?(1?x)?2ln(1?x). （1）求f(x)的单调区间；
（2）若当x?[?1,e?1]时，（其中e=2.718…）不等式f(x)?m恒成立，求实数m的取值范围；
e12 （3）若关于x的方程f(x)?x?x?a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
4
2解：（1）函数的定义域为（－1，+∞），?f?(x)?2[(x?1)?1x?1]?2x(x?2)x?1，
由f?(x)?0，得x?0，由f?(x)?0,得?1?x?0. 则递增区间是（0，+∞）；递减则区间（－1，0）。 （2）由f?(x)?又f(?1)?e22x(x?2)x?1?0，得x?0.由（1）知f(x)在[221e?1,0]上递减，在[0，e－1]上递增.
1e?1,e?1]时，f(x)的最大值为
11e2?2,f(e?1)?e?2，且e?2?21e2?2. 所以x?[e?2，故m?e?2时，不等式f(x)?m恒成立；
（3）方程f(x)?x2?x?a,x?a?1?2ln(1?x)?0. 记g(x)?x?a?1?2ln(1?x)， ∵g?(x)?1?21?x?x?1x?1. ∴g?(x)?0，得x?1，由g?(x)?0，得?1?x?1.∴g(x)在 [0，1]上
递减，在[1，2]上递增.
为使方程f(x)?x2?x?a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)?0在[0，1)和（1，2]上?g(0)?0?各有一个实根，于是有?g(1)?0,?2?2ln2?3?2ln3，解得：2?2ln2?a?3?2ln3.
?g(2)?0?8．已知函数f(x)?1?1n(x?1)x。
（Ⅰ）求函数f (x)的定义域；
（Ⅱ）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论； （Ⅲ）若x>0时f(x)?kx?1恒成立，求正整数k的最大值。
解：（Ⅰ）定义域(?1,0)?(0,??)。 （Ⅱ）f?(x)?1x?1?1x2[1x?1?ln(x?1)].当x?0时,f?(x)?0单调递减。当x?(1,0)，
令g(x)??ln(x?1),g?(x)??1(x?1)2?1x?11x?1?x(x?1)2?0，故g(x)在（0，1）上是减函数。
即g(x)?g(0)?1?0。故此时f?(x)??（Ⅲ）当x>0时，f(x)?kx?11x2[?ln(x?1)]在（－1，0）和（0，+6）上都是减函数。
恒成立，令x?1,有k?2[1?ln2]。又k为正整数，∴k的最大值不大
kx?1 (x?0)恒成立。
于3。下面证明当k=3时，f(x)?当x>0时，(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立。
令g(x)?(x?1)ln(x?1)?1?2x，则g?(x)?ln(x?1)?1, 当x?e?1时，g?(x)?0，
当0?x?e?1时, g?(x)?0。∴当x?e?1时, g(x)取得最小值g(e?1)?3?e?0。当x>0时，
5
(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立。因此正整数k的最大值为3。
9．函数f(x)?x3?3tx?m(x?R,m和t为常数）是奇函数. （1）求实数m的值和函数f(x)的图象与横轴的交点坐标； （2）设g(x)?|f(x)|(x?[?1,1]),求g(x)的最大值F（t）； （3）求F（t）的最小值.
解：（1）∵f(x)为奇函数，∴易得m?0。设f(x)?x3?3tx?x(x2?3t)?0。
①当3t?0时，上述方程只有一个实数根x?0，所以f(x)与x轴的交点坐标为（0，0）。
②当3t?0时，上述方程有三个相等实数根x?0，所以f(x)与x轴的交点坐标为（0，0）。 ③当3t?0时，上述方程的解为x1?0,x2,3??3t，所以f(x)与横轴的交点坐标分别
为：(0,0),(3t,0),(?3t,0)。
（2）显然g(x)?|x3?3xt|(x?[0,1])是偶函数，所以只要求出g(x)?|x3?3xt|(x?[0,1])的最大值 即可.又f?(x)?3(x2?t)。
①t?0时,则在[0,1]上,f(x)为增函数,?f(x)?f(0)?0，?f(x)?g(x),故F(t)?f(1)?1?3t ②t?0时,则在[0,1]上,f?(x)?3(x?t)(x?t)。
?g(x)??f(x),
（i）t?1,即t?1时,则在[0,1]上f(x)为减函数，?f(x)?f(0)?0,故F(t)??f(1)?3t?1。
（ii）0?t?1时,则在[0,1]上,f?(x)?3(x?t)(x?t).
x f?(x) 0 (0,t) t （t，1） + 1 － 0 极小值 f(x) 0 ↓ ?2tt ↑ 1?3t 所以可以画出g(x)的草图，并且由图可知： （10）当t?1?2t,即14?t?1时,g(x)的最大值F(t)??f(t)?2tt;
（20）当1?2t,即0?t?
14时,g(x)的最大值F(t)?f(1)?1?3t。
6
1?1?3t(t?)?4?综上所述：。 1?F(t)??2tt(?t?1)4??3t?1(t?1)??
（3）显然F(t)在(??,)上为减函数,?在[,1)?[1,??)上为增函数,即在[,??)为增函数,
444?F(t)的最小值11?F()?.
441x11110．已知函数f(x)?lnx?。 ?ax,x?(0,??)(a为实常数）
（1）若f(x)在[2,??)上是单调函数，求a的取值范围； （2）当a=0时，求f(x)的最小值； （3）设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn?1x1x21xn?1，证明：xn?1.(n?N） ?1(n?N）
**
解：（1）f?(x)???a?ax2?x?1x2
①a?0时，x?2则f?(x)?0符合要求；
②a<0时，令g(x)?ax2?x?1,x???,g(x)???，故f(x)在[2,??)只能是单调递减的。故△????0?11=1+4a≤0，或?g(2)?0,解得a??，由①，②可知：a?(??,?]?[0,??)。
44?1???2?2a（2）a=0时，f?(x)?x?1x2,0?x?1时,f?(x)?0;x?1时,f?(x)?0,故f(x)min?f(1)?1。
（3）反证法：不妨设x1?b?1,由(2)lnbx11b1x21b1bnxnb?bxn?1?lnxn?1xn?11x4，故
bxn?lnb?1xn?1(n?N*)。
故1??lnb??lnb?(lnb?1x3)?lnb?lnbb1b2?1b2(lnb?)???
lnb(1??1b2???1bn)??1xn?2?lnb(1?1b????1bn)，
?1?limlnb(1?n??1b?1b2???1bn)?lnb?11?1b， ①
7
又由（2）当b>1时，lnb?1b?1,故lnb?1?1b,故lnb?11?1b?1与①矛盾。
故x1?1,同理x2?1,x3?1,?xn?1 。(n?N*)
11．函数y=－x2+14在x=1处的切线方程为l，点（n，an）（n∈N+）都在直线l上，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：an?logabn(a?且a?1)。
（1）试判断是否存在自然数M，使Sn≤M恒成立，若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说 明理由.
（2）是否存在自然数N，使得当n>N时，log小值，若不存在，请说明理由. （3）若Tn?1a1a2?1a2a3???1an?1an(n?2),试比较Tn与?213bnbn?1?logbn?1bn?2恒成立，若存在，求出相应的N的最
的大小，并说明理由.
解：（1）y′=－2x，∴过点（1，13）的切线方程l：y－13=－2(x－1)，即y=15－2x。∴an=15－2n，由an=15－2n≥0（n∈N+），得n≤7，故当n=7时，Sn取得最大值49.故存在自然数M，使得Sn≤M恒成立，相应的M的最小值为49.
（2）由已知得bn=a令g(n)?logbn15-2n
aabn?1?loglog2bn?1bn?loglogaaaa13?2n15?2n?13?2n15?2n?1?22n?15,1113,
而函数g(n)?1?2n?15在(0,7]和[8,??)(n?N?)上均递减,且g(1)?bn?1g(7)??1,g(8)?3.故当n?8时,logbnbn?1?logbn?2恒成立.∴存在自然数N,使得n?N时,logbnbn?1?log1akak?11(15?2k)(13?2k)bn?1bn?2恒成立.相应的N的最小值为7.
（3）???1(2k?15)(2k?13)?122k?15(1?12k?13)，
?Tn?而12(?121(??113?1111?111?219??119???312n?171?12n?1529?3n)?12(?113?12n?15)
132n?15293)?13(?)??0,2132n?1513(15?2n)213得n?152,或n?. 故n≥2的前提下，当n≠8，且n≠9时，Tn>?；当n=8时或n=9时，Tn
3212．已知函数f(x)?x?6x?2， x?R.
（1）求f(x)的极值；
（2）当x?[?a,a]时，求f(x)的最大值；
8
（3）设g(x)?|f(x)?k|,x?[0,6]，用?(k)表示g(x)的最大值，求?(k)的解析式和?(k)的最小值及相应的k的值.
解：（1）f(x)?x3?6x?2,f?(x)?3x2?12x?3x(x?4).令f?(x)?0得x1?0,x2?4.
列表如下：
x f?(x) f(x) (??,0) 0 0 极大值2 （0，4） － 4 0 极小值－30 (4,??) + + 从而x?0时，f(x)取得极大值2；当x?4时，f(x)取得极小值－30。
（2）根据（1）可知f(0)?2是极大值，在(4,??)内函数f(x)单调递增，并且可验证
f(6)?2，由条件知a?0。因此在[?a,a]上，当0?a?6时，f(x)的最大值与极大值f(0)?2相同，
当a?6时，f(x)的最大值是f(a)?a3?6a2?2.
?2,??32a?6a?2,?当0?a?6时,当a?6时.即f(x)max
（3）f(x)?k?x3?6x2?2?k,?(f(x)?k)??3x(x?4).令(f(x)?k)??0，得x1?0,x2?4. 又由于f(0)?k?f(6)?k?2?k,f(4)?k??30?k，所以当x?[0,6]时，g(x)?|f(x)?k|的最大值为：?(k)?max{|2?k|,|30?k|}. 当k变化时|2－k|和|30+k|的图象如图a所示， 从而?(k)的图象如图b。
?2?k,因此?(k)???30?k,k??14;k??14.
2并且当k=－14时，?(k)取得最小值16.
13．如图所示,曲线段OMB是函数f?x??x?0?x?6?的图像,BA?x轴与A,曲线段OMB上一
点M?t,f?t??处的切线PQ交线段AB于P,与x轴交于Q.
（1）试用t表示切线PQ的方程;
（2）试用t表示?QAP的面积g(t),若函数g(t)在(m,n)上单调递减,试求出m的最小值.
9
（3）若S?QAP?,试求出点Q横坐标的取值范围.
?4,64???解：（1）切线斜率k?2t,则切线方程为：y?t2?2t?x?t?，即切线PQ方程 为：y?2tx?t2?0?x?6?。
t2?121?（2）令y?0，得x?；令x?6,y?12t?t。∴g?t??212|AP||AQ|?t34?6t?36t?4?t?6?，
2又已知若函数g?t?在(m,n)上单调递减，所以(m,n)?(4,6),故m最小值为4。
（3）当4?t?6时，g?t??0，所以g?t?在(4,6)上单调递增. g?4??16?96?144?64，
21641214g?6???216?216?54?。解方程
t34?6t?36t?21214?4?t1?6?，不难解得t=1符合，
∴S?QAP??,64??t?[1,6),又点P的横坐标x?，∴x?[,3)。即P点横坐标的取值范围是
22?4?[12,3)，即横坐标的取值范围是[12,3)。
?121?t14．某市政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园
区. 已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点、对称轴平行于AB且开口向右的抛物线的一段. 如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）
解：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系（如图），
2依题意可设抛物线方程为y?2px(p?0),且C(4,2).?2?2p?4,?p?212.故
曲线段OC的方程为：y?x(0?x?4,y?0)。
设P(y,y)(0?y?2)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，|PQ|=2+y， |PN|=4－y2，∴工业区面积S?|PQ|?|PN|?(2?y)(4?y)??y?2y?4y?8。 ∴S???3y?4y?4,令S??0,得y1?2322
223223,y1??2.?0?y?2,?y?2323.
23
当y?(0,)时,S??0,S是y的增函数，当y?(,2)时,S??0,S是y的减函数.?y?值。此时|PQ|?2?y?83,|PN|?4?y2时,S取到极大
2?329,故S?83?329?256279?9.5
83km的矩形时，工业园区的
?y?0时,S?8,?Smax?9.5(km)。∴把工业园区规划成长为
32km,宽为面积最大，最大面积约为9.5km2.
15．已知函数f(x)?lnx?
4x?1。
10
（1）求证：当x?1时，恒有f(x)?2；
（2）求证：当x?a?0时，恒有f(x)?lna?4x?1?2(x?a)x?a； 4x?1x?aax（3）对任意正常数a，求当x在什么范围时，恒有f(x)?lna??.
解：（1）?f(x)?lnx?4x?1，?f?(x)?(x?1)22x(x?1)。
当x?1时，f?(x)?0,?f(x)在(1,??)上为增函数.?f(x)在f(1)处连续， 且f(1)?ln1?41?1?2,?f(x)?f(1)，即f(x)?2。
（2）当x?a?0时，
xa?1,?lnxa?4xa?1?2 ①，要证f(x)?lna?4x?1?2(x?a)x?a，即证
lnx?lna?2(x?a)x?a，由①式：lnxa?2?4xa?1?2?4ax?a?2(x?a)x?a，所以原式成立.
（3）要使f(x)?lna?4x?1?x?aax恒成立，需lnx?lna?x?aax?0恒成立。
记h(x)?lnx?lna?x?aax，则h?(x)?(x?a)2?2xax，
当x?a时h?(x)?0，当0?x?a时也有h?(x)?0，且h(x)在x?a处连续，所以h(x)在(0,??)4x?1x?aax上为减函数，由h(a)?0，∴只有当x?(a,??)时，恒有f(x)?lna??。
16．已知函数f(x)?ax?lnx,若f(x)?1在区间(1,??)内恒成立. （1）求实数a的取值范围；
? （2）证明：存在数列{an}满足an?1?an?lnan,且1?an?1?an?e(n?N).
解：（1）由已知，a?1?lnxx1?lnxx在区间(1,??)内恒成立.
lnxx
设g(x)?,则g?(x)??1?lnxxlnxx2?0(x?1),?g(x)?在区间(1,??)内单调递减，
?g(x)?g(1),即?1在区间(1,??)内恒成立, ?a?1。
11
（2）由（1）知，当a?1时,不等式x?lnx?1在区间(1,??)内恒成立. 任取a1?(1,e),?a2?a1?lna1?1;设ak?1,?ak?1?ak?lnak?1,由数学归纳法原理，可构造数
列{an}满足：1?a1?e,an?1?an?lnan且an?1(n?N?).
再证明an?1?an,?an?1,?lnan?0,?an?1?an?lnan?an(n?N).综上,可构造数列{an},满足an?1?an?lnan,且1?an?1?an?an?1????a1?e(n?N)。
??17．已知a?0，函数f(x)?ln(2?x)?ax.
（1）设曲线y?f(x)在点（1，f(1)）处的切线为l，若l与圆(x?1)2?y2?1相切，求a的值； （2）求函数f(x)的单调区间； （3）求函数f(x)在[0，1]上的最小值.
解：（1）x?2时,f?(x)?a?则
|1?a?1|(1?a)?1x?(2?1a),?a?0,?由2?1a21x?2，?l:y?a?(a?1)(x?1),即(a?1)x?y?1?0。
?1,?a?1。
（2）f?(x)?af?(x)?0,则2?1a1ax?2?2,?f?(x)?0,则x?2?1a1a.
?x?2，故(??,2?1a?0,即0?a?12)是f(x)的增区间，(2?,2)是f(x)的减区间。
（3）① 当2?② 当0?2?时,f(x)在[0,1]上是减函数，?f(x)最小值为f(1)?a；
1a?1,即12?a?1时,f(x)在(0,2?111a)上是增函数，在(2?121a,1)上是减函数，则比较
12f(0)?ln2和f(1)?a两值大小，?e2?32?2?e，??lne?ln2?lne?1。?当?a?ln2时，最小值为a ；当ln2?a?1时,最小值为ln2.
③ 当2?1a?1,即a?1时,f(x)在[0,1]为增函数.?f(x)最小值为f(0)?ln2。
综上可知：0?a?ln2时,f(x)?a，当a?ln2,f(x)?ln2。
minmin18．已知g(x)?x3?ax2?bx?c对一切x均有g(x)?g(2?x)?4成立, 设f(x)?loga[g(x)]， 若f(x)对一切m?(0,3)、n?(0,3)且m?n都有
f(m)?f(n)m?n?0成立.求b的取值范围。
12
解：?g(x)?g(2?x)?4，
?x3?ax2?bx?c?(2?x)3?a(2?x)2?b(2?x)?c?4,?(6?2a)x2
?(4a?12)x?8?4a?2b?2c?4.?a?3,b?c?4。?g(x)?x3?3x2?bx?4?b。?f(x)对一切m?(0,3), n?(0,3)且m?n都有f(m)?f(n)m?n?0成立.?当m?n时,f(m)?f(n),m?n,f(m)?f(n),
∴f(x)在（0，3）上为增函数，∴f?(x)?log3e?1g(x)?g?(x)?0对一切x?(0,3)恒成立,
g?(x)?0对一切x?(0,3)恒成立,
且g(x)?0对一切x?(0,3)恒成立.?3x2?6x?b?0对一切x?(0,3)恒成立.
?b?3,?g(x)在x?(0,3)上为增函数,?g(x)?g(0)?4?b?0.?b?4.?3?b?4.19．设2?a?1,函数f(x)?x3?332ax2?b(x?[?1,1])的最大值是1，最小值是?62.
（1）求f(x)的解析式；
（2）当x?(0,1]时,不等式f(x)?tx2恒成立，求实数t的取值范围。 解：（1）f(x)?x3?32ax2?b,x?[?1,1],所以f?(x)?3x2?3ax?3x(x?a)。
列表如下： x －1 （－1，0） 0 (0，a) a (a,1) 1 f?(x) + 0 － 0 + f(x) ?1?32a?b ↗ b ↘ ?132a?b ↗ 1?32a?b 从表中可看到，当x=0时，f(x)取得极大值b，而f(1)?f(?1)，故只需比较f(0)和f(1)的大小：f(0)?f(1)?b?(1?b?32a)?32a?1.
由a?(2,1),33故2a?1?0,即f(0)?f(1).于是f(x)的最大值为f(0),即有f(0)?b?1.
当x=a时，f(x)取得极小值，故只需比较f(a)与f(?1)的大小：
f(?1)?f(a)?(?1?3322a?1)?(?12a3?1)?12(a?3a?2)?12(a?1)(a?2).
由a?(2,1),故1232(a?1)(a?2)?0,即f(?1)?f(a).于是f(x)的最小值为f(－1),
即有f(?1)??62,?32a??62?a?63.
13
综上可知:f(x)?x3?62x?1,x?[?1,1].
2（2）当x?(0,1]时,f(x)?tx2?x3?令g(x)?x?1x262x?1?tx2x322?t?x?1x2?62.
,x?(0,1],则g?(x)?1?，
112由于0?x?1,所以g?(x)?0.从而g(x)min?g(1)?1?624?26?2.
所以t?g(x)min??。因此实数t的取值范围是(??,4?26).
20．设定义在R上的函数f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x(ai?R,i?0,1,2,3)。
2223当x??时,f(x)取得极大值，并且函数y?f?(x)的图象关于y轴对称.
（1）求f(x)的表达式；
（2）试在函数f(x)和图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 [－1，1]上；
（3）求证：|f(sinx)?f(cosx)|?223(x?R).
32解：∵f?(x)?4a0x?3a1x?2a2x?a3为偶函数，∴f?(?x)?f?(x)，
3332∴?4a0x?3a1x?2a2x?a3?4a0x?3a1x?2a2x?a3，
33∴4a0x?2a2x?0对一切x?R恒成立，∴a0?a2?0,?f(x)?a1x?a3x。
又当x??22时,f(x)取得极大值23，
?222)?,??f(?a?23??2312∴解得?3,?f(x)?x?x,f?(x)?2x?1。 ?32??a??1f?(?)?0,?3?2?（2）设所求两点的横坐标为x1,x2(x1?x2),则(2x1?1)(2x2?1)??1，又∵x1,x2?[?1,1],
??x1?0??x1??1∴2x?1?[?1,1],2x?1?[?1,1]。∴2x?1,2x?1中有一个为1，一个为－1，∴?。或????x2?1?x2?02122212222∴所求的两点为（0，0）与(1,?),或(0,0)与(?1,)。
3311 14
（3）易知sinx?[?1,1],cosx?[?1,1].
22222222当0?x?时,f?(x)?0;当23?x?1时,f?(x)?0.∴f(x)在[0,13]为减函数,在[ ,1]上为增函数，
又f(0)?0,f(2)??2,f(1)??23,而f(x)在[?1,1]上为奇函数，
23,即|f(x)|?23,∴|f(sinx)|?2323∴f(x)在[?1,1]上最大值为∴|,最小值为?,|f(cosx)|?,
f(sinx)?f(cosx)|?|f(sinx)|?|f(cosx)|?223。
21．已知函数f（x）?ax3?bx2?cx（a?0）是定义在R上的奇函数，且x??1时，函数取极值1. （Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若x1，x2???1，?f（x2）?2； 1?，求证：f（x1）（Ⅲ）曲线上是否存在两个不同的点A，B，使过A，B两点的切线都垂直于直线AB，若存在，判
断A，B的位置关系；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）函数f（x）?ax3?bx2?cx（a?0）是定义在R上的奇函数,?f（?x）??f（x），即
bx23?x）?3ax2?c。?x??1时，函数取极?0对于x?R恒成立，?b?0.∴f（x）?ax?cx,f（?a?c?1,解得:a?值1.∴3a?c?0，12，c??23232.
(x?1)(x?1),x???1，1?时f?（x）?0,
（Ⅱ）f（x）?12x?332x,f?(x)?32x?32??f(x)在x???1,1?上是减函数, 即f（1）1?时，?f（x）?f（?1），则f（x）?1,∴x1，x2???1，f（x1）?f（x2）?f（x1）?f（x2）?1?1?2.
?x）?（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1?x2）,?f（2232x?232，过A，B两点的切线平
?x1）?f（?x2），可得x1?x2. ?x1?x2?x1??x2.则有y1??y2， 行,?f（kAB?32y2?y1x2?x12?y1x112?122x1?32232,由于过A点的切线垂直于直线AB,
?（x1?32）（x1?）??1，∴3x1?12x1?13?0，又∵???12?0,?关于x1方程无解.?曲
42线上不存在两个不同的点A，B，使过A，B两点的切线都垂直于直线AB.
22．已知函数f(x)?lnx,g(x)?函数f(x)图象的切点的横坐标为1.
（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；
（Ⅱ）当k>0时，试讨论方程f(1?x)?g(x)?K的解的个数.
15
212x?a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且l与
2
解：（Ⅰ）由f?(x)|x?1?1，故直线l的斜率为1，切点为(1,f(1))，即（1，0）。 ∴l:y?x?1。 ① 又∵g?(x)?x,切点为(1,即y?x?12?a。 ② 比较①和②的系数得?12112?a)，∴l:y?(12?a)?x?1，
?a??1,?a??x?2x1?x2212。
（Ⅱ）由f(1?x2)?g(x)?k,即ln(1?x2)?设y1?ln(1?x2)?12x?2122?k。
x(1?x)(x?1)1?x212??,y2?k。 y1?x?，
??0,解得x?0,?1,1。 令y1x ? y1(－∞，－1) + ↗ －1 0 极大值ln2 12(－1，0) － ↘ 0 0 极小值1212(0，1) + ↗ 1 0 极大值ln2 12(1，+∞) － ↘ y1 （1）当0?k?时有两个解； （2）当k?时有3个解； （3）当?k?ln2时有4个解；
（4）当k=ln2时有2个解； （5）当k>ln2时没有解。
24. 设x?3是函数f(x)?(x2?ax?b)e3?x(x?R)的一个极值点。 （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；
2542（Ⅱ）设a?0，g(x)?(a?)e。若存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立，求a的取值
x范围。
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得 b＝－3－2a，则f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，而f (0)＝－（2a＋3）e<0，f (4)＝（2a＋13）e>0，f (3)＝a＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].又g(x)?(a?23－1
254)e在区间[0，4]
x上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋
254，（a2＋
254）e4]，由于（a2＋
254）－（a＋6）
16
＝a－a＋
2
14＝（a?12）≥0，所以只须仅须（a＋
3222
254）－（a＋6）<1且a>0，解得0 32. 故a的取值范围是（0，）。 25. 设x?1是函数f?x??x?bx?1e?ax的一个极值点（a?0，e为自然对数的底）. （1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； 1（2）若f(x)在闭区间?m,m?1?上的最小值为0,最大值为e?a，且m??1。试求m与a 的值. ?ax解：⑴f??x???∴b?1?2a2a?12??ab?a?x?ab?b?1?x?1?2?e2?ax，由已知有：f??1??0,∴a+(ab+a)+ab+b-1=0， ，从而f??x???2a?3??a?x?1??x??2a?1??2∵a?0 ∴ｘ2?ｘ f??x??x?1??1。当ｘ变化时，f??x?、f（ｘ）的变化情况如下表： ???,x2? ?x2,?1? ??1,1? ?1,??? － 减函数 ??e?ax。令f??x?=０得：ｘ1＝1，ｘ2＝?2a?32a?1． ＋ 增函数 ＋ 增函数 － 减函数 f(x) 从上表可知：f(x)在???,?2a?3??2a?3?,?1?，??1,1?上是增函数. ?,?1,???上是减函数;在??2a?1??2a?1?2m?22m?2⑵ ∵m>－1，由（I）知：① 当－1 ② 12e?a.化简得:b??m,?eam. 又?1,eam<1.故此时的a,m不存 当m?1时, f(x)在闭区间?m,m?1?上是减函数. x?b2a?1?ax?0e.其最小值不可能为0，∴此时的a,m也不存在。 x?1x?111?a当0 22为f?m??0,∴m??b?0. x?1?2又x?1时f?x??e?ax= 综上知: m?0.a? 12. 17