人大附中2018届高三数学（理科）三模
2018.5.28 一、选择题（每小题5分，共40分）
1.已知集合P??x|x2?1?，M??a?，若PM?M，则实数a的取值范围是（ ） A.(??,?1] B.[?1,1] C.[1,??) D.(??,?1][1,??)
2.若a?b?1，(a?2b)?a，则向量a与b的夹角为（ ）
A.30? B.60? C.120? D.150?
3.执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为8，则图中判断框内①处可以填（ ）
A.k?4 B.k?4 C.k?4 D.k?4
4.如图，一个空间几何体的三视图均是直角边为1的等腰直角三角形，那么这个几何体的表面积为（ ）
36?33?31A. B. C. D. 62425.“a?b?0”的充分不必要条件是（ ）
11A.a??b B.a2?b2 C.??0 D.ea?eb?1
ab
1
6.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，小强问数学细菌将病毒全部杀死至少需要（ ） A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟
x2y2y2x27.若双曲线C1:2?2?1(b?a?0)与C2:2?2?1的离心率分别为e1和e2，则下列说法正
abab确的是（ ） A.e12?e22 B.
11?2?1 C.C1与C2的渐近线相同 D.C1与C2的有8个公共点 2e1e28.如图，点P在边长为1的正方形的边上，从原点O出发，沿逆时针方向作速度为1的匀速运动，记点P的运动时间为x，点P到原点O的距离为f(x)，小强数学则关于函数f(x)的描述正确的是（ ）
A.B.C.D.
f(x)为偶函数
f(x)恰有一个零点 f(x)的最小正周期是4 f(x)在[6,7]上单调递增
二、填空题（每小题5分，共30分）
a?i?2i，则实数a的值为_______. ?i1?ai10.若曲线C的极坐标方程满足?(?)??(???)，则曲线C关于_______对称.（请填写具体的
9.若
对称中心或对称轴）
?x?y?1?0,?11.已知点P(x,y)满足条件?x?2y?1?0,则点P到原点O的最大距离为_______.
?y?3,???12.函数f(x)?[sin(x?)?sinx][sin(x?)?sinx最大值为______. ]的最小正周期为_______，
6613.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，
要求服务队中至少有1名女生，共有_______种不同的选法.（用数字作答）
14.“现代五项”是由现代奥林扑克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c（a?b?c，且a,b,c?N?），每位选手各项得分之和为最终得分.在一次比赛中，只有甲、乙、丙三人参加了“现代五项”，甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名.则a?_______，游泳比赛的前三名是______.小强数学
2
三、解答题（共80分）
15.（本题13分）在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c?2，C?（I）若?ABC的面积等于3，求a；
4（II）若a?，求sinB.
3
?3.
3
16.（本题13分）有一款击鼓小游戏规则如下:每盘游戏都需需要要诺鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得50分,没有出现音乐则扣除150分(即获得一150分).1设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
2（I）玩一盘游戏,至少出现一次音乐的概率是多少? （II）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； （III）许多玩过这款游戏的人都发现,玩的盘数越多,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理.
4
17.（本题14分）如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，?ABC?60?，SAD为正三角形.侧面SAD?底面ABCD，E、F分别为棱AD、SB的中点. （I）求证：AF//平面SEC；
（II）求证：平面ASB?平面CSB；
（III）在棱SB上是否存在一点，使得BD?平面MAC？若存在，求请说明理由.
BM的值；若不存在，BS
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3x2y218.（本题14分）已知椭圆W:2?2?1(a?b?0)的离心率为，小强数学以短轴端点和
3ab焦点为顶点的四边形的周长为43. （I）求椭圆W的标准方程及焦点坐标；
（II）过椭圆W的长轴上的任意一点（不含端点）作x轴的垂线，交椭圆于A、B两点,过椭圆上不同于点A、B的任意一点P，作直线PA、PB分别交x轴于M、N两点.证明：点M、N的横坐标之积为定值.
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19.（本题13分）已知函数f(x)??lnx?ax2?x在点(1,f(1))处的切线斜率为负值. （I）讨论f(x)的单调性；
（II）若f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)?f(x2)?3?2ln2.
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20（本题13分）若无穷数列?an?满足：a1是正实数，当n?2时，
an?an?1?max?a1,a2,???,an?1?，则称?an?是“Y?数列”.已知数列?an?是“Y?数列”.
（I）若a1?1，写出a4的所有可能值；
（II）证明：?an?是等差数列当且仅当?an?单调递减；
（III）若存在正整数T，小强数学对任意正整数n，都有aT?n?an，证明：a1是数列?an?的最大项.
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