6、悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合，从此后随力P的增加，梁内弯矩 。
A：上升； B：下降； C：不变
答案 正确选择：C
答疑 悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合时满足1/ρ=M(x)/EI。由于梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的曲率半径为常量，固此后梁承受的弯矩M(x)为常量。所以力P增加，梁内的弯矩不变。 7、矩形截面梁横截面上只有正弯矩。假设材料的拉伸弹性模量和压缩弹性模量的比为3：2，那么确定中性轴Z位置的原则是受拉区I与受压区II 。
A：对Z轴的惯性矩之比IZ1:IZ2＝2:3 B：面积之比A1:A2＝2:3 C：对Z轴的静矩之比 Sz1:SZ2=2:3 D：高度之比y1:y2＝2:3
答案 正确选择：C
答疑 横截面上由弯曲正应力合成的轴力N＝0，有∫ζtbdy-∫ζcbdy=0 而ζt＝Ety/ρ ζc＝Ecy/ρ 代入得到：∫ρEtyt/bdy -∫ρEcyc/bdy =0 其中ρ为中性层处的曲率半径，b为横截面的宽度，对于受拉一侧和受压一侧，二者相等，固整理得到：Et∫ytdy -Ec∫ycdy =0。其中∫ytdy为受拉一侧的面积对中性轴的面矩，∫ycdy为受压一侧对中性轴的面矩。二者之比为St/Sc=Ec/Et=2/3。
8、由两种不同材料粘合而成的梁弯曲变形，若平面假设成立，那么在不同材料的交接面处 。 A：应力分布不连续，应变连续；
B：应力分布不连续，应变连续；
C：应力、应变分布均连续； D：应力、应变分布均不连续； 答案 正确选择：A
答疑两种材料在弯曲变形后中性层处有相同的曲率，而线应变ε＝y/ρ，固线应变与点到中性轴的距离成正比，固应变连续分布。而应力ζ＝Eε，由于材料不同，固应力不连续。
9、一铸铁工字型截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一个圆孔，其位置有四种选择，从强度的角度考虑最合理的方案是 。
答案 正确选择：A
答疑 腹板的中点处于弯曲变形的中性层处，弯曲正应力为零，所以在腹板的中间处打孔危险最小。 填空 弯曲正应力
1、高宽比为h/b=2的矩形截面梁,若将梁的横截面由竖放(A)改为横放(B),梁的最大应力是原来的 倍。
答案 梁的最大应力是原来的2倍
答疑 竖放时梁的最大应力为：ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3 ，横放时梁的最大应力为ζ=M/Wz=M/b2h/6=6M/2b3。所以横放是竖放的2倍。
2、在推导平面弯曲正应力的公式时，提出的两个假设为 ， 。 答案 平面假设、纵向纤维间无正应力。
3、梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分别： 。 答案 受压、受拉
答疑 正弯矩的定义是使得微段梁下凸，横截面上上压下拉。 4、变截面梁的主要优点是： 。等强度梁的条件是： 。 答案
变截面梁的优点：在一定的强度、刚度条件下，节约材料、减轻自重； 等强度梁的条件：各截面上的最大正应力都相等，且都等于材料的许用压力。 5、应用公式ζ=My/Iz时，必须满足的两个条件是 和 。 答案 各向同性的线弹性材料、小变形
答疑 公式ζ=My/Iz的推导过程中应用了虎克定律且在纯弯的条件下推导出来的。
6、图示中两梁的几何尺寸和材料相同。由正应力的强度条件可得（B）梁的承载力是（A）梁的 倍。
答案 （B）梁的承载力是（A）梁的5 倍
答疑 A梁的最大弯矩为qL2/8，B梁的最大弯矩为qL2/40，在几何尺寸相等的条件下，B梁的承载力是A梁的5倍。
填空 弯曲正应力
7、图示中梁受移动载荷P的作用，当P移到 截面时，梁内的压应力最大。
答案 当P移到D截面时，梁内的压应力最大。
答疑 当载荷移到D截面时，梁承受最大正弯矩，大小为M＝P/2×4=2P，此时D截面的顶面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=2P×2y1/Iz=4Py1/Iz；当载荷移到C截面处，梁承受最大负弯矩，大小为M＝－3P，此时C截面的底面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=3P×y1/Iz=3Py1/Iz。所以当载荷移到D截面时，梁内的压应力最大。
8、直径为ｄ的圆截面杆受力如图，弹性摸量E、载荷P 、梁的尺寸L 、a均已知。则梁在C点处的曲率半径为ρ＝ 。
答案 梁在C点处的曲率半径为ρ＝Eπd4/(6 4Pa) 答疑
C截面处的弯矩为M=Pa，根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=Pa/EI,所以C截面处的曲率半径的大小为ρ＝EI/Pa= Eπd4/(64Pa)
9、下列四种截面梁均是边长为ａ的正方形截面，若载荷均作用在纵向对称面内，计算四种截面梁的抗弯截面系数WZ＝ 。（b、c两种截面未经粘合）
答案 抗弯截面系数分别为 a3/6；a3/24；a3/6；a3/6
答疑 a图的抗弯截面系数为Wz=bh2/6=a3/6； b图中维粘合，是两个截面的迭放形式，抗弯截面系数取其中的一个Wz=bh2/6=a×(a/2)2/6=a3/24； c图中的也为粘合，相当于梁截面的并列排放，其抗弯截面系数为：Wz=2×bh2/6=2×a/2×a2/6=a3/6； d图截面斜放，但截面是正方形截面，截面对于任意轴的惯性矩相等均为Iz=bh3/12=a4/12，抗弯截面系数为Wz=Iz/ymax= a4/12/
a/2=a3/6
10、直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上。已知钢丝在弹性范围内工作，弹性摸量为E，钢丝所受的弯矩为 。
答案 弯矩M＝ Eπd/[32(D+d)]
4
答疑 钢丝绕在直径为D的圆筒上，得到钢丝的中性层处的曲率半径，大小ρ＝(D+d)/2。根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=M/EI,得到横截面上弯矩的大小为：M= EI/ρ=Eπd4/64ρ= Eπd4/64×(D+d)/2= Eπd4/[32(D+d)] 简述 弯曲正应力
1、解释下列名词：①平面弯曲；②中性层与中性轴
答疑 平面弯曲：作用在杆件上的所有外力都作用在纵向对称面内，梁的轴线在变形后是一条位于纵向对称面内的一条平面曲线。
中性层：梁在发生平面弯曲时，横截面仍然保持为平面，沿截面高度，由底面纤维的伸长连续地逐渐变为顶面纤维的缩短，中间必有一层纤维的长度不变，此层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
2、在房屋的建造中，常常可以看到用空心楼板和波瓦作的屋面，请用弯曲理论解释其好处何在。 答疑 由于楼板承受与楼板平面相垂直的外力，使楼板产生弯曲变形，中性层位于楼板厚度的一半处，在此处既不受拉也不受压，所以在中性层处采用空心既可以满足强度的要求，又减轻了楼板的自重。 波瓦的受力也是与其所在的平面相垂直的外力，采用波浪型是为了在横截面面积几乎不变的条件下，尽可能地提高截面的惯性矩，以减小波瓦的最大弯曲正应力。
3、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，最大弯曲正应力哪一个大？
答案 b的弯曲正应力大
答疑 根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI，考虑到ρa>ρb ,得到Ma(x)/EI 弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 在拉压时的平面假设允许截面的大小发生变化，但横截面只是沿轴线方向有位移； 扭转时的平面假设，截面的大小、形状无变化，只是像刚性圆盘一样绕轴线产生相对转角； 弯曲变形的平面假设，横截面绕中性轴产生旋转，变形后的平面与变形前的平面有一夹角。 5、矩形截面梁的尺寸中，高h为宽度b的2倍，承受铅垂载荷的作用，如果将梁由竖放改为平放，其他条件不变，梁的强度将发生怎样的变化？ 答案 梁的强度减低 答疑 竖放时ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3，横放时ζ=M/Wz=M/hb2/6=6M/2b3；所以由竖放改为横放梁的强度降低，最大正应力是竖放时的2倍。 简述 弯曲正应力 6、有一直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上，钢丝仍然处于弹性范围。为减少弯曲应力，有人认为要加大钢丝的直径，你说行吗？说明理由。 答案 此方案不行 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时钢丝的曲率半径ρ＝(D+d)/2，整理得到钢丝承受的弯矩为M(x)=2EI/(D+d)；根据弯曲正应力的计算公式ζ=M/Wz，得到ζ=2EIz/(D+d)Wz=2E/(D+d)×(IZ/Wz)=2E/(D+d)×d/2=Ed/(D+d)，由此可见钢丝内的最大正应力与钢丝的直径有关，钢丝的直径增大，钢丝的横截面上的正应力也增大，固不能通过加大钢丝直径的办法来减少钢丝内的弯曲正应力。 7、悬臂梁的刚度为EI，一端固定，另一端自由。刚性圆柱面的半径为R，若使梁变形后与圆柱面完全吻合而无接触压力，应如何加载？。 答案 施加一个瞬时针的力偶，力偶矩的大小为EI/R。 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时梁的曲率半径ρ＝R，所以有M(x)=EI/R。梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的半径R为常量，所以悬臂梁的横截面的弯矩M为常量，大小为EI/R。 8、用铅笔写字，笔尖折断，是什么应力导致的结果？为什么？ 答案 是拉应力导致笔尖折断 答疑 写字时，笔尖受弯，且是脆性材料，在受拉的一侧应力达到极限应力时，笔尖发生脆性断裂。 9、矩形截面梁承受纯弯曲，分别在1－1、2－2截面处有铅垂和水平方向的直径为ｄ的穿透圆孔如图。分别画出1－1、2－2截面的正应力分布图，并写出此二截面的最大正应力的计算公式。 答案 1－1截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-dh3/12)=6M/h2(b-d)。 剪切与挤压的实用计算 重点 1、剪切变形的受力特点和变形特点；2、正确判断剪切面和挤压面；3、综合运用拉压、剪切和挤压强度条件对连接件进行强度计算； 1、注意区分挤压变形和压缩变形的不同；压缩变形是杆件的均匀受压；挤压变形是在连接件的局部接触区域的挤压现象，当挤压力过大时，会在接触面产生塑性变形或压碎现象。2、当挤压面为圆柱侧面时，挤压面面积的计算； 3、连接件接头的强度计算 1、 掌握剪切和挤压的概念；2、 连接件的受力分析；3、 剪切面和挤压面的判断和剪切面和挤压面的面积计算；4、 剪切与挤压的实用计算及联接件的设计；5、 纯剪切的概念；6、 学会工程实际中联接件的剪切与挤压强度实用计算与剪切破坏计算； 难点 基本知识点 判断 剪切与挤压 1、“挤压发生在局部表面，是连接件在接触面上的相互压紧；而压缩是发生在杆件的内部“ 答案 此说法正确 答疑 构件在相互接触才发生挤压变形；而外力的合力作用下位于构件的轴线上时，构件发生压缩变形。 2、“两块钢板用两个铆钉连接形成接头，虽然两个铆钉的直径不同，但因塑性材料具有屈服阶段的特点，最终使两个铆钉趋于均衡。因此，在计算铆接强度时，两个铆钉的受力仍可按平均分配“ 答案 此说法错误 答疑 只有当铆钉的直径相同，且外力的作用线通过铆钉群的形心，铆钉的受力才可以按平均分配。 3、“剪断钢板时，所用外力使钢板产生的应力大于材料的屈服极限。” 答案 此说法错误 答疑 钢板内产生的应力应大于材料的剪切强度极限才能将钢板剪断。 4、“对于圆柱形连接件的挤压强度问题，应该直接用受挤压的半圆柱面来计算挤压应力。” 答案 此说法错误 答疑 计算圆柱连接件的挤压强度时，采用直径平面代替圆柱侧面。 选择 剪切与挤压 1、 在轴、键、轮传动机构中，键埋入轴、轮的深度相等，若轮、键、轴三种材料的许用挤压应力分别为：[ζbs1]，[ζbs2]，[ζbs3]，三者之间的合理关系是 。 A：[ζbs1]>[ζbs2]>[ζbs3] B：[ζbs1]<[ζbs2]<[ζbs3] C：[ζbs2]>[ζbs1]>[ζbs3] D：[ζbs1]=[ζbs2]=[ζbs3] 答案 正确选择：D 答疑 只有当三者许用挤压应力相等的情况下轴、键、轮传动机构才有足够的强度。否则，总在许用压应力较小的构件上发生挤压破坏。 2、 在平板与螺栓之间加一垫片，可以提高 的强度。 A：螺栓拉伸； B：螺栓挤压； C：螺栓的剪切； D：平板的挤压； 答案 正确选择：D 答疑 加一垫片增大了平板的挤压面的面积，固可以提高平板的挤压强度。螺栓的拉伸强度、剪切强度、挤压强度均没有发生变化。 3、在冲床上将钢板冲出直径为d的圆孔，冲力F与 。 A：与直径d成正比； C：与直径d3成正比； B：与直径d2成正比； D：与直径d的平方根成正比 答案正确选择：A 答疑将钢板冲出直径为d的圆孔时钢板的剪切面的面积为πdｔ，固冲力F与直径d成正比 、方形销将两块等厚度的板连接在一起，上面的板中同时存在拉应力ζ、剪应力η、挤压应力ζbs，比较其数值大小可得： A：拉应力ζ最大； B：剪应力η最大； C：挤压应力ζ bs 最大； D：ζ=η=ζbs； 答案 正确选择：D 答疑 钢板的拉伸应力为ζ＝P/A=P/(2a-a)t=P/at ，剪应力为η=Q/A=P/2/(at/2)=P/at ， 挤压 应力为：ζbs=F/Abs=P/at（图示中：红线代表剪切面、蓝线代表挤压面。） 选择 剪切与挤压 5、图示中接头，水平杆采用a×b的矩形截面，斜杆与水平杆的夹角为α，其挤压面的面积为： A：bh; B：bhtanα C：bh/cosα D：bh/(sinα·cosα) 答案 正确选择：C 答疑接触面为平面时，挤压面取接触面的面积。接触面由图中的红线部分代表，接触的深度为b，高度为h/cosα。 6、厚度均为ｈ的两块钢板用圆锥销连接，圆锥销在上端的直径为D，下端直径为d，则圆锥销受剪面积为 ；挤压面积为 。 A：πD2/4； B：πd2/4； C：π[(D+d)/2]2/4； D：h(3d+D)/4； 答案 正确选择：受剪面积C、挤压面积D 答疑 剪切面为两组力的作用线相互交错的截面面积，此时两组力的作用线的交错面发生在圆锥销的中间截面处，且是圆截面。交错面处的直径为上、下端直径的平均值；钢板与圆锥销相互接触的部分为圆柱侧面，固挤压面取直径平面。考虑到上半部分的直径平面要大于下半部分的直径平面，固挤压面的面积取下半部分的直径平面、且直径平面的形状为梯形。Abs=((D+d)/2+d)h/2=h(D+3d)/2/2=h(3d+D)/4 7、一联轴器，由分别分布在半径为R1和R2圆周上的8只直径相同的螺栓相连接，则内圈（R1）螺栓横截面上的剪应力η1和外圈（R2）螺栓横截面上的剪应力η2的比值为 。 A：η1/η2=1/1 B: η1/η2=R2/R1 C: η1/η2=R1/R2 D：η1/η2=R12/R22 答案 正确选择：C 答疑 两圈上的螺栓传递扭矩，螺栓采用相同的直径，螺栓受力与其所在的半径成正比，固螺栓的剪应力与其所在的半径成正比。 填空 剪切与挤压 1、判断剪切面和挤压面时应注意：剪切面是杆件的两部分有发生 趋势的平面，挤压面是构件 的表面。 答案 相互错动、 相互压紧 2、在图示的单元体中，长度保持不变的线段是 ，长度伸长的线段是 ，缩短的线段是 。 答案 长度保持不变的线段是 AB、BC、CD、DA ；长度伸长的线段是 AC ；缩短的线段是BD 答疑 在剪应力的作用下，AB、CD、DA、BC只是发生相对错动，没有长度的变化；在左右一对剪应力的作用下，AB段向上错动、CD段向下错动，使得AC伸长、BD缩短，在上下一对剪应力的作用下，AD向左错动、BC向右错动，也使得AC伸长、BD缩短。 3、螺钉受力如图，其剪切面面积为 ，挤压面的面积为 。 答案剪切面面积πdh ，挤压面面积 π(D2-d2)/4 答疑 剪切面为有发生相互错动趋势的平面，此时在螺钉头以直径为d的圆柱侧面有发生相互错动的趋势，固剪切面取圆柱侧面；挤压面是构件相互压紧的表面，此时在螺钉头与构件之间相互压紧，且接触面为平面，取接触面的面积作为挤压面的面积。接触面是内径为d、外径为D的圆环面积。 4、钢板、铆钉的连接接头中，有 种可能的破坏形式。 答案 此接头可能有5种破坏形式 答疑 接头的破坏形式分别为： 钢板的拉伸、钢板的剪切、钢板的挤压；铆钉的剪切、铆钉的挤压。 5、剪应力互等定理指出：在 两个平面内，剪应力成对出现，数值相等，方向是 。 答案 相互垂直的、同时指向公共棱边或同时远离公共棱边。 6、接头如图所示，由受力分析知剪切面面积为 ，挤压面的面积为 。 答案 剪切面的面积ｂｃ、挤压面的面积为ｂｃ 答疑 剪切面为两组力的作用线相互交错的截面，剪切面如图红线所示。挤压面为两物体相互压紧的表面，如图中绿线表示 7、螺栓在拉力P的作用下，已知材料的许用剪应力是许用拉应力的0.6倍。那么螺栓的直径ｄ和螺栓头高度ｈ的合理比值是： 。 答案 ｄ/ｈ＝2.4 答疑 拉力P在螺栓杆横截面上产生的拉伸正应力为ζ=P/A=4P/πd2 ≤[ζ]，螺栓头的剪切面上产生的剪应力η＝Q/A＝P/πdh≤[η]。代入条件[η] =0.6[ζ]。得到ｄ/ｈ＝2.4。 8、图示中的结构由3部分组成,已知:[ζbs]钢>[ζbs]铜>[ζbs]铝,请问应对哪一部分进行挤压强度计算? 答案 应对铝进行挤压强度计算 答疑 铝材的许用挤压应力小，容易发生挤压破坏 9、图示中的剪切面面积 ，挤压面面积 。 答案 a=L/5 答疑 梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。当载荷移动到最左端时，在左支座处产生最大负弯矩，数值为－Fa；当载荷移动到两支座的中点时，在梁的中间截面处产生最大正弯矩，数值为F/2×(L-a)/2。梁的受力合理要求∣－Fa∣＝∣F/2×(L-a)/2∣ 求解得到：a=L/5。 3、双杠的总长为L，外伸段的合理长度a= 。 答案 a=L/6 答疑 双杠在受力时，可能会出现三种受力状况：最左端受力、最右端受力、中间截面受力。设双杠受力时载荷的大小为P，当载荷P作用在最左端、最右端时，双杠产生最大的负弯矩，数值的大小为-Pa；当载荷作用在梁的中间截面时，在中间截面产生最大的正弯矩，数值的大小为P/2×(L-2a)/2。根据梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等，得到∣－Pa∣＝∣P/2×(L-2a)/2∣ 求解得到：a=L/6。 4、力P固定，M可在梁上自由移动，M应在x= 处使梁的受力最合理并画出剪力图和弯矩图 答案 x=a时梁的受力最合理 内力图如下 答疑 力偶在任意位置x处时梁的弯矩图如下 要使梁的受力合理必须满足，∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有： ∣-Px∣=∣-Pa∣=∣2Pa-Px∣，得到x=a。 5、铰链C安放在 x= 处使梁的受力最合理。 答案 答疑 梁在外载作用下的弯矩图如下 要使梁的受力合理必须满足，∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣-qx(L-x)/2-q(L-x)2/2∣=∣qx2/8∣求解得到： 6、一外伸梁AC受载如图，梁的总长度为L。力P可在梁上自由移动，欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，问支座B到梁端C的距离BC= 答案 BC＝L/5 答疑 当载荷移到AB的中间截面时，梁上产生最大正弯矩，大小为P×AB/4=P(L-BC)/4；当载荷移到端截面C时，梁内产生最大负弯矩，大小为-P×BC。欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，必须满足∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣P(L-BC)/4∣=∣－P×BC∣求解得到：BC＝L/5 。 7、欲用钢索起吊一根自重为q（均布于全梁）、长度为L的等截面梁，如图所示。吊点位置x应是 才合理。 答案 x= =0.2L 答疑 梁的弯矩图如下： 欲使梁的受力合理必须满足∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣qL2/8-qLx/2∣=∣－qx2/2∣求解得到：x= 。 8、一个体重为P的人，试图走过两端简单搁置在河两岸的木板便桥。只要板内最大弯矩超过板材所能承受的弯矩，板桥就会断开。问人走在何处时会有坠入河中的危险？为什么 ？ 答案 人走在桥的中间截面处有坠河的危险。 答疑 木板桥简化为简支梁，当人在桥上行走到任意位置时梁的弯矩图如下： 由图示可知，梁内最大弯矩发生在x=L/2处，即桥的中间截面。固当人行走到桥中点时，有坠河的危险。 第五章 弯曲应力 1、 纯弯和横力弯曲的概念； 2、 中性层和中性轴的概念； 3、 弯曲正应力的分布规律和计算公式，以及公式的适用条件； 4、 弯曲剪应力的分布规律和计算公式； 5、 梁的弯曲强度校核 6、 提高梁的弯曲强度的措施 1、危险截面的确定：对于等直梁，危险面就在∣M∣max处，而对于变截面梁，要分别计算∣M∣max处和截面最弱处的应力，这些截面都可能是危险面；对于抗拉压强度不等的脆性材料其危险面可能发生在∣M∣＋max或∣M∣－max处或截面最弱处； 2、弯曲剪应力的计算：b要求剪应力处截面的宽度，SZ*要求剪应力处横线距中性轴以外部分对中性轴的静矩； 1、 横力弯曲与纯弯曲的概念； 2、 梁在弯曲时横截面上的正应力分布规律和计算公式； 3、 梁在横力弯曲时横截面上的正应力的计算； 4、 梁的弯曲正应力强度计算； 5、 满足强度条件的前提下的各类计算方法； 6、 梁在横力弯曲时的剪应力的分布规律及计算公式； 7、 掌握工程上几种常见截面(矩形、工字形、圆形)梁的弯曲剪应力分布规律及其计算公式； 8、 掌握常见截面的最大剪应力的计算公式； 9、 掌握梁的弯曲剪应力强度计算； 10、 提高梁弯曲强度的措施； 重点 难点 基本知识点 判断 弯曲正应力 1、“弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。” 答案 此说法错误 答疑 当轴力为零，且材料的抗拉压弹性模量相等的条件下，中性轴通过截面的形心；否则中性轴有所偏移。 2、“梁的截面如图，其抗弯截面系数为WZ＝BH2/6-bh2/6” 答案 此说法错误 答疑 抗弯截面系数WZ=IZ/(H/2)=(BH3/12-bh3/12)×2/H=BH2/6-bh3/6H 3、“控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值” 答案 此说法错误 答疑 控制塑性材料的弯曲强度的因素是最大弯矩，控制脆性材料的弯曲强度的因素是最大正弯矩和最大负弯矩；控制弯曲剪应力强度的因素是最大剪力。 4、“设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的和缩短的” 答案 答疑 5、“中性轴是梁的中性层与横截面的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转” 答案 此说法正确 答疑 中性轴是横截面的中性层与横截面的交线，中性轴上的正应力为零。梁在发生平面弯曲时，以中性轴分界：上压下拉或上拉下压，横截面是绕中性轴发生旋转。 6、“平面弯曲时，中性轴垂直于载荷作用面” 答案 此说法正确 答疑 梁在发生平面弯曲时，中性轴与外载的作用面垂直。 7、“等截面梁产生纯弯时，变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变” 答案 此说法错误 答疑 等截面梁发生纯弯曲时，横截面在变形后仍保持为平面，但以中性轴为界，上压下拉或上拉下压，固横截面的形状和大小均发生变化。 选择 弯曲正应力 1、梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转。 A：轴线； B：中性轴； C：横截面对称轴； 答案 正确选择：B 答疑 梁在发生平面弯曲时，中性轴的一侧受拉、纤维伸长，另一侧受压、纤维缩短，只有中性轴处既不受拉也不受压，所以横截面绕中性轴发生旋转 2、矩形截面纯弯梁，M、ｂ、ｈ均已知，则图示斜截面上正应力的分布规律为： 。 A:12My/bh 3 B:6 My /bh 3 C:3 My /bh 3 D: 9 My /bh 3 答案 正确选择：C 答疑 横截面的分布规律为：ζ=My/IZ=12My/bh3，ζα=ζcos2α=ζcos260=ζ/4=3My/bh3 3、如图所示的二铸铁梁，材料相同，长度相等。承受相同的载荷F。当F增大时，破坏的情况是： A：同时破坏； B：1梁先坏； C：2梁先坏 答案 正确选择 ：B 答疑 两梁的危险面均发生在固定端处，且危险面处有最大负弯矩，最大负弯矩值相同均为－FL。由于梁承受最大负弯矩，所以在横截面上产生上拉下压的弯曲正应力；1梁的中性轴偏下，产生拉应力的一侧距离中性轴较远，横截面上有较大的拉应力；又由于材料为铸铁，抗压不抗拉，所以1梁首先发生破坏。 4、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（虚线所示）配置最合理的是： 。 答案 正确选择：3 答疑 混凝土属于塑性材料，抗拉强度较弱，所以应在梁内配置钢筋以提高梁的抗拉强度。考虑到梁在左右两段承受负弯矩，使得梁在中性轴的上侧受拉，固在左右两段梁内钢筋应该布置在中性轴的上侧；中间一段梁承受正弯矩，使得中性轴的下侧纤维受拉，固钢筋应该布置在中性轴的下方。 选择 弯曲正应力 5、如图所示，抗拉压弹性模量不等的材料制成矩形截面弯曲梁，如果E拉>E压,则中性轴应该从对称轴Z 。 A：上移； B：下移； C：不动 答案 正确选择：B 答疑 抗拉压弹性模量相等的材料制成的矩形截面梁在纯弯时中性轴位于横截面的对称轴处。若E拉>E压，此时中性轴不在横截面的对称轴处。由于横截面上不承受轴力的作用，固由弯矩产生的正应力满足以下关系：∫ζ拉dA拉-∫ζ压dA压=0 而 ζ拉=E拉y拉/ρ 、 ζ压= E压y压/ρ。代入得到：∫E拉y拉/ρbdy -∫E压y压/ρbdy =0。整理得到：∫E拉y拉dy＝∫E压y压dy。由于E拉>E压，所以有∫y拉dy<∫y压dy ，固有y拉 α2)/16=πd12 D(1+α2)/16> Wt1 固空心轴的抗扭截面系数大，所以实心轴的最大剪应力大于空心轴的最大剪应力。 21、轴线与木纹平行的木制圆杆受扭，当扭矩达到某一极限时，杆表面将沿什么方向出现裂纹，为什么？ 答案 沿轴线方向出现裂纹 答疑 因为木材沿纤维方向抗剪能力差。 22、分别画出图示中三种截面剪应力沿半径各点处的分布规律。 答案 答疑 实心圆截面的剪应力与半径成正比，最大剪应力发生在最外圈；空心圆截面各点的剪应力也与该点的半径成正比，最小剪应力发生在内径上，最大剪应力发生在外径上。薄壁截面的剪应力沿壁厚均匀分布。 选择 扭转变形 1、碳钢制成圆截面轴，如果θ≥[θ]，为保证此轴的扭转刚度，采用措施 最有效。 A：改用合金钢； B：增加表面光洁度； C：增加直径； D：减少轴长； 答案正确选择：C 答疑 单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π可知：采用优质钢、增大直径均可以改变θ的大小，但是：由于碳钢与合金钢的剪变模量的变化不大，固材料的改变对θ的影响不大；单位长度扭转角θ与轴长、表面光洁度无关；固提高扭转刚度的有效措施是：增大圆轴的直径。 2、轴的半径为R，长为L，剪变模量G，受扭后圆轴表面的纵向线倾角为α,则在线弹性小变形范围内ηmax和单位长度扭转角θ分别为： A：ηC：η max =Gα θ=α/L B: η=GαL/R θ=α/L D：η max =Gα θ=α/R =GαL/R θ=α/R maxmax 答案正确选择：B 答疑 受扭后圆轴表面的纵向线倾角α即为圆轴在边缘上点的角应变，所以圆轴的最大剪应力为ηα；而圆轴的右侧截面相对于左侧截面的相对转角为θ=αL/R, 单位长度扭转角θ=θ/L=α/R。 3、单位长度扭转角与 无关。 max =G A：杆的长度； B：扭矩 C：材料性质； D：截面几何性质 答案 正确选择：A 答疑 单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π，与杆的长度无关。 4、材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在相同扭矩的作用下，它们的最大剪应力之间和扭转角之间的关系是 。 A：最大剪应力相等，扭转角相等； B：最大剪应力相等，扭转角不等； C：最大剪应力不等，扭转角相等； D：最大剪应力不等，扭转角不等。 答案 正确选择：B 答疑 剪应力只与内力和横截面的尺寸有关，与材料无关，固二者的最大剪应力相等；扭转角与材料有关，固在相同扭矩的作用下、尺寸相同但材料不同的构件的扭转角不同。 填空 扭转变形 1、若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的 倍。 答案 刚度是原来的16倍 答疑 实心圆轴的单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π＝32M/Gπd×180/π，若将直径增大一倍，θ＝ M/GIP’×180/π=32M/Gπ(2d)4×180/π＝θ/16 4 ’ 2、图示圆截面轴的直径为d，C截面相对于A截面的扭转角为： ，整个圆轴的最大扭转剪应力为： 。 答案 C截面相对于A截面的扭转角为0；整个轴内的最大剪应力为η max = 16M/πd3. 答疑由于AB、BC段的内力大小相等、符号相反，杆长相同，固C截面相对于A截面的扭转角为θ=∑ML/GIP=Ma/GIP-Ma/GIP=0；轴内的最大剪应力ηmax=M/Wt=16M/πd3。 3、直径为25毫米的圆钢杆，受轴向拉力60KN的作用，在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米；受扭矩200Nm的作用，相距15厘米的两横截面相对扭转了0.55度，则此钢材的弹性模量E＝ ，剪变模量G＝ ,泊松比为ｕ＝ 。 答案 E=200.48GPa；G=81.57GPa；ｕ=0.2288 答疑 在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米,根据拉伸变形的虎克定律ΔL=NL/EA有0.122=60 2 ×1000×20×10/(E×πd/4),得到：E=200.48GPa；相距15厘米的两横截面相对扭转了0.55度, 根据扭转变形的两截面间的相对转角θ=ML/GIP有：0.55=200×0.15/GIP×180/π，得到：G=81.57GPa；各向同向材料之间满足G=E/2(1+ｕ)，固泊松比ｕ=0.2288 4、图示中的轴1与套筒2牢固第结合在一起，两者的剪变模量为G1、G2，两端承受扭转力偶矩M，为使轴与套筒承受的扭矩相同，则必须满足的条件是 。 答案 抗扭刚度相等即G1IP1= G2IP2 答疑 轴与套筒的扭转角相同θ1=θ2 而θ1=M1L/G1IP1、θ2=M2L/G2IP2,所以有：M1L/G1IP1 ＝M2L/G2IP2。固保证承担的扭矩相同必须有相同的抗扭刚度即 G1IP1= G2IP2 简述 扭转变形 1、当η≥ηp时η=Tρ/IP, θ=TL/GIP哪一个仍适用？ 答案 哪一个也不能用。 答疑 在推导公式时应用了剪切虎克定律，二者的适用范围均是线弹性范围。 2、一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生剪应变吗？，当受到扭转时，杆内会产生拉应变吗？ 答案 轴向拉伸的杆件内会产生剪应变、受扭的杆件内会产生拉应变 答疑一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内存在剪应力且在与轴线成45度角的方位上有最大剪应力，根据剪切虎克定律会产生剪应变；受到扭转变形时，最大剪应力发生在横截面上，在任意的斜截面上存在正应力，所以杆内会产生线应变。 判断 非圆截面杆的扭转 1、“矩形截面杆自由扭转时，横截面的剪应力呈线性分布。” 答案 此说法错误 答疑 在矩形截面杆自由扭转的 横截面上剪应力均不呈线性分布。边缘各点的剪应力形成与边界相切的顺流，四各角点处的剪应力为零，最大剪应力发生在长边中点。 2、“非圆截面杆扭转时不能应用圆杆扭转的剪应力公式，因为非圆截面杆扭转’平面 假设’不能成立” 答案 此说法正确 答疑 非圆截面杆在扭转时，横截面不再是平面，而是变成了空间曲面，固平面假设不能成立。 选择 非圆截面杆的扭转 1、非圆截面杆的横截面上 ： 。 A：自由扭转时翘曲，约束扭转时不翘曲； B：自由扭转时不翘曲，约束扭转时不翘曲； C：自由扭转时翘曲，约束扭转时翘曲； D：自由扭转时不翘曲，约束扭转时不翘曲； 答案 正确选择：C 答疑 杆件在自由扭转与约束扭转时，横截面均有翘曲，只是在自由扭转时各个横截面翘曲的程度相同，而在非自由扭转时，各横截面翘曲的程度不同。 2、非圆截面杆自由扭转时，横截面上 。 A：只有剪应力，没有正应力 B：只有正应力，没有剪应力； C：既有正应力又有剪应力； D：正应力、剪应力均为零； 答案 正确选择：A 答疑 非圆截面杆在自由扭转时，横截面有翘曲，但各个横截面翘曲的程度相同，纵向纤维的长度没有变化，所以横截面上只有剪应力没有正应力。 3、非圆截面杆约束扭转时，横截面上 。 A：只有剪应力，没有正应力 B：只有正应力，没有剪应力； C：既有正应力又有剪应力； D：正应力、剪应力均为零； 答案 正确选择：C 答疑 非圆截面杆在约束扭转时，各个横截面翘曲的程度不同，引起相邻两截面间的纵向纤维的长度改变，横截面上不仅有剪应力还有较大的正应力。像工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的正应力往往是相当大的；但对于像矩形、椭圆形等实心杆件，因约束扭转引起的正应力相当小，与自由扭转无太大的差别。 填空 非圆截面杆扭转 1、扭转变形下的非圆截面杆， 点的剪应力为零。 答案 2点的剪应力为零 答疑 非圆截面杆在扭转时，外棱角可尖，内棱角须圆。因为在外棱角处剪应力必定为零，而内棱角处的剪应力不为零。 2、矩形截面杆受扭时，截面凸角处剪应力为 ，最大剪应力发生在 处 答案 截面凸角处剪应力为 0；最大剪应力发生在长边中点处。 3、矩形截面杆自由扭转时，横截面周边处的剪应力方向必与周边 ，且四个角点处的剪应力为 。 答案 相切、零 答疑 因为矩形截面杆受扭时，截面周边各点处的剪应力一定与边界相切，横截面的四个角点处的剪应力均为零。 简述 非圆截面杆的扭转 1、矩形截面杆受扭，问横截面角点A处有无剪应力？为什么？ 答案 角点处没有剪应力； 答疑 因为矩形截面杆受扭时，截面周边各点处的剪应力一定与边界相切，横截面的四个角点处的剪应力均为零。 2、在纯扭转时，开口和闭口薄壁管中剪应力的分布情况有何不同？图示中的二种截面的薄壁管的材料、长度、壁厚、管壁中线的长度均相同。问哪一个管子的抗扭能力强？ 答疑 封闭的薄壁圆环型的横截面上剪应力均匀分布；开口薄壁圆环在每一个与中线垂直的横截面上剪应力按到中线的距离线性分布。 闭口的薄壁圆环型的横截面上剪应力η1＝T/2πr2t ； 开口薄壁圆环型的横截面上剪应力η2＝T/ht2/3=3T/2πrt2，η1/η2=t/3r，而平均半径r>>t 所以η1<<η2，固闭口的抗扭强度高。 第四章 弯曲内力 1、梁的受力特点和变形特点；2、平面弯曲的概念；3、梁的三种形式；4、剪力和弯矩的符号规定；5、内力方程、剪力图和弯矩图。6、均布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系；7、利用微分关系快速作内力图 1、弯曲内力的符号规定；2、力偶对弯矩的影响；3、利用微分关系快速作梁的内力图； 1、 平面弯曲的概念、理解将受弯杆件简化为力学模型的过程；2、 掌握剪力和弯矩的概念；3、 掌握梁的内力方程的写法；4、 掌握直梁的内力计算和内力图的绘制；5、 掌握刚架的内力方程的写法和刚架的内力图的绘制；6、 剪力、弯矩和分布载荷集度的微分关系及其应用；7、 作内力图的两种方法：剪力方程和弯矩方程作图法、微分关系作图法。8、了解静定多跨梁的内力图的绘制； 重点 难点 基本知识点 判断 弯曲内力图 1、 “两梁的跨度、承受的载荷及支撑相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。” 答案 此说法错误 答疑 梁的内力与材料、横截面形状无关。当两梁的跨度、载荷、约束完全相同时，梁的内力图相同。 2、 “最大弯矩必发生在剪力为0的横截面上。” 答案 此说法错误 答疑 在剪力为零的横截面上，弯矩取得极值，但极值弯矩不一定是最大弯矩。 3、“梁内弯矩最大的横截面上，剪力一定为零。” 答案 此说法错误 答疑 在剪力为零的截面上，弯矩取得极值，但极值弯矩不一定是最大弯矩。所以最大弯矩的截面上，剪力不一定为零。 选择 弯曲内力图 1、梁在集中力作用的截面处，它的内力图 。 A：Q图突变、M图光滑连续； B：Q图突变、M图转折； C：M图突变、Q图光滑连续； D：M图突变、Q图转折； 答案 正确选择：B 答疑 根据内力之间的微分关系：在集中力作用的截面处，ΔQ＝P所以剪力图突变，弯矩图发生转折。 2、梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图 。 A：Q图突变、M图无变化； B：Q图突变、M图转折； C：M图突变、Q图无变化； D：M图突变、Q图转折 答案 正确选择：C 答疑 在集中力偶作用处dQ/dx=0,所以剪力图没有变化；但ΔM＝M，所以弯矩图发生突变。 3、梁在某一段内作用有向下的分布载荷时，在该段内它的弯矩图为 。 A：上凸曲线； B：下凸曲线； C：带有拐点的曲线； D：斜直线 答案 正确选择：A 答疑 载荷的集度是弯矩图的二阶导数，当分布载荷向下时，集度的符号<0，弯矩图为凸弧。 4、多跨梁的两种受力如图，力F靠近铰链。正确的结论是 。 A：Q、M图完全相同 B：Q图相同、M图不同 C：Q图不同、M图相同； D：Q、M图均不同 答案 正确选择：A 答疑 A图中活动铰链支座的约束反力为零；B图中，取L2梁为研究对象，对中间铰取矩，得到活动铰的约束反力也为零。固对于固定端一侧的梁相当于自由端受集中力F作用的悬臂梁，二者的内力图相同。 5、图示中静定多跨梁，在截面 处，剪力Q图、弯矩M图均连续。 A：A、B； B：B、C； C：C、D； D：A、D； 答案 正确选择：A 答疑 在C截面处作用有力偶，剪力图连续，弯矩图突变；在D截面处作用有集中力，剪力图突变，弯矩图转折；只有在A、B二截面处既没有力偶的作用也没有集中力的作用，内力图是连续的。 6、梁的内力图如图，该图表明 A：AB段有均布载荷、BC段无载荷； B：AB段无载荷、B截面处有向上的集中力、BC段有向下的均布载荷； C：AB段无载荷、B截面处有向下的集中力、BC段有向下的均布载荷 D：AB段无载荷、B截面处有瞬时针的集中力偶、BC段有向下的均布载荷 答案正确选择：C 答疑 AB段的剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线，说明该段的剪力为常量，且没有均布载荷的作用。在B截面处剪力图突变，弯矩图发生转折，说明在B截面处作用有集中力，从AB到BC，剪力图下突，说明集中力的方向向下；BC段的剪力图为一斜直线，弯矩图为一上凸的曲线，说明该段内作用有均布载荷，且方向向下。 7、悬臂梁上作用有集中力F和集中力偶M，若M在梁上移动时 。 A：对剪力图的形状、大小均无影响； B：对弯矩图形状无影响，只对其大小有影响； C：对剪力图、弯矩图的形状、大小均有影响； D：对剪力图、弯矩图的形状、大小均无影响。 答案 正确选择：A 答疑 根据微分关系，力偶对剪力无影响。固力偶在梁上移动时，对剪力图无影响，但直接影响弯矩图的大小和形状。 8、带有中间铰的连续梁，AB和BC部分的内力情况有四种答案，正确的是： 。 A：N、Q、M均为零； B：N、Q、M均不为零； C：Q为零，N、M不为零； D：Q、M为零，N不为零； 答案 正确选择：D 答疑 取CD段为研究对象，由于F、D处均为活动铰，可以确定C处的水平方向的约束反力不为零；再取BC段为研究对象，对B点取矩，得到C点的铅垂方向的约束反力为零，从而得到B点的铅垂方向的约束反力也为零，B点的水平方向的约束反力等于C点的水平方向的约束反力。由此可得：AB、BC段的轴力不为零，剪力、弯矩均为零。 9、重为W的直梁放在水平的刚性平面上，若受力提起部分与平面密合的点为A，则A点处的弯矩为： 。 A：Pa B：0; C：非A非B 答案 正确选择：B 答疑 未被提起的部分的曲率半径为无穷大，根据曲率半径与弯矩的之间的关系1/ρ=M(x)/EI，得到未被提起部分的弯矩为零。 10、m-m面上的内力为： 。 A：Q=0， M、N≠0； B：M、N＝0，Q≠0； C：M、N、Q均不等于0； D：M、N、Q均等于0； 答案 正确选择：C 答疑 取整体为研究对象，对A点取矩，得到NB＝P/2；再在水平方向、铅垂方向投影，得到A点的水平、铅垂方向的约束反力均不为零；在m-m面处将曲杆截开，取左段为研究对象，可得：m-m面的轴力大小等于A处的水平反力大小、m-m面的剪力等于A处的铅垂反力的大小、m-m面的弯矩等于A处的水平反力与铅垂反力对m-m面的矩的代数和。固m-m面的轴力、剪力、弯矩均不等于零。 11、如图所示的AC梁在C端装有一个无摩擦的半径为R的滑轮，且通过钢索吊挂一重量为P的物体，B截面的弯矩值是 。 A：M=-P(a+R) B：M=-Pa C：M=-PR D：M=0 答案 正确选择：B 答疑 拆开C处铰链约束，得到C处的水平方向的反力为P，铅垂方向的反力为P，方向向下。水平反力引起拉压变形，只有铅垂反力引起弯矩，固B截面弯矩的大小为－Pa。 12、平面刚架ABC，在其平面内施加如图所示的集中力P（其作用线过e-e截面形心），则e-e截面不为零的内力分量是 。 A：M、Q、N B：M、N C：M、Q D：Q、N 答案 正确选择：D 答疑 外力的作用线过e-e截面形心，外力对该截面的矩为零，固该截面上弯矩为零；将外力P向e-e截面的轴线方向和与轴线垂直的方向进行分解，得到e-e截面的轴力、剪力均不为零。 填空 弯曲内力图 1、在静定多跨梁中，如果中间铰点处没有外力偶，那么 不变， 恒等于零； 答案 剪力、弯矩 答疑 中间铰只传递剪力，不传递弯矩。当中间铰处没有外力偶作用时，中间铰处的弯矩恒等于零，剪力图没有变化。 2、简支梁的受力如图，为使梁的中点的截面处的弯矩为零，那么外力偶m＝ 。 答案 m＝qL2/4 答疑 对A点取矩，得到B处的约束反力为NB=M/L+ql/2中间截面处的弯矩为： M（L/2）＝NB×L/2-M-qL/2×L/4整理得到：M（L/2）＝(M/L+qL/2)×L/2-M-ql2/8=-M/2 + qL2/8考虑到已知条件有M（L/2）=0 得到外力偶的大小为： M=qL2/4 3、图示中的四个梁的跨度、材料、截面、载荷均相同，比较各梁的最大弯矩值（绝对值），其中最大的在 梁上。 答案 最大弯矩发生在C 梁上 答疑 a图中的最大弯矩为qL2/8；b图中的最大弯矩为qL2/40；c图中的最大弯矩为qL2/2；d图中的梁为一次静不定，与图c相比，梁的弯曲变形较小，中性层处的曲率较小，根据1/ρ=M(x)/EI可知，d图中的最大弯矩偏小 选择 梁的合理受力 1、工人工作在木板的中点，为改善木板的受力，下列做法哪一个好？ A：在A、B处同时堆放适量砖； B：在A、B端同时堆放砖块，越多越好； C：只在A或只在B处堆放适量砖； D：什么也不放。 答案 正确选择 A 答疑 木板的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。只有在A、B两处同时堆放适量砖的情况下，C、D两截面处产生最大负弯矩，且要求最大负弯矩的数值相等。但是堆放的砖不是越多越好，应该保证在C、D截面处的最大负弯矩与木板的中间截面处产生的最大正弯矩的绝对值相等，此时木板的受力最合理。 填空 梁的合理受力 1、图示木板，受力为P、梁的总长为L、外伸部分长为ａ，使梁的最大弯矩为最小时，梁端的重物Q＝ 。 答案 Q= P(L-2a)/8a 答疑 当梁的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等时，梁的最大弯矩为最小。此时有∣-Qa∣=∣(P/2+Q)（ L/2-a）-QL/2∣ 整理得到： ∣-Qa∣=∣PL/4-Pa/2-Qa∣求解得到：Q=PL/8a-P/4=P(L-2a)/8a。 2、外伸梁的总跨度为L，承受一个可移动的载荷F，若F与L均为已知的，为减小梁的最大弯矩值，外伸长度a= 。 2-2截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-bd3/12)=6Mh/b(h3-d3)。 答疑 1-1截面上的弯曲正应力线性分布，中性层处的正应力为零，正应力按上压下拉连续变化；绝对值最小的正应力的值为零，发生在中性层处；绝对值最大的正应力发生在h/2处。 2－2截面在中性层附近为空心，在d/2到h/2的范围内正应力线性分布。绝对值最小的正应力发生在d/2处，绝对值最大的正应力发生在h/2处。 10、 在推导梁的纯弯曲正应力的计算公式时，作过平面假设，问此假设在推导过程中起到了什么作用？ 答疑 因为假设横截面保持为平面，才可以得出纵向纤维的线应变在横截面上成直线变化，从而可以建立应变与位移（转角）之间的几何关系。 判断 弯曲剪应力 1、“横力弯曲梁某截面上的最大弯曲剪应力一定位于该截面的中性轴上。” 答案 此说法错误 答疑 宽度b没有突变的横截面上，最大剪应力总是出现在中性轴上各点处，如矩形截面、圆形截面、工字钢截面。但对于横截面宽度有变化、或横截面的宽度b在中性轴处显著增大的截面如十字型截面，或某些变宽度的截面如等腰三角形截面，最大剪应力不出现在中性轴上。 例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处。 2、“梁在横力的作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力点的正应力不一定为零“ 答案 此说法正确 答疑 梁在发生平面弯曲时，最大剪应力不一定总是位于中性轴处，固最大剪应力的所在的点处正应力不一定为零。 例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，但最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处，此处的正应力不为零。 选择 弯曲剪应力 1、下列各梁的面积相等，其上的剪力也相等，则 截面上的最大剪应力最大。 A：矩形； B：正方形 C：圆型； D：薄壁圆环； 答案 正确选择：D 答疑 矩形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；正方形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；圆形截面梁的最大剪应力为4Q/3A；设薄壁圆环的平均半径为R，则薄壁圆环截面的惯性矩为IZ=πR3t，半截面对中性轴的面矩为S*= 2、横力弯曲时，横截面上 。 A：正应力不等于零，剪应力等于零； B：正应力等于零，剪应力不等于零； C：正应力、剪应力均不等于零； D：正应力、剪应力均等于零； 答案 正确选择：C 答疑 横力弯曲时，横截面上既有剪力又有弯矩，弯矩产生正应力，剪力产生剪应力。 填空 弯曲剪应力 1、矩形截面简支梁，不计梁的自重，A点处的最大剪应力＝ ，B点处的最大正应力＝ 。 ，固截面的最大剪应力为η＝Q S*/bIz=2QR2t/(2t×πR3t)= Q/πRt=2Q/A。 答案 η=3F/8bh；ζ= 3Fa/bh 答疑 截面为矩形截面，A点处的最大剪应力为η=3Q/2A=3×F/4/2bh=3F/8bh；B点处的最大正应力ζ =M/Wz=Fa/2×(6/bh2)=3Fa/bh2。 2、一矩形截面简支梁的跨度为L，当一载荷P从A运动到B时，梁上的最大弯曲正应力为 ，最大弯曲剪应力为 。 2 答案 ζ= 3PL/2bh2；η=3P/2bh； 答疑 当载荷移到梁的中点时，梁承受最大正弯矩，大小为PL/4, 此时在中间截面的最上面与最下面分别产生最大正应力，大小为ζ=M/Wz=PL/4Wz=3PL/2bh2；当载荷移到离支座很近时，梁承受最大剪力的作用，剪力的大小为P，此时在危险截面的中性层处产生最大剪应力，大小为η=3Q/2A=3P/2bh。 3、简支梁承受集中载荷的作用，梁内A点处的剪应力等于 ，B点处的正应力等于 ，C点处的正应力等于 。 答案 0、 0、 2Pa/bh2 答疑 A、B、C三点所在的截面上的剪力为Q＝P/3,弯矩为M＝＋Pa/3。A点位于截面的最下层纤维处，所以A点处的剪应力为零；B点位于横力弯曲的中性层处，B点的弯曲正应力为零；C点的正应力为该截面上的最大正应力发生处，大小为ζ=M/Wz=Pa/3/bh2/6=2Pa/bh2。 4、跨度较短的工字型截面梁，在横力弯曲的条件下，危险点可能发生在 处、 处和 处。 答案 上下翼缘的最外侧、腹板的中点、腹板和翼缘的交接处 答疑 跨度较小的工字型截面梁，在上下翼缘的外侧存在最大正应力，在腹板的中点存在最大剪应力，在腹板与翼缘的交接处同时存在较大的正应力和较大的剪应力。 5、工字型截面梁在横力弯曲的作用下，翼缘的主要功能是 ；腹板的主要功能是 。 答案 抗弯、 抗剪 答疑 翼缘承担大部分的弯矩，腹板承担大部分的剪力； 简述 弯曲剪应力 1、横力弯曲时平面假设为何不成立？既然平面假设不成立，为何仍用纯弯的应力计算公式计算横力弯曲时的正应力？ 答疑 横力弯曲时横截面上不但有正应力还有剪应力，由于剪应力的存在，必然要引起剪应变，剪应力沿高度并非均匀分布，所以剪应变沿高度也不是均匀分布，靠近顶面和底面处的单元体无剪应变，随着离中性层距离的减小，剪应变逐渐增加，在中性层上达到最大值，剪应变沿高度的这种变化，引起在横力弯曲时横截面不再保持为平面，固平面假设不能成立。 但是当梁的横截面高度h远小于梁的跨度L时，用纯弯得到的正应力的计算公式来计算横力弯曲的正应力，不会引起太大的误差，能够满足工程问题所需要的精度。而h< 答案 正应力的分布规律如图： 剪应力的分布规律如图： 答疑 梁承受正弯矩，在横截面上产生上压下拉的弯曲正应力，中性轴偏上，固最大拉应力大于最大压应力；横截面上的剪力不为零，在横截面上产生弯曲剪应力，在距离中性轴最远处剪应力为零，剪应力的最大值发生在中性轴处，但在截面尺寸突变处剪应力突变。 3、欲用厚度为ａ的板材粘合成一个箱型截面梁，从剪切强度考虑采用那种截面形式较为合理？为什么？ 答案 采用b的形式较为合理。 答疑 图a中，粘合面处的剪应力 完全由粘合物质承担，容易发生剪切破坏；图b中粘合处有完整的立板，剪应力大部分由立板承担，不易发生剪切破坏。固b的承载能力比a图的大 4、说明A－A截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。 答疑 A－A截面上存在剪力和正弯矩，固在截面上存在弯曲剪应力和弯曲正应力。 正应力的分布规律是上压下拉且连续变化，如图所示。 剪应力的分布规律为：距离中性轴最远的最上端剪应力为零，在靠近上端的尺寸突变处剪应力突然增大，在下端的尺寸突变处，剪应力突然减小，在距离中性轴最远的最下端剪应力也为零。最大剪应力不发生在中性轴上而是发生在靠近中性轴的尺寸突变处。分布规律如图所示。 5、应用材料力学方法计算梁弯曲问题时，试说明引进了哪些假设（包括基本假设和针对梁弯曲的假设）。并说明引入这些假设的目的。 答疑基本假设：均匀、连续、各向同性，其主要目的是便于将高度数学的微积分工具用于研究构件的受力和变形，这也是对所有变形固体的基本假设。 在分析梁的弯曲正应力时，作了两个重要假设：一是针对纯弯曲梁的变形特征所作的平面假设，目的是便于得到简单的变形几何关系；二是纵向纤维间无正应力的假设，目的是便于利用单向应力状态的简单虎克定律。 在分析梁的弯曲剪应力时，主要是针对横截面的具体形状，对横截面上各点剪应力的大小和方向作合理的假设。如对矩形截面作了两个假设①横截面上各点剪应力的方向都平行于剪力；②剪应力沿截面宽度均匀分布。 选择 提高弯曲强度 1、等强度梁各个横截面上的 。 A：最大正应力相等 B：最大正应力相等且等于许用正应力； C：最大剪应力相等 D：最大剪应力相等且等于许用剪应力 答案 正确选择：B 答疑 等强度梁的设计原则是：变截面梁的各横截面上的最大正应力都相等，且等于许用压力，此梁才能充分发挥作用。 2、厂房中的“鱼腹梁”是根据简支梁上 而设计的等强度梁。 A：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变； C：受集中力、截面高度不变 D：受均布力、截面高度不变； 答案 正确选择：A 答疑 “鱼腹梁”在工程中简化为受集中载荷作用的简支梁，在设计时保持梁的横截面宽度不变，高度随截面的位置变化。 3、铸铁悬臂梁在自由端受集中力F的作用，其合理的截面形状为： 答案 T型截面合理 答疑 悬臂梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的弯曲正应力。悬臂梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，所以应选择中性轴偏上的不对称截面形式――T型截面较合理。 4、在横截面的面积不变的条件下，采用 截面才合理。 答案 正方形C 答疑为了提高弯曲强度，在横截面面积不变的条件下，应选择惯性矩较大的截面形式。正方形截面比圆形截面有较大的惯性矩，但斜放的正方形截面虽然惯性矩的大小不变，但危险点离开中性轴的距离偏大，抗弯截面系数较小，所以应选择正方形C的截面形式。 填空 提高弯曲强度 1、重物P可在梁上自由移动：①若横梁为T字形铸铁截面梁，截面应按 方式放置？ 答案 正T型截面 答疑 梁承受有最大正弯矩Pa和最大负弯矩－2Pa；在最大负弯矩处产生上拉下压的正应力，材料抗压不抗拉，固横截面的中性轴应偏上，选择正T型截面。 2、铸铁梁受弯时，梁的横截面中性轴一般应设计成不对称的，其形心位置应偏向 一侧更为合理。 答案 受拉 答疑 铸铁材料抗压不抗拉，应该使梁的受拉一侧离中性轴近一些，这样梁的最大拉应力会降低，从而提高梁的强度。 简述 提高弯曲强度 1、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？ 答案 a放置方式时弯曲强度最高 答疑 铸铁梁应该采用非对称截面，T型或倒T型，考虑到承受正弯矩，产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，应使中性轴偏下，固选择倒T截面合理。 2、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用哪种截面形式最合理？如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？ 答案 如果材料为普通碳钢应采用工字型截面、如果材料为铸铁应采用倒T型截面 碳钢属于塑性材料，抗拉压强度相等，宜采用对称截面，选择矩形或工字型截面，但工字型截面 相对于矩形截面有较大的惯性矩，所以碳钢材料时，选择工字型截面较好。 铸铁材料是脆性材料，抗拉压强度不等，宜采用不对称截面，选择T型或倒T型截面；此梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，考虑到铸铁抗压不抗拉，中性轴应靠近受拉一侧，固选择倒T型截面较合理。 3、材料E以及横截面面积A均相同，哪一个截面承担的最大弯矩M最大？ 答案 工字型截面承担的弯矩最大 答疑 在横截面面积相同的情况下，应使截面的大部分分布在远离中性轴的区域，此时截面有较大的惯性矩，承载能力也最大。工字型截面有较大的惯性矩。 4、T型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的角度考虑，应如何放置？阐述原因并画出横截面上的应力分布规律。 答疑 倒T型放置 在梁承受正弯矩的情况下，产生上压下拉的正应力。铸铁材料抗压不抗拉，所以应使梁的中性轴偏下比较合理，固应采用倒T截面形式。应力分布规律为： 5、简述：应从哪些方面考虑提高梁的承载力？ 答疑 降低梁的最大弯矩，采用合理截面，采用等强度梁。 简述 提高梁的弯曲强度 6、简支梁的材料为铸铁，梁的总长度为L。承受的外力偶为M，方向如图。外力偶矩的作用面到左端固定铰的距离为2L/5。欲采用下面的四种截面形式，y1/y2=2，为此梁选择最佳的截面形式为 。阐述原因。 答疑 采用倒T截面 铸铁梁应该选择不对称截面。此梁承受有最大正弯矩和最大负弯矩，最大正弯矩的值为3M/5，最大负弯矩的值为－2M/5。最大正弯矩产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，固中性轴应该偏下，选择倒T截面。 倒T型放置时最大正弯矩截面的最大拉应力为ζ=3My2/5Iz；在最大负弯矩处产生的最大拉应力为ζ=2M y1/5Iz=4My2/5Iz。如果选择T型截面，在最大正弯矩处的最大拉应力为ζ=3M y1/5Iz=6My2/5Iz；在最大负弯矩处的最大拉应力为ζ=2My2/5Iz。 7、板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。 答案 截面的组合形式如下 答疑 应使梁的横截面的大部分分布在远离中性轴的区域，以提高截面的惯性矩，从而提高梁的承载力。 8、铸铁梁从强度的角度考虑放置是否合理？ 答案 1图合理；2图不合理。 答疑 图1中的梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力；梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，应使横截面的中性轴靠近受拉的一侧，固中性轴应偏上，而图1中的截面形式中性轴是偏上的，固图1中的放置形式合理。 图2中的铸铁梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，中性轴应偏下，但图示中的放置形式的中性轴偏上，固此放置形式不合理。 9、一T型截面铸铁梁，在下列条件下T字型是正放还是倒放？并指出危险点的可能位置。①:全梁的弯矩M>0；②全梁的弯矩M<0； 答案 ①:全梁的弯矩M>0时，应该选择倒放；危险点的可能位置发生在最大正弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。； ②全梁的弯矩M<0时，应该选择正放；危险点的可能位置发生在最大负弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。 答疑 全梁的弯矩M>0时，说明梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，材料本身抗压不抗拉，中性轴应偏下，选择倒T型截面； 全梁的弯矩M<0时，梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力，中性轴应偏上，选择正T型截面形式。 10、在建筑工地上有时会看到将要安装的屋架梁制造成如图所示的形状，即靠近中间的在腹板上有许多圆孔，且工字截面的中间高、两边低。从材料力学的角度看是否合理？为什么？ 答案 合理 答疑 屋架梁产生弯曲变形，中性层发生在截面的中间处，此处的弯曲正应力的值偏小，固在靠近中间的部分挖去许多孔，既满足了屋架的弯曲强度又节约材料、降低了屋架的自重。 屋架的受力，一部分是本身的自重，另一部分是与轴线垂直的外载，使得屋架承受的弯矩中间截面大，两端的弯矩值偏小，为了提高屋架的抗弯曲强度，节约材料，减轻自重，应该采用横截面随弯矩的变化而变化的变截面梁，在弯矩较大的中间截面处采用的工字型的高度较大；在弯矩较小的两边，采用的工字型截面的高度较小。 11、古罗马建寺院，运输石柱时用两个滚子支撑，用牛拉它前进，经验表面石柱会在图示位置破坏，解释原因。并请提出你的建议。 答疑 石柱仅受自重的作用，石柱的受力可看成均布在和的作用，根据石柱的受力和支撑情况画出石柱的弯矩图如图所示： 从弯矩图可以看出，在支撑点承受的弯矩最大，且该截面上方受拉，石柱为脆性材料，抗拉能力较差，因此在支撑的上方将被拉断，使其开裂。 要使石柱的受力合理，将减少危险面上的弯矩，较好的办法是使石柱承受的最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。固将滚子移到距离端部为a的位置，由受力分析得到最大负弯矩发生在支撑处，最大正弯矩发生在中间截面处，其值分别为： M-max=-qa2/2； M+max=qL(L/2-a)/2-q(L/2)2/2。令|M-max|=|- M+max|有qa2/2＝qL(L/2-a)/2-q(L/2)2/2，求解得到a=0.207L，即将滚子支撑在距离端面a=0.207L处时，石柱受到的弯矩最小。 第六章 弯曲变形 1、 挠曲线上任意一点的曲率与弯矩之间的关系：1/ρ=M(x)/EI以及适用条件； 2、 弯曲变形的位移； 3、 挠曲线近似微分方程； 4、 积分法求梁的变形； 5、 各种梁的边界条件和连续性条件； 6、 叠加法求梁的变形； 7、 梁的刚度条件； 重点 难点 1、积分法求梁的变形中积分常数的确定； 2、叠加法求梁的变形时要注意考虑其他段上的载荷、变形对本段的影响； 1、 梁的变形的度量——挠度和转角的概念； 2、 梁的挠曲线近似微分方程； 3、 挠曲线近似微分方程的适用范围； 4、 积分法求梁的变形； 5、 叠加法求梁的挠度和转角； 6、 确定挠曲线的大致形状； 7、 运用刚度条件进行梁的刚度计算； 8、提高梁弯曲刚度的措施； 基本知识点 判断 弯曲变形 1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线” 答案 此说法正确 答疑 平面弯曲时梁的挠曲线是纵向对称面内的一条平面曲线。 2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比” 答案 此说法错误 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知，转角与弯矩之间的关系为θ＝∫M(x)/EIdx，挠度与弯矩之间的关系为 v＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，不是正比的关系。 3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程” 答案 此说法错误 答疑 挠曲线近似微分方程的应用条件是：线弹性、小变形。 4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同” 答案 此说法正确 答疑如果两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知挠曲线的二阶导数相同，积分的结果相同。 5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连 续的曲线。” 答案 此说法正确 答疑 在分段处梁满足连续性条件。 6、“最大挠度处的截面转角一定为0” 答案 此说法错误 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI，积分分别得到转角方程θ(x)＝∫M(x)/EIdx、挠曲线方程 v(x)＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，挠曲线的一阶导数为y’(x)＝∫M(x)/EIdx＝θ(x)，由此可知：在转角为零处，挠度取得极值，但不是最值。 7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大” 答案此说法错误 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI说明挠曲线在最大弯矩处有最大的二阶导数值，但挠度不一定是最大的；例如悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，在此处梁的挠度不是最大 8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。” 答案 9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求” 答案 此说法错误 答疑 叠加法应用的前提是：小变形、材料服从虎克定律。 10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关” 答案 此说法错误 答疑 梁的变形与材料有关。 11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同” 答案 此说法错误 答疑 截面正放与倒放，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固变形相同；但应力与截面的放置方式有关，正放或倒置时截面上距离中性轴最远的点到中性轴的距离不同，固同一截面上的应力不等。 选择 弯曲变形 1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的 倍；最大挠度是原来的 倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的 倍，最大挠度是原来的 倍。 A：2； B：16 C：8 D：4； 答案正确选择：C、B、A、C 答疑 当悬臂梁的横截面直径为d时的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/πd3，最大挠度为v=PL3/3EI=64PL3/3Eπd4；当梁的直径减少一半其他条件不变时梁的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/π(d/2)3=8 33’34 ×32M/πd,固最大正应力是原来的8倍；此时梁的最大挠度为v= PL/3EI=64PL/3Eπ(d/2)=16× 64PL3/3Eπd4,最大挠度是原来的16倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，此时最大弯矩为2M，抗弯