概率统计总复习资料
注：(1) 以下是3学分、4学分、4.5学分考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；(2)四学分包含所有3学分内容；(3)4.5学分包含所有4学分内容；(3)注明“了解”的内容一般不考．
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义
3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式
4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质． 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的概率分布． 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质． 7、掌握指数分布(参数?)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算
8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的概率分布或概率密度． 9、会求分布中的待定参数．
10、会求边沿分布函数、边沿概率分布、边沿密度函数，会判别随机变量的独立性． 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算．(四学分)
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率．
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法．(四学分) 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差．会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差．
15、较熟练地求协方差与相关系数.
16、了解矩与协方差矩阵概念．会用独立正态随机变量线性组合性质解题． 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题．
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握?2分布(及性质)、t分布、F分布及其上百分位点及双侧百分点概念． 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理（不要求背，考试时定理内容可列在试卷上）；会用矩估计方法来估计未知参数．
20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法．
21、会求单正态总体均值与方差的置信区间．会求双正态总体均值与方差的置信区间． 23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、?检验法、F检验法解题．(三学分只考两个正态总体均值与方差的检验法)．
24、掌握两个正态总体均值与方差的检验法．(四学分) (以下内容仅仅针对4.5学分考试，3、4学分不作要求)
25、掌握随机过程的概念，掌握随机过程的分布函数和数字特征． 26、掌握独立增量过程、正态过程、维纳过程的判断方法． 27、了解严平稳过程，掌握宽平稳过程的判断和基本性质．
28、了解圴方极限与圴方积分、时间均值与时间相关函数的概念，了解各态历经性的判定定理．
29、了解时间函数的功率谱密度，掌握平稳过程的功率谱密度概念，掌握功率谱密度的基本
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性质，了解互谱密度及其性质． [模拟试卷1(3学分、4学分)] 一、（9分）现有10张卡片，分别标有号码1，2?，10，今从中任意抽取出三张卡片．求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）中间号码为5的概率． 二、（9分）已知P（A）=0.5,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,求下列概率： P(A|B),P(A|B),P(A|B)．三、（12分）设随机变量X的概率密度函数为f(x)=αe(-∞ 2 五、（10分）设X是一个随机变量，试证明对任意常数c，有D（X）≤E[（X-c）]，并由 -|x| (b?a)2此证明：对取值于区间[a,b]内的随机变量X，有D(X)? 4六、（15分）假设某校学生的数学能力测试成绩X与音乐能力测试成绩Y具有如下形式的概率密度函数； ?2?(2x?3y),0?x?1,0?y?1f(x,y)??5 ?0,其它?（1）试求fX(x)与fY(y)，并判断X与Y是否相互独立？ （2）试求X与Y的相关系数?XY，并判断X与Y是否不相关？ 七、（10分）检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒时间，有的产品可能要复查一次 而再花10秒时间．假定每一件产品需复查的概率为0.5，求在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率． 附：Φ（1.37）=0.9147，Φ（1.38）=0.9162 八、（15分）设X~N(a,?)，a已知，?未知，（X1，?，Xn）为样本，（x1,?,xn）为样本观察值，求?的极大似然估计，判断它是否?的无偏估计，并计算出它的方差． 九、（12分）设X~N(a,?)，a和?未知，(x1,x2,?,xn)为样本X1,X2,?,Xn观察 2值．（1）试写出检验a与给定常数a0有无显著差异的步骤;(2)试写出检验?与给定常数?022 222 22比较是否显著偏大的步骤．（要求写出步骤序号）． [模拟试卷2(3学分、4学分)] 一、填空：（每题5分） 1.若事件A与B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.25,则P(A-B)=_________; P(A?B)=___________. 2.设总体X服从N(a,22)分布，（X1,X2,...Xn)是来自此总体的样本，X 为样本均值，试问 样本容量n>_________,才能使E(|X-a|2)?0.1 第 2 页 共 23 页 二、选择填空：（每题5分） 1.设两个独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)则_______ (A) P{X+Y<0}=0.5 (B) P{X+ Y <1}=0.5 (C) P{X-Y<0}=0.5 (D) P{X- Y <1}=0.5 2.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y________ (A)不相关的充分条件，但不是必要条件． (B)独立的充分条件，但不是必要条件． (C)不相关的充分必要条件． (D)独立的充分必要条件． 三、(12分）在射击室里有9支枪，其中经试射的有两支，试射过的枪的命中率是0.8,未试射过的枪的命中率为0.1．今从射击室里任取一枪，发射一次结果命中了．求“所取枪是已经试射过” 的概率． 四、(12分）设随机变量X的分布列为 P{ X =k}= a k=1,2,... 2k求： (1)参数a. (2)P{ X >4} (3)Y=2X+1的分布列． 五、(12分）设随机变量X与Y独立且均在(-1,1)区间上服从均匀分布，求： (1) P{ X +Y<1}; (2) F(0.5,-0.5) 六、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为 ?x?y0?x?1,0?y?1 f(x,y)?? 0其它?求：（１）相关系数?XY；（２）判断X与Y的独立性． 七、(10分）某工厂有100台同类机器，各台机器发生故障的概率均为0.2,假设各台机器工 作是相互独立的，设一台机器需一人维修，为使机器发生故障时能及时维修的概率不低于90%,问至少应配备多少名维修工人． 八、（12分）总体X的概率密度函数为 1??f(x)?e2?|x|???x??， X 1, X 2,... X n为X的样本，求参数?的矩估计． 九、(10分）已知某种食品每袋标准重量应为50克,现随机抽查市售的该种食品4袋测得重量如下：45.0, 49.5, 50.5, 46.5,设每袋重量服从均方差为3(克）的正态分布，试在显著性水平?=5%下检验该食品平均袋重是否合格． t2x1?附表：?(x)??e2dt ??2?x 1.28 1.645 1.96 0.9 0.95 0.975 ?(x) [模拟试卷3(3学分、4学分)] 一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只．假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4 第 3 页 共 23 页 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱的概率?；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率?． 二、（12分）设随机变量X的分布列为 P{X?k}?A,k?1,2,? k2求：（1）参数A；（2）P{X?4}；（3）Y?2X?1的分布列． 三、（10分）设二维随机变量(X,Y)在矩形G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s)． 四、（12分）设X~U(a,a?h),Y~b(n,p)，且X与Y相互独立，试求Z??X??Y和W??X??Y的相关系数（其中?、?是不全为零的常数）． 五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率． 六、（12分）设总体X的概率密度为 ?6x?3(??x),0?x??, f(x)????0,其它,?（1）?的矩估计量??；（2）??的方(X1,X2,?,Xn)是取自总体X的简单随机样本．求： ?)． 差D(?七、（12分）设X服从N(0,1)，(X1,?,Xn)是来自总体X的样本，Y?(X1?X2?X3)2＋(X4?X5?X6)2．试求常数C，使得CY服从?分布． 八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为x?13.2cm， 已知这批木材小头直径的标准差??2.6cm，问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上？（取显著性水平?＝0.05） 附表一： 2?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826 [模拟试卷4(3学分、4学分)] 一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上．若每 个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？ 第 4 页 共 23 页 二、(14分)已知随机变量X的概率密度为f?x???（2）P{0.5?X?3}；（3）P{X?x}． ?2Ax,?0,0?x?1，求：（1）参数A； 其他三、（14分）设随机变量X和Y的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布,试求随机变量U?X?Y的方差． 四、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为 ?x?y,0?x?1,0?y?1． f(x,y)??其它?0,（1）求X与Y的相关系数?XY；（2）试判断X与Y的独立性． 五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立．已知每户每 天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布．现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 六、（8分）在总体X~N(12,4)，从X中随机抽取容量为6的样本(X1?,X6).求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率． 七、（14分）设总体X的密度函数为 ??1???x,0?x?1f(x)?? 0,其它??其中?是未知参数，且??0．试求?的最大似然估计量． 八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布N(54,0.75)，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取??0.05）？ 附表一： ?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826,?(2.33)?0.9901,?(2.45)?0.9929，?(2.575)?0.9950. [模拟试卷5(4.5学分)] 一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、?、10的球．今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率． 二、12分)设随机变量X~U(?1,1),求Y?X的分布函数与概率密度． 三、10分)设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概 率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分 第 5 页 共 23 页 2 布律． 四、(14分)设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?cx2y,x2?y?1, f(x,y)??其它?0,a) 确定常数c的值; b) c) X,Y是否相互独立?为什么? X,Y是否不相关?为什么? 五、(10分)一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的 比例与1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？ 六、(12分)设总体X服从二项分布，它的概率分布为 P(X?k)?Clkpkql?k,k?0,1,?l,0?p?1,q?1?p， 求未知参数p的极大似然估计. 七、(12分)某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176， 而用别的精确方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度服从正态分布，问此种仪器测量的硬度是否显著降低（??0.05）？ 八、(10分)已知随机过程X(t)的均值?X(t)?t，协方差函数CXX(t1,t2)?1?t1t2，试求 Y(t)?X(t)?sint的均值?Y(t)和协方差函数CYY(t1,t2). 九、(8分)设X(t)是平稳过程，且?X(t)=0，RX(?)?1?|?|，（|τ|≤1），Y= 求E(Y)和D(Y). 附：?(2.575)?0.995,?(2.33)?0.99,t0.05(4)?2.1318,t0.025(4)?2.7764. [模拟试卷6(4.5学分)] 一、(10分)某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率． 二、(10分)某种晶体管寿命服从均值为0.001的指数分布(单位是小时)．电子仪器装有此种晶体管5个，并且每个晶体管损坏与否相互独立．试求此仪器在1000小时内恰好有3个晶体管损坏的概率． 三、(10分)X~U(??,?),求Y?COS(X)的密度函数． 四、(12分)已知随机变量(X,Y)的分布律为 X Y 0 1 1 0.15 ? 2 0.15 ? ?tX(t)dt， 01且知X与Y独立，（1）求?、?的值．（2）令Z?X?2Y，求X与Z的相关系数. 五、(10分)设X与Y的联合密度函数为 第 6 页 共 23 页 求P(X+2Y<1) 六、(14分)设随机变量X～N(?2,9)，Y在区间?2,4上服从均匀分布，令 ??U?3X2?4Y2?XY?X?2Y?4 (1)若X与Y相互独立，求E(U)；(2) 若X与Y的相关系数为?XY??0.4，求E(U) 七、(12分)设总体X服从几何分布，其分布列为P(X?x)?p?(1?p)x?1x?1,2,?. X1?,Xn为X的一个样本． (1) 求未知参数p的极大似然估计． (2)求??1的极大似然估计并验证所得估计量的无偏性． p八、(10分)某卷烟厂生产甲、乙两种烟，分别对它们的尼古丁含量（毫克）作了六次测定，得子样观察值为 甲：25 28 23 26 29 22； 乙：28 23 30 25 21 27． 检验它们的方差有无显著差异（??0.1）． 九、(12分)设Z（t）=Xcos2πt+Ysin2πt,其中X，Y为两个随机变量，且E（X）=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1,E(XY)=0．证明：随机过程Z（t）是一个平稳过程． 附表：P(F(n,m)?F?(n,m))?? P(F(7,7)?3.79)?0.05, P(F(5,5)?5.05)?0.05 P(F(6,6)?4.28)?0.05, P(F(6,6)?5.82)?0.02,5 [模拟试卷1答案(3学分、4学分)] 第 7 页 共 23 页 一、:设Ai ={第i个问题},i=1,2,3 (1)p(A1)?A?3C?3A10C253531033A?A1'551'?(3)； ?(3)；(2)p(A2)?320A101211A9A1(3)p(A3)?38?(3') 10A10二、解：(1)P(A|B)?1P(AB)0.42?? (3')；(2)P(A|B)?1?P(AIB)?(6') 3P(B)0.63(3)P(A|B)?P(AB)1?P(AB)1?P(A?B)1?0.5?0.6?0.43=??(9') ?1?0.641?P(B)P(B)1?P(B)??三、解: (1)?1????f(x)dx?2??????e?xdx?2??1???1 (3') 2?1x?1?tedt,x?0??2e,x?o?2?x (2)F(x)??1?f(t)dt?2? ???11?(1??xe?tdt),x?o?1?e?x,x?oo?2?2 (3)E(X)?1?????xf(x)dx?1???xxedx?22???20 D(X)?1E(X)?E(X)?E(X)?22??22??2?xxf(x)dx?2xedx?2 ????2o?1,x?(0,1)?1??,y?(0,3),fY(y)??3四、解:由fx(x)?? 0,x?(0,1)???0,y?(0,3)?及X与Y独立得,(X,Y)的联合密度函数为 ?1?,x?(0,1),y?(0,3) f(x,y)?fx(x)fY(y)??3 (3?) ?0,其它? 则 第 8 页 共 23 页 ?o,z?o?z??1z,o?z?1?1dy,o?z?1?3??o3???1,1?z?3????z1dy,1?z?3=?3(5?) f?(???fx(??y)fY(y)dy(2?)???z?1??3?41???z,3?z?4?31dy,3?z?4?33????z?13?o,其它?o,Z?4???? ?2E??X?E(X)???2E??E(X)?C??X?E(X)????E(X)?C? 五、证明:(1) E?X?C??2E??X?E(X)??(E(X)?C)? 2222? ?2D(X)??E(X)?C??D(X) 2(2)若X是取值于[a,b]间内的随机变量,则D(X)?1?a?b2?E?(X?)? ??2?2?1??b?a??(b?a)2a?b?2a?bb?aE??由X?得D(X) ????1??242?22??????1243(2x?3y)dy?x?,o?x?1??55六、解: (1) fx(x)??05 (2?) ?o,其它??1226(2x?3y)dx??y,0?y?1???0555 fY(y)?? (2?) ?0,其它?? ?f(x,y)?fx(x)fY(y)(2?)?X与Y不独立 (1?) (2) E(X)?11217 (1?) X(2X?3Y)dxdy??0?0530 E(Y)?12623 (1?) (y?y)dy??055511461 E(XY)???xy(x?y)dxdy? (1?) 00553 COV(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??1 (2?) 150第 9 页 共 23 页 E(X2)?145322 (x?x)dx??05551226313 (y?y)dy??055302 E(Y2)? D(X)?E(X)??E(X)??2 D(Y)?E(Y)??E(Y)?2271 90011? 150 ?XY?COV(X,Y)D(X)D(Y)??0.0876 (2?) 所以,X与Y相关. (1?) 七、解:设X表示1900件的需复查数,(2?)则X~B(1900,0.5)(2?).设A表示8小时内检验员 ?(2?)?P?X?980?(2?) 至少能检查1900件,则P(A)?P?1900?10?10X?8?3600 ?????980?1900?0.5???(1.376)?0.9162?? (2?) ?1900?0.5?0.5?八、.解: (1)L????2n2ni?1?f(xi;?)??i?1(xi?a)2 e?22?2??1 ?2???n2?2?n1e?2?(xi?a)2. (2?) 2?i?1nn12 lnL(?2)??ln(2??2)? (2?) ?(x?a)i222?i?1ndln?()n2?12令 ?????(x?a)?0 (2?) i22422??d?2?i?12n?1得 2??(xi?a)2 (2?) ?ni?1第 10 页 共 23 页 ?(2) ?E???2?2n?2x?a????2?E??(i)???n??2 (3?) n?n??i?1???是?的无偏估计 (1?) ???2n?2(1)x?ax??4?4?22?i?)(2?)D)???n?(3) D(? (1?) ??(22??ni?1???nn九、解: (1) 1?.提出假设H?:a?a?,H1:a?a?(2?) 2?.选取统计量t??x?a??ns?(1?) 3?.对给家的显著性水平?,查表求临界t?(n?1)(1?)24?.计算 t??x?a?ns?. 5?.判断 若t?t?(n?1),拒绝H?;反之,接受H?. 2(2) 1?.提出假设H222?:???0,H1:?2??0 2?.选取统计量x2??n?1?s?2?2 03?.对给家的?,查表求临界值x2?(n?1) 4?.计算x2值,x2?(n?1)s?2?2. 05?.判断 若x2?x2?(n?1),拒绝H?;反之,接受H?. [模拟试卷2答案(3学分、4学分)] 试卷编号：11022601001 一、1．P(A?B)?0.375P(A?B)?0.525 2．n>40 二、1．B （5分）；2.C （5分） 三、1.设A——发射一次命中 H1——所取的枪试射过 H2——所取的枪未试射过 (1?) (1?) (2?) (1?) (1?) (1?) (1?) （5分） （5分） （2分） 第 11 页 共 23 页 由题意，P(A/H1)?0.8,P(A/H2)?0.1,P(H1)?由贝叶斯公式： 27,P(H2)? （8分） 99P(H1/A)?16P(A/H1)P(H1)（11分）? (12分) 23P(A/H1)P(H1)?P(A/H2)P(H2)?四、（1）由 a?1 （2分）解出a=1 （4分） ?k?12k?111（2）P{X?4}??（6分）?25?（8分） 116k?52k1?2a1（3）P{Y?2k?1}?P{X?k} （10分）?k?k,k?1,2,?? （12分） 22五、由题意，fX(x)???10?x?1?10?y?1且X与Y独立，故 ,fY(y)??其它其它?0?0 （2分） ?10?x?1,0?y?1 f(x,y)??0其它?（1）P{X?Y?1}???Gf(x,y)dxdy（4分）??dx?011?x0dy（6分）?0.51（8分） 2（2）F(0.5,0.5)?P{X?0.5,Y?0.5}（10分） ?六、（1）?XY??0.50dx?dy?01（12分） 4 （2分） cov(X,Y) D(X)D(Y)11 70?012 117E(Y)???y(x?y)dxdy?0012111E(XY)???xy(x?y)dxdy? 0031771?cov(X,Y)????? 31212144E(X)??x(x?y)dxdy?50?0121152 E(Y)???y2(x?y)dxdy?00125711?D(X)?D(Y)??()2?1212144E(X)??211 （5分） （6分） （7分） x2(x?y)dxdy? 第 12 页 共 23 页 故 ?XY??1 11 （10分） （2）??XY?0 ?X与Y不独立． 七、设应配备n名维修工人，且某时刻有X台机器发生故障，则N~B（100，0.2） 令 P{X?n}?0.9 由中心极限定理 P{X?n}??(n?204)?0.9 量表得 n?204?1.28 ?n?25.12 即至少应配备26名维修工人． 八、E(X)???x|x|??2?e??dx?0 ?xx|2?2|? E(X)??xe??dx??x20??2?（4分） ??edx ?2?2由题意??0???E(X2)2 由E?(X2)?1n?nX2i i?1????1n2n?X2i i?1注：求极大似然估计者按满分5分计算． 九、设X——袋重，X~N（μ，32） H0:??50;H1:??50 HX?500下，U?3/4~N(0,1) 水平a=0.05的拒绝域为|U|?u0.025?1.96 这里x?47.875,由|u|?1.417?1.96,则接受H0． 认为平均袋重合格． [模拟试卷3答案(3学分、4学分)] （3分） （5分） （6分） （8分） （10分） （2分） （6分） （8分） （10分） （12分） （2分） （4分） （6分） （8分） （10分） 第 13 页 共 23 页 一、解：设事件A表示“顾客买下该箱”，Bi表示“箱中恰好有i件次品”，i?1,2．则 4C194P(B0)?0.8，P(B1)?0.1，P(B2)?0.1，P(A|B0)?1，P(A|B1)?4?， C2054C1812P(A|B2)?4?． C2019（1） 由全概率公式得 ??P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.8?1?0.1??0.1?i?024512?0.94； 19（2） 由贝叶斯公式 ??(B0|A)?二、解：(1)由??P(B0)P(A|B0)0.8?1??0.85． P(A)0.94A?1，得A=1； kk?12??111（2）P{X?4}??k??k?5?； 1622k?5l?0（3）P{Y?2k?1}?P{X?k}?1,k?1,2,...． k2三、解：二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ?1?,(x,y)?G, f(x,y)??2??0,(x,y)?G,设F(s)?P{S?s}为S的分布函数，则 当s?0时，F(s)?0；当s?2时，F(s)?1． 当0?s?2时， F(s)?P{S?s}?P{XY?s}?1?P{XY?s} 1s?1???f(x,y)dxdy?1??dx?dy?(1?ln2?lns)． 2ss2xy?sx21则 ?1?(ln2?lns),0?s?2.f(s)??2 ?0,其它.?第 14 页 共 23 页 四、解：D(Z)?D(?X??Y)??2D(X)??2D(Y)??2h2/12??2np(1?p)， D(W)?D(?X??Y)??2D(X)??2D(Y)??2h2/12??2np(1?p)， cov(Z,W)?cov(?X??Y,?X??Y)??2cov(X,X)??2cov(Y,Y)???cov(X,Y)???cov(Y,X) ??2h2/12??2np(1?p) 则 ?ZW?2h2/12??2np(1?p) ??222?h/12??np(1?p)D(Z)D(W)cov(Z,W),0.9)，由中心极限定理得 五、解：设这批种子发芽数为X，则X~B(1000所求概率为 P{X?880}?1??(??880?900)?1??(?2.108)??(2.108)?0.9826． 90?六、解：（1）E(X)????xf(x)dx??06x2?3(??x)dx??2． 令 ???2X． ?X，则得?的矩估计量为?2???2（2）由于E(X)?2???xf(x)dx??026x3?33?2 (??x)dx?1023?2?2?2D(X)?E(X)?[E(X)]??? 10220 4?2?则D(?)?D(2X)?4D(X)?D(X)?． n5n七、解：根据正态分布的性质知 X1?X2?X3~N(0,3)，X4?X5?X6~N(0,3)， 则(X1?X2?X3)/3~N(0,1)，(X4?X5?X6)/3~N(0,1)， 从而[(X1?X2?X3)/3]2~?2(1)，[(X4?X5?X6)/3]2~?2(1)， 2又由于X1,X2,X3,，X4,X5,X6相互独立及?分布的可加性知 [(X1?X2?X3)/3]2＋[(X4?X5?X6)/3]2~?2(2)， 第 15 页 共 23 页 则当C?1时，CY服从?2分布． 3八、解：检验假设 H0:???0?12cm，H1:???0 由于显著性水平?＝0.05，查表得z??z0.05＝1.645． 因为 u?x??0?/n?13.2?122.6/100?4.615>1.645=z??z0.05 则拒绝原假设H0:???0?12cm，即在显著性水平?＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12cm以上． [模拟试卷4答案(3学分、4学分)] 一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上．若每 个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？ 33解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本电数?[S]= C50?C47???C23． 3设Ai =“3个次品铆钉恰好用在第I个部件上”，i=1、2、?、10 A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件” 333Ai中的样本点个数?[Ai]= C47?C46???C23，P(Ai)= ?[Ai]/?[S]=1/19600． P(A)= ?10i?1P(Ai)=1/1960． 二、(14分)已知随机变量X的概率密度为f?x???（2）P{0.5?X?3}；（3）P{X?x}． 解：(1)由归一性，得 ?1?2Ax,0,?0?x?1，求：（1）参数A； 其他???f(x)dx??2Axdx?1030.5x?1A?1(2)p{0.5?x?3}?(3)p{X?x}?x?f(x)dx??2xdx?0.750.5???f(t)dt 当x?0时，?f(t)dt?0??xx2当0?x?1时，f(t)dt?2tdt?x????0第 16 页 共 23 页 三、（14分）设随机变量X和Y的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布,试求随机变量U?X?Y的方差． 解：由题意，(X,Y)的密度函数为 ?2,0?x?1,0?y?1,x?y?1, f(x)??其它,?0, 则 1??2dy,0?x?1?2x,0?x?1 f(x,y)dy???1?x????0,其它0,其它?fX(x)?? 得 ????EX?则 ?102x2dx?2;EX2?3?102x3dx?1; 2DX?EX2?(EX)2? 同理，EY?2,DY?1． 1 18318则 11cov(X,Y)?EXY?EX?EY?2?xdx?ydy?01?x22541?????． 3312936 则 DU?D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?四、(12分）已知(X,Y)的概率密度函数为 1121???． 18183618?x?y,0?x?1,0?y?1． f(x,y)??其它?0,（1）求X与Y的相关系数?XY；（2）试判断X与Y的独立性． 解：（1）?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)1 7?0?012 117E(Y)???y(x?y)dxdy?0012E(X)?1x(x?y)dxdy?第 17 页 共 23 页 E(XY)???0110xy(x?y)dxdy?1 3 ?cov(X,Y)?111771???? 31212144x2(x?y)dxdy?11 E(X)?2??005 12 5?0?012 57211?D(X)?D(Y)??()?1212144E(Y2)?y2(x?y)dxdy?故?XY??1 11（2）??XY?0 ?X与Y不独立． 五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立．已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布．现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 解：设1000户居民每天用电量为X度，则由中心极限定理，X~N(EX,DX)，其中 20210000EX?1000×10=2000，DX=?1000?．再设供应站需供应L度电才能满足 123条件，则 P{X?L}??(L?2000100000/3L?2000100000/3)?0.99 即 ?2.33，则L=2426度． 六、（8分）在总体X~N(12,4)，从X中随机抽取容量为6的样本(X1?,X6).求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率． 解：设总体由题意：X~N(12,2/3)，则X?EX~N(0,2/3)，所求概率为 P{|X?EX|?2}?1?P{|X?EX|?2}?1?[?(2/2/3)??(?2/2/3)] )]＝0.01． ＝2[1??(2.4495七、（14分）设总体X的密度函数为 ??x??1,0?x?1 f(x)??0,其它?其中?是未知参数，且??0．试求?的最大似然估计量． 第 18 页 共 23 页 解：设x1,x2,?,xn是X的子样观察值，那么样本的似然函数为 L(?)??n?x?ii?1n?1， 就有 lnL(?)?nln??(??1)?lnxi， i?1n于是，似然方程为 dlnL(?)nn???lnxi?0， d??i?1从而，可得 ????n?lnXi?1n i八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布N(54,0.75)，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 55.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取??0.05）？ 解：按题意，要检验的假设是 H0:??54，因?2已知，故用U?检验法，由??0.05，查正态表得临界值 z??1.96，由样本值算得 x?54.46,u?1.94 因为u?1.96，故接受假设H0，即在??0.05时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异． 附表一： ?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826,?(2.33)?0.9901,?(2.45)?0.9929，?(2.575)?0.9950. [模拟试卷5答案(4.5学分)] 一、一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、?、10的球．今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率． 解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间S，则样本空间S中的样本点个数 第 19 页 共 23 页 3 ?[S]=C10=120． 设 事件 A=“最小号码为5”， B=“最大号码为5”， C=“一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5”． 33A中的样本点个数?[A]= C6－C5=10， P(A)= ?[A]/ ?[S]=1/12， 33B中的样本点个数?[B]= C5－C4=6， P(B)= ?[B]/ ?[S]=1/20， 11C中的样本点个数?[C]= C4=20， P(C)= ?[C]/ ?[S]=1/6. C5二、随机变量X~U(?1,1),求Y?X的分布函数与概率密度． 2?1?解：?fX?x???2??0?1?x?1其它,且y?g(x)?x2, y?0?0?y?1?FY?y???fX?x?dx???dx0?y?1x2?y??y2?y?1?1 ?0???y?1?y?00?y?1y?1, ?1?fY(y)?FY'(y)??2y?0?0?y?1其它. 三、设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8, 且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分布律． 解：本题已知随机变量X的分布律为 50i?50P?X?i??e,i?0,1,2,? i!由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X?i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布,故有 P{Y?j|X?i}?Cij0.8i0.2i?j，j?0,1,...,i Y?i|X?i?P?X?i?,得(X,Y)的联合分布律为： 由P?X?i,Y?j??P?P{X?i,Y?j}?Ci0.80.2jji?j50i?50e，i?0,1,?;j?0,1,?,i. j!第 20 页 共 23 页 四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?cx2y,x2?y?1, f(x,y)??其它?0,a) 确定常数c的值; b) c) X,Y是否相互独立?为什么? X,Y是否不相关?为什么? 解：（1）?x2?y?1??f(x,y)dxdy?1,即 2118214cx?(1?x)dxc???1 ==dxcxydy??12??1?x222121?c?. 411?212?xy,x2?y?1（2）?f(x,y)??4, ?其它?0,?fX(x)??????f(x,y)dy??2x1212212xydy?x(1?x4),x2?1, 48?212?x(1?x4),x2?1即fX(x)??8. ?0,其它?同理，fY(y)??????f(x,y)dx??0?y?1. 其它y?217xydx?y2,0?y?1, y425?75?y2即fY(y)??2??0显然有f(x,y)?fX(x)?fY(y) 从而X与Y不独立 (3)?E(XY)?112316dxcxy?xydxdy?cx(1?x)dx?0, 2?1?x??13121E(X)??x3(1?x4)dx?0. ?181?cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0. 从而?XY?0,即X,Y不相关 第 21 页 共 23 页 五、一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与 1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？ ,1/6),由中心极限定解：设X表示6000粒种子中的良种数，则X~B(6000理,X~N(6000?1/6,6000?1/6?5/6),设良种比例与 1相差q为所求，则 6 ??1?|X?6000?|q?6000?X1??6?P{??q}?P?? 600061515?6000?????6666?????(207.8q)??(?207.8q)?2?(207.8q)?1?0.99,则?(207.8q)=0.995， 查表得207.8q=2.5，得q=0.0124. 则所求范围为： X?1000<0.0124×6000, ,1075). 即X?(925六、总体随机变量X与Y相互独立,且X~N(150,400),Y~N(125,625),X,Y分别为 总体X,Y的容量为5的样本均值,求X?Y?0的概率. 七、设总体X服从二项分布，它的概率分布为 P(X?k)?Clkpkql?k,k?0,1,?l,0?p?1,q?1?p， 求未知参数p的最大似然估计. 解：设k1,k2,?,kn是X的子样观察值，那么p的似然函数为 L(p)??Clkipkiql?ki i?1n就有 lnL(p)??lnC??kilnp??(l?ki)lnq kili?1i?1i?1nnndlnL(p)1nln?k??0 ?idppqi?1q1nX???Xi? 从而，可得plni?1l八、某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176，而用 别的精确方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度服从正态分布，问此 第 22 页 共 23 页 种仪器测量的硬度是否显著降低（??0.05）？ 解：H0:???0 由样本值得x?175.2,S2?3.7，从而 t??4.417 对??0.05，查t?分布上侧分位数表得t0.05(4)?2.1318，由于t?t0.05(4)，故接受假设，即此种仪器测量的硬度显著降低． 九、已知随机过程X(t)的均值μx(t)=t，协方差函数Cx(t1,t2)=Ht1t2，试求Y(t)=X(t)+sint 的均值和协方差函数． 解：?Y(t)?E[Y(t)]?E[X(t)?sint]?E[X(t)]?sint?t?sint CY(t1,t2)?E?[Y(t1)??Y(t1)][Y(t2)??Y(t2)]??E?[X(t1)?t1][X(t2)?t2)]?1?t1t2? 1十、设X（t）是平稳过程，且μx=0，Rx(τ)=1-|τ|，（|τ|≤1），Y=tx(t)dt，求E（Y） 0?和D（Y）． 解：E(Y)?E(tx(t)dt)?tE[x(t)]dt?t?xdt?0 000?1?1?1E(Y2)?E[?tx(t)dt?sx(s)ds]0011?E[? 1100?tsx(t)xs(s)dsdt] X????????1100?tsE[x(t)x(s)]dsdt?tsR(s?t)dsdt11001100?ts(1?|s?t|)dsdt?ts(1?s?t)dsdt??221t11000t?ts(1?s?t)dsdt?1(2?t3)3则 D(Y)?E(Y)?E(Y)?1(2?t3). 3第 23 页 共 23 页