人大附中2011-2012学年度第二学期高一年级
数学期末练习答案 2012年7月3日
制卷人：杨良庆 审卷人：梁丽平 成绩：
一．选择题（每题4分，共40分）
1．D 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8． B 9．C 10.D 二．填空题（每题4分，共24分） 11.0.254 12. (?2,2) 13．
12 14．12:9:2 15．4或
4613 16．(?1,187)
说明：15题正确答出一种情况给2分，全对给4分． 三．解答题（17至19每题10分，20题6分，共36分）
17． 解：（Ⅰ）A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名。---------2分 （Ⅱ）(ⅰ)由4?8?x?5?3?25，得x?5，--------------------------3分 6?y?36?18?75，得y?15。-------------------------4分 频率分布直方图如下
-------------------6分
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小。 -------------------7分 （ii） xA??145?123，-------8分
25252525256153618 xB?分 ?115??125??135??145?，1--------------------933.8757575752575 x?分 ?123??133.8?1-----------------------------------------------1031.1100100A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.
18．解：（1）a,b取值的所有结果构成的基本事件空间为
4?105?8?115?5?125?5?135?3???(a,b)|1?a?6,1?b?6,a?N,b?N?，
?包含了6?6?36个基本事件。------------------------------------------------------------------2分
设“方程组只有正数解”为事件A，
6
???b?a???则A??(a,b)|?3,(a,b)???，
b?a????2??事件A包含了10个基本事件。--------------------------------------------------------------------4分 所以P(A)?1036?518。---------------------------------------------------------------------------5分
（2）a,b取值的所有结果构成的基本事件空间为
???(a,b)|0?a?6,0?b?6?。---------------------------------------6分
设“方程组只有正数解”为事件B，
???b?a???则B??(a,b)|?3,(a,b)???。----------------------------------8分
b?a????2??1?4?612所以P(B)??。------------------------------------------------10分。
6?637654321-224681012 19．解（1）法一：在?ABC中，由余弦定理得
a2?249?2a6363263?12?4，--------------------------------------------------------------1分
解得a??2或a?63?2（舍）
所以a??2----------------------------------------------------------------------------2分
法二：过A作AD?BC于D， 在直角?ACD中，因为C??3，b?263，所以CD?63,AD?2，--------------1分
在直角?ABD中，AD?2，c?2，所以BD?2，
所以a?
63?2。----------------------------------------------------------------------------------2分
7
（2）因为c?bcosA?acosB?4acosA，由正弦定理得 sinC?sinBcosA?sinAcosB?4sinAcosA 由题得sin(B?A)?sin(B?A)?4sinAcosA，
即sinBcosA?2sinAcosA。------------------------------------------------------------------------3分 当cosA?0时，A??2，B??6，a?433，b?233；-----------------------------------4分
当cosA?0时，得sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a，再由余弦定理得
a2?(2a)2?2a(2a)cos12?3?4，解得a?233，b?433。---------------------------------5分
所以S?ABC?absinC?233。---------------------------------------------------------------------6分
（3）在?ABC中，由正弦定理得
asinA?bsinB?2sin43?3，
t?a?b?所以
(sinA?sinB)?43(sinA?sin(A??3))---------------------8分
?4sin(A?因为0?A?所以
?6)2?3，所以
?6?A??6?5?6------------------------------------------------------9分
12?sin(A??6)?1，所以2?t?4。----------------------------------------------------10分
20．解：（Ⅰ）由数列?tn?的定义可知:t1?b1?5，
t2?b2?4，------------------------------------------------1分
t3?t2?a3?b3?8，
Sab?a1?a2?a3?t3?20．----------------------------2分
（Ⅱ）证法一：
由Sab?17得t4?Sab??a1?a2?a3?a4??5．
??????5分
而t1?b1?6，t2?t1?a2?b2?5，t3?t2?a3?b3?x?2， ????6分 当t3?a4，即x?2时，有t4?b4?y，则y?5；
当t3?a4，即x?2时，有t4?t3?a4?b4?x?2?y，则y?7?x?7?2?5，
8
综上所述，必有y?5成立．--------------------------------------------4分 证法二：
当tn?1?an即tn?1?an?bn?bn时，有tn?bn；
当tn?1?an即tn?1?an?bn?bn时，有tn?tn?1?an?bn， 可见tn?max?bn,tn?1?an?bn?．
由Sab?17得t4?Sab??a1?a2?a3?a4??5，
故y?max?y,t3?4?y??t4?5． ------------------------------4分
（Ⅲ）Sab的最小值为51，当表格如下排列（记作排列※）时可取到：
an
5 6 9 13 11
7 3 bn
证法一：
0
18
12
4
1 当1?n?6时，由（Ⅱ）知tn?max?bn,tn?1?an?b?n，则tn?tn?1?an?bn，即
tn?tn?1?bn?an.于是
t6?t5?b6?a6， t5?t4?b5?a5， t4?t3?b4?a4，
t3?t2?b3?a3， t2?t1?b2?a2．
将上述不等式相加得：t6?t1??b2?b3???b6???a2?a3???a6?.???11分
∵ Sab??a1?a2???a∴ Sab??a1?a2???a6??t. 66??t?1?b???b??6?a?a2b?32??3?a?.
6∴ Sab?a1?b1??b2?b?3??b
9
?6?46?a. 1 ①
将前4个不等式相加得t6?t2??b3?b4?b5?b6???a3?a4?a5?a6?.
类似地，可整理得Sab?t2??46?b1?b2??a1?a2. ②
若a1?3，可见a1?5，由①得Sab?46?a1?51； 若a1?3，则b1?1，那么t1?b1?1?a2，故t2?b2.
此时由②得Sab?t2??46?b1?b2??a1?a2?46?b1?a1?a2?48?a2?53． 综上所述，Sab?51总是成立的．------------------------------------------------6分 证法二：
对于由表格排列得到的数列?an?, ?bn?，若存在min?ai,bi?1??min?ai?1,bi?（其中，则交换表格的第i列与第i?1列，得到新数列?An?, ?Bn?． 2?i?6）
则对原数列，有
ti?max?bi,ti?1?ai?bi??max?bi,bi?1?ai?bi,ti?2?ai?1?bi?1?ai?bi?.
而对新数列，有
Ti?max?Bi,Bi?1?Ai?Bi,Ti?2?Ai?1?Bi?1?Ai?Bi? ,i?a?b ?max. ?bi?1bi1?b?i1,t?i2?ai?bi?a?1i???1i注意到max?bi,bi?1?ai?bi??bi?1?bi?max??bi?1,?ai? ?bi?1?bi?min?bi?1,ai? ?bi?1?bi?min?bi,ai?1?
?bi?1?bi?max??bi,?ai?1??max?bi?1,bi?ai?1?bi?1?. 这就说明ti?Ti，那么ti?1?max?bi?1,ti?ai?1?bi?1??max?bi?1,Ti?ai?1?bi?1??Ti?1. 依此类推可得t6?T6，则Sab?SAB．
可见，交换第i列与第i?1列后，新数列的并和不会增加．
????12分
对于任何一种由表格排列得到的数列?an?, ?bn?，可以通过上述有限次调整，得到排列※．这是因为考查表格中最小的数，可以经过有限次调整，将它调整到※中的位置，固定
该列后再考察余下数中最小的那一个，依此类推即可．
在调整的过程中，数列?an?到?bn?的并和Sab没有增加，因此调整前的Sab一定不小于
10
51．由?an?, ?bn?初始状态的任意性，可知Sab的最小值就是51．------------------6分
11
人大附中2011-2012学年度第二学期期末高一年级
数学练习 2012年7月3日
第Ⅰ卷
1. 第Ⅰ卷为试题部分，共6页.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真考作答. 生2. 第Ⅰ卷选择题的答案须按规定要求在“机读答题卡”上作答，题号要对应，填须涂要规范. 填空题、解答题的答案须写在答题纸上相应位置． 知 3. 考试结束后，考生应将“机读答题卡”与答题纸交监考老师收回. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—10题的相应位置上．
1．为调查本市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下左图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是 （ ） A．3800
B．6200 C．0.38 D．0.62
开始 S＝1，k＝1 开始 S?0T?1输入k＞10 否 S＜1? 是 否 是 XX?20是 S＝2S S ＝1S 8否 T?T?1S?S?1k＝k＋1 输出S T?10000是 输出S 结束 否
2．某程序框图如上右图所示，则该程序运行后输出的S的值为（ ）
111 A． 1 B． C． D．
2483．从2016名学生中选取53名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2016名学生中剔除4名，再从2012名学生中用系统抽样的方法抽取53名，则其中学生甲被剔除
1
结束 和乙被选取的概率分别是（ ）
A．
15032012,53 B．
35042012,53 C．
15042016,53 D．
15032016,53
4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体
6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A．
18 B．
116 C．
127 D．
38
5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
频数3210456（甲）789环数3210456789环数频数（乙）
A． 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B． 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C． 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
ì???x-y 1,??6．若整数x,y满足?íx+y 1, 则2x+y的最大值是（ ）
??3??y￡,??2?A．1
B．5 C．2 D．3
7．在?ABC中，若sinA?2sinBcosC?0，则其形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8．已知a,b?R，且a?b，a?b?2，则（ ）
A．1?ab?a2?b22 B．ab?1?a2?b22
C．ab?a2?b22?1 D．
a2?b22?ab?1
*9．已知?an?是等比数列，a2?2，a5?围是（ ）
A．[12,16) B．[8,16) C．?8,14，则a1a2?a2a3???anan?1(n?N)的取值范
?32??1632? D．??3,3? 3??????，记T1?a1，10. 已知等差数列{an}的通项公式an?2n?1?n?1,2,3，
2
n为奇数,?Tn?1?an?1,?2Tn???Tn?1?an?an?1,n为偶数?22（ ）
（n?2,3,?），那么
T2n?
A． 2n?1 B．
1122n?6
C． ??5， n=1，2?4n?3n?6，n?1 D．3n?2n
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．）
11.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：??0.254x?0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增y加____________万元． 12. 不等式
4x?2?1的解集是_______________________．
13．从2,4中任选一个数字，从1,3,5中任选一个数字组成一个二位数，组成的二位数为奇数的概率为 .
14． 在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?4:5:6，则cosA :cosB:cosC= ．15．在?ABC中，若a?2，b?c?7，sinB?2154，则b? ．
16．设关于x的不等式x?2ax?a?2?0的解集为M，如果M?[1,4]，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共36分. 请将解答题的答案写在答题纸上相应．．．．．．．．．．．．．．．．位置．） ．．
17．（本题10分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.
（1）A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？
（2）从A类工人中抽查的结果和从B类工人中抽查的结果分别如下表1和表2 表1：
生产能力分组 ?100,110? ?110,120? ?120,130? ?130,140? ?140,150? 3
人数 表2： 生产能力分组 人数 4 8 x 5 3 ?110,120? 6 ?120,130? y ?130,140? 36 ?140,150? 18 （ⅰ）先确定x,y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
18．（本题10分）已知：关于x,y的方程组??x?by?3?x?ay?2
（1）把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，求方程组只有正数解的概率；
（2）若a是在区间(0,6]上随机取的一个数，b是在区间(0,6]上随机取的一个数，求方程组只有正数解的概率．
19．（本题10分）在?ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知c?2，C??3．
（1）若b?263，求边a；
（2）若c?bcosA?acosB?4acosA，求?ABC的面积； （3）设t?a?b，求t的取值范围．
4
20．（本题6分）对于各项均为正数且各有m项的数列?an?, ?bn?，按如下方法定义数列?tn?：
?tn?1?an?bn tn?1?an,?n?1,2,?,m?，t0?0，tn??并规定数列?an?到?bn?的“并和”
b t?an?1n?n为Sab?a1?a2???am?tm．
（Ⅰ）若m=3，数列?an?为3，7，2；数列?bn?为5，4，6，试求出t1、t2、t3的值以及数列?an?到?bn?的并和Sab；
（Ⅱ）若m=4，数列?an?为3，2，3，4；数列?bn?为6，1，x，y，且Sab?17，求证：
y?5；
（Ⅲ）若m=6，下表给出了数列?an?, ?bn?：
an
7 9 3 13 11 6 5 bn
4 12 1 8 10 如果表格中各列（整列）的顺序可以任意排列，每种排列都有相应的并和Sab，试求Sab的最小值，并说明理由．
5