传输线理论2007 Rev.2.0
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传输线理论
1 引言
传输电磁能量和信号的线路称为传输线。传输线包括TEM 波传输线、波导传输线和表面波传输线。本教材讨论TEM 波传输线（如双线、同轴线）的基本理论。这些理论不仅适用于TEM 波传输线,而且也是研究TEM波传输线的理论基础。
TEM波即横电磁波，其特征是Ez=0、Hz=0，因此电磁场只有横向分量ET、HT，即TEM波只有垂直于传输方向的横向分量。但应注意到TEM波的场不是静场，而是随时间t及纵座标z波动变化的场。
研究传输线上所传输电磁波的特性的方法有两种。一种是“场”的分析方法，即从麦氏方程组出发，解特定边界条件下的电磁场波动方程，求得场量（E和H）随时间和空间的变化规律，由此来分析电磁波的传输特性；另一种方法是“路”的分析方法，它将传输线作为分布参数来处理，得到传输线的等效电路，然后由等效电路根据克希霍夫定律导出传输线方程，再解传输线方程，求得线上电压和电流随时间和空间的变化规律，最后由此规律来分析电压和电流的传输特性。这种“路”的分析方法，又称为长线理论。事实上，“场”的理论和“路”的理论既是紧密相关的，又是相互补充的。
1.1 分布参数及其分布参数电路
传输线可分为长线和短线，长线和短线是相对于波长而言的。所谓长线是指传输线的几何长度和线上传输电磁波的波长的比值（即电长度）大于或接近于1。反之称为短线。在微波技术中，波长以m或cm计，故1m长度的传输线已长于波长，应视为长线；在电力工程中，即使长度为1000m的传输线，对于频率为50Hz（即波长为6000km）的交流电来说，仍远小于波长，应视为短线。传输线这个名称均指长线传输线。有些传输线宜用“场”的理论去处理，而有些传输线在满足一定条件下可以归结为“路”的问题来处理，这样就可以借用熟知的电路理论和现成方法，使问题的处理大为简化。长线和短线的区别还在于：前者为分布参数电路，而后者是集中参数电路。在低频电路中常常忽略元件连接线的分布参数效应，认为电场能量全部集中在电容器中，而磁场能量全部集中在电感器中，电阻元件是消耗电磁能量的。由这些集中参数元件组成的电路称为集中参数电路。随着频率的提高，电路元件的辐射损耗，导体损耗和介质损耗增加，电路元件的参数也随之变化。当频率提高到其波长和电路的几何尺寸可相比拟时，电场能量和磁场能量的分布空间很难分开，而且连接元件的导线的分布参数已不可忽略，这种电路称为分布参数电路。
下面以对称线为例讨论它的分布参数：
频率提高后，导线中所流过的高频电流会产生趋肤效应，使导线的有效面积减小，高
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频电阻加大，而且沿线各处都存在损耗，这就是分布电阻效应；通高频电流的导线周围存在高频磁场，这就是分布电感效应；又由于两线间有电压，故两线间存在高频电场，这就是分布电容效应；由于两线间的介质并非理想介质而存在漏电流，这相当于双线间并联一个电导，这就是分布电导效应。当频率提高到微波频段时，这些分布参数不可忽略。例如，设双线的分布电感L1= 1.0nH/mm，分布电容C1= 0. 01 pF/mm。当f=50Hz时，引入的串联电抗和并联电纳分别为Xl=314×10-3μ? /mm和Bc= 3.14×10?12 S / mm。当f=5000MHz时，引入的串联电抗和并联电纳分别为Xl=31.4Ω/mm 和Bc=3.14×10-4S/mm 。
由此可见，微波传输线中的分布参数不可忽略，必须加以考虑。由于传输线的分布参数效应，使传输线上的电压电流不仅是空间位置的函数。
1.2 均匀传输线的分布参数及其等效电路
所谓均匀传输线是指传输线的几何尺寸、相对位置、导体材料以及周围媒质特性沿电磁波传输方向不改变的传输线，即沿线的参数是均匀分布的。一般情况下均匀传输线单位长度上有四个分布参数；分布电阻R1、分布电导G1、分布电感L1和分布电容C1。它们的数值均与传输线的种类、形状、尺寸及导体材料和周围媒质特性有关。几种典型传输线的分布参数计算公式列于表1-1中。表中μ0、ε分别为对称线周围介质的磁导率和介电常数。
表1-1
种类 对称线 同轴线 带状线 结构 L1/（H/m） ?? ?2?lnba ????lnDr 8? 8arche2b??C1/（F/m） lnDr 2??lnba ???arche2b 表中：?为介电常数、?为导磁率。???0??r、???0??r，其中?0真空介电常数、?0为真空导磁率，?r、?r分别为相对介电常数和相对导磁率。
有了分布参数的概念，我们可以将均匀传输线分割成许多微分段dz（dz＜＜λ），这样每个微分段可看作集中参数电路。其集中参数分别为R1dz、G1dz、L1dz及C1dz，其等效电路为一个Γ型网络如图1-1（a）所示。整个传输线的等效电路是无限多的Γ型网络的级联，如图1-1（b）所示。
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（a） （b）
图1-1
2 均匀传输线方程及其解 2.1 均匀传输线方程
均匀传输线的始端接角频率为ω的正弦信号源，终端接负载阻抗ZL。坐标的原点选在始端。设距始端z处的复数电压和复数电流分别为U?z?和I?z?，经过dz段后电压和电流分别为U?z?+dU?z?和I?z?+dI?z?。如图2-1 所示。
图2-1
其中增量电压dU?z?是由于分布电感L1dz和分布电阻R1的分压产生的，而增量电流dI?z?是由于分布电容C1dz和分布电导G1的分流产生的。根据克希霍夫定律很容易写出下列方程：
??dU(z)??R1?j?L1?I(z)dz （2-1） ???dI(z)??G1?j?C1??U(z)?dU(z)?dz略去高阶小量，即得：
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?dU(z)???R1I(z)?j?L1I(z)???dz ? （2-2）
?dI(z)???GU(z)?j?CU(z)?11??dz式（2-2）是一阶常微分方程，亦称传输线方程。它是描写无耗传输线上每个微分段上的电压和电流的变化规律，由此方程可以解出线上任一点的电压和电流以及它们之间的关系。因此式（2-2）即为均匀传输线的基本方程。
2.2 均匀传输线方程的解
将式（2-2）两边对z微分得到：
?d2U(z)dI(z)????R?j?L11??dz2dz （2-3） ?2?dI(z)???G?j?C?dU(z)112?dz?dz将式（2-2）代入上式，并改写为
?d2U(z)2??R1?j?L1??G1?j?C1?U(z)??U(z)?2?dz （2-4） ?2?dI(z)??R?j?L??G?j?C?I(z)??2I(z)11112??dz其中：
???R1?j?L1??G1?j?C1????j?。
（2-5）
式（2-4）称为传输线的波动方程。它是二阶齐次线性常系数微分方程，其通解为
??z?z??U(z)?A1e?A2e???z?z?I(z)?Ae?Ae34? （2-6）
将式（2-6）第一式代入式（2-2）第一式，便得
I(z)??R1?j?L1(A1e??z?A2e)??z1Z0(A1e??z?A2e)
?z （2-7）
式中
Z0?R1?j?L1??R1?j?L1G1?j?C1 （2-8）
具有阻抗的单位，称它为传输线的特性阻抗。
通常称?为传输线上波的传播常数，它是一个无量纲的复数，而Z0具有电阻的量纲，称为传输线的波阻抗或特性阻抗。
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高频时，即ωL1＞＞R1，ωC1＞＞G1，则
Z0?L1C1 （2-9）
可近视认为特性阻抗为一纯电阻，仅与传输线的形式、尺寸和介质的参数有关，而与频率无关。
式（2-6）中A1和A2为常数，其值决定于传输线的始端和终端边界条件。通常给定传输线的边界条件有两种：一是已知终端电压U2和电流I2；二是已知始端电压U1和电流I1。下面分别讨论两种情况下沿线电压和电流的表达式。
2.2.1 已知均匀传输线终端电压U2和终端电流I2
图2-2
如图2-2 所示，这是最常用的情况。只要将z=l，U（l ） = U2， I（ l） = I2代入式（2-6）第一式和（2-7）得
??l?l??U2?A1e?A2e???l?l??Z0I2?A1e?A2e
解得：
1??lA?(U?ZI)e1202??2 （2-10） ?1?A?(U?ZI)e??l2202?2?将上式代入式（2-6）第一式和式（2-7），注意到l?z?z?,并整理求得
U?Z0I2?z?U2?Z0I2??z???)?2U(ze?e?Ui(z?)?Ur(z?)?22? （2-11） ?U2?Z0I2?z?U2?Z0I2??z??I(z?)?e?e?Ii(z?)?Ir(z?)?2Z02Z0?考虑到
U2I2?ZL，（2-11）变为：
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Z?Z0?z?ZL?Z0??z???)?LU(ze?e?Ui(z?)?Ur(z?)?2I22I2? （2-12） ??I(z?)?ZL?Z0e?z??ZL?Z0e??z??I(z?)?I(z?)ir?2ZI2ZI0202?上式可以看出传输线上任意处的电压和电流都可以看成是有两个分量组成，即： 入射波分量Ui(z?)、Ii(z?)，反射波分量Ur(z?)、Ir(z?)。
2.2.2 已知均匀传输线始端电压U1和始端电流I1
将z=0、U（0）=U1 、I（0）=I1代入式（2-6）第一式和式（2-7）便可求得
1?A?(U1?Z0I1)1??2 （2-13） ??A?1(U?ZI)z101?2?将上式代入式（2-6）和式（2-7），即可得
U(z)?12(U1?Z0I1)e??z?12(U1?I1Z0)e?z?Ui(z)?Ur(z)
?z （2-14）
（2-15）
I(z)?12Z0(U1?Z0I1)e??z?12Z0(U1?I1Z0)e?Ii(z)?Ir(z)
2.3 均匀传输。线入射波和反射波的叠加
由式（2-6）和式（2-7）两式可以看出，传输线上任意位置的复数电压和电流均有两部分组成，即有
?U(z)?A1e??z?A2e?z?A1e??ze?j?z?A2e?zej?z?Ui(z)?Ur(z)? （2-16） 1111???z?z??z?j?z?zj?zI(z)?Ae?Ae?Aee?Aee?I(z)?I(z)1212ir?ZZZZ0000?根据复数值与瞬时值的关系并假设A1、A2为实数，则沿线电压的瞬时值为
u(z,t)?A1e??zcos(?t??z)?A2e?zcos(?t??z)?ui(z,t)?ur(z,t)
?z （2-17）
i(z,t)?A1Z0e??zcos(?t??z)?A2Z0ecos(?t??z)?ii(z,t)?ir(z,t) （2-18）
式中ui（z,t）、ii（z.t）是由信号源向负载方向传播的行波，称为入射波，其振幅按e??z随传输方向衰减，其相位随传播方向z的增加而滞后；ur（z,t）和ir（z,t）是由负载向信号源方向传播的行波，称为反射波，其振幅按e?z随反射方向衰减，其相位随z的增加而滞后。线上任意位置的电压和电流均是入射波和反射波的叠加。
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（a）ui(z,t) （b）反射波ur(z,t)
图2-3 入射波和反射波沿线的瞬时分布图
当U2?Z0I2＝0，即负载阻抗Z2＝U2/I2＝Z0时，公式（2-10）中的第二项为A2=0，此时反射波消失，传输线上只存在入射波。当传输线终端连接与特性阻抗Z0匹配的负载时，终端无反射，传输线上只存在入射波，此时传输线上的波称为行波。
现在研究行波状态下电压和电流的沿线变化情况。为讨论方便，距离变量仍然从始端算起，由于U2?Z0I2＝0，A2=0，Ur(z)=0。考虑到????j?，因此公式（2-14）简化为：
U(z)?Ui(z)?U1?Z0I12e??z?A1e??z?A1e??e?j?z （2-19） （2-20）
I(z)?Ii(z)?U1?Z0I12Z0e??z?A1Z0e??z?A1Z0e??e?j?z于是入射波电压的瞬时值（假设初始相位?）可以写为：
ui(z,t)?A1e??zcos(?t??z??) （2-21）
式（2-18）是距离z和时间t的函数。在任意指定的地方（即z为定值），他随时间按正弦规律变动；而在任意指定时间（即t为定值），它沿线以指数规律分布衰减。如图2-4所示。
图2-4 传输线上的电压入射波
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2.4 均匀传输线相速与波长
现在我们研究波形上固定相位点的移动情况，令式（2-21）中?t??z??＝K，K为常数。两边对t微分得：
???vp?dzdt?0
dzdt??? （2-22）
式（2-22）为波行进的速度，即相位速度，简称相速。
在一个周期的时间内波所行进的距离称为波长，用λ表示，即： ?p?vpf?VpT?2?? （2-23）
式中f为电磁波频率，T为振荡周期。
2.5 均匀传输线特性阻抗
由式（2-6）、（2-7）可见，入射电压与入射电流之比或反射电压与反射电流之比为特性阻抗（即波阻抗）。他的表示式为（2-８），即：
Z0?R1?j?L1G1?j?C1
一般情况下，Z0为复数，其摸和幅角分别为： 4Z0?R1??L1222222G1??C1 ?? （2-24） ???0?1??1?L1?1?C1?tg?tg2?R1G1?特性阻抗与频率的定性关系如下图2-5。
图2-5 特性阻抗、幅角与频率的定性关系
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对于微波传输线，由于频率很高，R1??j?L1、G1??j?C1，则： Z0≈L1C1 （2-25） 公式（2-25）是测量传输线特性阻抗的原理公式。 2.6 均匀传输线传播常数 传播常数γ表示行波经过单位长度后振幅和相位的变化。其表示式如下式所示： ???R1??R1?2j?L1??G1?j?C1????j?。 （2-26）
由于实际微波传输线的损耗R1、G1比?L1、?C1小得多，式（2-26）经变化后可得： ???j?L1??G1?j?C1???L1C1(1?R1/j?C1)(1?G1/j?C1)L1C1(1?R1/j2?L1?G1/j2?C1)C1L1?G12L1???j?C1???L1C1?????j???R????1?2??? ??R12C1L1?G12L1C1?R12Z0?G1Z02 （2-27） ???L1C1 （2-28） 一般情况下，传播常数γ复数，其实部α称为衰减常数, 单位为dB/m（有时也用Np/m, 1Np/m=8.86 dB/m）；β为相移常数, 单位为rad/m。 由式（2-27）得：??其中： ?c??d?R12Z0R12Z0?G1Z02??c??d ——由导体电阻引起的损耗 （2-27a） ——由导体间介质引起的损耗 （2-27b） G1Z02（2-27a）（2-27b）说明传输线上信号的衰减既有导体电阻的热损耗引起的，又有导体间介质极化损耗引起的。 2.7 均匀传输线反射系数 为了表明反射波与入射波的关系，我们定义，线上某处反射波电压（或电流）与入射波电压（或电流）之比为反射系数，用??z??表示，即：
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??z???Ur(z?)Ui(z?)?Ir(z?)Ii(z?) （2-29）
由（2-11）式得：
??z???U2I2U2?Z0I2U2?Z0I2e?2?z?
考虑到负载阻抗 ZL?，故上式可以写为：
??z???ZL?Z0ZL?Z0?2?z?e （2-30）
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在传输线的终端（负载端），z?＝0，终端反射系数用Г
?2?ZL?Z0ZL?Z0表示，由式（2-30）得：
（2-31）
??2e?2?z???z???ZL?Z0ZL?Z0e?2?z? （2-32）
由此可见，终端反射系数只与负载阻抗和传输线的特性阻抗有关。终端阻抗的类型不同，反射系数也不同。
（1）当ZL＝Z0 （即负载匹配） 时，终端反射系数?2＝0，由反射系数定义知，反射波电压和反射波电流均为零，称为行波状态。
（2）当ZL＝0 （即负载短路） 时，终端反射系数?2＝－1；当ZL＝∞（即负载开路）时，终端反射系数Г2＝1。
在这两种情况下，反射波与入射波幅度相同（负号表示反射波与入射波相位相反），称为全反射状态。
在一般情况下，0＜?2＜1，称为部分反射。 当引入终端反射系数的概念后，式（2-11）可改写为
U(z?)?1??z?U2?Z0I2??z??? （2-33） ?U2?Z0I2??e?e??2U2?Z0I2???z??U2?Z0I2??e??I(z?)?12Z0??U2?Z0I2U2?Z0I2e??z??? （2-34） ??将终端反射系数?2? U(z?)?ZL?Z0ZL?Z012?U2?Z0I2U2?Z0I2带入后，的线上任意点的电压和电流为：
??z??U2?Z0I2?e??z???2e?
（2-35）
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I(z?)?12Z0?U2?Z0I2?e??z???2e??z??
（2-36）
2.8 均匀传输线输入阻抗
终端接负载阻抗时，则距终端为z′处向负载看去的输入阻抗定义为该点的电压U（z′）与电流I（z′）之比，并用Z in（z′） 表示。根据（2-35）、（2-36）：
?2?z?Ze?z?????z?2e1???z??in(z?)?U(z?)I(z?)?Z0e?z????2?z??Z02e??z??Z1??2e01??2e1???z?? 另外，将公式（2-12）中上下两式相除得:
?z?Zz?)Z?z?Le?Z0e?ZLe??z??Z??z?0ein(z?)?U(I(z?)?Z0Z?z?Le?Z0e?z??Z??z? Le?Z0e??z? 利用双曲余弦和双曲正弦：
ch?z?e?z?e??ze?z?e??z2
sh?z?2
ZZin(z?)?Z0Lch?z??Z0sh?z?Z?z??Z?ZZ?Z0tanh?z?0L 0chLsh?z?Z0?ZLtanh?z?2.8.1 终端短路（U2=0）传输线的输入阻抗 重写（2-33）、（2-34）： U(z?)?12?U?Z??z??U2?Z0I2??z??20I2???e? ?U?ZIe202?? I(z?)?1??z?U2?Z2Z?U?0I2e??z??2?Z0I2??e???Z?0U2?0I2?
由U2=0得：
U(z?)?12?Z0I?z???z?2??e?e?
I(z?)?12?I??e?z??e??z?2?
两式想除得终端短路传输线的输入阻抗：
(z?)?z???z?Zshort(z?)?UI(z?)?Ze?e0e?z??e??z? 2.8.2 终端开路（I2=0）传输线的输入阻抗 由I2=0得： U(z?)?12?U2??e?z??e??z??
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（2-37）
（2-38）
（2-39）
(A)
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I(z?)?12Z0?U2??e?z??e??z??
两式想除得终端短路传输线的输入阻抗：
Zopen(z?)?U(z?)I(z?)?Z0ee?z??z??e?e??z???z? (B)
2.8.3 传输线特性阻抗 将(A) (B) 两式相乘得：
2?? Zsho(z)?Z(z)?Zrtopen0
Z0??Zshor(tz?)?Zope(nz)(C)
2.9 均匀传输线的传输功率和效率
设传输线均匀且????j? (α≠0), 根据（2-35）及（2-36），沿线电压、电流的解为
U(z?)?12?U2?Z0I2?e??z???2e??z???A?e1?z???2e??z???A1e?z??ej?z???2e?j?z??
（2-40）
I(z?)?12Z0?U2?Z0I2??e?z???2e??z???A1Z0?e2?z???2e??z???A1Z0?z??ej?z???2e?j?z??
（2-41）
假设Z0为实数，由电路理论可知，传输线上任一点z处的传输功率为
P(z)?12?Re{U(z?)I(z?)}?A12Z0e2az?[1??2e2?4az?] （2-42）
?Pi(z?)?Pr(z?)
其中, Pi(z?)为入射波功率, Pr(z?)为反射波功率。 ?
设传输线总长为l, 将z??l代入式（2-42）, 则始端入射功率为
P(l)?A122Z0e2al?1??222e?4al? （2-43）
终端负载在z??0处, 故负载吸收功率为： ?? P(0)?A1[1??2] （2-44）
22Z0由此可得传输线的传输效率为： ?? ??负载吸收功率始端入射功率p(0)p(l)?e1??22al22[1??2e4al] （2-44）
当负载与传输线阻抗匹配时, 即?2?0, 此时传输效率最高, 其值为：??
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??e?2al （2-44） 可见, 传输效率取决于传输线的损耗和终端匹配情况。
3 无耗传输线的基本特性
无耗传输线：是指R1=0，G1=0 的传输线。一般传输线的导体均采用良导体，周围介质又是低耗介质材料，因此传输线的损耗比较小，满足ωL1>>R1，ωC1>>G1，故在分析传输线的传输特性时可以近似看成是无耗线。
3.1 无耗传输线的特性参数 3.1.1 无耗传输线传播常数γ
由公式（2-5）得：
????j?
其中：?为衰减常数；?为相移常数。
由于无耗传输线的R1=0，G1=0，则：
????j???R1??=0 ???j?L1??G1?j?C1?=j?L1C1
因此： L1C1 （3-1） 3.1.2 无耗传输线相速度 由公式（2-22）: vp?dzdt???
将???L1C1代入上式，便得波的相速度为 vp????1L1C1 （3-2）
将表1-1中的双线或同轴线的L1和C1代入上式，注意到材料介电常数(F/m)???0??r、材料导磁率(H/m)???0??r，其中?0真空的介电常数，?0?136??10?9，?0为真空的导磁
1率，?0?4??10?7，?r、?r分别为相对介电常数和相对导磁率，并注意到光速c?通常，?r=1，即
???0?0?0，
。则双线和同轴线上行波的相速度均为：
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vp?1
???1?0?r?0?r?1?0?0?r?c?r （3-3）
式中c为光速。由此可见，双线和同轴线上行波电压和行波电流的相速度等于传输线周围介质中的光速，它和频率无关，只决定周围介质特性参量，这种波称为无色散波。
公式（3-3）是测量传输线速比的原理公式。
3.1.3 无耗传输线波长
波长是指同一个时刻传输线上电磁波的相位相差2π的距离，即有
?p?2?vpf???vpT??0?r （3-4）
式中f为电磁波频率，T为振荡周期，λ0为真空中电磁波的工作波长。可见传输线上行波的波长也和周围介质有关。
3.1.4 无耗传输线特性阻抗
所谓特性阻抗Z0是指传输线上入射波电压Ui（z）和入射波电流I i（z）之比，或反射电压和反射波电流之比的负值。即
Z0?Ui(z)Ii(z)??Ur(z)Ir(z)
由于R1=0，G1=0，由式（2-8）得知
Z0?R1?j?L1??R1?j?L1G1?j?C1?L1C1 （3-5）
由此可见，无耗传输线的特性阻抗与信号源的频率无关，仅和传输线的单位长度上的分布电感 L1和分布电容C1有关，是个实数。由表1-1查得双线的分布电容和分布电感，然后代入式（3-5），便得到对称传输线的特性阻抗计算公式为：
Z0?120Dr276Dr?rln??rlg （Ω）
式中ε
r 为双导线周围介质的相对介电常数。同理得同轴线的特性阻抗公式为：
Z0?60?rlnba?138?rlgba （Ω） 常用的同轴线的特性阻抗为50Ω和75Ω两种。 根据式（3-5）及（3-2）得： 14
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Z0?L1C1?L1C1C1?1vpC1??rcC1 （3-6）
公式（3-3）、（3-4）和（3-6）是测量传输线传输速率、特性阻抗等的原理公式。具体应用见4.2.3节。
3.2 无耗传输线的输入阻抗和反射系数 3.2.1 无耗传输线输入阻抗Zin（z）
由于无耗线α=0，??j?。由公式（2-11）、（2-12）：
U(z?)?I(z?)?U2?Z0I22U2?Z0I22Z0ee?z???U2?Z0I222Z0ee??z??Ui(z?)?Ur(z?)?Ii(z?)?Ir(z?)?z?U2?Z0I2??z? （3-7）
变为：
U(z?)?I(z?)?U2?Z0I22U2?Z0I22Z0eej?z???U2?Z0I222Z0ee?j?z?j?z?U2?Z0I2?j?z???Ui(z?)?Ur(z?)??? （3-8）
?Ii(z?)?Ir(z?)???应用欧拉公式：
j?z??j?z???e?2cos?z??e?j?z·?j?z???e?j2sin?z??e （3-9）
可将式（3-8）写成三角函数表达式
?U(z?)?U2cos?z??jZ0I2sin?z?? （3-10） U?I(z?)?j2sin?z??I2cos?z??Z0?当终端接负载阻抗时，则距终端为z′处向负载看去的输入阻抗定义为该点的电压U（z′）与电流I（z′）之比，并用Z in（z′）表示。即：
Zin(z?)?U(z?)I(z?)?U2cos?z??jI2Z0sin?z?jU2Z0sin?z??I2cos?z?
将终端负载条件U2=I2ZL代入上式并化简得到
Zin(z?)?U(z?)I(z?)?Z0ZL?jZ0tan?z?Z0?jZLtan?z? （3-11）
将z' =l 代入上式便得到传输线始端的输入阻抗为
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Zin(l)?Z0ZL?jZ0tan?lZ0?jZLtan?l （3-12）
因为导纳和阻抗互为倒数，故可方便的得到输入导纳与负载导纳的关系式为
Yin(z')?Y0YL?jY0tan?z'Y0?jYLtan?z' （3-13）
式中Y L= 1/Z L，Y0=1/Z0
［例题］一根特性阻抗为50Ω、长度为0.1875m的无耗均匀传输线, 其工作频率为200MHz, 终端接有负载ZL=40+j30 (Ω), 试求其输入阻抗。
解: 由工作频率f=200MHz得相移常数β=2πf/c=4π/3。将ZL=40+j30 (Ω)，Z0=50， l=0.1875及β值代入式（3-12），有:
Zin(l)?Z0?50?50ZL?jZ0tan?lZ0?jZLtan?l?5040?j30?j50tan?/450?j(40?j30)tan?/440?j30?j50tan0.1875?4?/350?j(40?j30)tan0.1875?4?/340?j30?j5050?j(40?j30)?5040?j8020?j40?100???
3.2.2 无耗传输线反射系数
传输线上任意点的电压和电流均为入射波和反射波的叠加。反射波的大小和相位可用反射系数Γ（z'）来描写。
距终端为z'处的电压反射系数Γv（z'）定义为该点的反射电压与该点的入射波电压之比，即：
?v(z?)?同理z' 处的电流反射系数ΓI（z’）为 ?I(z?)?由式（3-10），比较可得
?v(z?)???I(z?) （3-16）
可见，传输线上任意点的电压反射系数和电流系数大小相等，相位相反，因常采用电压反射系数来描写反射波的大小和相位，故以后提到反射系数，如果未加指明，都表示电压反
Ir(z?)Ii(z?)Ur(z?)Ui(z?) （3-14）
（3-15）
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射系数，并用Γ（z '）表示。
由式（3-8）可以得到无耗线上离终端Γ（z '）处的电压反射系数为
式中Γ2 为终端的反射系数，其值为
?2?U2?I2Z0??V(z')?Ur(z')Ui(z')?U2?I2Z0U2?I2Z0e?j2?z'??2e?2j?z' （3-17）
ZLI2?I2Z0U2?I2Z0ZLI2?I2Z0ZL?Z0
可见，终端电压反射系数仅决定于终端负载阻抗ZL和传输线的特性阻抗Z0；终端电压反射
?ZL?Z0?|?2|ej?2 （3-18）
系数的模表示终端反射波电压与入射波电压振幅的比值，其相位φ2表示终端反射波的电压与入射波电压之间的相位差。
将式（3-18）代入（3-17），便得到无耗传输线离终端z′ 处的电压反射系数为
（3-19）
因此，无耗线上任意点的反射系数的大小等于终端负载的反射系数，其相位比终端处的反
?(z?)??2ej(?2?2?z?)射系数相位落后2βz'。
线上任意点电压和电流可用反射系数来表示，即
?U(z?)?Ui(z?)?Ur(z?)?Ui(z?)[1??(z?)] （3-20） ????I(z)?I(z)?I(z)?I(z')[1??(z')]iri ?上面两式相比，便可得到线上某点的输入阻抗和该点的电压反射系数的关系式为
Zin(z')?Z01??(z')1??(z') （3-21）
上式表明，线上任意点的反射系数和该点向负载看去的输入阻抗有一一对应的关系。将z ' =0 代入上式，便得终端负载阻抗与终端反射系数的关系，即为
ZL?Z01??21??2 或 ?2?ZL?Z0ZL?Z0 （3-22）
3.3 无耗传输线驻波系数和行波系数
当电磁波在终端负载不等于传输线特性阻抗的传输线上传输时，会产生反射波。反射波的大小除了用电压反射系数来描写外，还可用驻波系数（VSWR）或行波系数K来表示。驻波系数ρ定义为沿线合成电压（或电流）的最大值和最小值之比，即
??UUmax?IImax（3-23）
minmin
传输线上合成电压（或电流）振幅值的不同，是由于各处入射波和反射波的相位不同而引
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起的。可见当入射波的相位与该点反射波的相位同相时，则该处合成波电压（或电流）出现最大值，反之两者相位相反时，合成波出现最小值，故有
Umax?Ui?Ur?Ui(1??),
Umin?Ui?Ur?Ui(1??)
由此可得到驻波系数和反射系数的关系式为
??UUmaxmin?1??1?? 或者
（3-24）
????1??1
行波系数K定义为沿线电压（或电流）的最小值与最大值之比，即驻波系数的倒数。 故
K?11??1??
因此，传输线的反射波的大小，可用反射系数的模、驻波系数和行波系数来表示。反射系数的范围为0 ≤?≤1；驻波系数的范围为1 ≤ρ≤ ∞；行波系数的范围为0 ≤K ≤1。当
???（3-25）
=0、ρ=1和K =1时，表示传输线上没有反射波，即为匹配状态。
[例题］一根75Ω均匀无耗传输线, 终端接有负载ZL=RL+jXL，欲使线上电压驻波比为3,
则负载的实部RL和虚部XL应满足什么关系？?
解: 由驻波比ρ=3, 可得终端反射系数的模值应为： ?? ?2?于是由式（3-22）得 ?2?ZL?Z0ZL?Z0?0.5
??1??1 ?0.5??
将ZL=RL+jXL，Z0=75代入上式,
RL?jXRL?jX2LL?75?752L2L?0.5 12(RL?75)?X(RL?75)?X2?
整理得负载的实部RL和虚部XL应满足的关系式为??
(RL-125)2+XL 2=1002
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即负载的实部RL和虚部XL应在圆心为（125, 0）、半径为100的圆上, 上半圆对应负载为感抗, 而下半圆对应负载为容抗。
3.4 无耗传输线传输功率
传输线主要用来传输功率。
根据（3-20），无耗传输线上任意点z处的电压、电流为：
?U(z?)?Ui(z?)[1??(z?)] ??I(z)?I(z')[1??(z')]i ?因此传输功率为
P(z?)?1212Re{U(z?)I(z?)}?2?12Re{Ui(z?)[1??(z?)]Ii(z?)[1??(z?)]}????（3-26）
Re{Ui(z?)Z0[1??(z?)2??(z?)??(z?)]}
对于无耗线Z0为实数，而上式中括号内第三与第四项之差为虚数，因此上式变为
P(z?)?Ui(z?)2Z02(1??(z?))?Pi(z?)?Pr(z?) （3-27）
22式中Pr(z?)和Pi(z?)分别表示z点处反射波功率和入射波功率，两者之比?(z?)为功率反射系数。式（3－27）表明，无耗传输线上通过任意点的传输功率等于该点的入射波功率与反射波功率之差。由于是无耗线，因此通过线上任意点的传输功率都是相同的，即传输线始端的输入功率等于终端负载吸收功率，也等于电压波腹点或电压波节点处的传输功率，为了简便起见，一般在电压波腹点或电压波节点处计算传输功率，即
P(z?)?1Uma2max22Z0
式中|U|max 决定传输线间击穿电压Ubr，在不发生击穿情况下，传输线允许传输的最大功率
Ixm?in1UK（3-28）
称为传输线的功率容量，其值应为
Pbr?1Ubr22Z0
可见，传输线的功率容量与行波系数K有关，K愈大，功率容量愈大，
K（3-29）
4 均匀无耗传输线工作状态的分析
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传输线的工作状态是指沿线电压、电流以及阻抗的分布规律。传输线的工作状态有三种：行波、驻波和行驻波。它主要决定于终端所接负载阻抗的大小和性质。下面分别讨论。 4.1 行波工作状态（无反射情况）
根据公式（3－18）：
U2?I2Z0ZLI2?I2Z0
可以得到传输线无反射波的条件为
ZL?Z0
?2?U2?I2Z0?ZLI2?I2Z0?ZL?Z0ZL?Z0?|?2|ej?2
此时，令式（2－14）中右边第二项为零，便得到行波状态时沿线电压和电流的表达式为
U1?I1Z0?j?z?j(?1??z)?j?zU(z)?e?Ue?Ue1i1i?2? （4-1） ?U1?I1Z0?j?zj(?1??z)?j?z?I(z)?e?I1ie?I1ie?2Z0?式中U1 和I1 分别表示始端的电压和电流，U1i 和I1i 分别表示始端的入射波电压和电流，φ 1为始端入射波电压（或电流）的初相位。
由式（4-1）中两式之比，便得到行波工作状态时，沿线某点的输入阻抗为：
Z(z)?U(z)I(z)?U1ieI1ie?j?z?j?z?Z0（4-2）
由上面的分析可知，当负载阻抗等于传输线特性阻抗时，均匀无耗传输线上传播的波为行波，沿线各点电压和电流的振幅不变；相位随z增加不断滞后；沿线各点输入阻抗均等于传输线的特性阻抗，如图4-1所示。
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支节匹配可分单字节、双字节和三字节匹配，但由于它们的匹配原理相同，这里只介绍单字节匹配。
单字节匹配的原理如图6-4所示。当归一化导纳YL≠1时，在离负载导纳适当的距离d处，并接一个长度为l、终端短路（或开路）的短截线，构成单字节匹配器，从而使主传输达到匹配。它的匹配原理可用导纳圆图来说明。
图6-4
为了使传输匹配，必有
Yin?1 （6-10）
由图6-4 看出
Yin?Y1?Y2 （6-11）
其中Y2是短路（或开路）短截线的归一化输入导纳，它只能提供一个纯电纳，即
Y2?jB （6-12）
将式（6-10）和式（6-12）代入式（6-11），得到
Y1?1?Y2?1?jB因此，要使Y in =1 ， 必有
（6-13）
即Y1的轨迹一定位于G =1的圆上。利用导纳圆图很易求得Y1的值，只要将导纳圆图上的YLY1?1?Y2?1?jB位置沿等驻波系数圆顺时针转到和G= 1的圆相交，其交点即为Y 1=1?jB。由YL转到Y1，所转过的电长度即为d/ λ。为了要抵消电纳? jB，只要调节并接短截线的长度l，使它能提供一个+ j B的输入电纳，从而满足YIN=1，达到匹配。因此调节离负载的距离d的目的是使
Y1落在G=1的圆上，调节短截线的长度l的目的是提供一个电纳，抵消Y1中的电纳。由此
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可见接入位置d和短截线长度l可由导纳圆图求得。还可根据式（3-13）导得d和l的解析式为
?ZL?arctan?d?2?Z0? ?ZLZ0?l??arctan()?2?ZL?Z0?短路时
式中ZL为实数。
这种单字节匹配器，一组d和l只能对一个YL值进行匹配，当YL值改变时，必须重新改变d和l。对于双线传输线调节很方便，但对于同轴线的d调节不太容易实现。解决的办法是采用双字节匹配，这样离负载的距离d1和短截线的距离d可以固定，只要改变两短截线的长度实现对各种负载导纳的调配。但双字节匹配器存在不能匹配的死区，克服这个缺点可以采用三支节或四支节进行匹配，这部分内容将在微波元件一章中讨论。
【例题2】 已知双导线的特性阻抗ZL=200 Ω，负载阻抗ZL=660 Ω，用单字节匹配器进行匹配，求接入支节的位置d和支节长度l。 解：解题过程如图6-5所示。
（1）计算归一化负载阻抗和归一化负载导纳：
ZL?ZLZ0?660200?3.3?j0
由圆图上找到ZL≈3.3的位置A点，由A点转过180°得B点，B点即为归一化负载导纳的位置读得YL= 0.3+ j 0。
（2）求Y1及d。由B点沿ρ=3.3等驻波系数圆顺时针方向转到与G= 1的圆相交与E和E’点，该两点即为Y1位置，读得Y1= 1±j1 .3。B点E点和E’点对应的电长度分别为0、0.171 或0.329。因此,支节线接入位置d=0.171λ或0.329λ。
（3）求支节线长度l。为了抵消Y1中±j1.3 电纳，短截线的输入归一化电纳应为Y2=±j1.3。若采用终端短路的短截线，由导纳圆图上的短路点D沿ρ=∞圆顺时针转到Y2=?j1.3的F和F’点。D、F 和F’点相应电长度分别为0.25、0.354 和0.146。故支节线的长度为：
l=（0.354-0.25）λ =0.104 λ
或:
l=（0.5-0.104）λ =0.396 λ
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图6-5
附录1，单位电容的公式推导
设：内外导体单位长度的电量为+ρl及-ρl，则介质内电场强度为：
E?Er??l2??r
电场沿半径方向，由Er可以求出两导体电压
V??r2r1Erdr??l2???r2drrr1??l2??lnr2r1
故，单位长度的电容为 C??V??lV?2??lnr2r1?2??lnDd
参考文献： 1. 2.
3.
汪祥兴 《射频电缆设计手册》 吴大正 《信号与线性网络分析》
浙江万里学院电子信息学院 《电磁场与微波技术》
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