流体力学

流体力学辅导教案

课程名称：流体力学

学时：36（适用于土木、环境工程）

教材：水力学，中国水利水电出版社，迟耀瑜，1999年12月版

参考书：1.水力学，人民教育出版社，清华大学水力学教研组编，1981年7月版

2.水力学，高等教育出版社，成都科技大学水力学教研室编，1983年6月第二版 水力学是一门技术基础课，也是水利工程、土木工程、环境工程、交通工程、建筑工程等专业的必修课程。学习水力学课程必须具备物理学、理论力学和材料力学等基础知识。通过本课程的学习，要求能掌握液体平衡和液体运动的基本概念、基本理论和分析方法，能正确区分不同水流的运动状态和特点，掌握水流运动的基本规律，能解决实际工程中有关管流和明渠流的常见水力学问题，为今后学习专业课程、从事专业技术工作打下良好的基础。

第一章 绪论

《绪论》部分授课学时为2个学时。

基本要求：①正确理解液体的五种主要物理性质，重点掌握粘滞性的有关概念。②弄清连续介质和理想流体的概念，了解作用于流体上的力的分类及其各种力的含义。

基本概念：⑴连续介质 ⑵液体密度 ⑶液体容重 ⑷液体的粘滞性、运动粘度、动力粘度 ⑸液体的压缩性、体积压缩系数、弹性系数 ⑹液体的膨胀性、体积膨胀系数 ⑺表面张力、毛细现象 ⑻理想液体（非粘性液体） ⑼实际液体（粘性液体） ⑽表面力、压应力（压强） ⑾质量力（体积力）、单位质量力

重点掌握：⒈连续介质的概念 ⒉液体的粘滞性 ⒊液体的压缩性、液体的膨胀性概念 ⒋表面力、质量力（体积力）、单位质量力的概念

基本内容：

水力学是研究液体的力学性质的一门科学。水力学的任务是研究液体的平衡和机械运动的规律及其实际应用。

水力学是力学的一个分支，水力学符合力学三大定律，即质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。从学科的角度来看，水力学是介乎基础科学和工程技术之间的一门技术科学。一方面根据基础科学中的普遍规律，结合水流特点，建立理论基础，同时又紧密联系工程实践，发展学科内容。

水静力学、水动力学

水力学所研究的基本规律，有两大主要组成部分。一是关于液体平衡的规律，它研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的种种力之间的关系，这一部分称为水静力学；二是关于运动的规律，它研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间

1

的关系，以及液体的运动特性与能量转换等等，这一部分称为水动力学。

研究对象

自然界的物质一般有三种存在形式，即固体、液体和气体。液体和气体统称为流体。固体由于其分子间距离很小，内聚力很大，所以它能保持固定的形状和体积。它能承受一定数量的拉力、压力和剪切力。而流体则不同，由于其分子间距离较大，内聚力很小，它几乎不能承受拉力，抵抗拉伸变形；在微小剪切力作用下，流体很容易发生变形或流动，所以流体不能保持固定的形状。

液体与气体两者相比，液体分子内聚力却又比气体大得多，因为液体分子间距离较小，密度较大，所以液体虽然不能保持固定的形状，但能保持比较固定的体积。一个盛有液体的容器，若其容积大于液体的体积时，液体就不会充满整个容器，而具有自由表面。气体不仅没有固定的形状，也没有固定的体积，极易膨胀和压缩，它可以任意扩散直到充满其所占据的有限空间。而液体的压缩性很小。气体和液体的主要区别就是它们的可压缩程度不同，但当气流速度远比音速为小的时候，在运动过程中其密度变化很小，气体也可视为不可压缩，此时水力学的基本原理也同样可适用于气流。水力学虽以水为主要研究对象，但其基本原理同样适用于一般常见的液体和可以忽略压缩性影响的气体。水力学的基本内容不但在水利建设方面有着广泛的应用，并且在许多国民经济部门，如城市建设及环境保护、机械制造、石油开采和输送、金属冶炼和化学工业等也都需要应用水力学知识。

第一节 液体基本特征及连续介质

液体基本特征

液体与固体的差异是几乎不能承受拉力，抵抗拉伸变形；在微小剪切力作用下，液体很容易发生变形或流动，或者说，静止液体不能抵抗剪切应力。所以液体不能保持固定的形状并具有流动性；液体能保持比较固定的体积并具有自由表面；液体的压缩性很小。

连续介质

液体的真实结构是由彼此之间有空隙并在进行复杂的运动的大量液体分子所组成的聚集态。由于水力学的任务并不是研究液体分子的运动，而是研究整个液流的宏观机械运动，因此在水力学中引入了连续介质的假定，即认为液体是由连续的液体质点所组成，这些液体质点完全充满所占空间，没有空隙存在，其物理性质和运动要素都是连续分布的。引入连续介质假定有两个目的：①能摆脱复杂的分子运动，而着眼于实际所关心的宏观机械运动，②能充分利用连续函数这一数学工具，对液体的运动规律进行理论分析。工程上所研究的液体尺度远比液体的分子尺度大得多，这一假设对大多数液流的情况是适用的。必须指出，当所研究的液体尺度接近分子尺度时，如很稀薄的气体，连续介质的假设便不能适用。

第二节 液体主要物理性质

惯性

惯性

惯性就是物体所具有的反抗改变原有运动状况的物理性质。液体同其他物体一样，也具有惯性。惯性的大小用质量来度量。当液体受外力作用使运动状态发生改变时，由于液体的惯性引起对外界抵抗的反作用力称为惯性力。设物体的质量为Ｍ，加速度为a，则惯性力为 Ｆ＝－Ｍa 式中负号表示惯性力的方向与物体的加速度方向相反。

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密度

密度是指单位体积的液体所含有的质量。液体的密度常以符号ρ表示，若一均质液体质量为Ｍ，体积为Ｖ，则ρ＝Ｍ／Ｖ 当液体为非均质时，则某点密度

??lim?M

?v?0?V密度随温度和压强而变化，但在常温常压范围内变化不大。

万有引力特性

液体在地球引力场内受到引力作用，其重力Ｇ为： Ｇ＝Ｍg

式中，g为重力加速度，其值取9.80m/s2。 容重：单位体积的液重叫容重，以γ表示。 γ＝Ｇ／Ｖ＝ρg

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工程上常采用水的容重γ＝9.80kN/m、水银容重γm=133.3kN/m为其计算代表值。

粘滞性

粘滞性

我们知道，液体在静止时，不能承受剪切应力，一旦液体受到切力作用时，会不断发生切向变形而流动，此时液体会显示出抵抗切向变形的能力，也就是液体处于运动状态时，液体质点间存在着相对运动，则质点间就会产生内摩擦切应力与作用切力相抗衡，这一性质称为液体的粘滞性。此内摩擦力又称为液体的粘滞力

粘滞性主要来自液体分子间的内聚力，是质点间的一种内在联系，粘滞力阻滞质点间的相对位移，并使其流速分布具有连续性。并且液体在流动时，必须不断克服其内摩擦切应力而消耗自身的机械能，这一现象是水力学研究的重点。粘滞性大小因液体而异，水的粘滞性远小于甘油。

动力粘度

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表示粘滞性大小的物理量，用动力粘度μ表示，单位为牛顿·秒/米（Ｎ·s/m）。又22N/m称为帕斯卡，简称“帕”，以“Pa”表示，则Ｎ·s/m亦可写作Pa·s，称为帕斯卡·秒或帕·秒。

运动粘度

水力学中通常以运动粘度ν来表示液体的粘滞性大小，它与μ的关系为： ν＝μ/ρ

式中ρ为液体的密度。ν的单位为m2/s，它是运动量纲，故称运动粘度。又0.0001m2/s=1cm2/s，称作1“斯托克斯”。

水的粘度随温度而变化，温度上升其粘度减小。

压缩性与膨胀性

压缩性

液体的体积因压强的变化而改变，称为压缩性。液体压缩性的大小可用体积压缩系数βp或弹性系数k来表示，其定义为：

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dVV 或 k?1 ?p?dp?p?式中，dp为压强增量，dV/V为液体体积变化率，式中负号是为了使βp为正值而加。100C

-102

时，水的βp=4.76×10m/N，即每增加一个大气压强其体积压缩率dV/V≈1/20000，这一数值很小，故一般情况下可以不考虑水的压缩性。

膨胀性

液体的体积因温度的变化而改变，称为膨胀性。液体的膨胀性可用体积膨胀系数βt来表示：

dV ?t?V

dT式中dT为温度增量。在200C常温下，水的βt=150×106(1/0C)，故通常亦不考虑其膨胀性。在供热系统中，因水温变幅较大，如水在800C和1000C时与40C相比，其密度（体积）的变化率-Δρ/ρ(=ΔV/V)分别为2.82%和4.16%，为防止胀裂容器或管道，应给膨胀水体以出路。

-

液体表面特性

液体与气体间的分界面，即液体的自由液面，其表面特性在某些情况下应予考虑。 表面张力

自由液面附近的液体受到来自气体和液体内部的引力，但液体一侧的引力较大，在引力差作用下，自由液面的液体呈现出收缩和承受张力的性质，即具有表面张力特性。也就是说，由于受内、外两侧分子引力不平衡，使自由液面上液体分子受有极其微小的拉力。表面张力只存在于液体的自由表面，液体内部并不存在。表面张力以表面张力系数σ表示，是指在自由面单位长度上所受拉力的数值，单位为N/m，其值与液体种类及温度有关。

毛细现象

液体与气体、固体交界处，在液体的附着力、内聚力和表面张力作用下，液体自由表面可以沿固体壁面上升或下降，呈现凹（凸）液面，由于这一现象在毛细管中特别明显，称毛细现象。下面给出200C时水和水银在洁净玻璃毛管中的毛细管高度近似计算公式：

水 h=29.8/d (mm) 水银 hm=－10.15/d (mm)

式中d为毛管内径，以mm计。对水和水银来说，当d>20mm和d>15mm时，其毛细管高度可以忽略不计。

汽化性

汽化：液态转化为汽态称为汽化。

蒸发：汽化在液体表面上发生时称为蒸发。

沸腾：汽化在液体内部发生时称为沸腾。沸腾时，液体内部产生许多小汽泡，从而破坏了液体的连续性。沸腾时的温度称为沸点，此时蒸汽压强称为饱和蒸汽压，以pv表示。水

０

在沸点100 C时的饱和蒸气压为1个大气压，饱和蒸气压越低，水的沸点越低。

空化：水力学称沸点低于1000C时的沸腾为空化。

空穴：运动液体各点压强不同，有的部位压强可能大大低于大气压强，因而会在常温下

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发生空化。空化处发生大量气体（或蒸汽）空泡，这一现象称为空穴。所以空穴发生在水流低压区。

空蚀现象：在发生空穴处的下游高压区，往往因空泡的溃灭引起过流壁面的剥蚀破坏，即所谓空蚀现象。工程中均需采取各种措施来避免这一现象或破坏的发生。

第三节 非粘性液体

在研究液体运动规律时，一般仅须考虑其惯性、万有引力特性和粘滞性。但由于粘滞性所产生的内摩擦切应力，使水流受力变得复杂，许多情况下难以进行理论上的分析研究和求解，为此引入非粘性液体或理想液体的概念。

非粘性液体（理想液体）

非粘性液体是没有粘滞性的液体，但它仍保留使液体流速具有连续分布的性质。 粘性液体（实际液体）

相对地，称具有粘滞性的液体为粘性液体或实际液体。

第四节 作用于液体上的力

作用于液体上的力很多，按性质可分为重力、惯性力、弹性力、内摩擦力以及表面张力等。它们分别对液体运动规律有着不同的影响。这些力按其作用方式分为表面力和质量力两类。

一． 表面力

表面力：表面力连续作用于液体的表面，表面力又可分解成垂直和平行于作用面的压力和切力。表面力如边界对液体的反作用力，再如液体质点之间的作用力在作用面上的表现。

压强：单位面积上的压力称为压强，又称为压应力。以p表示。 切应力：单位面积上的切力称为切应力。以τ表示。 下面给出它们的定义，如图所示液体平面Ａ上作用着连续分布的压力，在Ａ上任取一微小面积ΔA，其上压力的合力为ΔP，则某点压强的定义为：

p?lim?P

?A?0?A若用作用面上总压力比上作用面积，则为作用面上的平均压强p＝P／A 同理某点切应力的定义为：

??lim?T

?A?0?A作用面A上的平均切应力τ＝T/A

二． 质量力

质量力（体积力）

质量力连续作用于液体质点上，其值与液体的质量成正比，对均质液体其质量力与体积成正比，故又称为体积力。

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设某液体的质量为Ｍ、质量力为Ｆ，则单位质量力f为： f＝F／M (m/s2) f的矢量式为：

f＝Xi+Yj+Zk

式中，Ｘ、Ｙ、Ｚ为单位质量力在坐标x、y、z上的投影。其单位为m/s2与加速度单位相同。

第二章 水静力学

《水静力学》授课学时为4个学时。其中第一至第四节为2个学时，第六、第七节为2个学时，第五节、第八节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为静水压强实验。 基本要求：①了解静水压强特性，等压面，绝对压强与相对压强，水头与单位势能等基本概念。了解压强测量的基本方法和压强的各种表示方法。 ②会使用重力作用下流体静压强的基本公式求解任意点的流体静压强。③能正确绘制静水压强分布图和压力体图，能利用该图或基本公式求解作用于平面上和曲面上的静水总压力的大小，方向及其作用点。 基本概念：⑴静水压强的特性 ⑵等压面 ⑶势函数、等势面 ⑷绝对压强 ⑸相对压强 ⑹真空压强、真空度 ⑺压力中心 ⑻压力体

重点掌握：⒈静水压强的计算，静水压强分布图 ⒉绝对压强、相对压强及真空压强的关系 ⒊用等压面的概念计算压强或压强差 ⒋平面静水总压力的计算（包括任意形状的平面用公式计算及矩形平面用图解法计算） ⒌压力体的概念及曲面静水总压力的计算

详细内容：

水静力学的定义：研究液体在静止状态下的力学规律及其应用。

静止液体的特点：静止液体不能承受切力，其质点间没有相对位移，故不显示粘滞性，也不存在切应力。仅有压强与外力相平衡。因此，在研究水静力学问题时，理想液体与实际液体都是一样的。

第一节 静水压强的特性

静止液体质点间相互作用着垂直并指向作用面的静水压强，且某点的压强值与方向无关。即：①静水压强方向垂直并指向作用面，②压强值与方向无关。

在静止液体中M点附近取微分四面体为脱离体，为方便起见，可取成如图形式，即三个正交面与坐标面平行，棱长分别为dx、dy、dz，ABC为任意方向倾斜面，其面积为dAn，其外法线n的方向余弦cos(n,x)、cos(n,y)、cos(n,z)。微分四面体MABC上受力包括表面力和质量力，其表面上的压强各为px、py、pz、pn，表面力为 Px=1/2·dydz·px，??Pn=pndAn Pn在x轴向的分量

Pnx=Pncos(n,x)=pndAn·cos(n,x)=1/2·dydz·pn

微分体的质量力为F，在x、y、z轴上的投影分量为Fx、Fy、Fz，则

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Fx=ρdV·X=1/6·ρX·dxdydz

由x方向平衡条件

Px－Pnx＋Fx＝0 即 1/2·pxdydz－1/2·pndydz＋1/6·ρdxdydz·X＝0

当dx、dy、dz→０时，忽略高阶微量，有px＝pn。同理：py＝pn，pz＝pn 此即表明，当四面体无限缩小至一点时，各方向的静水压强均相等。

第二节 静止液体平衡微分方程式

一． 静止液体平衡微分方程式

在静止液体中任取一微分正六面体，由x、y、z方向的平衡得

1?p?X?0 ??x

1?p?Y?0 ??y1?p?Z?0 ??z

二． 等压面

等压面：液体中各点压强相等的面为等压面。如自由液面和不同液体的分界面等皆为等压面。

等压面具有下列性质：

１． 等压面亦为等势面。

２． 等压面上各点质量力与等压面垂直正交。

第三节 重力作用下静水压强基本方程式

当液体为绝对静止时，其质量力仅为重力，这是工程中最常见的情况。其静水压强基本方程式如下：

p?p0??h

式中 p0为表面压强；h为某点在液面下淹没深度，简称水深。该式表明，静止液体某点压强为表面压强与该点以上液柱重量之和。

由基本方程式还可得出以下几点结论：

1. 表面压强变化Δp0时，液体各点压强均相应变化Δp0值，这一规律叫作帕斯卡原理。

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2. 式中p0及γ皆为常数，故p与水深h成线性关系。 3. 等压面为水平面。

4. 两点间压强差等于两点间垂直液柱重量，即： p1-p2=γ(h1-h2)=γΔh

应当指出，在应用上述规律时，液体应满足均质和连续条件。另外，如液体表面为自由液面时，p0往往等于大气压强pa，一个工程大气压强pa等于98.0kN/m2。

第四节 绝对压强、相对压强、真空压强及其量测

一． 绝对压强、相对压强、真空压强

绝对压强 某点实际压强叫作绝对压强。以pabs表示，即pabs＝p0+γh0 相对压强 某点绝对压强pabs>pa时，则定义该点的相对压强pr ：pr=pabs-pa 当pabs中pa= p0 时，pr=γh。

真空压强 某点绝对压强pabs

pv=pa- pabs

工程上常称pv为真空或负压，亦常用真空度hv来表示某点真空压强的大小。

hv=pv/γ m(液柱) 式中γ为液体的容重。当pabs=0时，pv具有最大值，其最大真空度 hvmax=pa/γ=10m(水柱)。

二． 压强的测量

1. 测压管

当某点pabs>pa时，可用一上端开口，下端与液体相通的竖直玻璃管测量压强，如图。该管称为测压管。在测压管内液体静止后，可量出测压管内水柱高度hA，则Ａ点压强：

pAabs=pa+γhA 及pAr=γhA

此方法只适用于Ａ点压强不太大的情况。 2. Ｕ形测压计

当某点压强较大或出现真空时，可以用Ｕ形测压计测其压强。 3. Ｕ形差压计

如需测两点间的压强差值，可用Ｕ形差压计来量测。

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第五节 液体相对静止

不作要求

第六节 平面静水总压力

挡水建筑物在计算其稳定和强度及水工闸门启闭力时，需考虑作用在受压面上的静水总压力，该力具有大小、方向和作用点三要素。在计算静水总压力时，又将其分为平面和曲面两种情况。本节介绍平面静水总压力。

1. 平面静水总压力

１. 静水总压力Ｐ的大小和方向

设任意形状的平面A承受水压力，该平面与水平面夹角为α，为方便起见，选A平面的延展面与水面交线OE为x轴，A平面上与OE垂直的OF为y轴，为了计算P的大小，将面积A分为无限多个微小面积dA。对任意dAi，设其形心处水深为hi，则dAi上静水总压力为dPi=γhidAi，由于平面上dPi各皆垂直于作用面，作用面为平面，故各dPi为平行力系，可用积分法求作用面的合力P

P?dPi?又hi=yi sinα，则

???hdAAii

P??sin???yidAi

A此积分∫dA在理论力学中学过，为面积A对OX轴的面积矩。 A y·

由理论力学知，∫dA＝ycA，即面积A对x轴的面积矩等于面积A的形心距x轴的距离A y·与面积的乘积。则

P=γsinαycA=γhcA 或P=pcA

由此可知，静水总压力Ｐ的大小为受压面形心处的静水压强pc与受压面积A之乘积。方向必然与受压平面垂直正交。形心点压强，可理解为整个平面的平均静水压强。这样，P的大小、方向已确定，下面继续推求P的作用点。 ２. 静水总压力的压力中心

静水总压力的作用点，在水力学中称为压力中心。推导如下，由力矩原理知，合力对任一轴的等于各分力对该轴力矩的代数和。按此原理，取合力P对x轴的力矩可求出作用点距x轴的距离，即压力中心的y坐标值yD，对y轴取矩，得压力中心的xD。先对x轴：那么合力P对x轴的力矩应等于各微分面积上的压力γhidAi对x轴的力矩和。

P?yD??(?hidAi)?yi??sin??yi2?dAi

AA 9

yD??sin??yi2?dAiA?sin??yi?dAiA???AAyi2?dAiyi?dAi

由理论力学，分子∫A yi2dAi为平面A对x轴的惯性矩，以Ix表示。根据移轴关系，有Ix=Ixc+yc2A，其中Ixc为面积A对通过其形心且与x轴平行的轴（叫形心轴）的惯性矩。代入上式则

yD?yc?Ixc ycA压力中心处水深hD＝yDsinα

由此可以看出，压力中心Ｄ位于形心Ｃ的下方。这是因压强上小下大分布不均所造成的。 由于工程上受压平面一般均为对称图形，静水压强分布沿纵向对称轴左右对称，故D点必落在纵向对称轴上，无须计算压力中心的xD值。表2－1为常见受压平面图形。

2. 矩形平面静水总压力的图解法

由于矩形平面的形状规则，在水工一最为常见。计算矩形平面上所受的静水总压力较方便的方法是利用静水压强分布图。 １. 压强呈三角形分布情况

当矩形受压平面上端与水面接触时，其静水压强呈三角形分布，推导如下：设矩形宽度为b，长度为L，在矩形平面上任取一水平微分面积dAi=bdLi（微分条），其上静水总压力为dPi=γhidAi，对其进行积分，有

P??A?hidAi???hi?(b?dLi)?b?d?x?b??x

0L式中，Ωx为三角形压强分布图面积，也为单位宽度上的静水总压力。总压力P的作用线通过压强分布图的形心。

由上式可知，静水总压力P为三角形压强分布图面积Ωx与矩形宽度b乘积。即P=1/2·γbHL，压力中心为2L/3处（从上端量起），如矩形受压平面为铅垂时，Ｌ＝Ｈ，则P=γbH2/2及yD=2H/3

２. 压强呈梯形分布情况

当矩形受压平面的压强呈梯形分布时，如图2－13，据上述概念可以求出Ｐ值和压力中心位置：其结论依然成立。即静水总压力大小为压强分布图的面积Ωx与矩形宽度b乘积。P=bΩx＝γ（h1+h2）Lb，其作用线通过面积图的形心。

第七节 二向曲面静水总压力

工程上，受压曲面多为二向曲面，如弧形闸门或圆形容器等，本节仅介绍二向曲面静水总压力的计算方法。

如图为一宽度b的弧形闸门ＡB及其压强分布图。由于曲面上压强互不平行，故不能像平面问题直接积分求解，通常的做法是在曲面上取微分面积dA，在其上作用有dP＝γhdA，

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方向垂直dA面，对dP的投影进行积分，即可求出Ｐ的投影分力Px、Pz，然后合成。推导如下，dP＝γhdA 其x轴方向（即水平方向）和y轴方向（即垂直方向）的投影分量为

dPx＝γhdA·cosθ＝γhdAx dPz＝γhdA·sinθ＝γhdAz dPx、dPz为平行力系，可积分求合力： 水平分力：Px?dPx????hdA

xA由上式可知，此积分意义为垂直矩形受压面Ax的静水总压力，即： Px=γhcAx 或Px=bΩx(Ωx为垂直面Ax上的压强分布图面积) 垂直分力：Pz?dPz????hdAAz???bd?z??b?z 或Pz=γVz

可见在水平方向的分量Ｐx，其计算方法同前面的矩形平面，垂直方向分量Ｐz可用压力体求解。Vz=bΩz称为压力体，它是由二向曲面周边向上作铅垂面，与自由液面或其延长面所围成的体积。Ｐz等于压力体内液体的重量，其作用线通过压力体内液体的重心，对均质液体则通过其形心Ｃ。 Ｐz的计算关键是如何确定压力体的面积Ωz。

关于Ｐz的方向，由图可知，当压力体内无水（或压强与压力体在曲面AB两侧），称为正压力体，Ｐz方向向上；反之，称为负压力体，Ｐz向下。上述结论应与曲面上压强方向相联系来理解。

由Ｐx和Ｐz可以求出二向曲面静水总压力Ｐ的大小和方向：

P?Px2?Pz2 方向??arctanPz Px式中α为P与水平线的夹角。

压力中心Ｄ点位置，可以通过Ｐx、Ｐz矢量合成求出Ｐ的作用线，该线与二向曲面的交点即为压力中心Ｄ。

第三章 水动力学理论基础

《水动力学理论基础》授课学时为6个学时，其中第一、二、三节为2个学时，第四、六、七节为2个学时，第八、九节为2个学时，第五节和第十节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为水流能量转换试验。

基本要求：①理解描述流体运动的两种方法，流线和迹线的概念，掌握恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流的定义及其区别。 ②熟练掌握连续方程，能量方程，动量方程的基本形式，物理意义和应用条件，能单独或联立上述方程分析和解决具体的流体力学问题。

基本概念：⑴拉格朗日法 ⑵欧拉法 ⑶时变加速度 ⑷位移加速度 ⑸恒定流、非恒定流 ⑹一元、二元、三元流 ⑺有压流、无压流、射流 ⑻流线 ⑼迹线 ⑽流管 ⑾元流 ⑿总流 ⒀过水断面 ⒁湿周 水力半径⒂流量 ⒃断面平均流速 ⒄均匀流、非均匀流 ⒅渐变流 ⒆急变流 ⒇位置水头、压力水头、流速水头、测压管水头、总水头、水头损失 (21)水力坡度

重点掌握：⒈欧拉法描述水流运动的思想，流线的概念 ⒉恒定与非恒定流，均匀与非均匀流，有压流与无压流的概念 ⒊熟练掌握恒定总流的三大方程式（质量、能量、动量），

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特别是能量方程式，是水流的能量守恒方程式，要彻底理解方程式中各项的水力学意义，即各种水头的水力学意义。

详细内容：

液体流动时质点间发生位移、液体变形，在克服内摩擦力的同时消耗自身的机械能。动水压强的性质和分布规律也与静水不同，就性质而言，动水压强的大小和方向有关，为简化和实用起见，水力学采用了平均值的概念，即以三个坐标方向压强的平均值作为该点动水压强，因此动水压强又与方向无关而具标量性质。

水动力学理论是研究液体运动要素之间的内在联系及其随时空变化的规律。

第一节 研究液体运动的两种方法

研究方法对液体运动规律的研究，是十分重要的。目前有两种研究方法，即拉格朗日法和欧拉法。

拉格朗日法

拉格朗日法是从研究每个液体质点运动规律出发，而获得液流总体的运动规律，此法为熟知的质点系法。

由拉格朗日法可以得出质点运动的迹线。

欧拉法

欧拉法是研究液体运动空间各点运动要素的变化规律，是通过研究运动要素场的变化来获得液体运动规律。

运动要素是坐标和时间的函数，以流速为例，若令x、y、z为常数，t为变数，则可求得在某一固定空间点上，液体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况；若令t为常数，x、y、z为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况。加速度应当是坐标和时间的复合函数

ax?

dux?uxdt?uxdx?uxdy?uxdz?ux?x?x?x??????????uxx?uyx?uzxdt?tdt?xdt?ydt?zdt?t?x?y?z等号右侧第一项表示某点流速随时间的变化率，称为时变加速度；其他各项则表示因坐标位置的改变而产生的加速度，称为位移加速度，这表明某点的加速度是时变和位移加速度之和。注意，我们以前对加速度的概念没有位移加速度，因为我们以前研究的是质点或刚体的加速度，是与拉格朗日的概念相同；而我们现在是用欧拉法研究空间点的加速度。

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第二节 液体运动微分方程式、连续性微分方程式

非粘性液体运动微分方程式

由水静力学知，当微分正六面体受力不平衡时，必然产生加速度，故推导的静止微分平衡方程式变为下列形式：

X??u?x?x?x1?p?ax?x?uxx?uyx?uzx ??x?t?x?y?z由y、z方向亦可例出类似方程。

粘性液体运动微分方程式

对粘性液体来说，作用在微分正六面体的力，除质量力和动水压强外，还应有内摩擦切

应力。下面直接给出在不可压缩条件下，粘性（实际）液体的运动微分方程式，此方程式又称纳维－司托克斯方程。

液体运动连续性微分方程式

如要使方程式封闭，必须补充一个方程式。此方程式由质量守衡定律推出。取一微分正六面体，形心处流速u的投影为ux、uy、uz。设流体为恒定不可压缩（ρ=常数），则在dt时段内流入和流出六面体的液体质量相等。

由此即可推出恒定不可压缩液体的连续性微分方程式。其方程为

?ux?uy?uz???0 ?x?y?z第三节 液体运动的分类

恒定流与非恒定流

恒定流与非恒定流的区别，在于运动要素的变化是否与时间有关。

恒定流：运动要素均与时间无关，仅为坐标的函数。即公式中对时间求偏导的式子 皆为零。

非恒定流：运动要素变化与时间有关。

一元、二元、三元流动

一元流：运动要素仅随一个坐标或流程Ｓ而变化时，称为一元流。如很长的管道中的水流。

二元流：运动要素为两个坐标的函数时，称为二元流或平面运动。如溢流坝的泄流，沿坝轴线方向运动要素不变。

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三元流：运动要素为三个坐标的函数时，称为三元流或空间运动。

有压流、无压流和射流

有压流：水流过水断面周界全部为固体边界所限定时，称为有压流。如管流。 无压流：水流过水断面部分被固体边界所限，并且具有自由表面，这种情况称为无压流。如渠道水流。

射流：过水断面周界全部与液体（水或空气）相接触时称为射流。如高压水枪。

第四节 液体束状流动基本概念

流线

本章一开始，我们就讲了描述液体运动有两种不同的方法，即拉格朗日法和欧拉法。拉格朗日法是研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，欧拉法是考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况，前者引出了迹线的概念，后者引出了流线的概念。

某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即迹线就是液体质点运动时所走过的轨迹线。

按欧拉法，在流速场中任一点，如Ａ点可以引出一条代表各点流速方向的曲线，此线即为流线。流线与迹线不同，它是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。所以流线表示出了瞬间的流动方向，或者说，在流线上某点的切线方向就是该点的流速方向。流线的确定方法如下：

设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1如图，在这个向量上取与A１相距为Δs1的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为Δs2的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为Δs3的点A4，??如此继续，可以得出一条折线A1、A2、A3、A4??，若让所取各点距离Δs趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。同样，可以作出t1时刻通过其他各点的流线，这样一族流线就反映了t1时刻流场内的流动图象，如果水流为非恒定流，当时刻变为t2时，又可以重新得到在t2时刻的一族新的流线，反映流场流动图象的流线也就改变了。所以对于非恒定流，流线只具有瞬时的意义。

流线具有如下基本特征：

①恒定流时，流线的形状和位置不变，非恒定流时则与此相反。

②恒定流时流线与迹线重合。 解释如下：如图，假定A1、A2、A3、A4近似代表一条流线，在时刻t1有一质点从A1开始沿着u1运动，t2时刻到达A2，但恒定流流线形状、位置均不改变，故质点到达A2点后沿u2方向运动，以此类推，质点沿着A1、A2、A3、A4运动，即沿着流线运动，故流线与迹线重合。

③流线为一条光滑曲线，它不能折曲、分叉或相交，否则有悖于流线的定义。

流管、元流和总流

流管：在流场中任取一微分面积dA，由面积dA的周边各点引出的流线形成一管状曲面，即为流管。

元流：充满流管的一束液流称为元流或微小流束。按照流线不能相交的特性，微小流束内的液体不会穿过流管的管壁向外流动，流管外的液体也不会穿过流管的管壁向流束内流

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动。由于微小流束的横断面积是很小的，因此元流过水断面上各运动要素的分布可看作是均匀的，所以元流是一维流动。

总流：水流的整体或全部元流的汇合称为总流。也就是说，一定大小尺寸的实际水流就是总流。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。

过水断面、湿周、水力半径、流量和平均流速

过水断面：与元流和总流流线垂直正交的断面称为过水断面，分别以dA和A表示其面积，称为过水断面面积。过水断面可为平面或曲面。当流线互相平行时，过水断面为平面，否则就为曲面。

湿周：过水断面周界上具有内摩擦力存在的部分称为湿周。通常仅考虑水流与固体接触的周界长度为湿周，以χ表示。所以，湿周就是在过水断面上水流与固体边界接触的长度。举例：

水力半径：过水断面与湿周之比称为水力半径，以Ｒ表示，即R=A/χ 水力半径的大小表示在过水断面相等条件下，湿周对水流阻力的影响程度。水力半径越大，相同过水断面下，周界对水流阻力越小。

流量及平均流速：

1. 流量指单位时间流过过水断面的液体体积，以Ｑ表示，常用单位为m3/s。

设在总流中任取一元流，其过水断面积为dA，其上各点流速可认为相同，设为u，因过水断面垂直于水流方向，故单位时间内通过过水断面dA的液体体积为：udA=dQ，

dQ即为元流的流量。故总流流量应等于无限多个元流的流量之和，即总流流量为：

Q??dQ??udA

A2. 断面平均流速：计算总流的流量时需要知道断面的流速分布，而一般情况下流速分布都较复杂，难以积分，而且在实际应用中，有时并不一定需要知道流速分布，只要了解断面的平均流速，因此引入过水断面上流速的平均值概念， 其定义为v?流流量为：Q=Av

Q 由此可得总A均匀流、渐变流和急变流

根据流线分布形状沿流程的变化，可以将水流分为均匀流和非均匀流。

均匀流：流线为相互平行的直线，它为水流运动最简单的情况。恒定流是相对于时间的概念，而均匀流是相对于空间的概念。直径不变的直线管道中水流就是典型的均匀流的例子。均匀流的主要特性为：

1. 过水断面为平面，其大小和形状沿流不变。

2.

过水断面上流速分布，同一条流线上各点的流速，以及断面平均流速均沿流不变。

3. 过水断面上动水压强的分布规律与静水压强的分布规律相同。即沿水深为直线分布。这一特性书上有证明。

非均匀流：与均匀流相对应，当水流的流线不是相互平行的直线时，即为非均匀流。对非均匀流来说，可以根据流线间夹角α和曲率半径R的大小，将非均匀流分为渐变流和急变流。

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1. 渐变流：当流线间夹角很小、曲率半径很大时，称为渐变流。

2. 急变流：急变流与渐变流不同，流线间夹角大或者曲率半径小，在宏观上就是水流变化比较剧烈，此时水流位移加速度及其所产生的惯性力不能忽略，因而过水断面上动水压强不按静水压强规律分布。例如书中p.50图3—13。实际水流见图3—14。

第五节 系统、控制体及控制体方程

不要求

第六节 不可压缩、恒定总流连续方程式

液体运动必须遵循质量守恒的普遍规律，液流的连续性方程式就是质量守恒定律的一种特殊形式。现推导如下：

今在恒定流中取出一段微小流束来研究。令过水断面1—1的面积为dA1，过水断面2—2的面积为dA2，相应的流速为u1与u2 如图。由于恒定流中微小流束的形状和尺寸是不随时间而改变的，且通过微小流束的侧壁没有液体流入或流出。有质量流人或流出的，只有两端过水断面。

在dt时段内，从1—1断面流入的液体质量为ρ1u1dA1dt，从断面2—2流出的液体质量为ρ2u2dA2dt。由于液体是不可压缩的连续介质，ρ1=ρ2=ρ，根据质量守恒定律，在dt时段内流入的质量应与流出质量相等，即： ρu1dA1dt=ρu2dA2dt

化简得 u1dA1=u2dA2 或写作 dQ＝u1dA1=u2dA2 上式就是不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程。若将上式对总流过水断面积分

?QdQ??u1dA1??u2dA2 得Q=A1v1=A2v2 即：Q1=Q2

A1A2上式就是恒定总流的连续性方程。式中v1及v2分别为总流过水断面A1及A2的断面平均流速。该式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面所通过的流量相等。也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流走多少流量。

将连续性方程移项，得 v2/ v1=A1/A2

上式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面，其平均流速的大小与过水断面面积成反比。断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。

连续性方程是水力学上三大基本方程之一，是用以解决水力学问题的重要公式，它总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程变化的规律性。

对于分叉的管流，以分叉处为结点，则流入结点和自结点流出的流量之和为零。即：

?Q?0 如图所示，

则其连续性方程为：Q2+Q3－Q1=0 即 Q1= Q2+Q3 或 v1A1=v2A2+v3A3

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第七节 不可压缩恒定流能量方程式

能量方程是水流运动必须遵循的另一个最基本的方程。能量的转化与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律，水流能量方程则是这一普遍规律在水流运动中的具体表现。从质量守恒定律推出的连续方程固然是水流必须遵循的基本规律，但它只给出了流速和过水断面之间的关系，是一个运动学方程。由于水流运动的过程就是在一定条件下的能量转化过程，因此流速与其他因素之间的关系可以通过分析水流的能量关系得出。先从最简单的理想液体元流情况入手。

理想液体（非粘性液体）元流能量方程式

今在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取1－1、2－2断面之间的ds流段来研究。流段ds可看做横截面积为dA的柱体。沿其轴向受力有

① 表面压力pdA (p??pds)dA ?s② 重力 dG·cosθ=γdAds·cosθ 由牛顿第二定律：

pdA?(p??pds)dA??dAdscos???dAds?ax ?sdu?u?u??u?对于恒定流dt?t?s式中θ为dG与ds的夹角。又cosθ=dz/ds，加速度as??u?u?0，所以as?u?，代入方程中，并且两边同除以γdAds，得出单位液重的关系 ?t?tdz1dpudu?????0 ds?dsgdsdpu2pu2化简得 (z??)?0 即：z???常数　（沿流程S)

ds?2g?2g对微小流束上任意两个过水断面有：

2u12p2u2 z1???z2???2g?2gp1液体中某一点处的几何高度z代表单位重量液体的位能，p/γ代表单位液重的压能。在

运动的液体中，液体还存在动能1/2·mu2，单位液重的动能为u2/2g。三项能量之和为单位液重的机械能。

结论：在微小流束内，不可压缩理想液体恒定流情况下，单位液重的机械能沿流可以相互转化，但总量保持不变。

实际液体（粘性液体）元流能量方程式

对于实际液体，由于存在粘滞性，运动时产生内摩擦力，单位液重的液体，由1－1断面流至2－2断面，必须克服内摩擦阻力而作功，同时要消耗机械能为代价（变为热能等转

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换掉），因此实际粘性液体的机械能沿流并不守恒，而是沿程不断减少

2u12p2u2即 z1? ?＞z2???2g?2gp1如将1－1、2－2断面间的机械能损失以hw’表示，则得出实际液体元流机械能平衡方程式：

2u12p2u2' z1???z2???hw?2g?2gp1实际液体总流能量方程式

上式是元流能量方程式，是微分的概念，而总流是由无限个元流组成的，对元流进行积分即可得出实际液体总流能量方程式。

设微小流束的流量为dQ，每秒钟通过微小流束任何过水断面的液体重量为γdQ，将各项乘以γdQ，则由原来单位液重的微小流束能量关系转变为实际重量微小流束的能量关系，将其分别在总流的两个过水断面A1及A2上积分，（dQ=u1dA1=u2dA2）即：

2u12p2u2 ?(z1??)?u1dA1??(z2??)?u2dA2

A1A2?2g?2gp1上式具有三种积分类型，下面分别讨论：

１. 第一类积分：

?A(z?p?)?udA???(z?p?)dQ

只有在所取断面上水流为均匀流或渐变流时，则在过水断面上z+p/γ为常数，积分才有可能。 所以

?A(z?p?)?udA???(z?p?)dQ?(z?p?)?Q

u2?3２. 第二类积分：??udA?udA ?A2g2g它为每秒钟通过过水断面A的液体动能的总和。由于流速u分布复杂，无法积分，故采用断面平均流速v来代替u，由于u的立方和大于v的立方和，即：

?Au3dA＞?v3dA

A3故不能直接把动能积分符号内的u换成v，而应乘以修正系数α才能使之相等。即：

?udA???v3dA??v3A

3udA?式中??＞1，称为动能修正系数，其值取决于过水断面流速分布，分布越均匀，α

v3A值越接近于1，在渐变流时，一般取为α＝1.05~1.10，为计算方便，常取为α≈1.0

３. 第三类积分

?Q'hw?dQ

引入单位液重平均机械能损失hw的概念，即：

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hw则：

??Q'hw?dQ?Q

?Q'hw?dQ?hw?Q

将上述三类积分代入，两边同除以γQ，得单位液重的总流能量方程：

Z1?p1???1v122g?Z2?p2??2?2v22g?hw

此为单位液重总流能量方程式，又称伯努利（Bernoulli）方程，它在水力学中应用最为广泛。应用时必须注意满足下列条件：⑴恒定流 ⑵不可压缩 ⑶质量力仅为重力 ⑷1－1、2－2过水断面应为均匀流或渐变流，但1－1、2－2断面之间可以是急变流。

总流能量方程与微小流束的能量方程相比，形式相同，但不同的是在总流能量方程中的动能

?v22g项是用断面平均动能来表示的，而hw则代表总流单位重量液体由一个断面流至另

一断面的平均能量损失。

第八节 伯努利方程各项意义及图示

伯努利方程各项意义

恒定总流的能量方程也称为伯努利方程，它是能量守恒定律在水力学中的具体表现，是水力学的三大方程之一，在水力学应用非常广泛。下面对能量方程进行进一步的讨论。

１. 能量意义

z―对水平基准面0－0的位置势能，简称位能； p/r－由于液体的压强产生的压力势能，简称压能；

?v22g －由于液体的运动产生的动能；

hw－由于液体的粘滞性，水流克服内摩擦力做功而产生的机械能损失。 又z+p/r－总势能。

以上各项都是对单位重量的液体而言的。 若令 E?Z?p???v22g 表示单位液重的总机械能, 则伯努利方程可简写为：

E1=E2+hw

２. 水力学意义

由于伯努利方程各项均为长度量纲，故可用高度表示其各项值的大小，称为水头。则

Z—位置水头（以基准面0—0为基准） p/r—压力水头 hw—水头损失

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z+p/r—测压管水头 令 H?Z?H1=H2+hw

p???v22g 称为总水头，则伯努利方程可写成：

恒定总流能量方程的图示

Z1?p1??1v122g??Z2?p2??2?2v22g?hw

由于水头的量纲为长度，故上式中各项水头的沿流变化，可用几何图形表示出来，通过基准面0－0、位置水头线（z－z）、测压管水头线（p－p）和总水头线（H－H）可以将各项水头或运动要素的沿流变化清晰地显示出来。对于非粘性液体而言，因为不存在水头损失，故其总水头线为一水平线；而实际液体的总水头线为一单调下降的空间曲线；测压管水头线和位置水头线，根据具体情况而定，可为升降曲线或直线。

为了研究水流内摩擦阻力或水头损失的规律，了解沿程哪些位置单位长度的水头损失大，对实际流体总水头线引入了水力坡度Ｊ的概念。其定义为：J??式中dH为微分流段的总水头差。

水力坡度（比降）表示单位流程的水头损失，由于dH=H2－H1为负值，故在式前加负号使Ｊ为正值。

dHdhw? dsds伯努利方程应用条件

在解决大量实际水力学问题中，广泛应用恒定总流能量方程式，从该方程的推导过程中

可以看出，应用时应满足下列条件：

1.水流必须是恒定不可压缩的连续介质。 2.作用于液体上的质量力只有重力。

3.在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流条件，但在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。

4.在所取的两过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。 为了在应用能量方程时使计算简便和不致发生错误，应注意以下几点：

1.首先选取基准面和两个过水断面，两个过水断面1－1、2－2断面必须选在渐变流位置上，基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面。一般基准面选在1－1、2－2断面的下方，使z为正，便于计算。

2.能量方程中p/r一项，可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。一般采用相对压强即可。

3.在计算过水断面的测压管水头z+p/r值时，可以选取过水断面上任意点来计算，因为在渐变流的同一过水断面上任何点的z+p/r值均相等，具体选择哪一点以计算方便为宜。一般管流可取管轴线，明渠流可取水流表面。

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渠不宜采用梯形水力最佳断面。

第七章 明渠恒定非均匀流

《明渠恒定非均匀流》授课学时为6个学时，其中第一节和第二节为2个学时，第三节和第四节为2个学时，第五、第六和第七节为2个学时。

基本要求：①理解明渠恒定非均匀渐变流的基本特性，急流与缓流的主要特征。掌握明渠水流流态的各种判别方法，了解佛汝德数的作用以及物理意义。 ②理解断面比能的意义和表达式以及比能曲线的变化特点。熟记临界流公式。掌握临界水深的求解方法。了解临界底坡的基本概念及其定义和计算公式，缓坡、陡坡的实际含义。 ③掌握明渠恒定非均匀渐变流水面曲线沿程变化规律，能绘制水面曲线形式，能利用逐段试算法正确计算水面曲线。 ④了解水跃发生的条件及其水力现象，水跃方程的基本形式和应用条件。掌握共轭水深计算的各种方法。

基本概念：⑴壅水曲线 ⑵降水曲线 ⑶急流、缓流、临界流 ⑷傅汝德数 ⑸断面比能 ⑹临界水深 ⑺临界底坡 ⑻缓坡、陡坡 ⑼水跃 ⑽跃前水深、跃后水深

重点掌握：⒈急流、缓流、临界流的各种判别方法 ⒉傅汝德数的表达式及物理意义 ⒊断面比能、临界水深、临界底坡的概念 ⒋临界水深的计算 ⒌临界底坡的计算，陡坡、缓坡的判别 ⒍各种底坡各个分区的水面曲线形式，水面曲线的连接

详细内容：

人工渠道或天然河道中的水流绝大多数是非均匀流。均匀流的特点是明渠的底坡线、水面线、总水头线彼此互不平行。产生明渠非均匀流的原因很多，明渠横断面的几何形状或尺寸沿流程改变，粗糙度或底坡沿流程改变，或在明渠中修建人工建筑物(闸，桥梁、涵洞)，都能使明渠水流发生非均匀流动。

在明渠非均匀流中，若流线是接近于相互平行的直线，或流线间夹角很小、流线的曲率半径很大，这种水流称为明渠非均匀渐变流。反之为明渠非均匀急变流。

本章着重研究明渠中恒定非均匀渐变流的基本特性及其水力要素(主要是水深)沿程变化的规律。具体地说，就是要分析水面线的变化及其计算，以便确定明渠边墙高度以及回水淹没的范围等。确定明渠水面线的形式及其位置，在工程实践中具有十分重要的意义。

因明渠非均匀流的水深沿流程是变化的，h=f(s)，为了不致引起混乱，以及把明渠均匀流的水深称为正常水深，并以h0表示。

第一节 明渠水面曲线微分方程式

为了求得h=f(s)的规律，须建立水面曲线的微分方程式。在底坡为i的明渠渐变流中，沿水流方向任取一微分流段ds，设上游断面水深为h，水位为z，断面平均流速为v，河底高程为z0；由于非均匀流中各种水力要素沿流程改变，故微分流段下游断面水深为h+dh，水位为z+dz，平均流速为v+dv。因水流为渐变流，可对微分流段的上、下游断面建立能量方程，化简得

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d?v2 i??(h?)

dsds2g令 Es?h?dhf?v22g

称Es为断面比能，又

dhfds?J 则上式可变为

i?J?上式可变换为

dEs dsdhi?J? ds1?Fr2式中Fr?vgh 为佛汝德数，它为一无量纲数。 上两式是明渠恒定非均匀渐变流的基

本微分方程式。

第二节 明渠水流的三种流态

明渠水流有和大气接触的自由表面，它与有压流不同，具有独特的水流流态。一般明渠水流有三种流态，即缓流、临界流和急流。掌握明渠水流流态的实质，对分析研究明渠水面曲线的变化规律有重要意义。

为了了解三种流态的实质，我们可以观察一个简单的实验： 若在静水中沿铅垂方向丢下一块石子，水面将产生一个微小波动，这个波动以石子着落点为中心，以一定的速度c向四周传播，平面上的波形将是一连串的同心圆。这种在静水中传播的微波速度c称为相对波速。若把石子投入流动着的明渠均匀流中，则微波的传播速度应是水流的流速与相对波速的向量和。当水流断面平均流速v小于相对波速c时，微波将以绝对速度v-c向上游传播，同时又以绝对速度v+vw向下游传播，这种水流称为缓流。当水流断面平均流速v等于相对流速c时，微波向上游传播的绝对速度为0，而向下游传播的绝对速度为2c，这种水流称为临界流。当水流断面平均流速v大于相对波速ｃ时，微波只以绝对速度v+ｃ向下游传播，而对上游水流不发生任何影响，这种水流称为急流。

由此可知，只要比较水流的断面平均流速v和微波相对速度ｃ的大小，就可判断干扰微波是否会往上游传播，也可判别水流是属于哪一种流态。

当v＜ｃ时，水流为缓流，干扰波能向上游传播。 v＝ｃ时，水流为临界流，干扰波不能向上游传播。 v＞ｃ时，水流为急流，干扰波不能向上游传播。

要判别流态，必须首先确定微波传播的相对速度，微波在静水中传播速度的计算公式：

c?gh

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式中：h?A为断面平均水深，A为断面面积，B为水面宽度。 B在实际工程上水流都是流动的，设水流的断面平均流速为v，则微波传播的绝对速度vw

应是静水中的相对波速ｃ与水流流速的代数和，即

ｖｗ＝ｖ±ｃ 式中，取正号时为微波顺水流方向传播的绝对波速，取负号时为微波逆水流方向传播的绝对波速。

对临界流来说，断面平均流速恰好等于微波相对波速，即

ｖ＝ｃ＝gh 上式可改写为

vgh?cgh?1

显然，对临界流来说佛汝德数恰好等于1，因此也可用佛汝德数来判别明渠水流的流态：

当 Fr＜1、水流为缓流 Fr＝1、水流为临界流 Fr＞1，水流为急流。

佛汝德数在水力学中是一个极其重要的判别数，为了加深理解它的物理意义，可把它的形式改写为

Fr?v2v2g?2

hgh由上式可以看出，佛汝德数是表示过水断面单位重量液体平均动能与平均势能之比的二

倍开平方，随着这个比值大小的不同，反映了水流流态的不同。当水流的平均势能等于平均动能的二倍时，佛汝德数Fr＝1，水流是临界流。佛汝德数愈大，意味着水流的平均动能所占的比例愈大。

佛汝德数的物理意义，还可以从液体质点的受力情况来认识。设水流中某质点的质量为dM，流速为u，则它所受到的惯性力和重力之比开平方的量纲式与佛汝德数相同。由此可知佛汝德数的力学意义是代表水流的惯性力和重力两种作用的对比关系。当这个比值等于l时，恰好说明惯性力作用与重力作用相等，水流是临界流。当Fr＞1时，说明惯性力作用大于重力的作用，惯性力对水流起主导作用，这时水流处于急流状态。当Fr＜l时，惯性力作用小于重力作用，这时重力对水流起主导作用，水流处于缓流状态。

第三节 断面比能、临界水深和临界底坡

明渠中水流的流态也可用能量角度来分析。 一、断面比随、比能曲线

对于渐变流，若以０—０为基准面，当明渠底面与水平面的夹角很小时，则过水断面上单位重量液体所具有的总能量为

E?z?

?v22g?z0?h??v22g

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如果我们把参考基准面选在渠底这一特殊位置，把对通过渠底的水平面0’—0’所计算得到的单位能量称为断面比能并以Es来表示，则

Es?h??v22g?h??Q22gA

不难看出，断面比能Es是过水断面上单位液体总能量E的一部分，二者相差的数值乃是两个基准面之间的高差z0。

由上式可知，当流量Q和过水断面的形状及尺寸一定时，断面比能仅仅是水深的函数，即Es＝f(h)，按照此函数可以绘出断面比能随水深变化的关系曲线，该曲线称为比能曲线。很明显，要具体绘出一条比能曲线必须首先给定流量Q和断面的形状及尺寸。对于一个已经给定尺寸的断面，当通过不同流量时，其比能曲线是不相同的；同样，对某一指定的流量，断面的形状及尺寸不同时，其比能曲线也是不相同的。

假定已经给定某一流量和过水断面的形状及尺寸，现在来定性地讨论一下比能曲线的特征。由上式可知，若过水断面积A是水深h的连续函数，当h→0时，A→0，则Es→∞。当h→∞时，A→∞，则Es→∞。若以h为纵坐标，以Es为横坐标，根据上述讨论，比能曲线是一条这样的曲线，其下端以水平线为渐近线，上端以与坐标轴成450夹角并通过原点的直线为渐近线，该曲线在K点断面比能有最小值Esmin。K点把曲线分成上下两支。在上支，断面比能随水深的增加而增加；在下支，断面比能随水深的增加而减小。

若将Es对h求导，并化简得：

dEs?1?Fr2 dh上式说明，明渠水流的断面比能随水深的变化规律是取决于断面上的佛汝德数。对于缓

dEs＞0，相当于比能曲线的上支，断面比能随水深的增加而增加；对于急dhdEs流，Fr＞1，则＜0，相当于比能曲线的下支，断面比能随水深的增加而减少；对于临

dhdEs界流，Fr=1，则=0，相当于比能曲线上下两支的分界点，断面比能为最小值。

dh流，Fr＜1，则

二、临界水深

相应于断面单位能量最小值的水深称为临界水深，以hK表示。将断面比能表达式对水深h取导数，并令其等于零，即可求得临界水深所应满足的条件。今后凡相应于临界水深时的水力要素均注以脚标K，临界水深所应满足的条件可写作

?Q3AK ?gBK当流量和过水断面形状及尺寸给定时，利用上式即可求解临界水深hk。 1．矩形断面明渠临界水深的计算

今矩形断面宽为b则BK＝b，AK＝bhK。代人上式后可解出临界水深公式为

hK?3?Q2gb2?3?q2g

上式中q=Q/b为单宽流量。

2．断面为任意形状时，临界水深的计算

若明渠断面形状不规则，过水面积A与水深之间的函数关系比较复杂，把这样的复杂

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函数代人临界水深条件式，不能得出临界水深hK的直接解。在这种情况下，一般只能用试算法求解hK。当给定流量Q及明渠断面形状、尺寸后，由临界水深条件式，其左端为一定值，该式的右端仅仅是水深的函数。于是可以假定若干个水深h，从而可算出若干个与之对应的值，当某一值刚好与左端定值相等时，其相应的水深即为所求的临界水深hK。

3．等腰梯形断面临界水深计算

若明渠过水断面为梯形，且两侧边坡相同，在这种情况下，可应用一种简便的查图法求解临界水深hK。

根据所给流量及断面尺寸，应用上述方法求出临界水深hK以后，可用hK来判别流态： 当 hK＞h时，Fr＜1，为缓流， 当 hK＝h时，Fr＝1，为临界流， 当 hK

设想在流量和断面形状、尺寸一定的棱柱体明渠中，当水流作均匀流时，如果改变明渠的底坡，相应的均匀流正常水深h0亦随之而改变。如果变至某一底坡，其均匀流的正常水深h0恰好与临界水深hK相等，此坡度定义为临界底坡。

若已知明渠的断面形状及尺寸，当流量给定时，在均匀流的情况下，可以将底坡与渠中正常水深的关系绘出。不难理解，当底坡i增大时，正常水深h0将减小；反之，当i减小时，正常水深h0将增大。从该曲线上必能找出一个正常水深恰好与临界水深相等的K点。曲线上K点所对应的底坡iK即为临界底坡。

在临界底坡上作均匀流时，一方面它要满足临界流的条件，另一方面又要同时满足均匀流的基本方程式，联解此二式可得临界底坡的计算式为：

iK?gAKg?K ?22?CKRKBK?CKBK式中RK、χK、CK为渠中水深为临界水深时所对应的水力半径、湿周、谢才系数。

由上式不难看出，明渠的临界底坡与断面形状尺寸、流量及渠道的糙率有关，而与渠道的实际底坡无关。

—个坡度为i的明渠，与其相应(即同流量、同断面尺寸、同糙率)的临界底坡相比较可能有三种情况，即：i＜iK，i＝iK，i＞iK。根据可能出现的不同情况，可将明渠的底坡分为三类：

i＜iK，为缓坡 i＞iK，为陡坡 i＝iK，为临界坡

明渠中水流为均匀流时，若i＜iK，则正常水深h0＞hK；若i＞iK则正常水深h0＜hK；若i＝iK，则正常水深h0＝hK。所以在明渠均匀流的情况下，用底坡的类型就可以判别水流的流态，即在缓坡上水流为缓流，在陡坡上水流为急流，在临界坡上水流为临界流。但一定要强调，这种判别只能适用于均匀流的情况。在非均匀流时，就不一定了。

第四节 棱柱体明渠中恒定非均匀渐变流水面曲线分析

由于明渠渐变流水面曲线比较复杂，在进行定量计算之前，有必要先对它的形状和特点作一些定性分析。

由棱柱体明渠非均匀渐变流微分方程式知，水深h沿流程s的变化是和渠道底坡i及实际水流的流态(反映在Fr中)有关。所以对于水面曲线的型式应根据不同的底坡情况、不同

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