4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？
解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg，所以，人对传送带做功的功率为：
N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）
4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。
证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r1,θ1变为r2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F
r2r2rr1AT??Fr1dr???Tdrr1?T?drr2?T(r1?r2)?AT?AF
F AF?F(r1?r2)?T(r1?r2),
4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。 解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：
44x4(4?x)dx(4?x)?3223m A θ 4m B T A??F04T2dx??Tcos?dx?T?00x
??2?1/22?[(4?x)?9]d[(4?x)?9]??0502?2[(4?x)?9]21/2|04
?50(4?x)?9|0?50?(5?3)?100J1224设木块到达B时的速度为v，由动能定理：A?v?2A/m?v02mv2?12mv0
2?2?100/0.5?62?20.88m/s，方向向右
1
4.3.3 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0 向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l为l??mgk2(1?kv02?mg?1) l k m 2
证明：质点m由弹簧原长位 置运动到最远位置l，弹力F和滑 动摩擦力f对质点做负功，导致质 2
lm 点动能由mv0/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0 - mv0/2 ……①
2其中，AF??k?ldl??1代入①中，并整理，有：kl2+2μmgl-m v02=0. kl,Af???mgl，20这是一个关于l的一元二次方程，其根为：
l??2?mg?(2?mg)?4kmv02k22，负根显然不合题意，舍去，所以，
2l???mgk?1k(?mg)?kmv02??mgk(1?kv0222?mg?1)
4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂
质量为500g的圆柱体，圆柱体又套 30o l v1 在可沿水平方向移动的框架内，框架 30o 槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 o 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 F x 平力F=20.0N作用下移至图中位置， v2 求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。
解：设绳长l，圆柱质量m1，框架质量m2，建立图示坐标o-xy；据题意，圆柱在o点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v1，方向与线l垂直，框架的速度为v2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v2=v1x，v1y=v1xtg30o 圆柱体m1与框架m2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W1=m1g和拉力F做功：其中，
AW1= - m1gl(1-cos30o)= - 0.13J, AF = F l sin30o= 2J, 由质点系动能定理，有 AW1?AF?1222222m1v1?212m2v2?12m1(v1x?v1y)?212m2v1x
?12v1x[m1(1?tg30?)?m2]?v1x?2(AW1?AF)/(4m1?m2) 32代入数据,v1x2=4.3 , v1y2=(v1xtg30o)2=1.44
∴ v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s.
4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它们自由伸展的长度相差l，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x≤l和x<0时弹性势能的表达式。
解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零。
弹簧2的势能表达式显然为：
Ep2?
12l k1 k2
o x k2x,x?0；
2
2弹簧1的势能：
xx12Ep1??k1?(l?x)dx?k1?(l?x)d(l?x)?002212k1(l?x)|02x
?12k1[(l?x)?l]?k1x?k1lx,1222(x?l)当0≤x≤l时，Ep?Ep1?k1x?k1lx
12当x<0时，Ep?Ep1?Ep2?
(k1?k2)x?k1lx
24.5.1 滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc
刚好在水平方向。已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道B点的切线方向与水平面成30o角，不计摩擦，求：⑴运动员离开B处的速率vB；⑵B、C的垂直高度差h及沟宽d；⑶运动员到达平台时的速率vc.
解：运动员在整 A 个运动过程中,只有重 力做功,故机械能守恒， 取B点为势能零点。
∵mgH = mvB/2 ∴vB?2gH?2?9.8?25?22.1m/s
2
vc H=25m vB 30o h d 运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc = vB
cos30o = 19.1m/s
∵mvB2/2 = m vc2/2+mgh ∴h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：∵0 = vBsin30o-gt ∴t = vB /2g =1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30ot = 21.6m.
4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。
解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v，弹簧原长：l0?械能守恒：
0?v??12o 0.5?0.122?0.51，在小球从
水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机
B C A mv?mgAB?212k(OA?AC?l0)，可求得：
222gAB?k(OA?AC?l0)/m2?9.8?1?800(0.5?0.1?0.51)/5?4.28m/s2
3
4.6.2 m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与
m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。
解：整个过程可分为两个阶段： 第一阶段，机车与车厢发生完全非 m M 弹性碰撞而获得共同速度v’，由于
轨道阻力远小于冲力，可认为质点 v’
系动量守恒，Mv=(M+m)v’,v’=Mv/(M+m) f
第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s，速度由v’变为零，
2
由动能定理，有 – fs = 0 - (M+m) v’/2, 将v’代入，可求得 f?Mv2s(M?m)22
4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e.若球A自高度h1释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。
解：设两球质量均为m，球 A由h1高处运动到水平位置获得 的速度vA，可由能量守恒方程求
2
出：mgh1=mvA/2∴vA=2gh1
h1 x A B 设A,B两球碰后速度分别为
vA'和vB'，根据非完全弹性碰撞的基本公式，有
vA?vA'?vB'?mvA?mvA'?mvB' 即， ?ev?v'?v'v'?v'?evABAAA?B
??vA'?vA(1?e)/2?(1?e)2gh1/2可求得，???vB'?vA(1?e)/2?(1?e)2gh1/2?(1)?(2)
2
设A球弹回后的最大高度为h，根据能量守恒,1mv'=mgh A22h?vA'2g?14(1?e)h1
2若为完全弹性碰撞，则e=1,由（1）,（2）可知：vA'=0, vB'=vA ,即，碰后A球静止，B球以A球原来的速度向右运动；B球达到h1高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A球，周而复始，这种传递永远进行下去。
4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg，用1m长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？
解：用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，V表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h
4
由动量守恒：mv0?mv?MV，可得
l V?mM(v0?v)?0.002(500?100)?0.8
122m v0 M v V
由能量守恒：MVh?V22?Mgh
/2g?0.8/(2?9.8)?0.033m
4.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。
解：框架静止时，弹簧伸长Δl=0.1m，由平衡条件mg=kΔl,求得：k=mg/Δl=0.2×9.8/0.1=19.6N/m
铅块落下h=30cm后的速度v0，可由能量守恒方程求出：mgh?v0?2gh?2?9.8?0.3?2.42m/s
12mv0
2m h m
设铅快与框架碰后的共同速度为v，由动量守恒：
mv0?2mv,v?12v0?2.42/2?1.21m/s
设框架下落的最大距离为x，由机械能守恒：
12(m?m)v?212k?l2?12k(?l?x)?2mgx，进行整理并代入数据，可得x的一元二次方
2程：x2?0.2x?0.03?0,
x?0.3m
4.6.6 质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率v0=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？
解：整个过程可分为两个阶段 v0 处理。第一阶段：子弹射入m1内，
m2 m1 m0 发生完全非弹性碰撞，动量守恒，
设子弹质量为m0，子弹与m1获得的共同速度为v,则有
m0v0 = (m1+m0) v ∴v = v0m0 / (m1+m0) （1）
第二阶段：子弹与m1以共同速度v开始压缩弹簧至m1与m2有相同的速度V,压缩结束；
在此过程中，由m0,m1,m2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l.由动量守恒，有：
(m1?m0)v?(m1?m2?m0)V?V?m1?m0m1?m2?m0v?m0v0m1?m2?m0(2)
5
2由能量守恒:1(m1?m0)v?212(m1?m2?m0)V2?12kl2(3)
将⑴、⑵代入⑶中，可求得： l?m0v01(1?1m1?m2?m0)?0.25m
km1?m0
4.6.10两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动，另一车厢以2v0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为l，求：⑴货箱与车厢地板间的摩擦系数；⑵车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。
解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段是两个车对撞获得共同速度v（向左），由动量守恒：M(2v0)-Mv0=2Mv,
v0 M M 2v0 M v=v0/2
第二阶段是两节车厢以速度v在摩擦力作用下与货箱发生相对移动，移动距离是l，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦力做功之和为：Af=-μmgl，对质点系应用动能定理：
??mgl?0?1222Mv0?12(2M)(1v),???v0/(4gl) 202设货箱相对车的速度为v'，显然，v'=v0+v=2v+v=3v，两边同乘摩擦力作用时间Δt，即
为对应的距离，l=3d, d=l/3
6