高等数学公式
导数公式：
2(tgx)??secx(arcsinx)??211?x2(ctgx)???cscx(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(a)??alna(logaxx(arccosx)???(arctgx)??11?x211?x2x)??1xlna(arcctgx)???11?x2基本积分表：
?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C?a?x?a?dx2?cos?sindx2xx???secxdx?tgx?C?cscxdx??ctgx?C??cscx?C?C22dx2?secxx?tgxdx?secx?C?xdx?adx?xdx22???1a1arctglnlnxa?C?C?C?cscx?ctgxdx?adx?axx?ax?aa?xa?xxalna222a12a?shxdx?chxdx??2?chx?C?shx?C?ln(x?x?a)?C2222a?x2?arcsin?Cdxx?a22?2In??sin02nxdx??cosxdx?0nn?1naaa2In?2x?a)?Cx?axa?C2222???2u1?ux?adx?x?adx?a?xdx?22222x2x2x2x?a?x?a?a?x?22222222ln(x?lnx?arcsin22?C2三角函数的有理式积分： sinx?， cosx?21?u1?u2， u?tg2x2， dx?1
2du1?u2
一些初等函数： 两个重要极限：
e?e2e?e2shxchx2x?xx?x双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx??ln(x?arthx?12ln1?x1?xlimsinxx1xx?0?1)?e?2.7182818284x
lim(1?x??59045...?e?ee?exx?x?xx?1）x?1)2三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -ctgα -tgα -tgα -ctgα tgα ctgα
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1ctg??ctg?sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2cossin???2???2???2cos??cos??2coscos??cos??2sin???2cossin???2ctg(???)????2???2
2
·倍角公式： sin2??2sin?cos?cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?ctg2??tg2??ctg??12ctg?2tg?1?tg?222222sin3??3sin??4sin?cos3??4cos??3cos?tg3??3tg??tg?1?3tg?2333
·半角公式：
sintg?2????1?cos?21?cos?1?cos?asinA 1?cos?sin?bsinB? cos ctg?2??1?cos?21?cos?1?cos?22
?1?cos?sin?2?2??csin?1?cos??2???sin?1?cos?·正弦定理：
?sinC?2R ·余弦定理：c?a?b?2abcosC
·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosx arctgx??2?arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n(uv)?u(n)??Ck?0knu(n?k)v(k)(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)2!u(n?2)v?????n(n?1)?(n?k?1)k!
u(n?k)v(k)???uv(n)中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?f?(?)F?(?)拉格朗日中值定理。f(b)?f(a)F(b)?F(a)
当F(x)?x时，柯西中值定理就是曲率：
3
弧微分公式：平均曲率：K?ds????s1?y?dx,其中y??tg?.??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变???sd?dsy??(1?y?)232化量；?s：MM?弧长。M点的曲率：直线：K?0;K?lim?s?0??.
半径为a的圆：K?1a.定积分的近似计算：
b矩形法：?f(x)?abb?an(y0?y1???yn?1)梯形法：?f(x)?abb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a3n[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]
抛物线法：?f(x)?a定积分应用相关公式：
功：W?F?s水压力：F?p?A引力：F?km1m2r2,k为引力系数1b?ab
函数的平均值：y?1b?ab?af(x)dx均方根：?af(t)dt2空间解析几何和向量代数：
4
空间2点的距离：向量在轴上的投影：d?M1M2?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cos??k,axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222i???c?a?b?axbxjayby???az,c?a?bsin?.例：线速度：bzaybycyazbzcz???v?w?r.ax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。????a?b?ccos?,?为锐角时，
平面的方程：1、点法式：?A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0?????t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?2222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222??yb?2zc?1xy2p2q?z（,p,q同号）??ybyb2222??zczc2222?1?（马鞍面）1
5
多元函数微分法及应用 全微分：dz??z?xdx??z?ydy du??u?xdx??u?ydy??u?zdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)] ???? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)] ? ????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?xdx??u?ydy dv??v?xdx??v?ydy 隐函数的求导公式：FFFdydy??dy隐函数F(x,y)?0， ??x， 2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0， ??， ???xFz?yFz?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)隐函数方程组：? J???u?G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?u?x?u?y????1?(F,G)?v1?(F,G)? ???J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)? ???J?(y,v)?yJ?(u,y)?F?v?Fu?GGu?vFvGv2
微分法在几何上的应用：
?x??(t)x?x0y?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：????(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGy??Fy?F(x,y,z)?0,则切向量T?{?Gy??G(x,y,z)?0}曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0x?x0Fx(x0,y0,z0)?y?y0Fy(x0,y0,z0)6
?z?z0Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度：
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中?为x轴到方向l的转角。函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?它与方向导数的关系是单位向量。?l多元函数的极值及其求法： ??f是gradf(x,y)在l上的投影。?f??f?i?j?x?yl的方向导数为：?f?l??f?xcos???f?ysin????f??：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l
设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???
重积分及其应用：
??Df(x,y)dxdy???D?f(rcos?,rsin?)rdrd???z???z???1??????dxdy??x???y?22曲面z?f(x,y)的面积A???Dx平面薄片的重心：x?MM??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D, y?MMy???DDy?(x,y)d????(x,y)d???D
x?(x,y)d?2平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fx?f对于x轴Ix???Dy?(x,y)d?, 对于y轴Iy?2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：， Fy?f3??D?(x,y)xd?222??D?(x,y)yd?222， Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222柱面坐标和球面坐标：
7
?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?, ???f(x,y,z)dxdydz???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?， dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2?????F(r,?,z)rdrd?dz,
?r(?,?)????f(x,y,z)dxdydz?1M????F(r,?,?)rsin?drd?d??1M2?d??d?00?F(r,?,?)rsin?dr02重心：x?转动惯量：????x?dv, y?????y?dv, z?1M2????z?dv， 其中M?x?22?????dvIx?????(y?z)?dv， Iy?22????(x?z)?dv， Iz?2????(x?y)?dv曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：?, (??t??),则：?y??(t)??Lf(x,y)ds????x?t22??f[?(t),?(t)]?(t)??(t)dt (???) 特殊情况：??y??(t)
8
第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：?x??(t)，则：??y??(t)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL?两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：??(D系：?Pdx?Qdy?L?(Pcos?L?Qcos?)ds，其中?和?分别为的方向角。)dxdy??Q?x??P?y?Pdx?Qdy格林公式：??(LD?Q?x??P?y)dxdy?12?PdxL?Qdy?Q?P当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A??x?y·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在?Q?x＝?P?y注意方向相反！：，且?Q?x无关的条件：??Ddxdy??xdyL?ydx＝?P?y。注意奇点，如(0,0)，应
时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设(x0,y0)x0?y0?0。曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：????f(x,y,z)ds???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy22??P(x,y,z)dydzDxy?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：号；??R(x,y,z)dxdy?????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz
号；号。?Qcos??Rcos?)ds??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx?????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Pcos??高斯公式：
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????(?P?x??Q?y??R?z)dv???Pdydz??Qdzdx?Rdxdy???(Pcos???Qcos??Rcos?)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：?div??0,则为消失...??P?Q?R散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，???因此，高斯公式又可写成：?????divAdv???A?nds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
???(?R?y??Q?z)dydz?(?P?z??R?x)dzdx?(dzdx??yQ?Q?x??P?y)dxdy?cos???xP?Pdx??Qdy?Rdzcos???zR上式左端又可写成：???dydz??xPdxdy??zR?R?y?????cos???yQ空间曲线积分与路径无i??xPj??yQ关的条件：k??zR?Q?P?R?Q?P， ?， ??z?z?x?x?y
?旋度：rotA??向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??????A?tds常数项级数：
等比数列：1?q?q???q等差数列：1?2?3???n?调和级数：1?12?13???1n2n?1?1?qn1?q(n?1)n2
是发散的级数审敛法：
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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?un，则???1时，级数发散???1时，不确定?设：??limnn??2、比值审敛法：???1时，级数收敛Un?1?设：??lim，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发n??
散。交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法如果交错级数满足??un?un?1?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n——莱布尼兹定理：
s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。绝对收敛与条件收敛：
(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：? 级数：?1nn发散，而收敛；ｐ?１时发散 p?1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n
?(?1)n收敛；12 p级数：?1np幂级数：
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1?x?x?x???x?? 23nx?1时，收敛于x?1时，发散11?x对于级数(3)a0?a1x ?a2x???anx??，如果它不是仅在原点x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定 1??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1an??，其中an，an?1是(3)的系数，则?n????0时，R???????时，R?0函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：余项：Rn?f(n?1)f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)n?1f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)??n(?)(n?1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f??(0)2!2充要条件是：limRn?0n??
x0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???f(n)(0)n!x??n一些函数展开成幂级数： (1?x)m?1?mx?x3m(m?1)2!x???n?12m(m?1)?(m?n?1)n!x?? (?1?x?1)nsinx?x?3!?x55!???(?1)x2n?1
(2n?1)!?? (???x???)欧拉公式：
ix?ix?e?e?cosx??2?cosx?isinx 或? ix?ix?sinx?e?e?2?eix三角级数：
?f(t)?A0??An?1nsin(n?t??n)?a02???(an?1ncosnx?bnsinnx)其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积上的积分＝0。在[??,?]
傅立叶级数：
12
f(x)?a02???(an?1ncosnx?bnsinnx)，周期?2??1a??n??其中?1?bn????1? 122????f(x)cosnxdx (n?0,1,2?)????f(x)sinnxdx (n?1,2,3?)13?2?142152???162?281?1222??1332??1442????????26（相加）?????2241?2?1212122（相减）12正弦级数：an?0，bn??2?0f(x)sinnxdx n?1,2,3? f(x)??ba02nsinnx是奇函数?余弦级数：bn?0，an???0f(x)cosnxdx n?0,1,2? f(x)???ancosnx是偶函数
周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
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f(x)?a02???n?1(ancosn?xl?bnsinn?xl)，周期?2ll?1n?xa?f(x)cosdx (n?0,1,2?)?n?ll??l其中?l1n?x?bn??f(x)sindx (n?1,2,3?)?l?ll?
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程?g(y)dy??yxf(x)dx 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。程可以写成dudx，u?dudxdydx?f(x,y)??(x,y)，即写成dxx?duyx的函数，解法：yx齐次方程：一阶微分方设u?，则dydx?u?x
??(u)，??(u)?u分离变量，积分后将代替u，即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： 1、一阶线性微分方程：dydx?P(x)y?Q(x)?P(x)dxy?Ce?当Q(x)?0时,为齐次方程，当Q(x)?0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy?(?Q(x)e?nP(x)dxdx?C)e??P(x)dx
?P(x)y?Q(x)y，(n?0,1)全微分方程：
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。?u分方程，即：?u?P(x,y)，?Q(x,y) ?x?y二阶微分方程： dydx22?P(x)dydx?Q(x)y?f(x)，f(x)?0时为齐次f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
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(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r?pr?q?0，其中r，r的系数及常数项恰好是2、求出(?)式的两个根r1,r222(*)式中y??,y?,y的系数；3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式 出(*)式的通解：
(*)式的通解 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p2?4q?0) 一对共轭复根(p2?4q?0) r1???i?，r2???i?y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)ey?e?xr1x(c1cos?x?c2sin?x) ???p2，??4q?p22 二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?ePm(x)型，?为常数；f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型?x?x
概率公式整理
1．随机事件及其概率
A????A???A吸收律：A???AA?(AB)?A A????A?(A?B)?A
A?B?AB?A?(AB)
反演律：A?B?AB AB?A?B
nninini
?Ai?1??Ai?1
?Ai?1??Ai?1i
2．概率的定义及其计算
15
P(A)?1?P(A)
若A?B ?P(B?A)?P(B)?P(A)
对任意两个事件A, B, 有 P(B?A)?P(B)?P(AB)
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)
nnniP(?Ai)?i?1?P(Ai?1)??P(A1?i?j?niAj)??P(A1?i?j?k?niAjAk)???(?1)n?1P(A1A2?An)
3．条件概率
P?BA??
P(AB)P(A)
乘法公式
P(AB)?P(A)P?BA?(P(A)?0)P(A1A2?An)?P(A1)P?A2
A1??P?AnA1A2?An?1?(P(A1A2?An?1)?0)
全概率公式
nniP(A)??P(ABi?1) ??P(B)?P(Aii?1Bi)
Bayes公式 P(BkA)?P(ABk)P(A) ?P(Bk)P(ABk)n
?P(B)P(Aii?1Bi)
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4．随机变量及其分布
分布函数计算
P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)?F(b)?F(a)
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
P(X?k)?p(1?p)k1?k,k?0,1
(2) 二项分布 B(n,p) 若P ( A ) = p
P(X?k)?Cnp(1?p)kkn?k,k?0,1,?,n
*Possion定理
limnpn???0
n?? 有
limCp(1?pn)n??knknn?k?e???kk!
k?0,1,2,?
(3) Poisson 分布 P(?)
P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,?
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 U(a,b) ?1,?f(x)??b?a?0,?a?x?b其他
17
?0,??x?aF(x)??,
?b?a?1?
(2) 指数分布 E(?)
??x???e,f(x)????0,x?0其他
?0,F(x)????x?1?e,x?0x?0
(3) 正态分布 N (? , ? 2 ) f(x)?12???(x??)2?22e???x???
2F(x)?12???x?(t??)2?2??edt
*N (0,1) — 标准正态分布
?(x)?12?12?e?x22???x???
2 ?(x)??x??e?t2dt???x???
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F(x,y)?????xy??f(u,v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数 FX(x)?????x????f(u,v)dvdu
fX(x)?FY(y)??????yf(x,v)dv
????????f(u,v)dudv
18
fY(y)??????f(u,y)du
8.
连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
?1?,f(x,y)??A??0,(x,y)?G其他
(2)
二维正态分布
12??1?2?2?(x??)2(x??1)(y??2)(y??2)?1?2????222?1?22(1??)??2??1??1f(x,y)?1??2?e
???x???,???y???
9.
二维随机变量的 条件分布
f(x,y)?fX(x)fYX(yx)fX(x)?0 fY(y)?0
?fY(y)fXY(xy)fX(x)?fY(y)?????????f(x,y)dy?f(x,y)dx?????????fXY(xy)fY(y)dy fYX????(yx)fX(x)dx
fXY(xy) ?f(x,y)fY(y)f(x,y)fX(x) ?fYX(yx)fX(x)fY(y)
fYX(yx) ? ?fXY(xy)fY(y)fX(x)
10.随机变量的数字特征
数学期望
?? E(X)??xk?1kpk
19
E(X)??????xf(x)dx
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
E(X)
k
X 的 k 阶绝对原点矩
E(|X|)
k
X 的 k 阶中心矩
E((X?E(X)))
k
X 的 方差
E((X?E(X)))?D(X)
2
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E(XY)
kl
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E(X?E(X))(Y?E(Y))?kl?
X ,Y 的 二阶混合原点矩
E(XY)
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E?(X?E(X))(Y?E(Y))?
X ,Y 的相关系数
?(X?E(X))(Y?E(Y))E??D(X)D(Y)????? XY??
20
A???
证：?A?,A????TATA???T????,??
?1????1，求Ax??0?的解。
?0??? 例4．（04）A是3阶正交矩阵，并且a11 三．施密特正交化方法
这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。
?2????1???c? 设?1,?2,?3线性无关 ①正交化：令?1??1 ?2??2???1,?2??
??1,?1?1 （设?2??2?k?1，??2,?1????2,?1??k??1,?1? 当k???2,?1?时，?2,?1正交。）
??1,?1???1,?3????1,?1?1?1?1? ?3??3???2,?3??
??2,?2?2?2?2 ②单位化：令?1?，?2?，?3??3?3
则?1,?2,?3是与?1,?2,?3等价的单位正交向量组。 四．实对称矩阵的对角化 设A是一个实的对称矩阵，则 ①A的每个特征值都是实数。
②对每个特征值?，重数?n?r??E?A?。即A可以对角化。
46
③属于不同特征值的特征向量互相正交。
于是：存在正交矩阵Q，使得Q?1AQ是对角矩阵。
对每个特征值?，找??E?A?x?0的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 设A是6阶的有3个特征值?1（二重），?2（三重），?1（一重） 找?1的2个单位正交特征向量?1,?2。 找?2的3个单位正交特征向量?3,?4,?5。 找?3的一个单位特征向量?6。 Q???1,?2,?3,?4,?5,?6?
例5．（04）A是3阶实对称矩阵，r?A??2，6是它的一个二重特征值， ?1??2??1??????? ?1?，?1?和??2?都是属于6的特征向量。
?0??1??3??????? （1）求A的另一个特征值。 （2）求A。 解：（1）另一个特征值为0。 ?x1? （2）设?x2?x?3???是属于0的特征向量，则 ???x1?x2?0? ?2x1?x2?x3?0
?x?2x?3x?023?1 此方程组n?3，r?A??2，n?r?A??1，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。 于是，每个非零解都是属于0的特征向量。 ?1? ?2?1??1? A?1?0?11?22110??1??1???0?03???1??6???1???6??1???001012661??1?????1? ????1?是一个解。
??1?0????0??0? 0??47
?1? ?2??111?106112?10660?10???6???0??0??001004021224?22???2?
?4??4? A??2?2?24?22???2? 4??
附录二 向量空间
1．n维向量空间及其子空间
记为Rn由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。
设V是Rn的一个子集，如果它满足
（1）当?1,?2都属于V时，?1??2也属于V。 （2）对V的每个元素?和任何实数c，c?也在V中。 则称V为Rn的一个子空间。
例如n元齐次方程组AX?0的全部解构成Rn的一个子空间，称为AX?0的解空间。 但是非齐次方程组AX??的全部解则不构成Rn的子空间。
对于Rn中的一组元素?1,?2,?,?s，记它们的全部线性组合的集合为
L??1,?2,?,?s???c1?1?c2?2???cs?sci任意?，它也是Rn的一个子空间。
2．基，维数，坐标
设V是Rn的一个非0子空间（即它含有非0元素），称V的秩为其维数，记作dimV。 称V的排了次序的极大无关组为V的基。
例如AX?0的解空间的维数为n?r?A?，它的每个有序的基础解系构成基。
又如dim?L??1,?2,?,?s???r??1,?2,?,?s?，?1,?2,?,?s的每个有序的极大无关组构成基。
48
设?1,?2,?,?k是V的一个基，则V的每个元素?都可以用?1,?2,?,?k唯一线性表示： ??c1?1?c2?2???ck?k
称其中的系数?c1,c2,?,ck?为?关于基?1,?2,?,?k的坐标，它是一个k维向量。 坐标有线性性质：
（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：
如果向量?和?关于基?1,?2,?,?k的坐标分别为?c1,c2,?,ck?和?d1,d2,?,dk?，则???关于基?1,?2,?,?k的坐标为
?c1?d1,c2?d2,?,ck?dk???c1,c2,?,ck???d1,d2,?,dk? （2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：
如果向量?关于基?1,?2,?,?k的坐标为?c1,c2,?,ck?，则c?关于基?1,?2,?,?k的坐标为
?cc1,cc2,?,cck??c?c1,c2,?,ck?。
坐标的意义：设V中的一个向量组?1,?2,?,?t关于基?1,?2,?,?k的坐标依次为?1,?2,?,?t，则?1,?2,?,?t和?1,?2,?,?t有相同的线性关系。
于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。
3．过渡矩阵，坐标变换公式
设?1,?2,?,?k和?1,?2,?,?k都是V的一个基，并设?1在?1,?2,?,?k中的坐标为
?c1i,c2i,?,cki?，构造矩阵
?c11??c21 C?????c?k1c12c22?ck2????c1k??c2k?， ???ckk?? 称C为?1,?2,?,?k到?1,?2,?,?k的过渡矩阵。 ??1,?2,?,?k????1,?2,?,?k?C。
如果V中向量?在其?1,?2,?,?k和?1,?2,?,?k中的坐标分别为 x??x1,x2,?,xk?和y??y1,y2,?,yk?，则
TT
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????1,?2,?,?k?x ????1,?2,?,?k 于是关系式： x?Cy
称为坐标变换公式。
4．规范正交基
如果V的一基?1,?2,?,?k是单位正交向量组，则称为规范正交基。 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。 设?的坐标为?c1,c2,?,ck?，?的坐标为?d1,d2,?,dk?， 则??,???c1d1?c2d2???ckdk
两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。 做题思路 先化简再计算
例5．（03）设n维列向量???a,0,?,0,a?，a?0。规定A?E???T，B?E?T?y???1,?2,?,?k?Cy
1a??T。
已知AB?E，求a。
注意化简技巧（中间过程也很重要） ?1??0 例13．（00）己知A*??1??0?010?300100??0?，求矩阵B，使得ABA?0?8???1?BA?1?3E.
证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ，证明Ax=E ，
证明两式相等切入点 AB=某个等式=BA
（从对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点AB?E?BA?E）
例20．设n阶矩阵A和B满足等式AB?aA?bB，ab?0, 证明：AB?BA
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