选修系列
一、选择填空题
?2x?y?2?1.（江苏2006年5分）设变量x、y满足约束条件?x?y??1，则z?2x?3y的最
?x?y?1?大值为 ▲ 【答案】18。
【考点】线性规划问题。
【分析】画出可行域，得在直线2x?y?2与直线x?y??1的交点A(3，4)处，目标函数z最大，最大值为18。
2.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A?{(x,y)|x?y?1,且x?0,y?0}，则平面区域B?{(x?y,x?y)|(x,y)?A}的面积为【 】 A．2 B．1 C．【答案】B。
【考点】简单线性规划的应用。
11 D． 24?u?1u?x?y??【分析】令?。则?u?v?0。作出区域是等腰直角三角形，可求出
?v?x?y?u?v?0?面积s?1?2?1?1。故选B。 2二、解答题
1.（江苏2008年附加10分）选修4—1 几何证明选讲
[来源学科网]
如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D． 求证：ED?EB?EC．
【答案】证明：如图，∵AE是圆的切线，∴?ABC??CAE。 又∵AD是∠BAC的平分线，∴?BAD??CAD。 ∴?ABC??BAD??CAE??CAD。
∵?ADE??ABC??BAD， ?DAE??CAE??CAD，
B
D
C E
2A
∴ ?ADE??DAE。∴EA=ED。
∵ EA是圆的切线，∴由切割线定理知,EA?EC?EB。
而EA=ED，∴ED?EB?EC。
【考点】与圆有关的比例线段。
【分析】根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得。 2.（江苏2008年附加10分）选修4—2 矩阵与变换
2 0?
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2?y2?1在矩阵??0 1?对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
''【答案】解：设P(x0,y0)是椭圆上任意一点，点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换下变为点P'(x0,y0)
22[来源学科网ZXXK]
则有
'?x0?x??20??x0???x?2x0?x0?? ，即，所以2 ?'???'?????y0???01??y0????y0?y0?y?y'0?0'0'022'2'2 又因为点P在椭圆上，故4x0?y0?1，从而(x0)?(y0)?1
所以，曲线F的方程是 x2?y2?1。 【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。
''【分析】由题意先设椭圆上任意一点P(x0,y0)，根据矩阵与变换的公式求出对应的点P'(x0,y0)，得
到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简。
3.（江苏2008年附加10分）选修4—4 参数方程与极坐标
x2?y2?1上的一个动点，求S?x?y的最大值． 在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆3?x2?x?3cos?2 (?为参数）?y?1的参数方程为?【答案】解：∵椭圆
3y?sin??? ∴可设动点P的坐标为(3cos?,sin?），其中0???2?.
∴S?x?y?3cos??sin??2( ∴当??31?cos??sin?)?2sin(??) 223?6时，S取最大值2。
【考点】椭圆的参数方程
【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求。
4.（江苏2008年附加10分）选修4—5 不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：
111??+abc≥23． a3b3c3【答案】证明：∵a,b,c为正实数，
∴由平均不等式可得
11131111113???，即。 ???3?333333333abcabcabcabc∴
1113???abc??abc。 a3b3c3abc11133?abc?2abc?23，∴ 3?3?3+abc≥23。
abcabcabc又∵
【考点】平均值不等式，不等式的证明。 【分析】先根据平均值不等式证明
11133???abc??abc?abc?23。 ，再证a3b3c3abcabc5.（江苏2009年附加10分）选修4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD.
【答案】证明：∵△ABC≌△BAD，∴∠ACB=∠BDA。 ∴A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠CDB。 又∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA。 ∴∠DBA=∠CDB。∴AB∥CD。
【考点】全等三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，平行的判定。
【分析】由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。 6.（江苏2009年附加10分）选修4 - 2：矩阵与变换
?32?求矩阵A???的逆矩阵. 21???x【答案】解：设矩阵A的逆矩阵为??zy??32??xy??10?则,?21??zw???01?, w????????[来源:Z,xx,k.Com]
?3x?2z?1??3x?2z3y?2w??10??2x?z?0即?。解得：x??1,z?2,y?2,w??3。??,∴????2x?z2y?w??01??3y?2w?0??2y?w?1??12?∴A的逆矩阵为A?1???。 2?3??【考点】逆矩阵的求法。
【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。 7.（江苏2009年附加10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程
1?x?t???t（为参数，t?0）.
已知曲线C的参数方程为?t?y?3(t?1)?t?求曲线C的普通方程。
【答案】解：∵x2?t??2,∴x2?2?t??1t1ty。 3∴曲线C的普通方程为：3x2?y?6?0。
【考点】参数方程和普通方程。 【分析】将x?t?1111y平方即可得到x2?2?t?，再将y?3(t?)化为t??，从而消去参数t，
ttt3t得到曲线C的普通方程。
8.（江苏2009年附加10分）选修4 - 5：不等式选讲 设a≥b＞0,求证：3a3?2b3≥3a2b?2ab2.
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【答案】证明：3a3?2b3?(3a2b?2ab2)?3a2(a?b)?2b2(b?a)?(3a2?2b2)(a?b)，
∵a≥b＞0，∴a?b≥0，3a2?2b2＞0，∴(3a2?2b2)(a?b)≥0。 ∴3a?2b≥3ab?2ab.
【考点】不等式的证明。
【分析】由代数式的变形可得3a3?2b3?(3a2b?2ab2)?(3a2?2b2)(a?b)?0，即可得证。
33229.（江苏2010年附加10分）选修4-1：几何证明选讲
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
【答案】证明：连接OD，则OD⊥DC，
又∵OA=OD，DA=DC，
∴∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO。 ∴∠DCO=300，∠DOC=600。 ∴OC=2OD，即OB=BC=OD=OA。
D∴AB=2BC。
【考点】三角形、圆的有关知识。
【分析】连接OD，则OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解。 10.（江苏2010年附加10分）选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)。设k为非零实数，矩阵M=?AOBC?k0??01?,N=??10?，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1
01????的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。 【答案】解：由题设得MN???k0??01??0k? ???????01??10??10?由?－2）。
?0k??0?2?2??00k?、B1（0，－2）、C1（k，??001???0?2?2?，可知A1（0，0）
10??????计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。 所以k的值为2或－2。
【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。 【分析】由题设得MN???k0??01??0k?，根据矩阵的运算法则进行求解。 ???????01??10??10?11.（江苏2010年附加10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆??2cos?与直线3?cos??4?sin??a?0相切，求实数a的值。 【答案】解：∵??2cos?，∴?2?2?cos?。∴圆??2cos?的普通方程为：x2?y2?2x，即
(x?1)2?y2?1。
直线3?cos??4?sin??a?0的普通方程为：3x?4y?a?0，
又∵圆与直线相切，∴|3?1?4?0?a|3?422?1,解得：a?2，或a??8。
【考点】曲线的极坐标方程化成普通方程。
【分析】在极坐标系中，已知圆??2cos?与直线3?cos??4?sin??a?0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再根据圆心到直线的距离等于半径计算出a值。 12.（江苏2010年附加10分）选修4-5：不等式选讲 设a、b是非负实数，求证：a3?b3?ab(a2?b2)。
【答案】证明：∵a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)
?(a?b)[(a)5?(b)5]
?(a?b)2[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]
又∵实数a、b≥0，∴上式≥0。 ∴a3?b3?ab(a2?b2)。
【考点】证明不等式的基本方法，二项式定理。【
分
析
】
利
用
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项
式
定
理
求
出
二
a3?b3?ab(a2?b2)?(a?b)2[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]即可。
13.（江苏2011年附加10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r．圆O1的弦1?r2）AB交圆O2于点C（O1不在AB上）． 求证：AB：AC为定值．
【答案】证明：连接AO1，并延长分别交两圆于点E，D，连接BD，CE， ∵圆O1与圆O2内切于点A，∴点O2在AD上。 ∴AD，AE分别是，圆O1和圆O2的直径。 ∴∠ABD=∠ACE= ∴
?2。∴BD∥CE。
ABAD2r1r1????定值。 ACAE2r2r2【考点】两圆内切的性质，圆周角定理，平行的性质。
【分析】如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论。 14.（江苏2011年附加10分）选修4-2：矩阵与变换
?11??1?已知矩阵A??，向量????．求向量?，使得A2???． ??21??2?【答案】解：设????，
?x??y??11??11??32?∵A????21? =?43?，
21??????2∴由A2???得,??32??x??1????， ????43??y??2?∴??3x?2y?1??1??x??1，解得?。∴????。
?y?2?4x?3y?2?2?【考点】矩阵的运算法则。
?x?2【分析】设向量????，由A???，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和y 的值，从
?y?而求得向量?。
15.（江苏2011年附加10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆?为参数）平行的直线的普通方程．
?x?5cos??x?4?2t（?为参数）的右焦点，且与直线?（t?y?3sin??y?3?t【答案】解：由题意知，椭圆的长半轴长为a?5，短半轴长b?3，∴c?4。
∴右焦点为?4,0?。
将已知直线的参数方程化为普通方程得x?2y?2?0，∴所求的直线的斜率为∴所求的方程为y?1。 21(x?4)即x?2y?4?0。 2【考点】椭圆及直线的参数方程。
【分析】把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程。
16.（江苏2011年附加10分）选修4-5：不等式选讲 解不等式：x?|2x?1|?3．
?2x?1?0?2x?1?0?【答案】解：原不等式可化为?或?，
x?2x?1?3x?2x?1?3????? 解得，
141?x<或?2 3??【考点】解绝对值不等式。 ??2x?1?0?2x?1?0【分析】原不等式可化为?或?，分别解出这两个不等式组的解集，再把解 x?2x?1?3??x?2x?1?3???集取并集。 17.（2012年江苏省附加10分）[选修4 - 1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D,E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD?DC，连结AC,AE,DE． 求证：?E??C． 【答案】证明：连接AD。 ∵AB是圆O的直径，∴?ADB?900（直径所对的圆周角是直角）。 ∴AD?BD（垂直的定义）。 又∵BD?DC，∴AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义）。 ∴AB?AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 ∴?B??C（等腰三角形等边对等角的性质）。 又∵D,E为圆上位于AB异侧的两点， ∴?B??E（同弧所对圆周角相等）。 ∴?E??C（等量代换）。 【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。 【解析】要证?E??C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到?B和?E是同弧所对圆周角，相等；另 一方面由AB是圆O的直径和BD?DC可知AD是线段BC的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到?B??C。从而得证。 本题还可连接OD，利用三角形中位线来求证?B??C。 ?13????44?118.（2012年江苏省附加10分）[选修4 - 2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵A???，求 11????2??2?矩阵A的特征值． 【答案】解：∵A?1A=E，∴A=A?1???1。 ?13????2 3?44?，∴?1?1 ∵A?1??。 A=?A??????2 1??1?1??2??2????2 ?3?2 ∴矩阵A的特征多项式为f???=??=??3??4。 ?2 ??1 ??，?2=4。 令f???=0，解得矩阵A的特征值?1=?1【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。 【解析】由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值。 19.（2012年江苏省附加10分）[选修4 - 4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P?2，?，4???3?圆心为直线?sin??????与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． 32????3?【答案】解：∵圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点， 3?2???3?∴在?sin??????中令?=0，得??1。 32?? ∴圆C的圆心坐标为（1，0）。 ∵圆C经过点P??2，，∴圆C的半径为PC?4???22?12?2?1?2cos?4=1。 ∴圆C经过极点。∴圆C的极坐标方程为?=2cos?。 【考点】直线和圆的极坐标方程。 ??3?【解析】根据圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C经过点 32??P?2，?求出圆C的半径。从而得到圆C的极坐标方程。 4?20.（2012年江苏省附加10分）[选修4 - 5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x?y|?求证：|y|?11，|2x?y|?，365． 18【答案】证明：∵3|y|=|3y|=|2?x?y???2x?y?|?2x?y?2x?y， 由题设|x?y|?111155∴3|y| 20、（2013江苏卷21）【选做题】［选做题］第21题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，．．．．．．并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 21．A.［选修4-1：几何证明选讲］本小题满分10分。 [来源学科网ZXXK]如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C,AC经过圆心O，且BC?2OC 求证：AC?2AD 21．A证明：连接OD，∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C ∴?ADO??ACB?90,又∵?A??A ∴RT?ADO～RT?ACB ∴ 0BCAC? 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD ODAD21．（2013江苏卷21）【选做题】21．B.［选修4-2：矩阵与变换］本小题满分10分。 ??10??12??1已知矩阵A??，求矩阵AB。 ,B?????02??06?答案:21．B 解：设矩阵A的逆矩阵为??a?b???1?0?,则??0?2??c?d????a?b??1?0???a??b??1?0?=，即 ?c?d??0?1??2c?2d?=?0?1?， ??????????1?0?1?1?, 故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩阵A的逆矩阵为A??1?0???22????1?0??1?∴AB=?1?0???2???1?2???1??2??0?6?=??0??3? ????22.（2013江苏卷21）【选做题】21.C.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题满分10分。 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为??x?t?1 （t为参数），曲线C的参数方程为 ?y?2t?x?2tan2? （?为参数），试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 ??y?2tan?[来源:Zxxk.Com] 21．C解：∵直线l的参数方程为??x?t?1 ∴消去参数t后得直线的普通方程为2x?y?2?0 ① ?y?2t同理得曲线C的普通方程为 y2?2x ② 12①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2)，(,?1) 23.（2014江苏卷21）21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分) 如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点 证明:∠OCB=∠D. 本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点， 故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D. B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分) ??12??11??2?B???已知矩阵A??，，向量y为实数，若Aα=Bα，求x，y的值． ??2?1??y?，x，1x??????【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. ?2y?2??2?y??2y?2?2?y，1，Aα=BαA???Bα?x??y?4 ，，由得解得???4?y?22?xy2?xy?4?y，?????C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) ??x?1?在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为??y?2??B两点，求线段AB的长． 交于A，2t，2(t为参数)，直线l与抛物线y2?4x2t2【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l：x?y?3代入抛物线方程y2?4x并整理得x2?10x?9?0 2)，B(9，?6)，故|AB|?82 ∴交点A(1，D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy. 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分. 22证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥33xy?0，1+x2+y≥33xy?0， 22所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥33xy?33xy=9xy.