附录：
2012-2015年全国高考新课标Ⅰ卷数学（理科）试题分类解析
参编人员：（按撰写顺序排列）
深圳市盐田高级中学 张成宇 深圳市观澜中学 池进平 深圳市龙华新区教科研中心 殷木森 深圳市龙华中学 高贺清 深圳市第二高级中学 胡顺魁 深圳中学 张建强 深圳市外国语学校 苏永潮 深圳市科学高中 丁家顺 深圳市罗湖区翠园中学 韩芸 深圳市高级中学 张宏伟 深圳市红岭中学 程武军 深圳市第二实验学校 何明志 深圳市第三高级中学 金宁 深圳市实验学校 俞国雄 深圳市福田区外国语高级中学 王丽娜 深圳中学 刘锋 深圳中学 黄文辉 深圳市观澜中学 池进平 深圳市新安中学 丛文娟 深圳市龙城高级中学 王艳华 深圳市南山外国语学校 张玉军
1．集合
一、知识点分布表：
年份 2012年 2013年 2014年 2015年 知识点 集合间的基本关系 集合的运算——交集 集合的运算——交集 集合的运算——交集 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 分值 5 5 5 5 试题难度 容易 √ √ √ √ 中等 较难
二、试题解析：
(一)选择题：
1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第1题) 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为
A．3
B．6
C．8
D．10
【解析】当x＝5时，y＝1，2，3，4； 即(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4) 当x＝4时，y＝1，2，3；
即(4，1)，(4，2)，(4，3)
当x＝3时，y＝1，2； 当x＝2时，y＝1；
即(3，1)，(3，2)
即(2，1)
故B中共有10个元素，故选D．
【考点分析】本题主要考查描述法表示集合，解题关键是集合B的代表元素及其公共属性，是基础题．
2．(2013年全国高考新课标Ⅰ卷第1题) 已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则
A．A∩B＝?
B．A?B＝R
C．B?A
D．A?B
【解析】A＝(－∞，0) ? (2，＋∞)，B＝(－5，5)，故A?B＝R，故选B．
－5 0 2 5 x 【考点分析】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间的基本关系，借助数轴表示集合将使本题更加直观，是基础题．
3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第1题) 已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝
A．[－2，－1]
B．[－1，2)
C．[－1，1]
D．[1，2)
【解析】A＝(－∞，－1] ? [3，＋∞)，B＝[－2，2)，故A∩B＝[－2，－1]，故选A．
－2 －1 2 3 x 【考点分析】本题主要考查一元二次不等式解法，借助数轴进行集合的基本运算，是基础题．
4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷第1题) 已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中的元素个数为
A．5
B．4
C．3
D．2
【解析】集合A是由所有除以3余2的正整数组成的集合，所以A∩B＝{8，14}，故选D． 【考点分析】本题主要考查集合的交集运算，是基础题．
三、命题趋势分析：
集合是高考的必考内容，对集合的考查主要有两个方面：一是集合的运算（交、并、补）；二是集合间的基本关系（包含、真包含、相等）．集合部分的命题保持相对稳定，在试卷中以
选择题的形式呈现，属于基础题，较容易．集合知识经常会与函数、方程、不等式等知识交汇命题．
（撰稿人：深圳市盐田高级中学 张成宇）
2.常用逻辑用语
一、知识点分布表：
年份 2012年 2013年 2014年 2015年
知识点 关于复数命题的真假判断 关于可行域的全称命题与特称命题的真假判断 特称命题的否定 题型 选择题 选择题 选择题 分值 5 5 5 试题难度 容易 中等 较难 √ √ √ 二、试题解析：
(一)选择题：
1.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第3题)下面是关于复数z?2的四个命题:其中的真命题为 ?1?i p1:z?2 p2:z2?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1
A.p2,p3 B. p1,p2 C.p?,p? 【答案】C 【解析】z?22(?1?i)???1?i， ?1?i(?1?i)(?1?i)D.p?,p?
z?2,所以p1为假命题；z2?2i,p2为真命题；z的共轭复数为?1?i,p3为假命题； z的虚部为?1,p4为真命题,选C.
?x?y?12.(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第9题)不等式组?的解集记为D,有下面四个命题:
?x?2y?4p1:?(x,y)?D,x?2y??2； p2:?(x,y)?D,x?2y?2； P3:?(x,y)?D,x?2y?3； p4:?(x,y)?D,x?2y??1. 其中的真命题是
A.p2,p3 B. p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3
【答案】C
【解析】这实际是一道简单的线性规划问题，容易得出在可行域D内，目标函数z?x?2y的取值范围是[0,??)，所以正确命题为p1,p2 ,选C.
【考点分析】本题以简单线性规划中目标函数的范围为载体，考查对“恒成立”和“存在性”的理解.
3.(2015年全国高考新课标Ⅰ卷第3题)设命题p：?n?N,n2?2n，则?p为( )
A.?n?N,n2?2n B. ?n?N,n2?2n
C.?n?N,n2?2n D.?n?N,n2=2n[来源:学科网] 【答案】C
【解析】对特称命题的否定要把前面的“存在”改为“任意”，还要否定后面的结论.
三、命题趋势分析：
含一个量词的全称命题或特称命题的否定是高考考查的重点，分别出现在2007年和2015年的试卷中；2013年（文科）和2010年（理科）考了复合命题真假判定；2008年考过向量共线的充要条件.总体上简易逻辑在全国高考数学新课标Ⅰ卷中以选择题形式出现，难度不大.
（撰稿人：深圳市观澜中学 池进平）
3．复数
一、知识点分布表：
年份 2012年 2013年
知识点 复数的运算与共轭复数的概念 复数的运算 题型 选择题 选择题 分值 5 5 试题难度 容易 中等 较难 √ √
2014年 2015年
复数的运算与复数的模 复数的运算与复数相等的概念 选择题 选择题 5 5 √ √ 二、试题解析：
(一)选择题：
1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第3题) 下面是关于复数z＝题为
p1：|z|＝2 A．p2，p3 【答案】C 【解析】z＝
2(－1－i)－2－2i2
＝＝2＝－1－i， －1＋i(－1＋i)(－1－i)
2
的四个命题：其中的真命－1＋i
p2：z2＝2i
p3：z的共轭复数为1＋i
p4：z的虚部为－1
B．p1，p2 C．p2，p4
D．p3，p4
所以p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为－1＋i；p4：z的虚部为－1． 正确的是p2和p4，故选C．
【考点分析】本题主要考查复数的概念、复数的除法与乘方运算以及复数的模，共轭复数的概念，考查知识点较全，但难度不大，属于基础题．
2．(2013年全国高考新课标Ⅰ卷第2题) 若复数z满足(3－4i)·z＝|4＋3i|，则z的虚部为
A．－4 【答案】D
【解析】(3－4i)·z＝|4＋3i|＝5，所以z＝4
z的虚部为5．故选D．
【考点分析】本题主要考查复数的概念、复数的除法与复数的模，属于基础题． (1＋i)3
3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第2题) ＝
(1－i)2
A．1＋i 【答案】D
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
5×(3＋4i)5×(3＋4i)345＝＝＝5＋5i，所以
253－4i(3－4i)(3＋4i)
4
B．－5
C．4
4D．5
(1＋i)3(1＋i)2(1＋i)2i(1＋i)
【解析】＝＝＝－1－i．故选D．
(1－i)2(1－i)2－2i
【考点分析】本题主要考查复数的除法与复数的乘方运算，属于基础题． 1＋z
4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷第1题) 设复数z满足＝i，则|z|＝
1－z
A．1
B．2
C．3
D．2
【答案】D
1＋z－1＋i(－1＋i)(1－i)2i
【解析】由＝i得，1＋z＝i(1－z)，所以z＝＝＝2＝i，所以|z|＝1．故
1－z1＋i(1＋i)(1－i)选D．
【考点分析】本题主要考查复数的运算与得数的模，属于基础题．
三、命题趋势分析：
复数是高考必考知识点，复数的概念及其运算、共轭复数、复数的模、复数相等的概念
是高考命题的热点，其中对复数的四则运算的考查频次较高，大多又是以“复数的除法”的形式出现，主要以选择题的形式考查，属于基础题．
（撰稿人：深圳市盐田高级中学 张成宇）
4．算法
一、知识点分布表：
年份 2012年 2013年 2014年 2015年 知识点 循环结构、条件结构 条件结构 循环结构 循环结构 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 分值 5 5 5 5 试题难度 容易 中等 较难 √ √ √ √
开始 输入N，a1，a2，…，aN k =1，A = a1，B = a1 x = ak x＞A 否 是 B = x x＜B 否 k≥N 是 输出A，B 否 是 A = x k = k＋1 二、试题解析：
1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第6题)如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则
A．A＋B为a1，a2，…，aN的和 A＋B
B．2为a1，a2，…，aN的算术平均数 C．A和B为a1，a2，…，aN中的最大数和最小数 D．A和B为a1，a2，…，aN中的最小数和最大数 【答案】C
【解析】由框图知其表示的算法是找N个数中的最大结束 值和最小值，A和B分别为a1，a2，…，aN中的最大数和最小数，故选C．
【考点分析】本题主要考查程序框图表示算法的意义，本题中的算法是一个复杂的算法，循环结构嵌套了二重条件结构，是基础题．
开始 2．(2013年全国高考新课标Ⅰ卷第5题) 执行右面的程序框图， 如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于 A．[－3，4] B．[－5，2] C．[－4，3] D．[－2，5] 【答案】A
【解析】由框图知其表示的算法是求分段函数
??3t t＜1
s＝?，在
t2 t≥1?4t－?
输出S 结束 是 s =3t 输入t 否 s =4t－t 2 t＜1 t∈[－1，3]上的值域，
当t∈[－1，1)时，s∈[－3，3)，当t∈[1，3]时，s∈[3，4]，所以s∈[－3，4]，故选A． 【考点分析】本题主要考查程序框图表示算法的意义，本题中的算法是一个条件结构，是基础题．
3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第7题) 执行下图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝
开始
输入a，b，k n =1 n≤k b =M a =b 是 1M =a＋ b否 输出M 结束 n =n＋1
20A．3 【答案】D
【解析】由框图知其表示的算法执行过程如下：
初始化：输入a＝1，b＝2，k＝3；n＝1；条件判断：是，进入循环
133
循环第1次：M＝1＋2＝2，a＝2，b＝2；n＝2；条件判断：是；
2838
循环第2次：M＝2＋3＝3，a＝2，b＝3；n＝3；条件判断：是；
3315815
循环第3次：M＝2＋8＝8，a＝3，b＝8；n＝4；条件判断：否；
15
退出循环，输出M＝8． 故选D．
【考点分析】本题主要考查程序框图表示算法的意义及赋值语句，本题中的算法是一个循环结构，循环体中依次对M，a，b进行循环赋值.处理本类题的关键是，按照程序框图，将每次的循环赋值过程依次写出即可得出正确答案，注意赋值语句的特点，属于基础题．
4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷第9题) 执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝
A．5
B．6 C．7
D．8
输入t 开始
16B．5
7C．2
15D．8
【答案】C
1【解析】由框图知其表示的算法执行过程如下： S=1，n=0，m= 2 1
初始化：输入t＝0.01，S＝1，n＝0；m＝2；进入循环
111S=S－m 循环第1次：S＝1－2＝2，m＝4，n＝1；条件判断：是；
m 1111m= ，n=n＋1 循环第2次：S＝2－4＝4，m＝8，n＝2；条件判断：是； 21111是 循环第3次：S＝4－8＝8，m＝16，n＝3；条件判断：是
S＞t 1111否 循环第4次：S＝8－16＝16，m＝32，n＝4；条件判断：是
输出n 1111
循环第5次：S＝16－32＝32，m＝64，n＝5；条件判断：是
结束 1111
循环第6次：S＝32－64＝64，m＝128，n＝6；条件判断：是
1111
循环第7次：S＝64－128＝128，m＝256，n＝7；条件判断：否；退出循环 输出n＝7． 故选C．
【考点分析】本题主要考查程序框图表示算法的意义，本题中的算法是一个循环结构，其功能是一个累减的过程，每次循环体中的减数和差的结果相等，且成等比数列.处理本类题的
关键是，按照程序框图，将每次的循环赋值过程依次写出即可得出正确答案，注意赋值语句的特点，属于基础题．
三、命题趋势分析：
《算法初步》是高中数学的重要内容，《课标》重点强调算法思想的重要性.近年的高考试题主要集中在程序框图的解读上，较少涉及算法语句的考查，以选择题为主，框图的呈现形式多为循环结构和条件结构，通常与函数、数列、不等式等知识综合出题.重点考查对程序框图表示的算法含义的理解，能够读懂给定的程序框图，理解算法的含义及其实现的功能，并能正确得出算法的输出结果.
（撰稿人：深圳市盐田高级中学 张成宇）
5.立体几何
一、知识点分布表：
年份 2012年 知识点 三视图，三棱锥的体积 球的内接三棱锥及其体积 线线垂直，二面角 球的体积 三视图，长方体及圆柱的体积 线线垂直，线面夹角 三视图，线段的长度 线线垂直，二面角 圆锥的体积 三视图，球与圆柱的表面积 面面垂直，异面直线的夹角 题型 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 分值 5 5 12 5 5 12 5 12 5 5 12 试题难度 容易 中等 较难 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2013年 2014年 2015年
二、试题解析： (一)选择题：
1.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第7题)如图，网格上小正 方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何 体的体积为
A.6 B.9 C.12 D.18
【答案】B.
【解析】由三视图可知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，
11棱锥的高为3，故其体积为V???6?3?3?9，故选B.
322.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第11题)已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，
?ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC?2，则此棱锥的体积为
A.2322 B. C. D. 6632【答案】A.
【解析】因为?ABC的外接圆的半径r?63，点O到面ABC的距离d?R2?r2?，3326，即三棱锥S?ABC的高可为3因为SC是球O的直径，所以S到面ABC的距离为2d?11326226，其体积为V?S?ABC?2d??，故选A. ??3343633.(2013年全国高考新课标Ⅰ卷第6题)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得 水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
500π3866π3cm cm B. 331372π32048π3cm D. cm C. 33A.
【答案】A.
【解析】设球的半径为R，由?R?2??42?R2解得R?5，所以球的体积为
V?4500ππ?53?，故选A. 332 4 2 4 正（主）视
侧（左）视图
22 4. (2013年全国高考新课标Ⅰ卷第8题)某几何体的三视图 如图所示，则该几何的体积为
A.16?8π B.8?8π C.16?16π D.8?16π 【答案】A.
4 2 俯视图
【解析】该几何体由一个底面积为4，高为4的长方体，以及底面半径为2，高为4的半
1圆柱构成，故其体积应为V?4?4??π?4?4?16?8π，故选A.
25. (2014年全国高考新课标Ⅰ卷第12题)如图，网格纸上小正方形的边长
为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
A.62 B.42 C.6 D.4 【答案】C.
【解析】如右图所示，原几何体为三棱锥D?ABC， 其中AC?42，AB?BC?4，DB?DC?25，DA??42?2?4?6，故最长的棱的长度为DA?6，故选C.
6. (2015年全国高考新课标Ⅰ卷第6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 【答案】B.
1【解析】设圆锥的底面半径为r，则?2?3r?8，得
41611162320r?（）?5?，所以米堆的体积为??3?，故堆放
34339320?1.62?22斛，故选B. 的米约有97. (2015年全国高考新课标Ⅰ卷第11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为
16?20π，则r?
2rA.1 B.2 C.4
rr2r俯视图
主视图
D.8 【答案】：B.
【解析】：由三视图可知该组合体为一个半径为r的半球（圆面对着正前方）与底面半径
11为2r的半圆柱（截面向上）组成，其表面积为πr2??4πr2?2r?2r??2πr?2r?16?20π，
22解得r?2，故选B. (二)解答题：
8.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第19题，本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?（I）证明：DC1?BC；
（II）求二面角A1?BD?C1的大小. 【解析】（I）由题意知AA1?平面ABC， 且AC,BC1?平面ABC，
D1AA1，D是棱AA1的中点，DC1?BD. 2C1A1B1?AA1?AC,AA1?BC，
1?AC?AA1，且D是棱AA1的中点， 2?AC?AD， ??ADC?45? ，
CAB同理可得?A1DC1?45?，
C1OB1??CDC1?90?，即DC1?DC，
又?DC1?BD，DC1?BD?D，DC1,BD?平面BCD， A1?DC1?平面BCD，?BC?平面BCD， ?DC1?BC.
（II）取A1B1的中点O，连结C1O，DO，
DHCAB?A1C1?B1C1， ?C1O?A1B1， ?AA1?平面A1B1C1， C1O?平面A1B1C1， ?C1O?AA1 ，
又?AA1?A1B1?A1，AA1,A1B1?平面A1B1BA，
?C1O?平面A1B1BA，
?BD?平面A1B1BA，
?C1O?BD，
由（I）知DC1?平面BCD，且BD?平面BCD，
?DC1?BD，
又?C1O?C1D?C1，C1O,C1D?平面C1OD，
?BD?平面C1OD，
?OD?平面C1OD， ?BD?OD，
??C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角， 设AC?a，则DC1?2a，
由（I）知DC1?平面BCD，且BC?平面BCD，
?DC1?BC，
?A1A?BC，A1A?DC1?D，A1A,DC1?平面ACC1A1，
?BC?平面ACC1A1 ， ?BC?AC，
?C1O?2a， 22aOC112?， 在Rt?DOC1中，sin?ODC1? ?DC12a2??ODC1?30?，即二面角A1?BD?C1的大小为30?.
【考点分析】本小题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质及二面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力.
9. (2013年全国高考新课标Ⅰ卷第19题，本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA?CB，AB?AA1，
CC1?BAA1?60?.
B（I）证明：AB?A1C；（II）若平面ABC?平面AA1B1B， AB?CB?2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. AB1A1【解析】（I）取AB中点E，连结CE,A1B,A1E.
?AB?AA1，?BAA1?60?， ??BAA1是正三角形， ?A1E?AB
?CA?CB ?CE?AB
ACC1BEB1A1
?CE?A1E?E，
?AB?平面CEA1，
而?AC?平面CEA1， 1z C ?AB?A1C.
（II）由（I）知EC?AB，A1E?AB，
又∵平面，平面ABC?平面AA1B1B?AB，EC? 平面ABC，
?EC?平面AA1B1B，
C1 B E B1x A A1 y ?EA1?平面AA1B1B， ?EC?EA1，
?EA,EC,EA1两两相互垂直，以E为坐标原点， EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度， 建立如图所示空间直角坐标系O?xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0,3,0)，
C(0,0,3)，B(?1,0,0)，
则BC?(1,0,3)，BB1?AA,0,3)，A1C?(0,?3,3)， 1?(?1设n?(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量，
???x?3z?0?n?BC?0则?，即?，可取n?(3,1,?1)，
???x?3y?0?n?BB1?0所以cos?n,A1C??n?A1C|n|?|A1C|?1010，即直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 55【考点分析】本小题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质及直线与平面所成角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力.
10. (2014年全国高考新课标Ⅰ卷第19题，本小题满分12分) 如图三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C. (Ⅰ) 证明：AC?AB1；
（Ⅱ）若AC?AB1，?CBB1?60?，
AB?BC，求二面角A?A1B1?C1的余弦值.
BAA1CC1【解析】：(Ⅰ)连结BC1，交B1C于O，连结AO． 因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C?BC1?，且O为B1C与BC1的中点． 又AB?B1C， 所以B1C?平面ABO， 故B1C?AO? 又 B1O?CO， 故AC?AB1 .
（Ⅱ）因为AC?AB1，且O为B1C的中点， 所以AO?CO，
B1AA1COC1BB1zAA1COBC1xB1y
又因为AB?BC， 所以?BOA??BOC， 故OA?OB，
从而OA,OB,OB1两两互相垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系
O?xyz．因为?CBB1?60?，所以?CBB1为等边三角形．
???3?3?3?0,0,B0,,0C0,?,0?又AB?BC，则A?，，，， B1,0,0??1??????????33??3?????????????????33?????3?????????3?AB1???0,3,?3??，A1B1?AB???1,0,?3??,B1C1?BC????1,?3,0??，
?????????n?AB1?0设n??x,y,z?是平面AA1B1的法向量，则?，
??n?A1B1?0?33y?z?0???33即? ，所以可取n?1,3,3， ?x?3z?0?3?????????m?A1B1?0设m是平面A1B1C1的法向量，则?，同理可取m?1,?3,3
??m?B1C1?0??则cos?n,m??n?m|n|?|m|?11，所以二面角A?A1B1?C1的余弦值为. 77【考点分析】本小题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质及二面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力.
11. (2015年全国高考新课标Ⅰ卷第18题，本小题满分12分)
如图，四边形ABCD为菱形，?ABC?120?，E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE?平面ABCD，DF?平面ABCD，BE?2DF，AE?EC.
（I）证明：平面AEC?平面AFC； （II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 【解析】（I）连结BD，设BD?AC?G， 连结EG,FG,EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB?1. 由?ABC?120?，可得AG?GC?3.
E
F A D B C
由BE?平面ABCD，AB?BC可知AE?EC. 又AE?EC，所以EG?3，且EG?AC. 在Rt?EBG中，可得BE?2，故DF?在Rt?FDG中，可得FG?6， 22. 2A E
F D G B 2在直角梯形BDFE中，由BD?2，BE?2，DF?， 2C 可得EF?32.从而EG2?FG2?EF2，所以EG?FG， 2又AC?FG?G，可得EG?平面AFC，
因为EG?平面AEC，所以平面AEC?平面AFC.
（II）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向， |GB|为单位长， 建立空间直角坐标系G?xyz. 由（I）可得A(0,?3,0)，E(1,0,2)，
F(?1,02)，C(0,3,0) 22). 2A E z F 所以AE?(1,3,2)，CF?(?1,3,AE?CFD 3??故cos?AE,CF??，
3|AE|?|CF|G B 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为
3. 3x C y 【考点分析】本小题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质，考查异面直线所成的角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力.
三、命题趋势分析：
通过对近四年全国数学新课标Ⅰ卷立体几何（理）考查内容的分析，不难发现有以下特点：
1.以三视图、球、棱柱或棱锥等为载体，充分考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力，以及运算求解能力；
2.三视图是每年必考知识，题目以中等偏上难度为主，2012—2014年考查的几何体都是三棱柱，2015是组合体，难度为近几年最大，没有出现单纯的锥体；
3.球的知识也常常考查，四年中只有2014年没有涉及，多数与球的内接锥体或柱体，球心到截面圆的距离有关，要求球的半径、表面积或体积，需要考生具备一定的运算能力；
4.解答题的几何体基本都是柱体或锥体，不会是组合体，而且通常设置两个小问，第（1）问证明线线垂直、线面垂直或面面垂直，通常不证明平行，考查推理论证能力；第（2）问则跟计算有关，要求直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，考查考生的运算求解能力.
（撰稿人：深圳市龙华新区教科研中心 殷木森；龙华中学 高贺清）
6.直线与圆
一、知识点分布表：
年份 2012年 2013年 2014年 2015年 知识点 抛物线的几何性质，抛物线的切线，点到直线的距离，线线平行，圆的方程 圆的平几性质，椭圆定义，直线与椭圆的相交弦长 双曲线的焦点和渐近线，点到直线的距离公式 椭圆的顶点，圆的标准方程 抛物线的切线，圆锥曲线中的定值问题 题型 解答题 解答题 选择题 填空题 解答题 分值 12 12 5 5 12 试题难度 容易 中等 较难 √ √ √ √ √ 二、试题解析：
(一)选择题：
1.(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第4题)已知F是双曲线C：x2?my2?3m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为
A.3 B.3 C.3m D.3m
x2y2??1，c2?3m?3,c?3m?3， 【解析】由C：x?my?3m(m?0)，得
3m322设F?3m?3,0，一条渐近线y??3x，即x?my?0，则点F到C的一条渐近线的距离3md?3m?3=3，选A. 1?m(二)填空题：
x2y21.(2015年全国高考新课标Ⅰ卷第14题)一个圆经过椭圆??1的三个顶点，且圆心在x
164轴上，则该圆的标准方程为 ________ .
x2y2【解析】易得椭圆??1的四个顶点分别为：A1(?4,0)，A2(4,0)，B1(0,2)，B2(0,?2)，
164又圆心在x轴上，显然A1，A2不同在所求圆上（否则圆心为原点，半径为4，其不可能过B1或
B2，不符合题设）.
故所求圆有两个：过A1，B1，B2的圆，记其为C1；过A2，B1，B2的圆，记其为C2.
335令C1的圆心C1(x,0)，则x?(?4)?x2?4解得x??.则圆C1的半径为??(?4)?.
2223?253?25??所以圆C1的方程?x???y2?.由对称性可得圆C2的方程?x???y2?.
2424????3?25?故答案为?x???y2?.
2?4?(三)解答题：
1.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第20题，本小题满分12分) 设抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A?C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点；
（1）若?BFD?90?，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；
（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值.
【解析】设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为r， 则EF?p，|FA|?|FB|=|FD|=r，E是B、D的中点， (Ⅰ) ∵?BFD?90?，∴|FA|?|FB|=|FD|=2p，|BD|=2p，
p设A(x0，y0)，根据抛物线定义得，|FA|=?y0，∵?ABD的
21p1面积为42，∴S?ABD=|BD|(y0?)=?2p?2p=42，解得p?2，
222∴F(0,1),FA?22， ∴圆F的方程为：x2?(y?1)2?8.
(Ⅱ) 【法1】∵A，B，F三点在同一条直线m上, ∴AB是圆F的直径，?ADB?90?,
133由抛物线定义知|AD|?|FA|?|AB|，∴?ABD?30?，∴m的斜率为或－，
2333p3∴直线m的方程为：y??x?，∴原点到直线m的距离d1=p，
324
222
233x?2pb?0， x?b，代入x2?2py得，x2?334p∵n与C只有一个公共点， ∴?=p2?8pb?0，∴b??，
3633p∴直线n的方程为y??p， x?，∴原点到直线n的距离d2=
1236∴坐标原点到m，n距离的比值为3.
设直线n的方程为：y??2px0【法2】由对称性设A(x0,)(x0?0)，则F(0,)，
22p22x0x0p2 点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?)?p????x0?3p2，
2p2p23pp?3p22x?p?x?3y?3p?0， 得A(3p,)，直线m:y?2223p3ppx2x33 x?2py?y?,)， ?y????x?p?切点P(362pp332 直线n:y?p33p3?(x?)?x?3y?p?0. 63363p3p:?3. 26坐标原点到m,n距离的比值为【考点分析】本小题主要考查抛物线的几何性质、抛物线的切线、点到直线的距离、线
线平行、圆的方程等基础知识；考查数形结合思想；考查推理论证能力、运算求解能力.属中等题.
2. (2013年全国高考新课标Ⅰ卷第20题，本小题满分12分）已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求AB.
【解析】由已知得圆M的圆心为M（?1，0）,半径r1?1，圆N的圆心为N(1，0),半径r2?3.
设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.
（Ⅰ）∵圆P与圆M外切且与圆N内切，∴PM?PN?(R?r1)?(r2?R)?r1?r2?4，又MN?2?4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴
2014年 2015年 圆与圆的位置关系，椭圆的方程，弦长 双曲线的焦点和渐近线，点到直线的距离公式 抛物线，向量共线 直线、椭圆和不等式的综合应用 双曲线，向量的数量积 椭圆和圆的方程 直线与抛物线的位置关系，角度问题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 填空题 解答题 12 5 5 12 5 5 12 √ √ √ √ √ √ √ 二、试题解析：
(一)选择题：
x2y21.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第4题)设F1,F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，
abP为直线x?3a上一点，?F2PF1是底角为30?的等腰三角形，则E的离心率为 21234A. B. C. D. 2345【答案】C
【解析】记c?a2?b2，因为?F2PF1是底角为30?的等腰三角形，所以|PF2|?|F2F1|即
3ac3?c)?2c，故离心率e??. 2a42.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第8题)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛2(物线y2?16x的准线交于A,B两点，|AB|?43，则C的实轴长为 A.
2 B.22 C.4
D.8
【答案】C
【解析】设C:x2?y2?a2(a?0)交y2?16x的准线l:x??4于A(?4,23),B(?4,?23)得
a2?(?4)2?(23)2?4，所以a?2，故C的实轴长2a?4.
x2y253.(2013年全国高考新课标Ⅰ卷第4题)已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为，ab2则C的渐近线方程为
111A.y??x B.y??x C.y??x D.y??x
432【答案】C
x2y2a2?b2522【解析】由题意，C的离心率为，化简得a?4b.令2?2?0，得?aba2
y??b1x??x. a2x2y24.(2013年全国高考新课标Ⅰ卷第10题)已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为
abF(3,0)，过点F
的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,?1)，则E的方程为
x2y2x2y2x2y2x2y2?1 B.??1 C.??1 D.?A.??1
453636272718189【答案】D
【解析】记直线AB的斜率为k，A(x1,y1),B(x2,y2)，则k?x12y12??1 (1) a2b2?1?01?，且 1?32x22y22?2?1 (2) 2ab(x?x)(x?x)(y?y)(y?y)x12?x22y12?y22?1???2?得2?2?0，即12a212?12b212?0，
ab其中x1?x2?2?1?2，y1?y2?2?(?1)??2，k?1y1?y2， ?2x1?x2b2y1?y21代入上式得2??.
ax1?x22又a2?b2?32?9，所以a2?18,b2?9.
5.(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第4题)已知F是双曲线C：x2?my2?3m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为
A.3 B.3 C.3m D.3m
【答案】A
x2y2??1，c2?3m?3,c?3m?3， 【解析】由C：x?my?3m(m?0)，得
3m322设F?3m?3,0，一条渐近线y??3x，即x?my?0，则点F到C的一条渐近线的距离3m
为d?3m?3=3. 1?m6.(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第10题)已知抛物线C：y2?8x的焦点为F，准线为l，P是
????????l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP?4FQ，则|QF|?
75A. B. C..3 D.2 22【答案】C
????????PQ3【解析】：过Q作QM?直线l于M，∵FP?4FQ，∴?.
PF4又
QM4?PQPF?3，∴QM?3.由抛物线的定义知QF?QM?3. 4x27.(2015年全国高考新课标Ⅰ卷第5题)已知M(x0,y0)是双曲线C:?y2?1上的一点，F1,F22是C上的
??????????两个焦点，若MF1?MF2?0，则y0的取值范围是 A.(?333322222323,) B.(?,) C.(?,) D.(?,) 33663333【答案】A
??????????【解析】：由题意，F1(?3,0),F2(3,0),MF1?(?3?x0,?y0),MF2?(3?x0,?y0). ??????????x02222?y02?1，所以MF1?MF2?0?(?3?x0)(3?x0)?y0?0，即y0?(3?x0)?0，又23y02?1，即?
(二)填空题：
33. ?y0?33x2y2?1的三个顶点，且圆心在x8.(2015年全国高考新课标Ⅰ卷第14题)一个圆经过椭圆?164轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ________ .
325【答案】(x?)2?y2?.
24【解析】：由对称性易知该圆经过椭圆的上，下顶点和右顶点，设圆心为(t,0)，则
(4?t)2?t2?4，解得t?
35，所以半径r?4?t?. 22
(三)解答题：
9.(2012年全国高考新课标Ⅰ卷第20题）设抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，
A?C.已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点.
（1）若?BFD?90?，?ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程.
（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值.
【解析】：(1)由对称性知?BFD是等腰直角三角形，斜边|BD|?2p，点A到准线l的距离
1d?|FA|?|FB|?2p，由S?ABD??|BD|?d?42得p?2.
2?圆F的方程为x2?(y?1)2?8.
px02 （2）由对称性设A(x0,)(x0?0)，则F(0,).
22px02x02p由点A,B关于点F对称得B(?x0,p?)，从而p???，所以x02?3p2.
2p2p23pp?p3p3p因此A(3p,)，直线m:y?22x?，即x?3y??0.
2223p又x2?2py?y?12x1pppx，求导得y'??，即x?，从而切点P(,). 2pp3633又直线n:y?p1pp?(x?)，即x?3y??0. 633233p故坐标原点到直线m,n距离的比值为2?3.
p23【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力.
10.(2013全国高考新课标Ⅰ卷第20题）已知圆M:(x?1)2?y2?1，圆N:(x?1)2?y2?9，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【解析】：由已知得圆M的圆心为M(?1,0)，半径r1?1，圆N的圆心为N(1,0)，半径r2?3.
设动圆P的圆心为P(x,y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|?|PN|?(R?r1)?(r2?R)?r1?r2?4，且曲线C是以M,N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为34?|MN|.由椭圆的定义可知，
x2y2?1(x??2). 的椭圆(左顶点除外)，其方程为?43(2)对于曲线C上任意一点P(x,y)，由于|PM|?|PN|?2R?2?2，所以R?2. 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R?2.
∴当圆P的半径最长时，其方程为(x?2)2?y2?4.
当l的倾斜角为90?时，l与y轴重合，可得|AB|?23.
当l的倾斜角不为90?时，由r1?R知l不平行x轴.设l与x轴的交点为Q，则求得Q(?4,0)，∴设l:y?k(x?4)，由l与圆M相切得|QP|R?，可|QM|r1|3k|1?k2?1，解得k??2. 4x2y222?1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0. (*) 当k?时，将y?x?2代入?434488设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是(*)方程的两根.所以x1?x2??，x1x2??.
7718?|AB|?1?k2|x1?x2|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?.
7182当k??时，由对称性知|AB|?.
7418综上，|AB|?23或|AB|?.
7【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想.
x2y211.(2014年全国高考新课标Ⅰ卷第20题）已知点A(0,?2)，椭圆E：2?2?1(a?b?0)的
ab323离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
23(1)求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程. 【解析】：(1)设F?c,0?，由条件知
223，得c?3. ?c3x2c3222又?，所以a?2，b?a?c?1，故E的方程?y2?1.
4a2（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为y?kx?2，
?x2??y2?1联立直线与椭圆方程：?4，化简得：(1?4k2)x2?16kx?12?0.
?y?kx?2?