2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，
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???0，则(a+1)+(b+3)+(c+5)的值为（ ）. a?1b?3c?53b?c的值为（ ）. a?2bA.125 B.120 C.100 D.81
3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1
4.已知正整数a,b,c满足a-6b-3c+9=0，-6a+b+c=0，则a+b+c的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.460
5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.102103 B. C.32 D.33 332
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6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（ ）.
A.56 B.58 C.60 D.62
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
37.使得等式1?1?a?a成立的实数a的值为________.
8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.
8ab39.设a,b是两个互质的正整数，且p?为质数.则p的值为________.
a?b10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.
第二试
一、（本题满分 20 分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A-B是完全平方数，求A的值.
二、（本题满分 25 分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.
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a2?b2?c2三、（本题满分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.
a?b?c5b?c5a?b
2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则A.2 B.1 C.0 D.-1 答案：B 对应讲次： 所属知识点：方程
思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.
解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以
2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，
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???0，则(a+1)+(b+3)+(c+5)的值为（ ）. a?1b?3c?53b?c?1. a?2b3b?c的值为（ ）. a?2bA.125 B.120 C.100 D.81 答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程 思路：可以想到换元法.
解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，
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111???0， xyz∴xy+xz+yz=0，由x+y+z=(x+y+z)-2(xy+xz+yz)=100. 则(a+1)+(b+3)+(c+5) =100.
3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1 答案：B 对应讲次：
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所属知识点：数论
思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.
若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组. 若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=
5，不是整数舍去，共1个好数组. 2共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).
4. 已知正整数a,b,c满足a-6b-3c+9=0，-6a+b+c=0，则a+b+c的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.460 答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程
思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.
解析：联立方程可得(a-9)+3(b-1)=75，则3(b-1)≤75，即1≤b≤6. 当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；
当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程. 因此，a=9，b=6，c=18，则a+b+c=441.
5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.102103 B. C.32 D.33 332
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答案：A 对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.
解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，
则△ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH?142102?所以梯形ABCD的面积为??1?4??.
23342. 3
6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（ ）.
A.56 B.58 C.60 D.62 答案：B 对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.
解析：作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转90°至△CGB，则ABCF为正方形，可得△ECG≌△ECD，∴EG=ED. 设DE=x，则DF=BG=x-28，AD=98-x.
在Rt△EAD中，有42+(98-x)=x，解得x=58.
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
37.使得等式1?1?a?a成立的实数a的值为________.
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答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程
思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.
解析：易得1?1?a??3?a2.
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令x?1?a，则x≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)=0，解得x1=0, x2=3, x3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.
8. 已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数
思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C，θ≤C-B，θ≤B-A∴θ≤A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°. 1［3（100°-C）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当68ab39. 设a,b是两个互质的正整数，且p?为质数.则p的值为________.
a?b答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论
8ab3思路：因为p是质数，只能拆成1和p，另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类
a?b讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果. ?ab3?18ab?解析：因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为质数，所以?8可得a=b=1，p=4，不是质
?pa?b??a?b3?ab3?p?数舍；?8可得a=7，b=1，p=7，符合题意.
?1??a?b则p=7.
10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.
解析：设该正整数列为an?n?20,n?N*?，考虑ak,?ai,i?kk?1,?ai?k?14,k?N*?，依抽屉原理必然有两项模
i?kk?67的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.
由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.
第二试
一、（本题满分 20 分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A-B是完全平方数，求A的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab设为10a+b，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b≤9,a,b∈N)，则B=10b+a，由A,B不同得a≠b，A-B=（10a+b）-(10b+a)=9×11×（a+b）(a-b).
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………5分
………10分 ………15分
由A-B是完全平方数，则a＞b，11|?a?b??a?b?，可得a+b=11， a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4. 若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.
………20分
二、（本题满分 25 分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.
对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：因为EF、PD都在△DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD，则自然可以得到结论.
解析：由DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，可得∠EDF=90°.
………5分
由BE⊥DE得BE∥DF，则∠EBD=∠FDC. ………10分
又BD=DC，∠BED=∠DFC=90°，则△BED≌△DFC，BE=DF. ………15分 得四边形BDFE是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP，EP=PD. 又△EDF是直角三角形，∴EF=2PD.
………20分 ………25分
a2?b2?c2三、（本题满分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.
a?b?c5b?c5a?b答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到5b?c?0，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值. 解析：5b?c?0，由25a?b5b?c??5a?b??
5b?c25b?c2??5ab?bc??b22?ac??525b?c
是有理数，可得b=ac. …10分
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2a2?b2?c2?a?c??b??a?c?b.
a?b?c?a?c??b2
………15分
不妨设a＜c，若a=1，c=b，因为a≠b，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a≥2，因为c≠b≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.
a2?b2?c2所以的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.
a?b?c
………25分