一、第三章习题详解：
?1?2?x?2?y?2?x?y,3.1设二维随机向量(X,Y)的分布函数为:F(x,y)???0,求P1?X?2,3?Y?5解：因为 F(2,5?)?1x?0,y?0,其他
??.
?22??5，2??72F(1,5)?1?2?1?2?5?2?6
F(2,3)?1?2?2?2?3?2?5，F(1,3)?1?2?1?2?3?2?4
所以 P(1?X?2,3?Y?5)?F(2,5)?F(1,5)?F(2,3)?F(1,3)
?2?7?2?6?2?5?2?4?33 ?27128
3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.
解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)
2C32C23??0.6 且 P(X?2,Y?1)?0，P(X?2,Y?2)?45C531C3C22??0.4，P(X?3,Y?2)?0 P(X?3,Y?1)?45C5故(X,Y)的概率分布为 X\\Y 2 3 1 0 0.4 2 0.6 0
3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.
解：因为Y?|X?(3?X)|?|2X?3|，又X的可能取值为0,1,2,3 所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)
1311112，P(X?1,Y?1)?C3()()? 8228313121211 P(X?2,Y?1)?C3()()?，P(X?3,Y?3)?()?
22828且 P(X?0,Y?3)?()?312
故(X,Y)的概率分布为
X\\Y 0 1 2 3
3.4设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:
1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 ?a(6?x?y),0?x?1,0?y?2,f(x,y)??
0,其他?(1) 确定常数a;
(2) 求PX?0.5,Y?1.5??
(3) 求P{(X,Y)?D},这里D是由x?0,y?0,x?y?1这三条直线所围成的三角形区域.
解：(1)因为
??1????????f(x,y)dxdy??21200?a(6?x?y)dxdy
1a12?a?[?(6?x?y)]dx??[(6?x)2?(4?x)2]dx
02200?2a?(5?x)dx?9a
01由
??????????f(x,y)dxdy?1，得9a=1，故a=1/9.
(2) P(X?0.5,Y?1.5)???00.51.501(6?x?y)dxdy 91.510.51??[(6?x)y?y2902]dx?010.539[(6?x)?]dx ?09287x5??(?)dx? 086120.5(3) P{(X,Y)?D}???Df(x,y)dxdy??dx?011?x01(6?x?y)dy 9111??[(6?x)y?y2902
1?x]dx?01182(11?12x?x)dx? ?01827?2e?(2x?y),3.5 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:f(x,y)???0,(1) 求分布函数F(x,y); (2) 求PY?X?
解：(1) 求分布函数F(x,y); 当x?0,y?0，
x?0,y?0,其他
?F(x,y)??y?????xf(u,v)dudv??y0?x02e?(2u?v)dudv?2?edu?e?vdv?(1?e?2x)(1?e?y)
00x?2uy其他情形，由于f(x,y)=0，显然有F(x,y)=0。综合起来，有
?(1?e?2x)(1?e?y),F(x,y)???0,
(2) 求PY?X?
x?0,y?0,其他
?P{X?Y}??
??0dy?2e?(2x?y)dx??y????02e?ydy?e?2xdxy????
??01?3y??1?3yedy??e?033
3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点(X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)?1,???x,y???, 222?(1?x?y)求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.
解：P(X?Y?a)?2222x?y?aa??212?(1?x2?y2)dxdy??d??202?a0rdr
?(1?r2)21111a2?2???[?]?1?? 22?21?r01?a1?a2
3.7设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.
X\\Y 1 3 0 0.15 0.05 2 0.25 0.18 5 0.35 0.02
解：因为 P(X?1)?0.15?0.25?0.35?0.75
P(X?3)?0.05?0.18?0.02?0.25
所以，X的边缘分布为
X P 1 0.75 3 0.25 因为 P(Y?0)?0.15?0.05?0.20
P(Y?2)?0.25?0.18?0.43 P(Y?5)?0.35?0.02?0.37
所以，Y的边缘分布为 Y P
3.8 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
0 0.20 2 0.43 5 0.37 ?32?xy,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1,其他
求边缘概率密度fX(x),fY(y). 解：因为，当0?x?2时，fX(x)??????31f(x,y)dy??xy2dy?xy302211?0x；其他情形，2显然fX(x)?0.所以，X的边缘分布密度为
?x/20?x?2fX(x)??
0其他? 又因为，当0?y?1时，fY(y)??????f(x,y)dx??20323xydx?x2y2242?3y2
0其他情形，显然fY(y)?0.所以，Y的边缘分布密度为
?3y2fY(y)???0
0?y?1其他
3.9 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f(x,y)??
其他?0,求边缘概率密度fX(x),fY(y).
解，积分区域显然为三角形区域，当0?x?1时，0?y?x，因此
fX(x)??????f(x,y)dy??4.8y(2?x)dy?2.4(2?x)y0x2x0?2.4(2?x)x2；
其他情形，显然fX(x)?0.所以，X的边缘分布密度为
?2.4x2(2?x)0?x?1fX(x)??
0其他?同理，当0?y?1时，y?x?1,因此
fY(y)??????f(x,y)dx??4.8y(2?x)dx?2.4y(4x?x2)?2.4y(3?4y?y2)
yy11其他情形，显然fY(y)?0.所以，Y的边缘分布密度为
?2.4y(3?4y?y2)0?y?1fY(y)??
0其他?
3.10 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
?c,f(x,y)???0,x2?y?x,其他
(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度fX(x),fY(y).
解：(1)因为
??????????1f(x,y)dxdy??dx?2cdy
0x11xx2x3c2?c?(x?x)dx?c(?)??1
02306所以 c = 6.
(2) 因为，当0?x?1时，fX(x)?所以，X的边缘分布密度为
?????f(x,y)dy??2cdy?6(x?x2)
xx
?6(x?x2)0?x?1fX(x)??
0其他? 又因为，当0?y?1时，fY(y)?所以，Y的边缘分布密度为
?????f(x,y)dx??6dx?6(y?y)
yy?6(y?y)0?y?1fY(y)??
0其他?
3.11 求习题3.7 中的条件概率分布. 解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X P 1 0.75 3 0.25
Y P 0 0.20 2 0.43 5 0.37 (1)当X=1时，Y的条件分布为 P(Y?0|X?1)?0.1510.251? P(Y?2|X?1)?? 0.7550.7530.357P(Y?2|X?1)??
0.7515Y P 0 1/5 2 1/3 5 7/15 即
(2)当X=3时，Y的条件分布为 P(Y?0|X?3)?0.0510.1818 ? P(Y?2|X?3)??0.2550.25250.022 P(Y?2|X?1)??0.2525Y P 0 1/5 2 18/25 5 2/25 即
(3)当Y=0时，X的条件分布为 P(X?1|Y?0)?即
X P 0.1530.051? P(X?3|Y?0)?? 0.2040.2041 3/4 3 1/4 (4)当Y=2时，X的条件分布为
P(X?1|Y?2)?即
X P 0.250.18 ?0.581 P(X?3|Y?2)??0.4190.430.431 0.581 3 0.419 (5)当Y=5时，X的条件分布为 P(X?1|Y?5)?即
X P 0.350.02 ?0.946 P(X?3|Y?5)??0.0540.370.371 0.946 3 0.054
3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 < x < 1) 时, Y 在区间(x,1) 上 随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.
?1?10?x?1?解：因为 fX(x)??， fY|X(y|x)??1?x其他?0??0所以(X,Y)的联合密度为
x?y?1其他
?1?f(x,y)?fX(x)?fY|X(y|x)??1?x??0于是 fY(y)?0?x?1,x?y?1其他
?????f(x,y)dx??y011 (0?y?1) dx??ln(1?y)?ln1?x1?y故Y的密度函数为
1??lnfY(y)??1?y??0
3.13 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
0?y?1其他
?2xy?x?,0?x?1,0?y?2,f(x,y)?? 3?其他?0,求条件概率密度fXY(xy),fYX(yx),以及P{Y???11X?}. 222xy22)dy?2x?x ???033??1xy1y2又当0?y?2时，fY(y)??f(x,y)dx??(x?)dx??
??0336解：因为，当0?x?1时，fX(x)?f(x,y)dy??(x2?所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为
?6x2?2xyf(x,y)?fX|Y(x|y)???2?yfY(y)?0?在X=x的条件下Y的条件概率密度为
0?x?1其他
3x?yf(x,y)??fY|X(y|x)???6x?2fX(x)?0?0?y?2其他
P(Y?111|X?)??fY|X(y|)dy??22221201203?y2dy 5?(3yy317 ?)???1010020404012
3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？ 解: 由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X P 1 0.75 3 0.25
Y P 0 0.20 2 0.43 5 0.37 P{X?1}?0.75, P{Y?2}?0.43,而P{X?1,Y?2}?0.25,显然 P{X?1}?P{Y?2}?P{X?1,Y?2}?0.25,从而X 与Y 不相互独立.
3.15设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.
X\\Y 1 3 0 0.15 0.05 2 0.25 0.18 5 0.35 0.02 问a,b取何值时, X 与Y 相互独立? 解：因为 P(X?1)?11111???，P(Y?2)??a 691839要X和Y相互独立，则 P(X?1,Y?2)?P(X?1)P(Y?2) 即
111112?(?a)，得a??? 93939912? 33由 P(X?1)?P(X?2)?，得1 P(X?2)?1?P(X?1)?1?即
12211?a?b?，得b???a? 333393.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立？ 解：由习题3.8，二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
?32?xy,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1,其他
X的边缘分布密度为fX(x)???x/20?x?2，Y的边缘分布密度为
其他?0?3y2fY(y)???00?y?1其他，显然有f(x,y)?fX(x)fY(y)，X 与Y 相互独立.
由习题3.9,维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f(x,y)??,X的边缘分布密度为
其他?0,?2.4x2(2?x)0?x?1fX(x)??，Y的边缘分布密度为
0其他??2.4y(3?4y?y2)0?y?1fY(y)??,显然有f(x,y)?fX(x)fY(y)，X 与Y 不独立.
0其他?
3.17设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
1??xxe,0?x,0?y,?(1?y)2f(x,y)??,问X与Y是否相互独立? ?0,其他?解：因为 fX(x)??????f(x,y)dy??xe?x0????1dy 2(1?y)(x?0)
1?xe?x(?)?xe?x1?y0fY(y)??f(x,y)dx??xe?x??0????1dx 2(1?y)11?x?x??(?xe?e)?0(1?y)2(1?y)2(y?0)
?1(1?y)2???0xd(?e?x)?对于x>0,y>0，都有 f(x,y)?fX(x)fY(y),所以，X与Y是相互独立的.
3.18 设二维随机向量(X,Y)的分布函数为
?1?e?x?e?y?e?(x?y),x?0,y?0,F(x,y)??
,其他?0讨论X,Y的独立性.
解：因为 FX(x)?limF(x,y)?1?ey????x(x?0)
?y FY(y)?limF(x,y)?1?ex???(y?0)
由于
FX(x)FY(y)?(1?e)(1?e?x?y)?1?e?x?e?y?e?(x?y)?F(x,y)(x?0,y?0)
所以，X与Y是相互独立的。
3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+Y 的概率密度函数.
解：由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布，故X 与Y的边缘密度函数分别为：
?10?x?1?10?y?1fX(x)??，fY(y)??
?0其他?0其他记Z?X?Y,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,Z的概
率密度函数可以写为
fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx
当0?z?1时,若0?x?z，则fZ(z)?时显然有fZ(z)?0.
?1dx?z；若x?0或x?z，被积函数为0，此
0z当1?z?2时，若z?1?x?1,则fZ(z)?数为0，此时显然有fZ(z)?0；
?1z?11dx?2?z，若x?z?1或x?1，被积函
z的其他情形,显然有fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx=0. 综合起来，有
?z,0?z?1,?fZ(z)??2?z,1?z?2
?0,其他?此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当1?z?2时，积
分区域要分成两个部分.
3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 概率密度函数分别为
yx?1?3?1?2?e,?e,x?0,fY(y)??3fX(x)??2?0?0,x?0??y?0,,y?0
求X?Y的概率密度函数.
解：记Z?X?Y,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,
Z的概率密度函数可以写为fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx，于是有
z?x1xzz?z1?x???1?2????36eedxx?0,z?x??eedxz?0?e3(1?e6)z?0?fZ(z)???06??06??
?0?0其他?0其他其他???3.21 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
?(2?x?y),0?x?1,0?y?1,f(x,y)??
0,其他?求Z?X?Y的概率密度函数.
解: 根据书中72页（3.7.1）式,Z的概率密度函数可以写为
fZ(z)??则fZ(z)?????f(x,z?x)dx
z当0?z?1时,若0?x?z，
?z0z(2?x?y)dx??(2?x?(z?x))dx?(2?z)x0?(2?z)z，
0若x?0或x?z，被积函数为0，此时显然有fZ(z)?0； 当1?z?2时，若z?1?x?1, 则fZ(z)??1z?1(2?x?y)dx??1z?1(2?x?(z?x))dx?(2?z)x1z?1?(2?z)2，
若x?z?1或x?1，被积函数为0，此时显然有fZ(z)?0；
z的其他情形,显然有fZ(z)?0.综合起来，有
?z(2?z),0?z?1,?fZ(z)??(2?z)2,1?z?2
?0,其他?
3.22 设随机变量X~U[0,1],Y服从参数为1的指数分布,并且X与Y相互独立,求
max{X,Y}的概率密度函数.
解：由于X~U[0,1],所以分布函数为
?0,?FX(x)??x,?1,?x?0,0?x?1 x?1.由于Y服从参数为1的指数分布，所以分布函数为
?1?e?y,y?0 FY(y)??
y?0,?0,X与Y相互独立，故max{X,Y}的分布函数为
z?0,?0,?Fmax(z)?FX(z)FY(z)??z(1?e?z),0?z?1,
?(1?e?z),z?1,?对分布函数求导以后得max{X,Y}的密度函数
z?0,?0,??(z)??1?e?z(1?z),0?z?1, fmax(z)?Fmax?e?z,z?1,?3.23 设随机变量X~U[0,1],Y~U[0,2],并且X与Y相互独立,求min{X,Y}的概率密度函数.
解：由于X~U[0,1],所以分布函数为
?0,?FX(x)??x,?1,?x?0,0?x?1 x?1.由于Y~U[0,2]，所以分布函数为
?0,?1 FY(y)??y,?2?1,?y?0,0?y?1 y?1.X与Y相互独立，故max{X,Y}的分布函数为
z?0,?0,?1?Fmin(z)?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]??z(3?z),0?z?1,
?2??1,z?1,对分布函数求导以后得max{X,Y}的密度函数
?(z)?? fmin(z)?Fmin
?1.5?z,0?z?1,
其他?0,23.24 设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立,并且都服从正态分布N(?,?),求
(X1,X2,?,Xn)的概率密度函数.
解：由于X1,X2,?,Xn相互独立,根据P76公式（3.8.4），易知
22Z?X1?X2???Xn~N(?1??2???n,?12??2????n)，于是(X1,X2,?,Xn)的
概率密度函数为：
f(x1,x2,?xn)?fX1(x1)fX2(x2)?fXn(xn)?e?i?1?(xi??)22?2n2n
(2?)?n其中，???xi???,i?1,2,?,n.
3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值X1,X2,X3,X4,X5.设它们是相互独
?x?x?e8,立的随机变量, 且有相同的概率密度函数f(x)??4?0,?2x?0x?0,, 求
Z?max{X1,X2,X3,X4,X5}的分布函数.
解：由题意，Xi(i?1,2,?n)的分布函数为：
x???8FXi(xi)??1?e,x?0
?x?0?0,2又由于X1,X2,X3,X4,X5，是相互独立的随机变量, 根据书中77页（3.8.6）式,
Z?max{X1,X2,X3,X4,X5}的分布函数为：
z??1?e?8,z?0 FZ(z)??
?z?0?0,23.26 设电子元件的寿命X(单位: 小时) 的概率密度函数为
?0.0015e?0.0015x,f(x)???0,x?0x?0,
今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求 (1) 到 800 小时时没有一个元件失效的概率; (2) 到 3000 小时时所有元件都失效的概率.
解：电子元件的寿命X(单位: 小时) 的分布函数为：
?1?e?0.0015x,FX(x)???0,x?0x?0,
(1) 一个元件使用到 800 小时时没有一个失效的概率为
由于6 个元件显然彼此独立，因此，P(X?800)?1?P(X?800)?1?F(800)=e?1.2，到 800 小时时没有一个元件失效的概率为(e?1.26)?e?7.2
二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充：
（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量?的所有可能取值为至多可列个有序对(X,Y)，则称?为离散型随机向量。 设?=(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称 P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?) 为?=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 … … … … yj p1j p2j … … … x1 x2 ? xi ? pi1 ? ? pij ? … ? ? ? ? ? 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2）??ijpij?1.
连续型 对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a ?2分布 设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 W??Xi2 i?1n的分布密度为 nu?1??1u2e2?n?n?f(u)??22??????2???0,2u?0, u?0.2我们称随机变量W服从自由度为n的?分布，记为W～?(n)，其中 ?n???2?1?x?????xedx. ?2?0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 n?2分布满足可加性：设 Yi??2(ni), 则 Z??Yi~?2(n1?n2???nk). i?1kt分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 X~N(0,1),Y~?2(n), 可以证明函数 T?的概率密度为 XY/n ?n?1?n?1???2?2t??2????f(t)?1? ??n??n?n??????2?(???t???). 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 t1??(n)??t?(n) F分布 设X~?(n1),Y~?(n2)，且X与Y独立，可以证明22F?X/n1的概率密度函数为 Y/n2??n1?n2?????n1?2?????f(y)???n1??n2???n2?????????2??2????2??y?n1n1?12?n1??1?y??n2????n1?n22,y?0 0,y?0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). F1??(n1,n2)? 1 F?(n2,n1)