?Sn?
1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列?n?的前10项
??
的和为________．
n（a1＋an）SnS1S2S10解析：因为a1＝3，Sn＝＝n(n＋2)，所以＝n＋2.故＋＋?＋＝75.
2n1210答案：75
2．数列a1＋2，?，ak＋2k，?，a10＋20共有10项，且其和为240，则a1＋?＋ak＋?＋a10的值为________．
解析：a1＋?＋ak＋?＋a10＝240－(2＋?＋2k＋?＋20)＝240－－110＝130.
答案：130
??n－1，n为奇数，
3．已知数列{an}中an＝?则a1＋a2＋a3＋a4＋?＋a99＋a100＝________.
??n，n为偶数，
（2＋20）×10
＝240
2
解析：由题意得a1＋a2＋a3＋a4＋?＋a99＋a100＝0＋2＋2＋4＋4＋?＋98＋98＋100＝49×（2＋98）
2(2＋4＋6＋?＋98)＋100＝2×＋100＝5 000.
2
答案：5 000
11111
4．数列1，3，5，7，?，(2n－1)＋n，?的前n项和Sn的值为________．
2481621
解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋n，
2
1111＋2＋?＋n?＝n2＋1－n. 则Sn＝[1＋3＋5＋?＋(2n－1)]＋?2??2221
答案：n2＋1－n
2
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14＝________． 解析：由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可知数列{an}是等差数列，由S25
（a1＋a25）×25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.
2
答案：8
6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一
天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)为________．
2×（1－2n）n＋1
解析：Sn＝＝2－2≥100，n≥6.
1－2答案：6
?1?
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?aa?的前100项和为
?nn＋1?
________．
解析：设等差数列{an}公差为d.
?a1＋4d＝5，
?
因为a5＝5，S5＝15，所以? 5×（5－1）
5a＋d＝15，?2?1
?a1＝1，?
所以?所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
?d＝1，?
?1?1111111所以＝＝－，所以数列?aa?的前100项和为1－＋－＋?
223anan＋1n（n＋1）nn＋1?nn＋1?
＋
111100
－＝1－＝. 100101101101100答案： 101
8．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，令an＝
1
，n∈N*.记数列{an}
f（n＋1）＋f（n）
的前n项和为Sn，则S2 015＝________.
1
解析：由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，
2则f(x)＝x.
11
所以an＝＝＝n＋1－n，
f（n＋1）＋f（n）n＋1＋n
S2 015＝a1＋a2＋a3＋?＋a2 015＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋?＋(2 014－
2 013)＋(2 015－2 014)＋ (2 016－2 015)＝ 1214－1. 答案：1214－1
9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
解析：因为an＋1－an＝2n，
－－
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1＝2n1＋2n2＋?＋22＋2＋2＝2－2n
＋2＝2n－2＋2＝2n. 1－2
2－2n1n＋1
所以Sn＝＝2－2.
1－2
＋
答案：2n1－2 10．(2016·辽宁省五校协作体联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60＝________.
解析：依题意得，当n是奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}中的奇数项依次形成首项为
＋
30×29
1、公差为1的等差数列，a1＋a3＋a5＋?＋a59＝30×1＋×1＝465；当n是偶数时，
2an＋2＋an＝1，即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a2＋a4＋a6＋a8＋?＋a58＋a60＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋?＋(a58＋a60)＝15.因此，该数列的前60项和S60＝465＋15＝480.
答案：480 11．(2016·威海一模)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn＝a2n＋4an＋3，且a2是a1和a7的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
an＋3
(2)设bn＝log2，求数列{bn}的前99项和．
4（n＋1）
解：(1)因为8Sn＝a2n＋4an＋3，①
*
所以8Sn－1＝a2n－1＋4an－1＋3(n≥2，n∈N)，②
由①－②得8an＝(an－an－1)(an＋an－1)＋4an－4an－1， 整理得(an－an－1－4)(an＋an－1)＝0(n≥2，n∈N*)． 因为{an}为正项数列，所以an＋an－1＞0， 所以an－an－1＝4(n≥2，n∈N*)． 所以{an}为公差为4的等差数列． 由8a1＝a21＋4a1＋3，得a1＝3或a1＝1.
当a1＝3时，a2＝7，a7＝27，不满足a2是a1和a7的等比中项；当a1＝1时，a2＝5，a7
＝25，满足a2是a1和a7的等比中项．
所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3.
an＋3n
(2)由an＝4n－3，得bn＝log2＝log2，
4（n＋1）n＋1所以b1＋b2＋b3＋?＋b99
12399
＝log2＋log2＋log2＋?＋log2 23410012399×××?×? ＝log2?100??2341
＝log2＝－log2100＝－2log210.
100
12．(2016·江西省名校学术联盟第一次调研)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a5＝14，且对任意n∈N*，函数f(x)＝an＋1x2－(an＋2＋an)x满足f′(1)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
11
(2)设bn＝，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜.
2（an－1）（an＋1）解：(1)由f(x)＝an＋1x2－(an＋2＋an)x，得f′(x)＝2an＋1x－(an＋2＋an)，
由f′(1)＝0，得2an＋1＝an＋2＋an ，故{an}为等差数列． 设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，a2＋a5＝14，得 (a1＋d)＋(a1＋4d)＝14，解得d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N*)．
11111
(2)证明：bn＝＝＝?2n－1－2n＋1?，
?（an－1）（an＋1）（2n－1）（2n＋1）2?111111
所以Sn＝?1－3＋3－5＋?＋2n－1－2n＋1?
2??
111
＝?1－2n＋1?＜. 2??2
?1?1．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?bb?的
?nn＋1?
前n项和Sn＝________．
a4－－
解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn1＝3×3n1
a1
＝3n，故bn＝log3an＝n，
1111所以＝＝－.
bnbn＋1n（n＋1）nn＋1
?1?111111n则数列?bb?的前n项和为1－＋－＋?＋－＝1－＝. 223nn＋1n＋1n＋1?nn＋1?
答案：
n
n＋1
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________. 解析：由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1， a＝a＋（m－1）d＝2，??m1
由? 1
S＝am＋m（m－1）d＝0，??m12a＋m－1＝2，???1?a1＝－2，得?解得? 1
?m＝5.am＋m（m－1）＝0，?1?2?答案：5
?1?
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列?f（n）?(n∈N*)的前n项和为
?
?
________．
－
解析：因为f′(x)＝mxm1＋a，所以m＝2，a＝1. 所以f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n.
11111
所以＝2＝＝－，
f（n）n＋nn（n＋1）nn＋1
11111
令Sn＝＋＋＋?＋＋ f（1）f（2）f（3）f（n－1）f（n）
11??11?1??11??11?1n??－－1－－－＝?2?＋?23?＋?34?＋?＋n－1n＋nn＋1＝1－＝.
????n＋1n＋1答案：
n
n＋1
4．(2016·西安模拟)数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn
3
为{bn}的前n项和．若a12＝a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值为________．
8
81376
n－?d， 解析：设{an}的公差为d，由a12＝a5＞0得a1＝－d，d＜0，所以an＝?5??85从而可知当1≤n≤16时，an＞0；
当n≥17时，an＜0.
从而b1＞b2＞?＞b14＞0＞b17＞b18＞?，
b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞?＞S1，S14＞S15，S15＜S16，S16＞S17
＞S18＞?.
69
因为a15＝－d＞0，a18＝d＜0，
55693
所以a15＋a18＝－d＋d＝d＜0，
555
所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14， 故当Sn取得最大值时n＝16. 答案：16 5．(2016·江西省新余一中、万载中学、宜春中学联考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，a1＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列．求证：11115
＋＋?＋＜(n∈N*)． d1d2dn16
解：(1)因为an＋1＝2Sn＋2，an＝2Sn－1＋2(n≥2)，
所以an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an， 即
an＋1
＝3(n≥2)， an
当n＝1，得a2＝2a1＋2＝6，a1＝2，
－－
所以an＝a1·qn1＝2×3n1.
4×3n11n＋1
(2)证明：由an＋1＝an＋(n＋1)dn，则dn＝，＝，
dn4×3n－1n＋1
－
n＋1?1111?234
因为＋＋?＋＝?30＋3＋32＋?＋n－1?，
d1d2dn4?3?n＋1234
设Tn＝0＋＋2＋?＋n－1，①
3333n＋11234
则Tn＝1＋2＋3＋?＋n，② 33333
1?1?n－1??
3?1－?3??n＋1n＋121111
由①－②得Tn＝2＋＋2＋3＋?＋n－1－n＝2＋－n，
33333133
1－3n＋1?15153?1
＋所以Tn＝－?＜， －3n?42?2×3n1?411111515
因此＋＋?＋＜×＝.
d1d2dn4416
6．已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，则称数列{bn}
是数列{an}的“生成数列”．
(1)若数列{an}的通项为an＝n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}的通项为cn＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；
(3)已知数列{dn}的通项为dn＝2n＋n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn. 解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1， 当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式， 所以bn＝2n－1(n∈N*)．
??2＋b，n＝1，(2)qn＝?
?4n＋2b－2，n≥2，?
当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等
差数列．
当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，所以数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．
综上，当b＝0时，{qn}是等差数列； 当b≠0时，{qn}不是等差数列．
??3，n＝1，(3)pn＝? n－1
?3·2＋2n－1，n≥2，?
当n>1时，Tn＝3＋(3×2＋3)＋(3×22＋5)＋?＋(3×2n1＋2n－1)，
－
所以Tn＝3＋3(2＋22＋23＋?＋2n1)＋(3＋5＋7＋?＋2n－1)＝3·2n＋n2－4. 又n＝1时，T1＝3，适合上式， 所以Tn＝3·2n＋n2－4.
－
(1)若数列{an}的通项为an＝n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}的通项为cn＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；
(3)已知数列{dn}的通项为dn＝2n＋n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn. 解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1， 当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式， 所以bn＝2n－1(n∈N*)．
??2＋b，n＝1，(2)qn＝?
?4n＋2b－2，n≥2，?
当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等
差数列．
当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，所以数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．
综上，当b＝0时，{qn}是等差数列； 当b≠0时，{qn}不是等差数列．
??3，n＝1，(3)pn＝? n－1
?3·2＋2n－1，n≥2，?
当n>1时，Tn＝3＋(3×2＋3)＋(3×22＋5)＋?＋(3×2n1＋2n－1)，
－
所以Tn＝3＋3(2＋22＋23＋?＋2n1)＋(3＋5＋7＋?＋2n－1)＝3·2n＋n2－4. 又n＝1时，T1＝3，适合上式， 所以Tn＝3·2n＋n2－4.
－