第十章 重积分
第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。
(1)??a2?x2?y2d?, 其中 D 为 x2?y2?a2;
D解：由二重积分的几何意义知， ??a2?x2?y2d??23?a3;
D
(2)??(b?x2?y2)d?, 其中 D 为 x2?y2?a2, b?a?0.
D解：由二重积分的几何意义知，??(b?x2?y2)d???a2(b?2D3a).
2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。
(1)??(x?y)2d? 与 ??(x?y)3d?, 其中 D 为 (x?2)2?(y?2)2?1;
DD解：由 (x?2)2?(y?2)2?1 知 |x?2|?1,|y?2|?1, 即
1?x?3,1?y?3, 于是 x?y?2?1, 所以 (x?y)2?(x?y)3
于是
??(x?y)2d? ? ??(x?y)3d?.
DD (2)??ln(x?y)d? 与 ??[ln(x?y)]2d?, 其中 D 是矩形区域:DD
3?x?5, 0?y?1;解：因在D内 x+y>e, 故 ln(x+y)>1, 于是
??ln(x?y)d? ???[ln(x?y)]2d?.
DD
(3)??ln(x?y)d? 与 ??xyd?, 其中 D 是由直线 x?0, y?0, DD
x?y?12, x?y?1 所围成.解：在D中，x?0,y?0,且
12?x?y?1, 而不在直线x+y=1上的D
内任何点(x,y), 都有12?x?y?1, 故 ln(x?y)?xy,
于是
??ln(x?y)d?? ??xyd?.
DD
1
第十章 重积分
3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。
(1)??D(x?4y?9)d?, 其中 D?{(x,y)|x?y2222?4};
4．设 f(x,y) 为一连续函数，试证：lim1??0??22??2f(x,y)dxdy?f(0,0).
2x?y??22证：由于f(x,y)连续，由二重积分中值定理知，存在点
解：在区域D：x?y?4上，
9?x2?4y2?9?4(x2?y2)?9?4?4?9?25, 而区域D的面积为????22?4?,
从而 9?4????(x2?4y2?9)d??25?4?,
D即 36????(x2?4y2?9)d??100?.
D
(2)??(x?xy?x2?y2)d?, 其中 D?{(x,y)|0?x?1, 0?y?2}.
D解：设f(x,y)?x?xy?x2?y2, 则 f(x,y)在D上的最大值M?f(2113,3)?3, 最小值m?f(0,2)??4,
区域D的面积??2,
从而 ?8???(x?xy?x2?y2)d??2D3.
(?,?)?{x,y|x2?y2??2}，使得
f(x,y)dxdy?f(?,?)?????2f(?,?),
x2???y2??2所以 lim12?y)dxdy?lim1?0??2??f(x,2???f(?,?)
22??2??0x?y???lim?f(?,?)?f(0,0).
?0
第二节 二重积分的计算
1．计算下列二重积分
(1)
??x2?, 其中 D: 0?x?1, 0?y?1;
D1?y2d2解：??x2?1dy311?0D1?y2d???1xdx01?y2?13x0?arctany0?12。
2
第十章 重积分
(2)??cos(x?y)dxdy, 其中 D 是由 x?0, y?x, y?? 所围成的区域;
xsiny1sinyy11D解：??cos(x?y)dxdy???dx??D0xcos(x?y)dy
???0[sin(x??)?sin2x]dx??2。
(3)??(x?y)d?, 其中 D 是以 o(0,0), A(1,0), B(1,1) 为顶点的D
三角形区域;解：??(x?y)d???1dx?x(x?y)dy?12D00?32xdx?102。
2 (4)
??xy?2, y?x, xy?1 所围成的区域;
Dy2d?, 其中 D 是由 x2解：??yx2y2d???2dy1?1Dy2dx?1?2y?1y3(1y5)dy?2764。
(5)
??xsiny 其中 D 是 由 y?x, y?x2 所围成.
Dydxdy, 解：??dxdy??0?(siny?ysiny)dy0
Dyydy?yxdx?2?12(1?sin1)。
2．画出积分区域，并计算下列二重积分。 (1)
??ex?ydxdy, 其中 D?{(x,y)||x|?|y|?1};
D解：??ex?ydxdy??0x?x?1x?1?xD?1edx?1?xeydy??10edxx?1eydy?e?1e。
(2)??(1?x)sinydxdy, 其中 D 是以点 (0,0), (1,0), (1,2), (0,1) 为顶点D的梯形;解：??(1?x)sinydxdy??11?xD0(1?x)dx?0sinydy
??10[(1?x)?(1?x)cos(1?x)]dx
?32?2sin2?cos2?sin1?cos1。
xy(3)??exyDy?1d?, 其中 D 是由 y?e, y?2, 和 x?0 所围成的区域.
3
第十章 重积分
解：??exyd?lnyexyxydx01Dyy?1??21dy?yy?1dx??21yy?1dy?lnye0
??211xy11(yy?1)dy1yy?1?(ye)lny0dy??21yy?1?y??211ydy
?ln2。
3．将二重积分I???f(x,y)d?化为二次积分（两种次序都要），其中积
D分区域D是 (1) 由 y?x?1, y?1?x 及 y?1 所围成；
解：I??110dx?1?xf(x,y)dy??21dx?1x?1f(x,y)dy
2??10dy?1?y1?yf(x,y)dx。
(2) 在第三象限内由 y?2x, x?2y 及 xy?2 所围成.
I???1xdx2f(x,y)dy?0x解：?2?2?dx(x,y)dy?1?2f2x
xyy???1dy2x,y)dx??0dyf(x,y)dx?2?2f(?1?22y。
y4．画出积分区域，改变下列二次积分的积分次序。
(1)
?2x?6dx?2?1x2?1f(x,y)dy;
4解：
?22?x?y2?y?6dx?1x2?1f(x,y)dy?4?2?6dy?21?21?yf(x,y)dx??80dy??21?yf(x,y)dx (2)
?2adx0?2ax(x,y)dy;2ax?x2f
解：
?2adx2axx,y)dy0?2ax?x2f(aa?a2?y2??dyf(x,y)dx?0?y2?ady2a(x,y)dx
2a0?a2?y2fa???2a2aady?y2f(x,y)dx
2a(3)
?10dx?x20f(x,y)dy??311dx?2(3?x)0f(x,y)dy.
解：?1x231(3?x)13?2y)dx0dx?0f(x,y)dy??1dx?20f(x,y)dy??dyf(x,y0?y。
5．设平面板由曲线xy?1及直线x?y?52所围成，质量面密度为1x，求
板的质量。
4
第十章 重积分
解：所求板的质量
m???1Dxd?
??21512?xxdx?1dy??212xx(52?x?11x)dx?5ln2?3。 26．求由坐标平面、平面x?4、y?4及抛物面z?x2?y2?1所围成的立体体积。
解：立体在xoy面投影区域为
D: 0?x?4，0?y?4，
所求立体体积为
V???zdxdy???(x2?y2?1)dxdy??4?4(x2?y2D0?1)dy
D0dx?5603。
7．计算二重积分??emax{x2, y2}dxdy。其中
DD?{(x,y)|0?x?1, 0?y?1}。
解：设 D1?{(x,y)|0?x?1,0?y?x},
D2?{(x,y)|0?x?1,x?y?1},
则
??emax{x2, y2}dxdy???emax{x2, y2}dxdy???emax{x2, y2}dxdy
DD1D2???ex2dxdy???ey2dxdy??1x2x20edx?0dy??10eydy?y0dx?e?1
D1D28．把二重积分??f(x,y)dxdy化为极坐标下的二次积分，其中积分区域DD是：(1) 由x?1, y?0 及 y?x2所围成；
(2) 圆x2?y2?ax与圆x2?y2?2ax (a?0)之间的区域。
?解：(1)
??f(x,y)dxdy??4sec?0d??tan?sec?f(?cos?,?sin?)?d?
D?(2)
??f(x,y)dxdy??22acos??d??cos?,?sin?)?d?
D??acos?f(29．将下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分。
22(1)
?10dx?4?x1?x2f(x,y)dy??21dx?4?x0f(x,y)dy；
解：(1) 两个二次积分所对应的重积分的积分区域分别是
D21:0?x?1,1?x2?y?4?x
和D22:1?x?2,0?y?4?x
5
第十章 重积分
两者的并集是环形区域0???2?,1?r?2在第一象限的部分，于是
?1?x2x20dx?41?x2f(x,y)dy??21dx?4?0f(x,y)dy???220d??1f(?cos?,?sin?)?d?
(2) ?2R2Ry?y2?0dy?0f(x,y)dx??20d??2Rsin?0f(?cos?,?sin?)?d? R (3)
?R2?x21?R2dx(yx)dy??RRdx?f(y0?Rxf001?R2x)dy。
2??arctanR0d??Rf(tan?)?d??RarctanR02?0f(tan?)d?
10．利用极坐标计算下列各题。 (1)
??ln(1?x2?y2)d?，其中D为x2?y2?1的圆域；
D解：??ln(1?x2?y2)d???2???1ln(1??2)?d???(2ln2?1)D0d0
(2)
??a2?x2?y2d?，其中D: x2?y2?ay, |y|?|x| (a?0)；
D3?解：??a2?x2?y2d???4asin??d??a2?2d0???
D4 3?1??12?4?d??asin?(a2?2a2?0?)2d(?2)
4??13?423?33?32??3(a2??2)2asin0d???a?4?(|cos?|?1)d?
434a3?3??3?3[2?2?cos?d???a??8?52
42]6(6) (3)
??sinx2?y2d?，其中D: ?2?x2?y2?4?2；
D解：??sinx2?y2d???2?2?20d??D?sin??d???6?
(4)
??(x2?y2)d?，其中D: x2?y2?2x, x2?y2?4x。
D解
：
???(x2?y2)d???2?d??4c?4442c??3d??1?D?24?2?(4c??2c4?)d?
?2???60?2424?cos?d??120cos?120?3??0?d?24?12??2 ?452?
6
第十章 重积分
11．选用适当的坐标计算下列积分。 (1)
??(x2?y2)d?，其中D是由直线y?x，y?x?a，y?a，
Dy?3a(a?0)所围成的闭区域；
解：选用直角坐标计算二重积分
??(x2?y2)d???3ady(x2?y2)dx?3aa?yy?a??x3??xy2?yaD?ady?3??y?14a4
(2)
??x(y?1)d?，其中D?{(x,y)|x2?y2?1, x2?y2?2x?0}；D解：选用极坐标计算二重积分
???x(y?1)d???32cos???d??1?cos?(?sin??1)?d?
D3???32cos?(3cos??d??1??sin???2cos?)d?
3???3?1??424cos5?sin??sin?cos??83cos4??13cos?????d?? 3??1343??(8cos??cos?)d??532??34?3 （另外，本题亦可用对称性计算） (3)
??1d?，其中D由直线y?x，x?2及上半圆周
D(x2?y2)3y?2x?x2所围的区域。
解：选用极坐标计算
???1?2d?d??cos?12cos?D(x2?y2)3??40?3??d????4102(cos??1cos?)d?
??1??2?ln(2?1)?2?
?2?第三节 三重积分
1．化三重积分I????f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中积分区域?分
?别是（1）由曲面3x2?y2?z 及 z?1?x2所围成的区域；
解：两曲面所围立体Ω在 xoy面上的投影区域为D:4x2?y2?1，故
?:?12?x?12,?1?4x2?y?1?4x2,3x2?y2?z?1?x2，
1则 I??2dx1?4x21?x2?1??1?4x2dy?2f(x,y,z)dz3x?y2
27
第十章 重积分
（2）由曲面z?1?x2?y2，平面z?x (x?0) 及 x?0所围成的区
域。
解：两曲面所围立体Ω在 xoy面上的投影区域为D:2x?y2?1,x?0，故?:0?x?12,?1?2x?y?1?2x,x?z?1?x2?y2
1则 I??2dxdy0?1?2x?1?x2?y2f(x,y,z)dz?1?2xx
2．利用直角坐标计算下列三重积分 （1）???dxdydz3, 其中?为平面x?0, y?0，?0, ?(1?x?y?z) zx?y?z?1所围成的四面体；
解：?:0?x?1,0?y?1?x,0?z?1?x?y
???dxdydz1?x0
?(1?x?y?z)3??dxdy1?x?ydz0?10?(1?x?y?z)3??1?1dx1?x11x20?0(1?x?y?z)2dy??2?1dx[1?10?1?04(1?x?y)2]dy
??111?x1?x2?0[4?11?x?y0]dx?ln22?516。
（2）???y1?x2dxdydz, 其中?由曲面y?1?x2?y2,
?x2?z2?1与平面y?1所围成的区域；
解：?:?1?x?1,?1?x2?z?1?x2,1?x2?z2?y?1，
2???y1?x2dxdydz??112?1dx?1?x?1?x2dz?1?x2?z2y1?xdy
??11?x222?1?1dx??1?x21?x?[1?(1?x2?z2)]dz?11?x22??1dx?1?1?x21?x2(x2?z2)dz
3?12?11?x2[2x21?x2?2(1?x2)2?13]dx
22?2?1[x2(1?x2(1?x)0)?3]dx
?2845
8
第十章 重积分
（3）???z2dxdydz, 其中?是由
xzz?0所围
?a?yb?c?1, x?0, y?0, 成的区域。
解：利用“先二后一”法计算。
???z2dxdydz??cz2dz2?0??dxdy??c0zdz??dxdy
Dz0?xa?yb?1?zc??cz2?1zc)dz02a(1?)?b(1?zc
3?abc60 3．利用柱面坐标计算下列积分
（1）???zdv, 其中?由平面z?0,曲面x2?y2?1, 及 z?x2?y2?1?所围成的区域；
解：?:0???2?，0???1，0?z?1??2，
???zdv?2?11??2111??20??0d??0d??0z?dz?2??2??z20d?
???1?(?470?2?2?1)d??6?
（2）???x2?y2dv, 其中?为x2?y2?z2, 1?z?2。
? 解：???1??2
?1:0???2?,0???1,1?z?2，
?1:0???2?,1???2,??z?2
???x2?y2dv????x2?y2dv????x2?y2dv
??1?2??2?12220d??d??201?dz??2?20d??1d????dz
?2?23?2??1(2?0??)d?
?5?2
4．利用球面坐标计算下列积分
（1）???zdv, 其中闭区域?由不等式x2?y2?(z?a)2?a2,
?x2?y2?z2所确定；
解：?:0???2?,0????4,0?r?2acos?
2?????zdv?42acos???0d??0d??0rcos??r2sin?dr
9
第十章 重积分
??2??4450sin?cos?d??2acos??0r3dr?8?a4?0sin?cos?d?
?7?a46
（2）???1ndv (n 为正整数)， 其中?由 ?(x2?y2?z2)21?x2?y2?z2?4所确定。 解：?:0???2?,0????,1?r?2， （ⅰ）当n?3时，
???1ndv??2?0d???d?2r2sin?0?1?(x2?y2?z2)2rndr
?2???sin?d??22?ndr2???cos??0??r3?n?201r???n?
?3?13?n?4?(2?1)3?n；
（ⅱ）当n?3时，
2???1ndv??2??2rsin?0d??0d??1?2?y2?z2)2r3dr
(x ??2?dsindr2??0???0?d??211r??cos??0??lnr?21
?4?ln2
5．选用适当的坐标计算下列三重积分 2（1）?1dx1?x2dyx2?yz2dz；
0?0?2?x2?y2解：积分区域?是由zox面、yoz面及曲面z?x2?y2和
x2?y2?z2?2所围成，用柱面坐标计算， ?:0????，0???1，??z?222??，
11?x22?x2?y2??dxdy?z2dz?x2?y2?2d1d2??2z20?00??0????dz
???112??2?23???30?z3d???6?1?(2??2)2??3?0?d? ??5???12215?1?42?26???(2??)2?????255?06?5 ?22?115?
10
第十章 重积分
（2）???e|z|dv,其中?：x2?y2?z2?1；
?解：用柱面坐标计算。
积分区域?是关于z?0对称且被积函数是关于z的偶函数， ?1:0???2?，0???1，0?z?1??2
???e|z|dv?2???ezdv?2?2?1??2z0d??10d??0e?dz
??1?4??11??20?(e?1)d??4??11??210?ed??4??0?d?
?4?1?e2?1??2u0d??2?1????4??1u0uedu?2?
?2?
(3)???(x2?y2)dv，其中?是由两个半球面z?A2?x2?y2
?, z?a2?x2?y2 (A?a)及平面z?0所围成的区域。
解：用球面坐标计算。 ?:0???2?,0????2,a?r?A，
????(x2?y2)dv??2?2A?r2sin?dr
?0d??d??r220asin????2?230d??0sin?d??Ar4dr?4?55a15(A?a)。
6．设I???xyzdv, 其中?是曲面z?6?x2?y2 和 z?x2?y2所
?围成的立体。试将三重积分I分别在直角坐标、柱面坐标和球面坐标化成
三次积分，并任选一种计算I。 解：作出区域?图形
求出两曲面的交线?z?6?x2?y2?x2?y2?4?，其方程为?， ?z?x2?y2?z?2 ?在xoy面上投影为 D:x2?y2?4。
（1）在直角坐标系下化成三次积分， ?:?2?x?2,?4?x2?y?4?x2,x2?y2?z?6?x2?y2，
2I????xyzdv??2xdx?4?xydy?6?x2?y2zdzx2?y2
??2?4?x222??2222?2xdx?4?xy?4?x22?(6?x2?y)?(x?y)?dy
?0 （对称性）
（2）在柱面坐标系下化成三次积分，
?:0???2?，0???2，??z?6??2
I????xyzdv??2?dd6??2?0??20????3sin?cos?zdz
11
第十章 重积分
（3）在球面坐标系下化成三次积分， ?:0???2?，0????0?r??cos??1?23sin2?4，2sin2?
?cos??1?23sin2?I????xyzdv??2??dd54?cos?sin?dr
?0??40??2sin2?rsin07．曲面x2?y2?az将球体x2?y2?z2?4az分成两部分，求此两部分体积之比。
解：先求两曲面的交线?x2?y2?az?x2?y2?3a2??x2，得交线?y2?z2?4az? ?z?3a2?1:0???2?，0???3a，??z?2a?4a2??2a
2?3a2a?4a2V??21????dv??0d??0d???2?dz
?1a?2??3a??37?2a?4a2??2??2?30a?d???a， ??6而球的体积 V?433?(2a)3?323?a，从而
V2?V?V32?a3?373271?36?a?6?a3
于是，两部分体积之比为
V1V?37227
8．形如z?x2?y2形容器，已盛有8? cm3的水，今又注入120? cm3的水，问水面升高多少？
解：设水面高度为hcm，
从而容器由z?x2?y2及z?h所围成， ?:0???2?,0???h,?2?z?h，
容积 V????dv??2?dh0??hd0???2?dz??h2
?2当V1?8?cm时，有
?2h2?8??h1?4cm，
当V?2?V1?120?128cm时，有 2h2?128??h2?16cm，
从而水面升高了 16?4?12cm。
第四节 重积分的应用
1． 求锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所割下部分的曲面面积。
解：锥面z?x2?y2被柱面z2?2x割下部分曲面在xoy面上的投影区
12
第十章 重积分
域为 D:(x?1)2?y2?1， 于是，所求曲面面积为
22A???1?(?z2z2D?x)?(??y)d????1?xx2D?y2?yx2?y2dxdy
???2dxdy?2?
D2． 求半球面z?3a2?x2?y2及旋转抛物面x2?y2?2az所围成的
立体的整个表面积。 解：半球面z?3a2?x2?y2与旋转抛物面x2?y2?2az的交线为
?x2?y2?2a2?， ?z?a两曲面所围立体在xoy上的投影区域为 D:x2?y2?2a2， 所求立体整个表面积为 A?Aa2?x2?y21?A2???3a222dxdy???dxdy
D3a?x?yDa??2a3aa2??2???20d0?d??3a2??2?2?2a0d??0a?d?
?2????3a?23a2??2??2???2a?112322?2a?2?0a?2?3(a??)2?
??0?1623?a。
3． 求所给图形的形心
（1）由2y2?x?1 及 y2?2?x所围成；
解：由对称性知 y?0，
xd?1dy?y2xdxx?1??A??xd??D???1?22y2?1d?1dy2?y2?3D5，
??2dxD??1?2y?1所求形心为(35,0)。
（2）sinx?y?cosx, 0?x??4。
??xd??4xdxcosx解： x?D??0?sinxdy?(2??d??4??1)(2?1)，
D?4dx?cosx0sinxdy??yd??dxcosx1y?D?40?ydy?sinx?4?1??d?2?12?14(2?1)，
D13
第十章 重积分
形心为??1?(24??1)(2?1),4(2?1)????
?4．在半径为R的均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长
的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度为多少？
解：设接上去的均匀薄片长度为b，则有
??yd?RR2?x23?b2R0?D?Rdx??bydy2??3R，
??d???R22D2?2Rb?R2?2Rb解之得 b?63R。 5．设均质立体由抛物柱面y?x, y?2x,平面z?0 及 x?z?6四个
面围成，求其质心。
解：设均质立体的密度为?， ?:0?x?6,x?y?2x,0?z?6?x，
m?????dv???6dx2xdy6?x0?x?dz60?48?5?，
????xdvx???xm?m?6xdxdy0?2x?6?xdz?1807，
????ydvy???62x15m?m?dxydydz?1660?x?6?x0，
????zdvz???x12m?m?6dxzdz?0?2xdyx?6?07，
质心坐标为 ??18,1512??7166,7? ?6．设均匀薄片（面密度为1）所占区域D： x2y2a2?b2?1，求Iy 和 Io。
b解：I2by???xd???ax2dxx2?a?aa2?x22dy?4D?baa2?xa?aa2?x2dx0
令x?asint??????4a3b?2sin20tcos2tdt?134?ab，
?I2o???(x2?y2)dxdy???x2dxdy???ydxdy
DDD而
??x2d??13b，??y2d??1D4?aD4?ab3，
14
第十章 重积分
?I2o???(x?y2)dxdy?1a3b?13D4?4?ab
?1224?ab(a?b)
7．设一由y?lnx, x 轴及 x?e 所围成的均匀薄板，其密度为??1，求此板绕直线x?t旋转的转动惯量I(t)，并问t为何值时I(t)最小？
解：I(t)???(x?t)2dxdy??ex?e21(x?t)lnxdx
D1dx?ln0(x?t)2dy??1e3e13?lnxd(x?t)31?13(x?t)lnx1??e31(x?t)31xdx
3?13(e?t)3?1?3?x323?e??xt?3xt?tlnx? ?32??1?t2?12212(e?1)t?29e?9，
令 I?(t)?0，即2t?1(e2?1)?0，得 t?1224(e?1)，
又 I??(t)?2?0， 所以当t?14(e2?1)时，I(t)最小。
第十章 综合练习题
一、填空题 1．设
D由y?4x?x2与x?4y?y2围成，则
??(x2?y2?x?y)d?= 0 .
D2．设D由x?y?y2，x?2y?y2，y?x，y?3x围成，f(x,y)在D内连续，则
??f(x,y)d?的极坐标二次积分是
D??32si?n?d??f(,si?n?co?s?si?n)?d?.
423．f(x,y)是连续函数，则?24?x?2dx?x2?4f(x,y)dy的另一次序的二次积分
2是?0dy?4?yf(x,y)dx??4?4?y?2dy?yf(x,y)dx0?4?4?y2.
?z3ln(x2?y24．????z2?1)??1?dv=4?. x2?y2?z2?1?x2?y2?z2?1??3二、选择题
1．设D由直线x?0，y?0，x?y?12，x?y?1所围成，
15
第十章 重积分
I1???[ln(x?y)]d?，I2?7??[(x?y)d?，I3?7??[sin(x?y)]d?，
7部分且其面积为D的面积的四分之一，则??f(x,y)d??4??f(x,y)d?DDD则它们的关系是 C . (A) I1?I2?I3; (B) I3?I2?I1; (C) I1?I3?I2; (D) I3?I1?I2.
2．设V是曲面z?1222222(x?y?z)与z?x?y所围成较小部分的体
积，则V? D . (A) ?2?11??2?1??20d??0?d???2dz； (B)
?2?0d??10?d??11dz；
(C)
?2?11???20d??0?d???2dz； (D)
?2?10d??0?d??1?1??2dz.
3．设f(x,y)在原点某邻域内连续，区域D:x2?y2?t2在该邻域内，
F(t)???f(x,y)d?，则limF?(t) B .
Dt?0?t的值是 (A) 2?f(0,0); (B) 2?; (C) 2?A，A为D的面积; (D)不存在.
4．设连续函数f(x,y)在有界闭区域D上有定义，D1是D的在第一象限
DD1成立的条件是 D .
（ A）f(x,y)及D关于原点对称； （B）D关于x轴、y轴对称，f(x,y)关于原点对称；
（C）D关于原点对称，f(x,y)关于x轴、y轴对称； （D）D与f(x,y)都关于x轴、y轴对称.
三、计算下列二重积分 ?1．
???y2?1??及
D?d?，D由x?y2，x?2?y2?x3x2?y2?1?9??y2?3x2围成.
解：D:??3????3,2???3，
??y21???3???2sin2?? ???d??23d??1?2D ??x3x2?y2?1??0?????cos?3?2??d? ?1??2?2?3sin??2310cos?d??32?d??2?30d??2?d?
3?2?116
第十章 重积分
??2(27?22)sin2??23?3d3(?1)?13d(0cos?d???30??2??2?1)
?2(27?22)??ln(2?3)?3?33?2???
?22．??(2?|x?y|)d?，D:0?y?1?x2，0?x?1.
D解：??(2?|x?y|)d????2d????|x?y|d?
DDD?2??4???(x?y)d????(y?x)d?
D1D2?????1?(cossin222??4dd00???)?d??????1(sin20??cos?)?d?
4??22?3(2?1)
．?1dx1?x23?1dy0??x(x2?y2)(4?x2.
?y2)
解：利用极坐标计算，积分区域如图所示，
2?1dxdy0??d?0?1?x?1?x?d(x2?y2)(4?x2?y2)??????2sin40
?4??2??0?2sin?d??2sin??d?0???d????404??2????arcsin4?2??
0??00??arcsin[sin(??)]d?????(??)d?
44??232
四、已知f(x)具有三阶连续导数，且f(0)?f?(0)?f??(0)??1，
f(2)??12，计算二次积分I??20dx?x0(2?x)(2?y)f???(y)dy.
解：交换积分次序
I??2dy2(2?x)(2?y)f???(y)dx0?y
17
第十章 重积分
??2?2(2?x)3(2?y)f???(y)?20???3?dy
?y??2223(2?y)f???(y)dy0?23(y?2)2f??(y)20??2403(y?2)f??(y)dy
??83f??(0)??4)f?(y)?2?(y?2(y)dy
?3???0?243f?0??83f??(0)?83f?(0)?43[f(2)?f(0)]
?6
五、求抛物面z?x2?y2?1的一个切平面，使得它与该抛物面及圆 柱面(x?1)2?y2?1围成的立体体积最小，并求出这个最小的体积.
解：设M(x0,y0,z0)是抛物面上任意一点，则过此点的切平面方程为
z?2x0x?2y0y?[1?(x2?y200)]，
切平面与抛物面及圆柱面所围立体在xoy面上投影为
D:(x?1)2?y2?1，其立体体积
V???{(x2?y2?1)?[2x20x?2y0y?(1?x0?y20)]}dxdy
D ???(x220?y0)dxdy???(x2?y2)dxdy?2??(x0x?y0y)dxdy
DDD??(x2?y2)??2?2??3?200dd0??2cos0?d??2x0?2d????2cos0?cos??
2?(x2230?y0)??2??2x0?，
令
?V?V?x?2x0??2??0，
?y?2y0??0，
00得惟一驻点 (1,0)，此时切点为M(1,0,2)，切平面方程为 z?2x， 最小体积为 Vmin?V(1,0)??2。
六、试证
???f(z)dxdydz???1f(u)(1?u2)du. 并利用这个式子计算
x2?y2?z2?1?1z4?z2sin3z)dxdydz.
x2???(?y2?z2?1证：由“先二后一”法，
???f(z)dxdydz??1f(z)?(1?z2)dz
x2?y2?z2?1??d???1x2?y2?1?z2?1?1f(z)????1?1f(u)(1?u2)du；
18
第十章 重积分
由对称性知，
(z4?z2sin3z)dxdydz?z4dxdydz
x2????y2?z2?1x2????y2?z2?1???144?1u(1?u2)du?2??10(u?u6)du
?4?35。
七、计算???|x2?y2?z2?1|dv，其中?是由锥面z?x2?y2与
?平面z?1所围成的立体. 解：用上半球面z?1?x2?y2将积分域?分成上下两部分，分别记为
?1和?2，则
???|x2?y2?z2?1|dv????(x2?y2?z2?1)dv
??1????(1?x2?y2?z2)dv
?22??1???24120d??40d??cos?1(r?1)rsin?dr??2?0d??0d??0(1?r)rsin?dr
??(32?4)??1212(2?2)
??6(2?1)。
八、曲面x2?y2?az?4a2将球体x2?y2?z2?4az分成两部分，求含有z轴那部分的体积.
解：如图，采用“先二后一”法，
V??a2a0?(4az?z)dz??4aa?(4a2?az)dz?376?
九、在球心位于原点，半径为a的均匀半球体靠圆形平面的一侧拼接一个底半径与球半径相等、材料相同的圆柱体，并使拼接后的整个物体的重心在球心，试确定圆柱体的高. 解：设拼接圆柱体的高为h，
依题意知，应有重心坐标，x?0，y?0，z?0，重心M(x,y,z)
z?1V???zdv?1?0V???z(a2?z2)dz?z?a?h0?a2dz????
19
第十章 重积分
?1?V?1?a2h2?1?a4??， ?24?令 z?0，得 h?2a2，
所求圆柱体的高为 22a。
20